%I M4217 N1760#587 2024年3月1日05:21:00

%S 0,1,6,35204189693040391234161372105799721446611179，

%电话：2716698601583407981922877802653789260175313506783024，

%电话：1827251437969106500018447906207759630771361786555939836210864657600824512290092900101963471631910824649559

%N a（N）^2是一个三角形数：a（N”）=6*a（N-1）-a（N-2），a（0）=0，a（1）=1。

%C8*a（n）^2+1=8*A001110（n）+1=A055792（n+1）是一个正方形_Gregory V.Richardson，2002年10月5日

%C对于n>=2，A001108（n）给出了正整数m，即1,2，。。。，m有一个完美的中间值。相关的完美中位数序列就是现在的序列。让a_1，。。。，a_m是实数的（有序）序列，如果和{j=1..k-1}a_j=和{j=k+1..m}a_j，则术语a_k是一个完美的中位数。参见2005年秋季MSRI Emissary中的谜题1_Asher Auel_，2006年1月12日

%C（a（n），b（n））其中，b（n）=A082291（n）是方程2*二项式（b，a）=二项式的整数解克劳斯·斯特拉斯伯格（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de）；迈克尔·索莫斯于2003年4月7日修订的评论

%C这个序列给出了丢番图方程x^2-8y^2=1的解中y的值。它还给出了乘积xy的值，其中（x，y）满足x^2-2y^2=+-1，即a（n）=A001333（n）*A000129（n）。a（n）还给出了具有长度为连续整数的腿的本原毕达哥拉斯三角形的内径r，相应的半周长s=a（n+1）={A001652（n）+A046090（n）+A001653（n）}/2，面积rs=A029549（n）=6*A029546（n）_Lekraj Beedassy，2003年4月23日[由Jon E.Schoenfield_编辑，2014年5月4日]

%C n使8*n^2=地板（sqrt（8）*n*天花板（sqrt（8）*n））。-_Benoit Cloitre_，2003年5月10日

%C对于n>0，比值a（n+1）/a（n）可以作为3+sqrt（8）的连续分式展开的收敛：[6；-6]的连续收敛或[5；1，4]的奇收敛_Lekraj Beedassy，2003年9月9日

%Ca（n+1）+A053141（n）=A001108（n+1。生成花期：-2'i+2'j-'k+i'+j'-k'+2'ii'-'jj'-2'kk'+'ij'+'ik'+'ji'+'jk'-2'kj'+2e（“jes”系列）_2004年12月16日

%某些苯系物的C Kekulénumbers（参见Cyvin-Gutman参考）_Emeric Deutsch，2005年6月19日

%C在长度为n的所有Delannoy路径中，直线y=x上的D步数（长度n的Delannoy-路径是从（0,0）到（n，n）的路径，由步数E=（1,0），n=（0,1）和D=（1,1）组成）。例如：a（2）=6，因为在长度为2的13（=A001850（2））条Delannoy路径中，即（DD）、（D）NE、（D_Emeric Deutsch，2005年7月7日

%C将T圆定义为第一象限圆，其积分半径与x轴和y轴相切。这样一个圆的坐标等于它的半径。设C（0）为半径为1的T圆。然后，对于n>0，将C（n）定义为不与C（n-1）相交的最小T圆。C（n）的半径为a（n+1）。参见A001653.-_Charlie Marion，2005年9月14日

%C数字，其中有一个m，t（n+m）=2t（m），其中t（n）是三角数A000217。例如，t（20）=2*t（14）=210，所以6在序列中_2005年10月13日，楼面van Lamoen

%C Pell数二分之一（A000129）。-_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2006年1月8日

%C球团梯形：对于n>0，a（n）=（A000129（n-1）+A000129；另请参见A084158_Charlie Marion，2006年4月1日

%C测试2<p<27：如果且仅当2^p-1（梅森数M（p））是素数，则M（p）除以a（2^（p-1））_Kenneth J Ramsey_，2006年5月16日

%如果2^p-1是素数，那么M（p）除以a（2^（p-1）-1）_Kenneth J Ramsey，2006年6月8日；评论由Robert Israel于2007年3月18日更正

%如果8*n+5和8*n+7是双素数，那么它们的乘积除以a（4*n+3）_Kenneth J Ramsey_，2006年6月8日

%C如果p是奇素数，那么如果p==1或7（mod 8），那么a（（p-1）/2）==0（mod p）和a（（p+1）/2）==1（mod p）；如果p==3或5（mod 8），则a（（p-1）/2）==1（mod p）和a（（p+1）/2）==0（mod p）_Kenneth J Ramsey_对孪生素数的评论就是从这个开始的_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2007年3月18日

