显示找到的20个结果中的1-10个。
Chebyshev U（x，n）退化分区展开系数的三角序列；A053117号和Hermite H（x，n）；A060821型函数：1）f（x，t）=1/（1-2*x*t+t^2）；2） g（x，t）=经验[2*x*t-t^2]；给出：p（x，t）=Exp[2*x*t-t^2]/（1-2*x*t+t^2）。
+20
0
1, 0, 4, -4, 0, 20, 0, -60, 0, 128, 60, 0, -768, 0, 1040, 0, 1920, 0, -10400, 0, 10432, -1920, 0, 46800, 0, -156480, 0, 125248, 0, -109200, 0, 1095360, 0, -2630208, 0, 1753600, 109200, 0, -4381440, 0, 26302080, 0, -49100800, 0, 28057856, 0, 9858240, 0, -157812480, 0, 662860800, 0, -1010082816, 0
评论
行总和为：
{1, 4, 16, 68, 332, 1952, 13648, 109552, 986896, 9865664, 108500864};
配方奶粉
p（x，t）=经验[2*x*t-t^2]/（1-2*x*t+t^2）=总和（p（x，n）*t^n/n！，{n，0，无限}）；输出n，m=n*系数（P（x，n））。
例子
{1},
{0, 4},
{-4, 0, 20},
{0, -60, 0, 128},
{60, 0, -768, 0,1040},
{0, 1920, 0, -10400, 0, 10432},
{-1920, 0, 46800, 0, -156480, 0, 125248},
{0, -109200, 0, 1095360, 0, -2630208, 0, 1753600},
{109200, 0, -4381440, 0, 26302080, 0, -49100800, 0, 28057856},
{0, 9858240, 0, -157812480, 0, 662860800, 0, -1010082816, 0, 505041920}, {-9858240, 0, 591796800, 0, -5523840000, 0, 17676449280, 0, -22726886400, 0, 10100839424}
数学
清除[p，b，a]；p[t_]=完全简化[（1/（1-2*x*t+t^2））*Exp[2*x*t-t^2]]；表[ExpandAll[n！*SeriesCoefficient[Series[p[t]，{t，0，30}]，n]]，{n，0，10}]；a=表[系数列表[n！*系列系数[系列[p[t]，{t，0，30}]，n]，x]，{n，0，10}]；压扁[a]
切比雪夫s（n，x）的系数三角形：=U（n，x/2）多项式（指数按递增顺序）。
+10
490
1, 0, 1, -1, 0, 1, 0, -2, 0, 1, 1, 0, -3, 0, 1, 0, 3, 0, -4, 0, 1, -1, 0, 6, 0, -5, 0, 1, 0, -4, 0, 10, 0, -6, 0, 1, 1, 0, -10, 0, 15, 0, -7, 0, 1, 0, 5, 0, -20, 0, 21, 0, -8, 0, 1, -1, 0, 15, 0, -35, 0, 28, 0, -9, 0, 1, 0, -6, 0, 35, 0, -56, 0, 36, 0, -10, 0, 1, 1, 0, -21, 0, 70, 0, -84, 0
评论
行多项式S（n，x）（有符号三角形）的G.f.：1/（1-x*z+z^2）。无符号三角形|a（n，m）|具有斐波那契多项式F（n+1，x）作为带有g.F.1/（1-x*zz^2）的行多项式|a（n，m）|三角形有一排帕斯卡三角形A007318号在偶数对角线中（奇数对角线上只有0）。
S（n，x）是n路邻接矩阵的特征多项式-迈克尔·索莫斯2002年6月24日
|T（n，k）|=n+1到k+1奇数部分的组成数。例如：|T（7,3）|=10，因为我们有（1,1,3,3）、（1,3,1,3），（1,3,3,1）、（3,1,1,3-Emeric Deutsch公司2005年4月9日
