登录
OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

标志
提示
（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： 编号：a001109
显示1-1个结果（共1个）。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A001109号 a（n）^2是一个三角形数：a（n）=6*a（n-1）-a（n-2），a（0）=0，a（1）=1。
（原名M4217 N1760） 		+0个
191
0, 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860, 1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024, 1827251437969, 10650001844790, 62072759630771, 361786555939836, 2108646576008245, 12290092900109634, 71631910824649559 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
抵消
0,3
评论
8*a（n）^2+1=8*A001110号（n） +1个=A055792号（n+1）是一个完美的正方形-格雷戈里·理查德森2002年10月5日
对于n>=2，A001108号（n） 给出了正整数m，即1,2，。。。，m有一个完美的中间值。相关的完美中位数序列就是现在的序列。让a_1，。。。，a_m是实数的（有序）序列，如果和{j=1..k-1}a_j=和{j=k+1..m}a_j，则术语a_k是一个完美的中位数。参见MSRI Emissary中的谜题1，2005年秋季-阿谢尔·奥尔2006年1月12日
（a（n），b（n））式中=A082291号（n） 是方程2的整数解*二项式（b，a）=二项式（b+2，a）克劳斯·斯特拉斯伯格（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de）；评论修订人迈克尔·索莫斯2003年4月7日
这个序列给出了丢番图方程x^2-8y^2=1的解中y的值。它还给出了乘积xy的值，其中（x，y）满足x^2-2y^2=+-1，即a（n）=A001333号（n）*A000129号（n） ●●●●。a（n）还给出了具有长度为连续整数的腿的本原勾股三角形的内半径r，相应的半周长s=a（n+1）={A001652号（n）+A046090美元（n）+A001653号（n） }/2和区域rs=A029549号（n） =6*A029546号（n） ●●●●-Lekraj Beedassy公司2003年4月23日[编辑：乔恩·肖恩菲尔德2014年5月4日]
n使8*n^2=地板（sqrt（8）*n*天花板（sqrt（8）*n））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月10日
对于n>0，比值a（n+1）/a（n）可以作为3+sqrt（8）的连续分式展开的收敛：[6；-6]的连续收敛或[5；1，4]的奇收敛-Lekraj Beedassy公司2003年9月9日
a（n+1）+A053141号（n）=A001108号（n+1）。生成菌群：-2'i+2'j-‘k+i’+j’-k’+2'ii’-‘jj’-2'kk’+‘ij’+‘ik’+‘ji’+’jk’-2'kj’+2e（“jes”系列）-克里顿·德蒙特2004年12月16日
某些苯系物的Kekulénumbers（参见Cyvin-Gutman参考）-Emeric Deutsch公司2005年6月19日
在长度为n的所有Delannoy路径中，直线y=x上的D步数（长度为n（0,0）到（n，n）之间的路径，由步数E=（1,0），n=（0,1）和D=（1,1）组成）。示例：a（2）=6，因为在13(=A001850号（2） ）长度为2的Delannoy路径，即（DD）、（D）NE、（D-Emeric Deutsch公司2005年7月7日
将T形圆定义为第一象限圆，其积分半径与x轴和y轴相切。这样一个圆的坐标等于它的半径。设C（0）为半径为1的T圆。然后，对于n>0，将C（n）定义为不与C（n-1）相交的最小T圆。C（n）的半径为a（n+1）。囊性纤维变性。A001653号. -查理·马里昂2005年9月14日
有m且t（n+m）=2t（m）的数字，其中t（n）是三角数A000217号例如，t（20）=2*t（14）=210，所以6在序列中-楼层van Lamoen2005年10月13日
佩尔数二分之一(A000129号). -富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年1月8日