%C a（n）*（a（n+b）-a（b-2））=（a（n+1）+1）*（b（n+b-1）-a（b-1））。这个恒等式也适用于任何级数a（0）=0 a（1）=1 a（n）=b*a（n-1）-a（n-2）_Kenneth J Ramsey_，2007年10月17日

%C对于n<0，设a（n）=-a（-n）。那么（a（n+j）+a（k+j））*（a（n+b+k+j）-a（b-j-2））=_Charlie Marion，2011年3月4日

%C序列给出丢番图方程的y值：0+1+2++x=y^2。如果（a，b）和（c，d）是丢番图方程的两个连续解：0+1+2++x=y^2和a<c，然后a+b=c-d和（（d+b）^2，d^2-b^2）也是一个解决方案。如果（a，b），（c，d）和（e，f）是丢番图方程0+1+2+的三个连续解+x=y^2和a<c<e，那么（8*d^2，d*（f-b））也是一个解_Mohamed Bouhamida，2009年8月29日

%如果（p，q）和（r，s）是丢番图方程的两个连续解：0+1+2++x=y ^2，p<r，然后r=3*p+4*q+1，s=2*p+3*q+1。-_Mohamed Bouhamida，2009年9月2日

%C a（n）/A002315（n）收敛到cos^2（Pi/8）（参见A201488）_Gary Detlefs，2009年11月25日

%A086347的C二项式变换_Johannes W.Meijer，2010年8月1日

%C如果x=a（n），y=A055997（n+1）和z=x^2+y，则x^4+y^3=z^2_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2010年8月24日

%C一般来说，如果b（0）=1，b（1）=k，对于n>1，b（n）=6*b（n-1）-b（n-2），那么

%对于n>0，C（n）=a（n）*k-a（n-1）；例如。，

%对于k=2，当b（n）=A038725（n），2=1*2-0，11=6*2-1，64=35*2-6，373=204*2-35；

%对于k=3，当b（n）=A001541（n），3=1*3-0，17=6*3-1；99 = 35*3 - 6; 577 = 204*3 - 35;

%对于k=4，当b（n）=A038723（n），4=1*4-0，23=6*4-1；134=35*4-6；781=204*4-35；

%对于k=5，当b（n）=A001653（n），5=1*5-0，29=6*5-1；169 = 35*5 - 6; 985 = 204*5 - 35.

%C另见A002315、A054488、A038761、A05448、A054490。

%C-查莉·马里恩，2010年12月8日

%C请参阅A001653上的Wolfdieter Lang注释，该注释是关于毕达哥拉斯三元组（x，y，z）的（u，v）值序列，其中x=|u^2-v^2|，y=2*u*v和z=u^2+v^2，u奇数和v偶数是由（u（0）=1，v（0）=2），三元组的（3,4,5），根据此处给出的替换规则生成的。现在的a（n）在那里显示为b（n）。相应生成的三角形的catheti相差一个长度单位_Wolfdieter Lang，2012年3月6日

%ca（n）*a（n+2k）+a（k）^2和a（n）*1（n+2k+1）+a。概括序列描述。-_Charlie Marion，2012年12月3日

%C a（n）*a（n+2k）+a（k）^2是三角形正方形A001110（n+k）。a（n）*a（n+2k+1）+a（k）*a_Charlie Marion，2012年12月5日

%C摘自_Richard R.Forberg_，2013年8月30日：（开始）

%C（n）的平方是对平方应用三角运算的结果，使用A001333作为平方整数的“指导”，如下所示：

%C a（2n）^2=A001333（2n；

%C a（2n+1）^2=A001333（2n/1）^2*（A001332（2n+1）^2+1）/2。（结束）

%C对于n>=1，a（n）等于字母表{0,1，…，5}.-上长度为n-1的单词的01的个数_米兰Janjic_，2015年1月25日

%C Panda和Rout称这些为“平衡数”，并注意到当p=1311546463时，序列模素数p的周期与模p^2的周期相同。但这正是A238736中的p，因此p^2除以A000129（p-（2/p）），其中（2/p。根据_Franklin T.Adams-Waters的上述观察，即当前序列是Pell数的二分之一，即a（n）=A000129（2*n）/2，紧接着是固定素数p的模或其任何幂，a（n_约翰·布莱斯·多布森，2015年3月6日

