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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A001850号 中部Delannoy数:a(n)=和{k=0..n}C(n,k)*C(n+k,k)。
(原名M2942 N1184)
178
1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, 1462563, 8097453, 45046719, 251595969, 1409933619, 7923848253, 44642381823, 252055236609, 1425834724419, 8079317057869, 45849429914943, 260543813797441, 1482376214227923, 8443414161166173, 48141245001931263 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2

评论

n X n网格中从(0,0)到(n,n)的路径数,仅使用北向、东北向和东向阶梯(即阶梯(1,0)、(1,1)和(0,1))。

此外,对齐长度为n的两个序列(例如核苷酸或氨基酸)的方法的数量,最多插入2*n个间隙(-),因此,尽管不必要的间隙:-aa--是禁止的,但b-和-b都是允许的。(如果只允许后者中的另一个,则顺序A000984号给出了路线的数量。)Dickau给出的网格行走可以很容易地对这组对齐进行双向投影(例如,直线对角线对应于没有间隙的完美对齐)-安蒂·卡图恩2001年10月10日

也是数组的主对角线A008288号定义为m(i,1)=m(1,j)=1,m(i、j)=m-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月3日

所以,作为一个特例德米特里·扎伊采夫2015年12月10日的评论A008288号,a(n)是Z^n中距离任何给定点的L1(曼哈顿)距离<=n的点的数量。这些项出现在水晶球序列中:a(n)这是n维立方晶格序列中的第n项。请参见A008288号用于水晶球序列列表(A008288号). -谢尔·卡潘2022年12月26日

a(n)是具有2*n个齿的梳状图的n-匹配数。示例:a(2)=13,因为由水平路径ABCD和齿Aa、Bb、Cc、Dd组成的图有13个2-匹配:六个可能的齿对中的任意一个,以及{Aa、BC}、{Aa和CD}、}Bb、CD},{Cc、AB}、{Dd,AB},}{Dd,BC},{AB,CD}-Emeric Deutsch公司2002年7月2日

具有2*n+1条边的有序树的数目,其根为奇数次,非根节点最多为2次,分支为奇数长度-Emeric Deutsch公司2002年8月2日

((1-x)/(1-2*x))^n的前n个系数之和是a(n-1)-迈克尔·索莫斯2003年9月28日

的行总和A063007号A105870号. -保罗·巴里2005年4月23日

Hankel变换(请参见A001906号用于定义)A036442号: 1, 4, 32, 512, 16384, ... . -菲利普·德尔汉姆2005年7月3日

此外,仅使用步骤U=(1,1)、H=(1,0)和D=(1,-1),从(0,0)到(n,0)的路径数,U可以有2种颜色,H可以有3种颜色-北-东。法西2008年1月27日

等于三角形的行和A152250型和INVERT变换A109980号: (1, 2, 8, 36, 172, 852, ...). -加里·亚当森2008年11月30日

n X n框中的过分割数(将第一条注释中的行走类型视为过分割,将NE步骤解释为n,E,由此创建的零件被覆盖)-威廉·基思2017年5月19日

有理函数的对角线1/(1-x-y-x*y),1/(1-x-y*z-x*y*z)-Gheorghe Coserea公司2018年7月3日

Delannoy范畴中自同态代数End(R^{(n)})的维数附属于实线保序自双射的寡形群-诺亚·斯奈德2023年3月22日

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配方奶粉

a(n)=P_n(3),其中P_n是第n个勒让德多项式。

总面积:1/sqrt(1-6*x+x^2)。

a(n)=a(n-1)+2*A002002号(n) =和{j}A063007号(n,j)-亨利·博托姆利2001年7月2日

渐近展开中的主导项是二项式(2*n,n)/2^(1/4)*((sqrt(2)+1)/2)^(2*n+1)*(1+c1/n+c2/n^2+…)-迈克尔·戴维·赫施霍恩

