素数雅虎群组方形三角数的广义证明===============================================ramsey2879 2005年5月27日消息1-----------------------------------------------无穷多方三角形的广义证明数字存在。我在下面证明，一般来说，如果n^2–T（q）=K，则存在一个无穷多个不同的对n`和q`，这样（n`）^2–T（q）=首先介绍一下这个问题的历史。人们普遍认为，一般来说，任何奇数平方减去1，除以8是一个三角形数，即（2n+1）^2–1=8*T（n）。因此，找到正方形三角形数可以简化为求解佩尔方程8n^2+1=m^2。给出了这条线的解决方案在http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml，http://mathpages.com/home/kmath159.htm、和http://mathforum.org/library/drmath/view/55927.html . 一直以来在这些站点中显示，如果S_n是平方和Q_n是相应的级数，因此（S_n）^2=T（Q_n），然后S_n=6*S_（n-1）–S_（n-2）和Q_n=6*Q_（n-1。然而，这些解决方案非常复杂，无法推广到（S_n）^2–T（Q_n）<>0的其他情况。A类相关网站http://www.cut-the网站-knot.org/do_you_know/triSquare2.shtml利用了这一点解以及两个序列S_n）和Q_n之间的关系给出了求Q_n和S_n其他值的两个递推公式当单个值S_n和对应值Q_n为已知。这也仅限于K=0的情况。这个的目的本文是为了证明解的无穷大更一般的表达式，包括K<>0，也就是说，如果有一个n^2–T（q）=K的解决方案整数n和q，则有无穷多个这样的解决方案以及显示递归公式如何也适用于复数和实数，并显示其他相关结果。首先，我通过研究正方形和三角形数字之间的差异，并注意模式。他们是：1） （a-b）^2=T（2a-b）+T（b）–2*T（a）2） 2*T（a）–T（b）=2*T（a_1）-T（b_1），其中a_1=3a–2b和b_1=3b–4a–1。通过操纵上述恒等式可以找到递归序列S_n和Q_n。生成的首字母条件是，S_0=a+b+1，S_1=-a+b，Q_0=2*a+b+1,Q_1=2*a-b（其中a和b可以是任何数字，包括复数或激进派）。无论a和b的值如何S_n和Q_n的值求解方程（S_n）^2=T_（Q_n）–K（a，b）对于所有n，其中K是一个常数，等于2*T_a–T_b即使对于复数“a”和“b”也是如此。证明读者可以通过扩展和类似术语的集合。标识2给出递归关系为跟随：a_0=ab_0=ba_1=3a-2bb_1=3b-4a-1a2=3*（a1）–2*（b1）=3*（3a-2b）–2*（3b-4a-1）=17a–12b+2=6*a_1–a_0+2b2=3*（b1）–4*（a1）–1=3*（3b-4a-1）–4*（3a-2b）–1=17b–24a–4=6*b_1–b_0+2由于无论a和b的初始选择，an=6*a（n-1）–a（n-2）+2和bn=6*b_（n-1）–b_（n-2）+2表示所有n。对应的a_n系列bn可以无限向前和向后计算。虽然K=0、1、2和5存在一个系列集，但这是对于K＝6、20等的情况则不是这样。例如，对于K的情况=6有两组不同的序列，例如a_0=2，b_0=0，另一个以a_0=b_0=3开始。的某些值K、 例如4、7、8、13、16等，没有K=2*T（a）–T（b）的解以整数表示。对于恒等式1，我们让T（b）的值–2*T（a）=-K2，T（b_n）–2*T（a_n）=-K代表所有n。因为标识1适用于所有a和b都可以进行替换bn`=-（bn+1）由于T（b）=T（-b-1），因此不改变K的值。因此（a_n+b_n+1）^2=T（2*a_n+b_n+1）-K代表所有nS_n=a_n+b_n+1S_0=a+b+1S_1=-a+bS_2=-7a+5b？-1对于所有n>1，S_n=6*S_（n-1）–S_（n-2）Q_n=2a_n+b_n+1Q_0=2a+b+1Q_1=2a–bQ_2=10a-7b+1Q_n=6*Q_（n-1）–所有n>1的Q_（n-2）+2同样，这适用于所有a和b，无论是真实的还是复杂的。如果我们知道S_0和S_1，所得联立方程的解给予：a=（S_0–S_1–1）/2和b=（S_0+S_1-1）/2。例如第一个不算0的两个正方形三角形数字是1和36。因此S_0=+/-1和S_1=+/-6，给出了Q_n的两个基本解和K。在这种情况下，K可以是0或9，因为1=T_1-0和36=T_8-0；因为1=T_4-9和36=T_9-9。另外两个解只给出S_n=-Sn和T_n=T_（-n-1）等。===============================================ramsey2879 2011年10月10日第2条消息-----------------------------------------------在之前关于这个主题的文章中，我展示了S（n）=6S（n-1）-S（n-2）和Q（n）=6Q（n-1）-Q（n-2）+2。