球团梯形：对于n>0，a（n）=(A000129号（n-1）+A000129号（n+1））*A000129号（n） /2；另请参见A084158美元. -查理·马里昂2006年4月1日
测试2<p<27：如果且仅当2^p-1（梅森数M（p））是素数，则M（p）除以a（2^（p-1））-肯尼思·J·拉姆齐2006年5月16日
如果2^p-1是素数，则M（p）除以a（2^（p-1）-1）-肯尼思·J·拉姆齐2006年6月8日；评论更正人罗伯特·伊斯雷尔2007年3月18日
如果8*n+5和8*n+7是双素数，那么它们的乘积除以a（4*n+3）-肯尼思·J·拉姆齐2006年6月8日
如果p是奇素数，那么如果p＝＝1或7（mod 8），那么a（（p-1）/2）＝＝0（mod p）和a（（p+1）/2）＝＝1（mod p）；如果p＝3或5（mod 8），则a（（p-1）/2）＝＝1（mod p）和a（（p+1）/2）＝＝0（mod p）。肯尼思·J·拉姆齐关于双素数的评论就是从这里得出的-罗伯特·伊斯雷尔2007年3月18日
a（n）*（a（n+b）-a（b-2））=。这个恒等式也适用于任何系列a（0）=0a（1）=1a（n）=b*a（n-1）-a（n-2）-肯尼思·J·拉姆齐2007年10月17日
对于n<0，设a（n）=-a（-n）。则（a（n+j）+a（k+j））*（a（n+b+k+j）-a（b-j-2））=（a（n+j+1）+a（k+j+1））*-查理·马里昂2011年3月4日
序列给出了丢番图方程的y值：0+1+2++x=y^2。如果（a，b）和（c，d）是丢番图方程的两个连续解：0+1+2++x=y^2和a<c，然后a+b=c-d和（（d+b）^2，d^2-b^2）也是一个解决方案。如果（a，b），（c，d）和（e，f）是丢番图方程0+1+2+的三个连续解+x=y^2和a<c<e，那么（8*d^2，d*（f-b））也是一个解-穆罕默德·布哈米达2009年8月29日
如果（p，q）和（r，s）是丢番图方程的两个连续解：0+1+2++x=y^2，p<r，然后r=3*p+4*q+1和s=2*p+3*q+1-穆罕默德·布哈米达2009年9月2日
a（n）/A002315号（n） 收敛到cos^2（Pi/8）（请参见A201488型). -加里·德特利夫斯2009年11月25日
的二项式变换A086347美元. -约翰内斯·梅耶尔2010年8月1日
如果x=a（n），y=A055997号（n+1）和z=x^2+y，然后x^4+y^3=z^2-布鲁诺·贝塞利2010年8月24日
一般来说，如果b（0）=1，b（1）=k，对于n>1，b（n）=6*b（n-1）-b（n-2），那么
对于n>0，b（n）=a（n）*k-a（n-1）；例如。，
对于k=2，当b（n）=A038725号（n） ，2=1*2-0，11=6*2-1，64=35*2-6，373=204*2-35；
对于k=3，当b（n）=A001541号（n） ，3=1*3-0，17=6*3-1；99 = 35*3 - 6; 577 = 204*3 - 35;
对于k=4，当b（n）=A038723号（n） ，4=1*4-0，23=6*4-1；134=35*4-6；781=204*4-35；
对于k=5，当b（n）=A001653号（n） ，5=1*5-0，29=6*5-1；169 = 35*5 - 6; 985 = 204*5 - 35.
另请参见A002315号,A054488号,A038761号,A054489号,A054490号.
-查理·马里昂2010年12月8日
请参见沃尔夫迪特·朗评论A001653号对于具有x=|u^2-v^2|，y=2*u*v和z=u^2+v^2，u奇数和v偶数的毕达哥拉斯三元组（x，y，z）的（u，v）值序列，由（u（0）=1，v（0）=2），三元组的（3,4,5），通过给定的替换规则生成。现在的a（n）在那里显示为b（n）。相应生成的三角形的catheti相差一个长度单位-沃尔夫迪特·朗2012年3月6日
a（n）*a（n+2k）+a（k）^2和a（n。概括序列描述-查理·马里昂2012年12月3日
a（n）*a（n+2k）+a（k）^2是三角形正方形A001110号（n+k）。a（n）*a（n+2k+1）+a（k）*aA029549号（n+k）-查理·马里昂2012年12月5日
发件人理查德·福伯格，2013年8月30日：（开始）
a（n）的平方是对平方应用三角运算的结果，使用A001333号作为要平方哪些整数的“指南”，如下所示：
a（2n）^2=A001333号（2n）^2*(A001333号（2n）^2-1）/2；
a（2n+1）^2=A001333号（2n+1）^2*(A001333号（2n+1）^2+1）/2。（结束）
当n>=1时，a（n）等于字母{0,1，…，5}中长度为n-1的01-避免单词的数量-米兰Janjic，2015年1月25日