a(n)=和{i=0..n}(A000079号(i)*A008459号(n,i))=和{i=0..n}(2^i*C(n,i)^2)Antti Karttunen,2001年10月10日

a(n)=和{k=0..n}C(n+k,n-k)*C(2*k,k)-贝诺伊特·克洛伊特2003年2月13日

a(n)=和{k=0..n}C(n,k)^2*2^k-迈克尔·索莫斯2003年10月8日

a(n-1)=x^n系数A120588号(x) 如果n>=0,则为^n-迈克尔·索莫斯2012年4月11日

a(n-1)的G.f.=1/(1-x/(1-2*x/(1-2*x/)))-迈克尔·索莫斯2012年5月11日

INVERT变换是A109980号.BINOMIAL转换为A080609型.的二进制转换A006139号.PSUM转换为A089165号.PSUMSIGN转换为A026933号。第一个向后差异是A110170型. -迈克尔·索莫斯2012年5月11日

例如:exp(3*x)*BesselI(0,2*sqrt(2)*x)-弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月21日

a(n)=和{k=0..n}C(2*n-k,n)*C(n,k)-保罗·巴里2005年4月23日

a(n)=和{k>=n}二项式(k,n)^2/2^(k+1)-弗拉德塔·乔沃维奇2006年8月25日

对于Z中的所有n,a(n)=a(-1-n)-迈克尔·索莫斯2006年9月23日

递归D-有限:a(-1)=a(0)=1;n*a(n)=3*(2*n-1)*a(n-1)-(n-1。等式(4)inT.D.诺伊JIS 9(2006)#06.2.7中的文章。

通过(i,j>0)定义一般Delannoy数:d(i,0)=d(0,j)=1=:d(0,0)和d。那么a(k)=和{j>=0}d(k,j)^2+d(k-1,j)。这是一般Delannoy数的以下公式的特例:d(k,j)=和{i>=0,p=0..n}d(p,i)*d(n-p,j-i)+d(p-1,i)*d(n-p-1,j-i-1)-彼得·E·约翰2006年10月19日

(1+3*x+2*x^2)^n中的x^n系数-北-东。法西2008年1月11日

a(n)=A008288号(A046092号(n) )-菲利普·德尔汉姆2009年4月8日

G.f.:1/(1-x-2*x/(1-x-x/(1-x-x/-保罗·巴里2009年5月28日

G.f.:d/dx对数(1/(1-x*A001003号(x) )-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月19日

G.f.:1/(2*Q(0)+x-1),其中Q(k)=1+k*(1-x)-x-x*(k+1)*(k+2)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日

a(n)=和{k=0..n}C(n,k)*C(n+k,k)-乔格·阿恩特2013年5月11日

G.f.:G(0),其中G(k)=1+x*(6-x)*(4*k+1)/(4*k+2-2*x*(6x)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月22日

G.f.:2/G(0),其中G(k)=1+1/(1-x*(6-x)*(2*k-1)/(x*(6-x)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月16日

G.f.:G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x*(6-x)*(2*k+1)/(x*(6-x)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月17日

a(n)^2=和{k=0..n}2^k*C(2*k,k)^2*C(n+k,n-k)=A243949型(n) ●●●●-保罗·D·汉纳2014年8月17日

a(n)=表层([-n,-n],[1],2)-彼得·卢什尼2014年11月19日

a(n)=和{k=0..n/2}C(n-k,k)*3^(n-2*k)*2^k*C(n,k)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年6月29日

a(n)=A049600型(n,n-1)。

a(n)=和{0<=j,k<=n}(-1)^(n+j)*C(n,k)*C。囊性纤维变性。A126086号A274668号. -彼得·巴拉2020年1月15日

a(n)~c*(3+2*sqrt(2))^n/sqrt(n),其中c=1/sqrt-阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月7日

a(n+1)=3*a(n)+2*Sum_{l=1..n}A006318号(l) *a(n-l)。【齐世国(2016)式(1.16)】

a(n)~(1+平方(2))^(2*n+1)/(2^(5/4)*sqrt(Pi*n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年1月9日

