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方形三角形数


同时为广场三角形.让T_n(_n)表示n个第个三角形数(_m)这个米第个平方数,然后是一个数字三角形和方形都满足方程T_n=S_m,或

 1/2n(n+1)=平方米。
(1)

配方法给予

1/2(n^2+n)=1/2(n+1/2)^2-(1/2)(1/4)
(2)
=平方米
(3)
1/8(2n+1)^2-1/8=平方米
(4)
(2n+1)^2-8m^2=1
(5)

因此,定义

x个=2n+1
(6)
年=200万
(7)

提供了Pell方程

 x^2-2y^2=1
(8)

(Conway和Guy,1996年)。前几个解决方案是(x,y)=(3,2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), .... 这些给了解决方案(n,m)=(1,1),(8, 6), (49, 35), (288, 204), ... (组织环境信息系统A001108号A001109号),对应三角形平方数1,36,1225,41616,1413721,48024900。。。(组织环境信息系统A001110号;Pietenpol 1962)。1730年,欧拉证明了这种物质的数量是无限的解决方案(Dickson 2005)。

将军公式对于正方形三角形数ST(_n)b^2c^2个,哪里银行账户n个第个收敛于连续分数属于平方米(2)(Ball and Coxeter 1987,第59页;Conway and Guy 1996)。最初的几个是

 1/1,3/2,7/5,(17)/(12),(41)/(29),(99)/(70),(239)/(169),...
(9)

(组织环境信息系统A001333号A000129号). 这个分子分母也可以通过加倍前一个分数并添加到分数在此之前。

将军公式对于正方形三角形数是

ST(_n)=[(1+sqrt(2))^(2n)-(1-sqrt(2))^(2n))/(4sqrt(2))]^2
(10)
=1/(32)[(17+12平方米(2))^n+(17-12平方米(1))^n-2]。
(11)

方形三角形数也满足重现关系

 ST_n=34ST_(n-1)-ST_(n-2)+2。
(12)

的二阶递推ST_n=u_n^2由提供

 u(n+2)=6u(n+1)-un,
(13)

具有u_0=0u_1=1.一阶递推方程如下所示

 u_(n+1)=3u_n+sqrt(8u_n^2+1)
(14)

(M.Carreira,pers.comm.,2003年9月29日)。

一个奇怪的产品配方ST(_n)由提供

 ST_n=2^(2n-5)产品_(k=1)^(2 n)[3+cos((kpi)/n)]。
(15)

太棒了生成函数

 f(x)=(x(x+1))/(1-x)(1-34x+x^2))=x+36x^2+1225x^3+。。。
(16)

(斯隆和普劳夫,1995年)。

把正方形和三角形的数字放在一起,得到序列1、1、3、4、6、9、10、15、16、21、25。。。(组织环境信息系统A005214号;霍夫施塔特,1996年,第15页)。


另请参见

三次三角数,五边形平方数,五角形方形三角形数,平方数字,平方根,三角形编号

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工具书类

B.M.艾伦。“正方形表示三角数。”脚本数学。 201954年第213-214页。球,W.W。R。和H.S.科克塞特。M。数学娱乐与论文,第13版。纽约:多佛,1987年。康威,J.H。和盖伊·R·K。这个《数字书》。纽约:Springer-Verlag,第203-205页,1996年。迪克森,路易斯安那州。历史《数论》第2卷:丢番图分析。纽约:多佛,第10、16和27页,2005年。盖伊,R.K。“平方和”和“数字化”。§C20和§D3未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第136-138页以及1994年第147-150页。D.R.霍夫斯塔特。流体概念与创造性类比:基本机制的计算机模型思想。纽约:基础图书,1996年。M.N.卡特里。“三角形也是正方形的数字。"数学。学生 27, 55-56, 1959.皮埃滕波尔,J·L·。“方形三角形数”,问题E 1473。阿默尔。数学。每月 69, 168-169, 1962.哥伦比亚特区波特。D。“三角形平方数。"数学。加兹。 56, 109-110, 1972.森古普塔,D.“三角形中的数字”大学数学。J。 30, 31,1999西尔宾斯基。Teoria Liczb,第三版。波兰华沙:Monografie Matematyczne第19卷,第517页,1950年。西尔宾斯基。“特里安古莱尔·卡雷斯(Sur les nombres triangulaires carrés)”出版物。电子技术专业贝尔格莱德大学,编号65,1-41961。希尔皮因斯基,W.“Sor les nombres triangulaires carrés”牛市。皇家足球俱乐部科学李尔盖,1961年8月30日,189-194年。西尔弗曼,J.H。A类数论的友好介绍。新泽西州恩格尔伍德悬崖:普伦蒂斯·霍尔,1996新泽西州斯隆。答:。序列A000129号/M1413,A001333号/M2665,A001108号/M4536,A001109号/M4217,以及A001110号/M5259型在“整数序列在线百科全书”中斯隆,新泽西州。答:。和Plouffe,S。这个整数序列百科全书。圣地亚哥:学术出版社,1995年。散步的人,G.W.公司。“三角正方形”,问题E 954。阿默尔。数学。每月 58,568, 1951.

参考Wolfram | Alpha

方形三角形数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“方形三角形数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SquareTriangularNumber.html

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