Panda和Rout将这些称为“平衡数”，并注意到当p=13，311546463时，以素数p为模的序列的周期与以p^2为模的序列的周期相同。但这些正是A238736型p^2除以A000129号（p-（2/p）），其中（2/p”）是雅可比符号。根据上述观察富兰克林·T·亚当斯-沃特斯当前序列是Pell数的二分之一，即a（n）=A000129号（2*n）/2，紧接着是模固定素数p或其任何幂，a（n）的周期是A000129号（n） ●●●●-约翰·布莱斯·多布森2015年3月6日
三角形数=平方数恒等式Tri（（T（n，3）-1）/2）=S（n-1，6）^2，其中Tri，T，S在A000217号,A053120号和A049310型是恒等式Tri（（T（n，2*k+1）-1）/2）=Tri（k）*S（n-1，2*（2*k+1））^2，k>=0，n>=0的k族的特例k=1，其中S（-1，x）=0。对于k=2，请参见A108741号（n） 对于S（n-1，10）^2。这个恒等式可以归结为恒等式S（n-1，2*x）^2=（T（2*n，x）-1）/（2*（x^2-1））和2*T（n，x，x）^2-1=T（2*n，x），其中x=2*k+1-沃尔夫迪特·朗2016年2月1日
a（2）=6是完美的。对于n=2*k，k>0，k不等于1，a（n）是a（2）的倍数，并且由于完美数的每一个倍数（超过1）都是富足的，因此a（n。西格玛（a（4））=504>408=2*a（4。对于n=2*k+1，k>0，a（n）mod 10=A000012号（n） ，所以a（n）是奇数。如果a（n）是质数，则它是亏的；否则，a（n）有一个或两个不同的素因子，因此又是亏量的。因此，对于n=2k+1，k>0，a（n）是亏量的。σ（a（5））=1260<2378=2*a（5-穆尼鲁·A·阿西鲁2016年4月14日
Behera&Panda称之为平衡数A001541号是平衡器-米歇尔·马库斯2017年11月7日
一般来说，具有（c，d）符号的常系数二阶线性递归将被具有（x，c^2-c*x+d，-d*x+c*d）签名的三阶递归所复制。公式部分的Olivares和Bouhamida公式分别具有（7，-7,1）和（5,5，-1）的签名，它们是x=7和x=5这一一般规则的具体实例-加里·德特利夫斯2021年1月29日
注意6是序列中最大的三角形数，因为已经证明8和9是连续的最大完美幂（加泰罗尼亚猜想）。0和1也在序列中，因为它们也是完美幂，0*1/2=0^2和8*9/2=（2*3）^2-梅汀·萨里亚尔2021年7月15日
参考文献
Bastida，Julio R.线性递归序列的二次性质。《第十届东南组合数学、图论和计算会议论文集》（佛罗里达大西洋大学，佛罗里达州博卡拉顿，1979年），第163-166页，国会。数字。，XXIII-XIV，实用数学。，温尼伯，曼彻斯特，1979年。MR0561042（81e:10009）-来自N.J.A.斯隆2012年5月30日
A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第193页。
D.M.Burton，《数学史》，麦格劳·希尔（1991），第213页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第10页。
P.Franklin、E.F.Beckenbach、H.S.M Coxeter、N.H.McCoy、K.Menger和J.L.Synge，《环与理想》，第8期，卡鲁斯数学专著，美国数学协会，（1967年），第144-146页。
A.Patra、G.K.Panda和T.Khemarathatakumthorn。“被平衡数和卢卡斯平衡数的幂精确整除。”斐波那契四分之一。，59:1 (2021), 57-64; 参见B（n）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
P.-F.Teilhet，查询2376，《数学国际》，11（1904），138-139-N.J.A.斯隆2022年3月8日
链接
因德拉尼尔·戈什，n=0..1304时的n，a（n）表（T.D.Noe的条款0..200）
马可·阿布拉特（Marco Abrate）、斯特凡诺·巴贝罗（Stefano Barbero）、翁贝托·塞鲁蒂（Umberto Cerruti）和纳迪尔·穆鲁（Nadir Murru），二次曲线上的多项式序列《整数》，第15卷，2015年，#A38。
欧文·阿德勒，三个丢番图方程——第二部分，纤维。夸脱。，7（1969年），第181-193页。
Seyed Hassan Alavi、Ashraf Daneshkhah和Cheryl E.Praeger，双平面的对称性，arXiv:2004.04535[math.GR]，2020年。参见引理7.9第21页中的v_n。
Jean-Paul Allouche，算术序列的齐塔正则化，EPJ会议网络（2020）第244卷，01008。
Diophantine方程的Dario Alperna^4+b^3=c^2.