例子

G.f.=1+3*x+13*x ^2+63*x ^3+321*x ^4+1683*x ^5+8989*x ^6+。。。

MAPLE公司

seq(加(多项式(n+k,n-k,k,k),k=0..n),n=0..20)#零入侵拉霍斯2006年10月18日

seq(矫形[P](n,3),n=0..100)#罗伯特·伊斯雷尔2015年11月3日

数学

f[n]:=和[二项式[n,k]二项式[n+k,k],{k,0,n}];数组[f,21,0](*或*)

a[0]=1;a[1]=3;a[n]:=a[n]=(3(2 n-1)a[n-1]-(n-1)a[n-2])/n;数组[a,21,0](*或*)

系数列表[系列[1/Sqrt[1-6x+x^2],{x,0,20}],x](*罗伯特·威尔逊v*)

表[LegendreP[n,3],{n,0,22}](*Jean-François Alcover公司2012年7月16日,从第一配方开始*)

a[n]:=超几何2F1[-n,n+1,1,-1];表[a[n],{n,0,22}](*Jean-François Alcover公司2013年2月26日*)

a[n_]:=与[{m=如果[n<0,-1-n,n]},级数系数[(1-6x+x^2)^(-1/2),{x,0,m}]];(*迈克尔·索莫斯2015年6月10日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,n=-1-n);polceoff(1/sqrt(1-6*x+x^2+x*O(x^n)),n)}/*迈克尔·索莫斯2006年9月23日*/

(PARI){a(n)=如果(n<0,n=-1-n);子集(pollegendre(n),x,3)}/*迈克尔·索莫斯2006年9月23日*/

(PARI){a(n)=如果(n<0,n=-1-n);n++;subst(Pol((1-x)/(1-2*x)+O(x^n))^n),x,1);}/*迈克尔·索莫斯2006年9月23日*/

(PARI)a(n)=如果(n<0,0,polceoff((1+3*x+2*x^2)^n,n))\\保罗·巴里2007年8月22日

(PARI)/*与中相同A092566号但使用*/

步骤=[1,0],[0,1],[1,1]]/*乔格·阿恩特,2011年6月30日*/

(PARI)a(n)=总和(k=0,n,二项式(n,k)*二项式\\乔格·阿恩特2013年5月11日

(PARI)x='x+O('x^100);Vec(1/sqrt(1-6*x+x^2))\\阿尔图·阿尔坎2015年10月17日

(Python)#来自Nick Hobson。

定义f(a,b):

如果a==0或b==0:

返回1

返回f(a,b-1)+f(a-1,b)+f

[范围(7)中n的f(n,n)]

(Python)

从gmpy2导入divexact

A001850号= [1, 3]

对于范围(2,10**3)中的n:

A001850号.append(divexact(A001850号[-1]*(6*n-3)-(n-1)*A001850号[-2],n))

#柴华武2014年9月1日

(极大值)a(n):=系数(展开((1+3*x+2*x^2)^n),x,n);

名单(a(n),n,0,12)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月2日*/

(鼠尾草)

a=λn:超几何([-n,-n],[1],2)

[对范围(23)中的n简化(a(n))]#彼得·卢什尼2014年11月19日

交叉参考

囊性纤维变性。A008288号,的二等分A026003号,A027618号,A047665号,A052141号,A084773号,A152250型,A109980号,A000129号,A078057号,A243949型.

的主对角线A064861号.

第k列=第2列,共列A262809型A263159号.

上下文中的序列:A092467号 A034478号 A026715号*A130525型 A350519型 A243280型

相邻序列:A001847号 A001848号 A001849号*A001851号 A001852号 A001853号

关键词

非n,容易的,美好的,改变

作者

N.J.A.斯隆

扩展

新名称和参考1995年9月15日

公式和更多参考高德纳1996年5月15日

状态

经核准的

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