%C三角形数=平方数恒等式Tri（（T（n，3）-1）/2）=S（n-1，6）^2，其中Tri，T，S在A000217，A053120和A049310中给出，是恒等式Tr（（T（n，2*k+1）-1）/2）=Tri（k）*S（n-1,2*（2*k+1））^2的k族的特例k>=0，其中S（-1，x）=0。对于k=2，参见A108741（n）中的S（n-1，10）^2。这个恒等式可以归结为恒等式S（n-1，2*x）^2=（T（2*n，x）-1）/（2*（x^2-1））和2*T（n，x，x）^2-1=T（2*n，x_Wolfdieter Lang_，2016年2月1日

%C a（2）=6是完美的。对于n=2*k，k>0，k不等于1，a（n）是a（2）的倍数，并且由于完美数的每一个倍数（超过1）都是富足的，因此a（n。西格玛（a（4））=504>408=2*a（4。对于n=2*k+1，k>0，a（n）mod 10=A000012（n），因此a（n。如果a（n）是质数，则它是亏的；否则，a（n）有一个或两个不同的素因子，因此又是亏量的。因此，对于n=2k+1，k>0，a（n）是亏量的。σ（a（5））=1260<2378=2*a（5_Muniru A Asiru_，2016年4月14日

%C Behera&Panda称这些为平衡数，A001541是平衡器_米歇尔·马库斯，2017年11月7日

%C一般来说，具有（C，d）符号的常系数二阶线性递归将被具有（x，C^2-C*x+d，-d*x+C*d）签名的三阶递归所复制。公式部分的Olivares和Bouhamida公式分别具有（7，-7,1）和（5,5，-1）的签名，它们是x=7和x=5这一一般规则的具体实例_Gary Detlefs，2021年1月29日

%注意6是序列中最大的三角形数，因为证明了8和9是连续的最大完美幂（加泰罗尼亚猜想）。0和1也在序列中，因为它们也是完美幂，0*1/2=0^2和8*9/2=（2*3）^2_梅汀·萨里耶，2021年7月15日

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%与切比雪夫多项式相关的序列的索引项</a>

%双向无限序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>带常数的线性重复出现的索引条目，签名（6，-1）。

%F.G.F.:x/（1-6*x+x^2）_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）在1992年的论文中写道。

%F a（n）=S（n-1,6）=U（n-1,3），带有U（n，x）第二类切比雪夫多项式。S（-1，x）：=0。S（n，x）参考三角形A049310。

%F a（n）=平方（A001110（n））。

%F a（n）=A001542（n）/2。

%F a（n）=sqrt（（A001541（n）^2-1）/8）（参考理查森评论）。

%F a（n）=3*a（n-1）+平方（8*a（n-1）^2+1）_R.J.Mathar，2000年10月9日

%F a（n）=A000129（n）*A001333（n）=A000129_Henry Bottomley，2000年4月19日

%F a（n）~（1/8）*sqrt（2）*（sqert（2）+1）^（2*n）.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日

%F极限_｛n->无穷大｝a（n）/a（n-1）=3+2*sqrt（2）。-_Gregory V.Richardson，2002年10月5日

%F a（n）=（（3+2*m2））^n-（3-2*m2）^n）/（4*m2）_Gregory V.Richardson，2002年10月13日。修正偏移量0，并重写_Wolfdieter Lang，2015年2月10日

%F a（2*n）=a（n）*A003499（n）。4*a（n）=A005319（n）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年3月21日

%F a（n）=楼层（（3+2*sqrt（2））^n/（4*sqert（2）_Lekraj Beedassy_，2003年4月23日

%F a（-n）=-a（n）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年4月7日

%F对于n>=1，a（n）=和{k=0..n-1}A001653（k）.-_Charlie Marion，2003年7月1日

%F对于n>0，4*a（2*n）=A001653（n）^2-A001652（n-1）^2。-_Charlie Marion，2003年7月16日

%F对于n>0，a（n）=和{k=0..n-1}（（2*k+1）*A001652（n-1-k））+A000217（n）.-_Charlie Marion，2003年7月18日

%F a（2*n+1）=a（n+1）^2-a（n）^2。-_Charlie Marion，2004年1月12日

%F a（k）*a（2*n+k）=a（n+k）^2-a（n）^2；例如，204*7997214=40391^2-35^2.-_Charlie Marion，2004年1月15日

%F对于j<n+1，a（k+j）*a（2*n+k-j）-Sum_{i=0..j-1}a（2*n-（2*i+1））=a（n+k）^2-a（n）^2.-_Charlie Marion，2004年1月18日