卡斯珀·安徒生（Kasper Andersen）、丽莎·卡蓬（Lisa Carbone）和D.Penta，Kac-Moody Fibonacci序列、双曲黄金比率和实二次域《数论与组合数学杂志》，第2卷，第3期，第245-278页，2011年。见第9节。
弗朗西丝卡·阿里奇和延斯·卡德，Gysin序列与C*-代数的SU（2）-对称性，arXiv:2012.11186[math.OA]，2020年。
穆尼鲁·A·阿西鲁，所有平方千分位数《国际科学与技术数学教育杂志》，第47卷，2016年第7期。
杰里米亚·巴茨、布鲁斯·迪尔登和乔尔·利亚姆斯，间隙平衡数的类别，arXiv:1810.07895[math.NT]，2018年。
雷蒙德·博瑞德（Raymond A.Beauregad）和弗拉基米尔·多布什金（Vladimir A.Dobrushkin），一类生成函数的幂《数学杂志》，第89卷，第5期，2016年12月，第359-363页。
A.Behera和G.K.Panda，关于三角数的平方根，纤维。夸脱。，37（1999），第98-105页。
哈塞内·贝尔巴希尔、索梅亚·梅尔瓦·特布图和拉兹洛·内梅特，椭圆链及其相关序列，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.8.5条。
Elwyn Berlekamp和Joe P.Buhler，拼图栏，大使，MSRI通讯，2005年秋季。问题1，（6 MB）。
Kisan Bhoi和Prasanta Kumar Ray，关于丢番图方程Bn1+Bn2=2^a1+2^a2+2^a3，arXiv:2212.06372[math.NT]，2022。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil和Michael D.Weiner，有限字母表上限制词的计数，J.国际顺序。19（2016）#16.1.3，示例12。
Alexander Bogomolny，有三角形的数字也是正方形
约翰·C·布彻，关于Ramanujan，连分数和一个有趣的数字
Paula Catarino、Helena Campos和Paulo Vasco，关于平衡数和协平衡数的几个恒等式《Annales Mathematicae et Informaticae》，45（2015），第11-24页。
E.K.Jo etinalp、N.Yilmaz和。德威西，群中的类平衡序列阿普列斯大学数学学报。（2023）第73、139-153号。见第144页。
S.J.Cyvin和I.Gutman，苯系烃中的Kekulé结构《化学课堂讲稿》，第46期，施普林格，纽约，1988年（第301302页，P_{13}）。
马哈迪·达穆利拉，重复数列为三个平衡数之和《斯洛伐克数学》，（2019）hal-02405969。
托米斯拉夫·多斯利奇，平面多环图及其Tutte多项式《数学化学杂志》，第51卷，第6期，2013年，第1599-1607页。
D.B.Eperson，三角形数字，数学。天然气。，47 (1963), 236-237.
利昂哈德·尤勒，解决每数字积分的问题第19段。
塞尔吉奥·法尔孔，一些k-Fibonacci序列之间的关系《应用数学》，2014,52226-2234。
伯纳黛特·费伊、弗洛里安·卢卡和彼得·莫雷，关于Lucas序列的鉴别器，arXiv:1708.03563[math.NT]，2017年。
里戈伯托·弗洛雷斯（Rigoberto Flórez）、罗宾逊·A·希吉塔（Robinson A.Higuita）和安塔拉·穆克吉（Antara Mukherjee），Hosoya多项式三角形中的交替和第14.9.5条《整数序列杂志》，第17卷（2014年）。
Aviezri S.Fraenkel，关于递归f（m+1）=b（m）*f（m）-f（m-1）及其应用《离散数学》224（2000），第273-279页。
Robert Frontczak，关于平衡数和Lucas平衡数混合卷积的注记《应用数学科学》，2018年第12卷，第25期，1201-1208。
Robert Frontczak，具有二项式系数的平衡数和Lucas平衡数《国际数学分析杂志》（2018）第12卷，第12期，585-594。
Robert Frontczak，平衡多项式的幂与斐波那契和的一些结果《国际数学分析杂志》（2019）第13卷，第3期，109-115。
Robert Frontczak和Taras Goy，平衡多项式和Lucas平衡多项式之间的其他紧密联系，arXiv:2007.14048[math.NT]，2020年。
Robert Frontczak和Taras Goy，有平衡多项式和无平衡多项式的更多斐波那契-贝努利关系，arXiv:2007.14618[math.NT]，2020年。
Robert Frontczak和Taras Goy，使用平衡和卢卡斯平衡多项式的卢卡斯-欧拉关系，arXiv:2009.09409[math.NT]，2020年。
比尔·戈斯珀，三角正方形, 2014.