可以进一步证明，对于S（1）=Sqrt（a），S（2）=Squart（b），S。括号内的项S（1）^2-6S（1---在Triangular_and_Fibonacci_Numbers@yahoogroups.com，“拉姆西2879”写的：>>无穷多方三角形的广义证明>数字存在。> >我在下面证明，一般来说，如果n^2–T（q）=K，则存在一个>无穷多个不同的对n`和q`，这样（n`）^2–T（q）=>首先介绍一下这个问题的历史。>人们普遍认为，一般来说，任何奇数平方减去1，>除以8是一个三角形数，即（2n+1）^2–1=8*T（n）。>因此，找到正方形三角形数可以简化为求解>佩尔方程8n^2+1=m^2。给出了这条线的解决方案>在http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml，> http://mathpages.com/home/kmath159.htm、和> http://mathforum.org/library/drmath/view/55927.html . 一直以来>在这些站点中显示，如果S_n是>平方和Q_n是相应的级数，因此（S_n）^2=T>（Q_n）然后S_n=6*S_（n-1）–S_（n-2）和Q_n=6*Q_（n-1。>然而，这些解决方案非常复杂，无法>推广到（S_n）^2–T（Q_n）<>0的其他情况。A类>相关网站http://www.cut-the网站->knot.org/do_you_know/triSquare2.shtml利用了这一点>解以及两个序列S_n）和Q_n之间的关系>给出了求Q_n和S_n其他值的两个递归公式>当S_n的单个值和Q_n的对应值为>已知。这也仅限于K=0的情况。这个的目的>本文是为了证明解的无穷大更一般的表达式，>包括K＜＞0，即如果n^2–T（q）＝K有一个解>整数n和q，则有无穷多个这样的>解决方案以及显示递归公式如何也适用于>复数和实数，并显示其他相关结果。> >首先，我通过研究>正方形和三角形数字之间的差异，并注意>模式。他们是：> >1）（a-b）^2=T（2a-b）+T（b）–2*T（a）>2）2*T（a）–T（b）=2*T（a_1）-T（b_1），其中a_1=3a–2b和b_1>=3b–4a–1。> 其中T（b）=2*T（a），（a-b）^2是正方形三角形数。>通过操纵上述恒等式>可以找到递归序列S_n和Q_n。生成的首字母>条件是，S_0=a+b+1，S_1=-a+b，Q_0=2*a+b+1,Q_1>=2*a-b（其中a和b可以是任何数字，包括复数>或激进派）。无论a和b的值如何>S_n和Q_n的值求解方程（S_n）^2=T_（Q_n）–K（a，b）>对于所有n，其中K是一个常数，等于2*T_a–T_b>即使对于复数“a”和“b”也是如此。> >证明>读者可以通过扩展和>类似术语的集合。标识2给出递归关系为>如下：>a_0=a>b_0=b> >a_1=3a-2b>b_1=3b-4a-1> >a2=3*（a1）–2*（b1）>=3*（3a-2b）–2*（3b-4a-1）>=17a–12b+2>=6*a_1–a_0+2> >b2=3*（b1）–4*（a1）–1>=3*（3b-4a-1）–4*（3a-2b）–1>=17b–24a–4>=6*b_1–b_0+2> >由于计算上述相同关系时不考虑>a和b的初始选择，an=6*a（n-1）–a（n-2）+2和bn>=6*b_（n-1）–b_（n-2）+2表示所有n。对应的a_n系列>bn可以无限向前和向后计算。>虽然K=0、1、2和5存在一个系列集，但这是>对于K=6、20等的情况，情况并非如此。例如，对于K的情况>=6有两组不同的序列，例如a_0=2，>b_0=0，另一个以a_0=b_0=3开始。的某些值>K，例如4、7、8、13、16等，没有K=2*T（a）–T（b）的解>以整数表示。> >对于恒等式1，我们让T（b）的值–2*T（a）=-K>2，T（b_n）–2*T（a_n）=-K代表所有n。因为标识1适用于>所有a和b都可以进行替换bn`=-（bn+1）>由于T（b）=T（-b-1），因此不改变K的值。因此> >（a_n+b_n+1）^2=T（2*a_n+b_n+1）-K代表所有n> >S_n=a_n+b_n+1>S_0=a+b+1>S_1=-a+b>S_2=-7a+5b？-1>对于所有n>1，S_n=6*S_（n-1）–S_（n-2）> >Q_n=2a_n+b_n+1>Q_0=2a+b+1>Q_1=2a–b>Q_2=10a-7b+1>Q_n=6*Q_（n-1）–所有n>1的Q_（n-2）+2> >同样，这适用于所有的a和b，无论是真实的还是复杂的。如果我们知道>S_0和S_1，所得联立方程的解>给出：>a=（S_0–S_1–1）/2和b=（S_0+S_1-1）/2。例如第一个>不算0的两个正方形三角形数字是1和36。因此>S_0=+/-1和S_1=+/-6，给出了Q_n的两个基本解>和K。在这种情况下，K可以是0或9，因为1=T_1-0和36=>T_8-0；因为1=T_4-9和36=T_9-9。其他两个>解只给出S_n=-Sn和T_n=T_（-n-1）等。>