%F来自Paul Barry，2004年2月6日：（开始）

%F a（n）=A000129（2*n）/2；

%F a（n）=（（1+sqrt（2））^（2*n）-（1-sqrt；

%F a（n）=和{i=0..n}和{j=0..n{A000129（i+j）*n/（i！*j！*（n-i-j）！）/2.（结束）

%例如：exp（3*x）*sinh（2*sqrt（2）*x）/（2*sqlt（2））_Paul Barry，2004年4月21日

%F A053141（n+1）+A055997（n+1_2004年9月16日

%F a（n）=和{k=0..n}二项式（2*n，2*k+1）*2^（k-1）.-_Paul Barry，2004年10月1日

%F a（n）=A001653（n+1）-A038723（n）；（a（n））=chuseq[J]（‘ii’+‘jj’+.5'kk’+‘ij’-‘ji’+2.5e），除了初始项_Creighton Dement_，2004年11月19日，由_Davide Colazingari_修改，2016年6月24日

%Fa（n+1）=Sum_{k=0..n}A001850（k）*A001850（n-k），中心Delannoy数的自卷积。-_Benoit Cloitre_，2005年9月28日

%F a（n）=7*（a（n-1）-a（n-2））+a（n-3），a（1）=0，a（2）=1，a（3）=6，n>3。此外，a（n）=（（1+sqrt（2））^（2*n）-（1-sqrt_安东尼奥·阿尔贝托·奥利瓦雷斯（Antonio Alberto Olivares），2003年10月23日

%F a（n）=5*（a（n-1）+a（n-2））-a（n-3）_Mohamed Bouhamida，2006年9月20日

%F定义F（x，s）=sx+sqrt（（s^2-1）*x^2+1）；f（0，s）=0。a（n）=f（a（n-1），3），见第二个公式马科斯·卡雷拉，2006年12月27日

%F完美中值m（n）可以用Pell数P（）=A000129（2007年6月11日，Winston A.Richards（ugu（AT）psu.edu）

%F对于k=0..n，a（2*n-k）-a（k）=2*a（n-k）*A005141（n）。此外，a（2*n+1-k）-a（k）=A002315（n-k）*A001653（n）_Charlie Marion，2007年7月18日

%F[A001653（n），a（n）]=[1,4；1,5]^n*[1,0].-_Gary W.Adamson_，2008年3月21日

%F a（n）=和{k=0..n-1}4^k*二项式（n+k，2*k+1）_保罗·巴里（Paul Barry），2009年4月20日

%F a（n+1）^2-6*a（n+1）*a（n）+a（n）^2=1。-_Charlie Marion，2010年12月14日

%F a（n）=A002315（m）*A011900（n-m-1）+A01653（m）*A001652（n-m-1）-a（m）=A002315（m）*A053141（n-m-1）+A01653（m）*A046090（n-m-1）+a（m），其中m<n；否则a（n）=A002315（m）*A053141_Kenneth J Ramsey_，2011年10月12日

%F 16*a（n）^2+1=A056771（n）.-_James R.Buddenhagen，2011年12月9日

%F A010054（A000290（a（n）））=1.-_Reinhard Zumkeller_2011年12月17日

%F一般来说，a（n+k）^2-A003499（k）*a（n+k）*a（n）+a（n）^2=a（k）^2_Charlie Marion，2012年1月11日

%F a（n+1）=和{k=0..n}A101950（n，k）*5^k.-Philippe Deléham，2012年2月10日

%（n+1）的F PSUM变换是A053142。（n+1）的PSUMSIGN变换是A084158。（n+1）的二进制变换为A164591。A086347的二进制变换是a（n+1）。A057087（n-1）的二进制转换_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年5月11日

%F a（n+k）=A001541（k）*a（n）+平方（A132592（k）*a（n”^2+a（k）^2）。概括了2000年10月9日的公式_Charlie Marion，2012年11月27日

%F a（n）+a（n+2*k）=A003499（k）*a（n+k）；a（n）+a（n+2*k+1）=A001653（k+1）*A002315（n+k）。-_Charlie Marion，2012年11月29日

%F From _Peter Bala，2012年12月23日：（开始）

%F产品{n>=1}（1+1/a（n））=1+sqrt（2）。

%F产品{n>=2}（1-1/a（n））=（1/3）*（1+sqrt（2））。（结束）

%F G.F.:G（0）*x/（2-6*x），其中G（k）=1+1/（1-x*（8*k-9）/（x*（8*k-1）-3/G（k+1））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年8月12日

%F G.F.:H（0）*x/2，其中H（k）=1+1/（1-x*（6-x）/（x*（6x）+1/H（k+1））；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2014年2月18日