H.Harborth，类费马二项方程，斐波那契数的应用，Proc。第二届国际会议，圣何塞/加利福尼亚州，1986年8月1日至5日（1988年）。
布莱恩·海耶斯，结石！，《美国科学家》，96（2008年9月至10月），362-366。
米兰·扬基克，由正整数组成的线性递归方程《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.4.7条。
迈克尔·琼斯，无词证明：平衡数的平方是三角数《大学数学杂志》，第43卷，第3期（2012年5月），第212页。
Refik Keskin和Olcay Karatli，平衡数和方三角数的一些新性质《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.1.4条。
Omar Khadir、Kalman Liptai和Laszlo Szalay，关于二元递归的移位积，J.国际顺序。13 (2010), 10.6.1.
Tanya Khovanova，递归序列
菲尔·拉弗，发现平方三角形数，纤维。夸脱。，9 (1971), 93-105.
Ioana-Claudia Lazér，t-一致单纯复形中的Lucas序列，arXiv:1904.06555[math.GR]，2019年。
卡尔曼·利普泰，斐波那契平衡数，纤维。夸脱。42 (4) (2004) 330-340.
圣安德鲁斯马德拉斯学院，方形三角形数
阿巴·姆比里卡、珍妮·施拉德和尤尔根·斯皮尔克，Pell和相关Pell编织序列作为k个连续Pell、平衡数和相关数总和的GCD，arXiv:2301.05758[math.NT]，2023。另请参见J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.6.4条。
罗杰·纳尔逊，多边形数，《数学杂志》，第89卷，第3期（2016年6月），第159-164页。
G.K.Panda，序列平衡和协平衡数，纤维。Q.，第45卷，第3期（2007），265-271。见第266页。
G.K.Panda和S.S.Route，平衡数的周期《匈牙利数学学报》143（2014），274-286。
G.K.Panda和Ravi Kumar Davala，完美平衡数，斐波纳契夸脱。53（2015），第3期，261-264。
Ashish Kumar Pandey和B.K.Sharma，关于广义Euler Totient函数和Lucas序列的不等式，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.8.6条。
浦松公园，Ramanujan的拼图连分数《大学数学学报》，2005，363-365。
迈克尔·佩恩，平衡数字，Youtube视频，2020年。
罗伯特·菲利普斯，形式为1+4ke+4ke^2的多项式, 2008.
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975【math.NT】，2009年。
西蒙·普劳夫，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992
B.Polster和M.Ross，广场游行，arXiv预印本arXiv:1503.04658[math.HO]，2015。
赫尔穆特·普罗丁格，如何有效地求平衡数的幂，arXiv:2008.03916[math.NT]，2020年。
拉杰什·拉姆，完美正方形的三角形数
K.J.Ramsey，梅森素数与方形三角数的关系[由K.J.Ramsey编辑，2011年5月14日]
肯尼思·拉姆齐（Kenneth Ramsay）和安德拉斯·埃尔塞基（Andras Erszegi），方形三角形数与梅森素数的关系2006年5月15日至6月28日，Triangular_and_Fibonacci_Numbers Yahoo Group的4条消息摘要。
肯尼思·拉姆齐，方形三角数的广义证明
肯尼思·拉姆齐，方形三角数的广义证明2005年5月27日至2011年10月10日，Triangular_and_Fibonacci_Numbers Yahoo group中的2条消息摘要。
萨拉赫·里哈内（Salah E.Rihane）、伯纳黛特·费伊（Bernadette Faye）、弗洛里安·卢卡（Florian Luca）和阿兰·托比（Alain Togbe），与两个连续平衡数的幂差有关的指数丢番图方程，arXiv:11811.03015[math.NT]，2018年。
A.Sandhya，谜题4：20世纪著名印度数学家斯里尼瓦萨·拉马努扬解决的一个问题
Sci.mah新闻组，三角形的平方数
Sci.mah新闻组，三角形的平方数[缓存副本]
R.A.Sulanke，矩、Narayana数和格点路径的剪切和粘贴.
