同时为广场和三角形.让表示第个三角形数和这个第个平方数,然后是一个数字三角形和方形都满足方程,或
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(1)
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配方法给予
因此,定义
提供了Pell方程
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(8)
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(Conway和Guy,1996年)。前几个解决方案是, (17, 12), (99, 70), (577, 408), .... 这些给了解决方案,(8, 6), (49, 35), (288, 204), ... (组织环境信息系统A001108号和A001109号),对应三角形平方数1,36,1225,41616,1413721,48024900。。。(组织环境信息系统A001110号;Pietenpol 1962)。1730年,欧拉证明了这种物质的数量是无限的解决方案(Dickson 2005)。
将军公式对于正方形三角形数是,哪里是第个收敛于连续分数属于(Ball and Coxeter 1987,第59页;Conway and Guy 1996)。最初的几个是
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(9)
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(组织环境信息系统A001333号和A000129号). 这个分子和分母也可以通过加倍前一个分数并添加到分数在此之前。
将军公式对于正方形三角形数是
方形三角形数也满足重现关系
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(12)
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的二阶递推由提供
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(13)
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具有和.一阶递推方程如下所示
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(14)
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(M.Carreira,pers.comm.,2003年9月29日)。
一个奇怪的产品配方由提供
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(15)
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太棒了生成函数是
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(16)
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(斯隆和普劳夫,1995年)。
把正方形和三角形的数字放在一起,得到序列1、1、3、4、6、9、10、15、16、21、25。。。(组织环境信息系统A005214号;霍夫施塔特,1996年,第15页)。
另请参见
三次三角数,五边形平方数,五角形方形三角形数,平方数字,平方根,三角形编号
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工具书类
B.M.艾伦。“正方形表示三角数。”脚本数学。 201954年第213-214页。球,W.W。R。和H.S.科克塞特。M。数学娱乐与论文,第13版。纽约:多佛,1987年。康威,J.H。和盖伊·R·K。这个《数字书》。纽约:Springer-Verlag,第203-205页,1996年。迪克森,路易斯安那州。历史《数论》第2卷:丢番图分析。纽约:多佛,第10、16和27页,2005年。盖伊,R.K。“平方和”和“数字化”。§C20和§D3未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第136-138页以及1994年第147-150页。D.R.霍夫斯塔特。流体概念与创造性类比:基本机制的计算机模型思想。纽约:基础图书,1996年。M.N.卡特里。“三角形也是正方形的数字。"数学。学生 27, 55-56, 1959.皮埃滕波尔,J·L·。“方形三角形数”,问题E 1473。阿默尔。数学。每月 69, 168-169, 1962.哥伦比亚特区波特。D。“三角形平方数。"数学。加兹。 56, 109-110, 1972.森古普塔,D.“三角形中的数字”大学数学。J。 30, 31,1999西尔宾斯基。Teoria Liczb,第三版。波兰华沙:Monografie Matematyczne第19卷,第517页,1950年。西尔宾斯基。“特里安古莱尔·卡雷斯(Sur les nombres triangulaires carrés)”出版物。电子技术专业贝尔格莱德大学,编号65,1-41961。希尔皮因斯基,W.“Sor les nombres triangulaires carrés”牛市。皇家足球俱乐部科学李尔盖,1961年8月30日,189-194年。西尔弗曼,J.H。A类数论的友好介绍。新泽西州恩格尔伍德悬崖:普伦蒂斯·霍尔,1996新泽西州斯隆。答:。序列A000129号/M1413,A001333号/M2665,A001108号/M4536,A001109号/M4217,以及A001110号/M5259型在“整数序列在线百科全书”中斯隆,新泽西州。答:。和Plouffe,S。这个整数序列百科全书。圣地亚哥:学术出版社,1995年。散步的人,G.W.公司。“三角正方形”,问题E 954。阿默尔。数学。每月 58,568, 1951.参考Wolfram | Alpha
方形三角形数
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“方形三角形数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SquareTriangularNumber.html
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