%对于n>3，F a（n）=（a（n-1）^2-a（n-3）^2）/a（n-2）+a（n-4）_Patrick J.McNab，2015年7月24日

%对于n>=k>=0，F a（n-k）*a（n+k）+a（k）^2=a（n）^2_Alexander Samokrutov，2015年9月30日

%F Dirichlet g.F.：（PolyLog（s，3+2*sqrt（2））-PolyLog_伊利亚·古特科夫斯基，2016年6月27日

%F 4*a（n）^2-1=A278310（n），对于n>0.-_Bruno Berselli，2016年11月24日

%F来自Klaus Purath，2020年1月18日：（开始）

%Fa（n）=（a（n-3）+a（n+3））/198。

%F a（n）=和{i=1..n}A001653（i），n>=1。

%F a（n）=sinh（2*n*arccsch（1））/（2*sqrt（2））_Federico Provvedi，2021年2月1日

%F（结束）

%F a（n）=A002965（2*n）*A002966（2*n+1）_Jon E.Schoenfield_2022年1月8日

%F a（n）=A002965（4*n）/2.-_Gerry Martens，2023年7月14日

%F a（n）=和{k=0..n-1}（-1）^（n+k+1）*二项式（n+k，2*k+1）*8^k.-Peter Bala_，2023年7月17日

%总长度=x+6*x^2+35*x^3+204*x^4+1189*x^5+6930*x^6+40391*x^7+。。。

%e6在序列中，因为6^2=36是一个三角形数：36=1+2+3+4+5+6+7+8_迈克尔·波特，2016年7月2日

%p a[0]：=1:a[1]：=6：对于从2到26的n，执行a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]od:seq（a[n]，n=0..26）；#_Emeric Deutsch公司_

%p与（组合）：seq（fibonacci（2*n，2）/2，n=0..20）；#_Zerinvary Lajos，2008年4月20日

%t转座[NestList[Flatten[{Rest[#]，ListCorrelate[{-1,6}，#]}]&，{0,1}，30]][1]（*哈维·P·戴尔，2011年3月23日*）

%t系数表[系列[x/（1-6x+x^2），{x，0,30}]，x]（*_哈维·P·戴尔，2011年3月23日*）

%t线性递归[{6，-1}，{0，1}，50]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2012年2月12日*）

%t a[n_]：=切比雪夫U[n-1,3]；（*迈克尔·索莫斯，2012年9月2日*）

%t表[Fibonacci[2n，2]/2，{n，0，20}]（*_Vladimir Reshetnikov_，2016年9月16日*）

%t吨TrigExpand@表格[Sinh[2 n ArcCsch[1]]/（2 Sqrt[2]），{n，0，10}]（*_Federico Provvedi_，2021年2月1日*）

%o（PARI）{a（n）=imag（（3+quadgen（32））^n）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年4月7日*/

%o（PARI）{a（n）=子集（poltchebi（abs（n+1））-3*poltchebi（abs（n）），x，3）/8}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年4月7日*/

%o（PARI）{a（n）=polchebyshev（n-1，2，3）}；/*_Michael Somos，2012年9月2日*/

%o（PARI）is（n）=ispolygonal（n^2,3）\\-Charles R Greathouse IV_，2016年11月3日

%o（鼠尾草）[lucas_number1（n，6,1）代表范围（27）内的n]#_Zerinvary Lajos_，2008年6月25日

%o（Sage）[chebyshev_U（n-1,3）for n in（0..20）]#_G.C.Greubel_，2019年12月23日

%o（哈斯克尔）

%o a001109 n=a001109_列表！！n：：整数

%o a001109_list=0:1:zipWith（-）

%o（map（*6）$tail a001109_list）a001109_列表

%o--_Reinhard Zumkeller_2011年12月17日

%o（Magma）[n le 2 select n-1 else 6*Self（n-1）-Self（n-2）:n in[1..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年7月25日

%o（间隙）a:=[0,1]；；对于[3..25]中的n，做a[n]：=6*a[n-1]-a[n-2]；od；a、 #个_Muniru A Asiru_，2018年12月18日

%Y参见A001108、A001542、A001653、A001850、A002315、A002965、A278310。

%Y Chebyshev序列U（n，m）：A000027（m=1），A001353（m=2 313（m=15）、A029548（m=16）、A09547（m=17）、A144128（m=18）、A078987（m=19）、A097316（m=33）。

%Y参考A323182。

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E Wolfdieter Lang的补充意见，2000年2月10日

%E 2015年2月10日，Wolfdieter Lang删除的配方奶粉的重复