R.A.Sulanke，关于Schroeder路的双射递归，电子。J.Combin.5（1998），研究论文47，11页。
Soumeya M.Tebtoub、Hacène Belbachir和LászlóNémeth，双曲线内的整数序列和椭圆链，《第一届代数、图和有序集国际会议论文集》（ALGOS 2020），hal-02918958[math.cs]，17-18。
Ahmet Tekcan、Merve Tayat和Meltem E.Ozbek，丢番图方程8x^2-y^2+8x（1+t）+（2t+1）^2=0和t-平衡数《ISRN组合数学》，2014年第卷，文章ID 897834，5页。
埃里克·魏斯坦的数学世界，二项式系数.
埃里克·魏斯坦的数学世界，方形三角形数.
埃里克·魏斯坦的数学世界，三角形数字.
维基百科，三角形正方形数
Rick Young，拉马努扬传记相关引文
与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。
双向无限序列的索引项
常系数线性递归的索引项，签名（6，-1）。
配方奶粉
G.f.:x/（1-6*x+x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=S（n-1,6）=U（n-1,3），带有U（n，x）第二类切比雪夫多项式。S（-1，x）：=0。Cf.三角形A049310型对于S（n，x）。
a（n）=平方米(A001110号（n） ）。
a（n）=A001542号（n） /2。
a（n）=平方米((A001541号（n） ^2-1）/8）（参见理查森评论）。
a（n）=3*a（n-1）+平方（8*a（n-1）^2+1）-R.J.马塔尔2000年10月9日
a（n）=A000129号（n）*A001333号（n）=A000129号（n）*(A000129号（n）+A000129号（n-1）=天花板(A001108号（n） /sqrt（2））-亨利·博托姆利2000年4月19日
a（n）~（1/8）*m2（2）*（m2）+1）^（2*n）.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
极限_｛n->无穷大｝a（n）/a（n-1）=3+2*sqrt（2）-格雷戈里·理查德森2002年10月5日
a（n）=（（3+2*sqrt（2））^n-（3/2*sqrt（2））^n）/（4*sqrt（2））-格雷戈里·V·理查森，2002年10月13日。针对偏移量0进行了更正，并进行了重写-沃尔夫迪特·朗2015年2月10日
a（2*n）=a（n）*A003499号（n） ●●●●。4*a（n）=A005319号（n） .-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年3月21日
a（n）=楼层（（3+2*sqrt（2））^n/（4*sqert（2）-Lekraj Beedassy公司2003年4月23日
a（-n）=-a（n）-迈克尔·索莫斯2003年4月7日
对于n>=1，a（n）=Sum_{k=0..n-1}A001653号（k） -查理·马里昂2003年7月1日
对于n>0，4*a（2*n）=A001653号（n） ^2个-A001653号（n-1）^2-查理·马里昂2003年7月16日
对于n>0，a（n）=Sum_{k=0..n-1}（（2*k+1）*A001652号（n-1-k））+A000217号（n） ●●●●-查理·马里昂2003年7月18日
a（2*n+1）=a（n+1）^2-a（n）^2-查理·马里昂2004年1月12日
a（k）*a（2*n+k）=a（n+k”）^2-a（n）^2；例如，204*7997214=40391^2-35^2-查理·马里昂2004年1月15日
对于j<n+1，a（k+j）*a（2*n+k-j）-Sum_{i=0..j-1}a（2xn-（2*i+1））=a（n+k）^2-a（n）^2-查理·马里昂2004年1月18日
发件人保罗·巴里2004年2月6日：（开始）
a（n）=A000129号（2*n）/2；
a（n）=（（1+sqrt（2））^（2*n）-（1-sqrt；
a（n）=和{i=0..n}和{j=0..n}A000129号（i+j）*n/（i！*j！*（n-i-j）！）/2.（结束）
例如：exp（3*x）*sinh（2*sqrt（2）*x）/（2*sqlt（2））-保罗·巴里2004年4月21日
A053141号（n+1）+A055997号（n+1）=A001541号（n+1）+a（n+1-克里顿·德蒙特2004年9月16日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（2*n，2*k+1）*2^（k-1）-保罗·巴里，2004年10月1日
a（n）=A001653号（n+1）-A038723号（n） ；（a（n））=chuseq[J]（‘ii’+‘jj’+.5'kk’+‘ij’-‘ji’+2.5e），除了初始项-克里顿·德蒙特，2004年11月19日，修改人戴维德·科拉辛加里2016年6月24日
a（n+1）=和{k=0..n}A001850号（k）*A001850号（n-k），中心Delannoy数的自卷积-贝诺伊特·克洛伊特2005年9月28日
a（n）=7*（a（n-1）-a（n-2））+a（n-3），a（1）=0，a（2）=1，a（3）=6，n>3。此外，a（n）=（（1+sqrt（2））^（2*n）-（1-sqrt）（2）^-安东尼奥·阿尔贝托·奥利瓦雷斯2003年10月23日
a（n）=5*（a（n-1）+a（n-2））-a（n-3）-穆罕默德·布哈米达2006年9月20日
定义f（x，s）=sx+sqrt（（s^2-1）*x^2+1）；f（0，s）=0。a（n）=f（a（n-1），3），见第二个公式马科斯·卡雷拉，2006年12月27日
完美中值m（n）可以用佩尔数P（）表示=A000129号（）乘以m（n）=P（n+2）*（P（n=2）+（P（n+1）），对于n>=0.-2007年6月11日，Winston A.Richards（ugu（AT）psu.edu）
对于k=0..n，a（2*n-k）-a（k）=2*a（n-k）*A001541号（n） ●●●●。此外，a（2*n+1-k）-a（k）=A002315号（n-k）*A001653号（n） ●●●●-查理·马里昂2007年7月18日
[A001653号（n） ，a（n）]=[1,4；1,5]^n*[1,0]-加里·亚当森2008年3月21日
a（n）=和{k=0..n-1}4^k*二项式（n+k，2*k+1）-保罗·巴里2009年4月20日
a（n+1）^2-6*a（n+1）*a（n）+a（n”^2=1-查理·马里昂2010年12月14日
a（n）=A002315号（米）*A011900型（n-m-1）+A001653号（米）*A001652号（n-m-1）-a（m）=A002315号（米）*A053141号（n-m-1）+A001653号（米）*A046090型（n-m-1）+a（m），其中m<n；否则a（n）=A002315号（米）*A053141号（m-n）-A001653号（米）*A011900型（m-n）+a（m）=A002315号（米）*A053141号（m-n）-A001653号（米）*A046090型（m-n）-a（m）=(A002315号（n）-A001653号（n） ）/2-肯尼思·J·拉姆齐2011年10月12日
16*a（n）^2+1=A056771号（n） ●●●●-詹姆斯·布登哈根2011年12月9日
A010054号(A000290型（a（n））=1-莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月17日
一般来说，a（n+k）^2-A003499号（k） *a（n+k）*a（n）+a（n”^2=a（k）^2-查理·马里昂2012年1月11日
a（n+1）=和{k=0..n}A101950号（n，k）*5^k-菲利普·德莱厄姆2012年2月10日
（n+1）的PSUM变换为A053142号（n+1）的.PSUMSIGN转换为A084158美元（n+1）的二进制转换为A164591号.的二进制转换A086347美元是一个（n+1）。的二进制变换A057087号（n-1）-迈克尔·索莫斯2012年5月11日
a（n+k）=A001541号（k） *a（n）+平方英尺(A132592号（k） *a（n）^2+a（k）^2）。概括了2000年10月9日的公式-查理·马里昂2012年11月27日
a（n）+a（n+2*k）=A003499号（k） *a（n+k）；a（n）+a（n+2*k+1）=A001653号（k+1）*A002315号（n+k）-查理·马里昂2012年11月29日
发件人彼得·巴拉2012年12月23日：（开始）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=1+sqrt（2）。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=（1/3）*（1+sqrt（2））。（结束）
G.f.:G（0）*x/（2-6*x），其中G（k）=1+1/（1-x*（8*k-9）/（x*（8*k-1）-3/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月12日
G.f.:H（0）*x/2，其中H（k）=1+1/（1-x*（6-x）/（x*（6x）+1/H（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年2月18日
当n>3时，a（n）=（a（n-1）^2-a（n-3）^2）/a（n-2）+a（n-4）-帕特里克·麦克纳布2015年7月24日
a（n-k）*a（n+k）+a（k）^2=a（n）^2，a=A003499号（k） *a（n），对于n>=k>=0-亚历山大·萨莫克鲁托夫2015年9月30日
Dirichlet g.f.：（PolyLog（s，3+2*sqrt（2））-PolyLog-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月27日
4*a（n）^2-1=A278310型（n） 对于n>0-布鲁诺·贝塞利2016年11月24日
发件人克劳斯·普拉斯2020年1月18日：（开始）
a（n）=（a（n-3）+a（n+3））/198。
a（n）=和{i=1..n}A001653号（i） ，n>=1。
a（n）=sinh（2*n*arccsch（1））/（2*sqrt（2））-费德里科·普罗夫维迪2021年2月1日
（结束）
a（n）=A002965号（2*n）*A002965号（2*n+1）-乔恩·肖恩菲尔德，2022年1月8日
a（n）=A002965号（4*n）/2-格里·马滕斯2023年7月14日
a（n）=Sum_{k=0..n-1}（-1）^（n+k+1）*二项式（n+k，2*k+1）*8^k-彼得·巴拉2023年7月17日
例子
G.f.=x+6*x^2+35*x^3+204*x^4+1189*x^5+6930*x^6+40391*x^7+。。。
6是按顺序排列的，因为6^2=36是一个三角形数：36=1+2+3+4+5+6+7+8-迈克尔·波特2016年7月2日
MAPLE公司
a[0]：=1:a[1]：=6：对于从2到26的n，执行a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]od:seq（a[n'，n=0..26）#Emeric Deutsch公司
与（组合）：seq（fibonacci（2*n，2）/2，n=0..20）#零入侵拉霍斯2008年4月20日
数学
转置[NestList[Flatten[{Rest[#]，ListCorrelate[{-1，6}，#]}]&，{0，1}，30]][[1](*哈维·P·戴尔2011年3月23日*）
系数列表[级数[x/（1-6x+x^2），{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2011年3月23日*）
线性递归[{6，-1}，{0，1}，50](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2012年2月12日*）
a[n_]：=切比雪夫[n-1，3]；(*迈克尔·索莫斯2012年9月2日*）
表[Fibonacci[2n，2]/2，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年9月16日*）
TrigExpand@表格[Sinh[2 n ArcCsch[1]]/（2平方[2]），{n，0，10}](*费德里科·普罗夫维迪2021年2月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=imag（（3+quadgen（32））^n）}/*迈克尔·索莫斯2003年4月7日*/
（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（abs（n+1））-3*poltchebi（abs（n）），x，3）/8}/*迈克尔·索莫斯2003年4月7日*/
（PARI）{a（n）=polchebyshev（n-1，2，3）}/*迈克尔·索莫斯2012年9月2日*/
（PARI）是（n）=异多角形（n^2，3）\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年11月3日
（鼠尾草）[范围（27）内n的lucas_number1（n，6，1）]#零入侵拉霍斯2008年6月25日
（Sage）[chebyshev_U（n-1，3）代表n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月23日
（哈斯克尔）
a001109 n=a001109_列表！！n：：整数
a001109_list=0:1:zipWith（-）
（map（*6）$tail a001109_list）a001109_列表
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月17日
（岩浆）[n le 2选择n-1其他6*自我（n-1）-自我（n-2）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2015年7月25日
（间隙）a:=[0,1]；；对于[3..25]中的n，做a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年12月18日
交叉参考
囊性纤维变性。A001108号,A001542号,A001653号,2018年10月50日,A002315号,A002965号,78310英镑.
切比雪夫序列U（n，m）：A000027号（m=1），A001353号（m=2），该序列（m=3），A001090美元（m=4），A004189号（m=5），A004191号（m=6），A007655号（m=7），A077412号（m=8），A049660型（m=9），A075843号（m=10），A077421号（m=11），A077423号（m=12），A097309号（m=13），A097311号（m=14），A097313号（m=15），A029548号（m=16），A029547美元（m=17），A144128号（m=18），A078987号（m=19），A097316型（m=33）。
囊性纤维变性。A323182型.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
N.J.A.斯隆
扩展
来自的其他评论沃尔夫迪特·朗2000年2月10日
重复的公式被删除沃尔夫迪特·朗2015年2月10日
状态
经核准的
第页1

搜索在0.025秒内完成

查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间：2024年4月19日11:31 EDT。包含371792个序列。（在oeis4上运行。）