S（n，x）=R（n，x）+S（n-2，x），n>=2，S（-1，x）=0，S（0，x）=1，R（n、x）：=2*T（n，x/2）=和{m=0..n}A127672号（n，m）*x^m（一元整数切比雪夫T多项式）。这是对T多项式的传递矩阵公式进行重写的所谓轨迹-沃尔夫迪特·朗2010年12月2日
在内接于单位圆内的规则N-gon中，边长为d（N，1）=2*sin（Pi/N）。第（k-1）对角线的长度比R（N，k）：=d（N，k）/d（N，1），其中k来自{2,3，…，floor（N/2）}，N>=4，等于S（k-1，x）=sin（k*Pi/N）/sin（Pi/N。例如：N=7（七边形），rho=R（7,2），sigma:=R（N，3）=S（2，rho）=rho^2-1。受P.Steinbach引用论文的启发-沃尔夫迪特·朗2010年12月2日
在q或基本分析中，q数为[n]_q:=S（n-1，q+1/q）=（q^n-（1/q）^n}）/（q-1/q），行多项式为S（n，x），n>=0。
行多项式S（n-1，x）的零点为（来自切比雪夫U多项式的零点）：
x（n-1；k）=+-t（k，rho（n）），k=1..上限（（n-1）/2），n>=2，其中t（n，x）是A127672号和ρ（n）：=2*cos（Pi/n）。偶数n的简单零消失在这里显示为+0和-0。
S（n-1，x）=（2^（n-1））*乘积{n>=1}（Psi（d，x/2），2<d|2n）。
（根据Watkins和Zeitlin参考的重写公式（3），如下所示A181872号参见W.Lang ArXiv链接，命题9，等式（62）-沃尔夫迪特·朗2018年4月14日]
（结束）
这是Riordan卷积阵列（下三角矩阵）的一个子类Bell阵列的示例。参见L.W.Shapiro等人的参考A007318号如果Riordan数组以F（z）=z*Fhat（z）命名（G（z），F（z。对于当前的贝尔型三角形G（z）=1/（1+z^2）（参见上述o.G.f.注释）。这导致第k列的o.g.f.，k>=0，x^k/（1+x^2）^（k+1）（见公式部分），行总和和交替行总和的o.g.（见上文注释）。Riordan（Bell）A-和Z序列（在W.Lang链接中定义A006232号，带参考）具有o.g.f.s 1-x*c（x^2）和-x*cA000108美元。它们一起导致公式部分中给出的重复出现-沃尔夫迪特·朗2011年11月4日
N x N矩阵S（N，[x[1]，…，x[N]]）与元素S（m-1，x[N]）的行列式，对于N，m=1，2。。。，N、 对于任何x[N]，与V（N，[x[1]，…，x[N]]）的行列式和元素x[N]^（m-1）（Vandermondian，等于Product_{1<=i<j<=N}（x[j]-x[i]））相同。这是一个对任意N>=1和任意一元多项式系统p（m，x），m>=0有效的定理的特殊例子，其中p（0，x）=1。关于这个定理，请参阅Vein-Dale参考，第59页。多亏了L.埃德森·杰弗里对于要求证明矩阵S（N，[x[1]，……，x[N]]）非奇异性的电子邮件，当且仅当x[j]，j=1..N成对区分时-沃尔夫迪特·朗2013年8月26日
这些S多项式也出现在模形式的上下文中。对于每个素数p和正整数n，作用于模形式权重k的重标Hecke算子T*_n=n^（（1-k）/2）*T_n满足T*_（p^n）=S（n，T*_p）。参见Koecher-Krieg参考文献，第223页-沃尔夫迪特·朗2016年1月22日
关于移位的o.g.f.（mod符号）、其组成逆，以及与Motzkin和Fibonacci多项式、非交叉分区和其他组合结构的连接，请参见A097610号. -汤姆·科普兰2016年1月23日
由于Cassini-Simson恒等式：S（n，x）^2-S（n+1，x）*S（n-1，x）=1，使用S-递推后，Diophantine方程u^2+v^2-k*u*v=1对整数k的解由（u（k，n），v（k，n））=（S（n、k），S（n-1，k）给出。注意S（-n，x）=-S（-n-2，x），n>=1，以及一些S（n，k）序列的周期性。
因此，获得行多项式的另一种方法是取矩阵[x，-1；1,0]的幂：S（n，x）=（（[x，-1；1，0]）^n）[1,1]，n>=0。
那么我们有了现在的T三角形
A039834号（n） =-i^（n+1）*T（n-1，k），其中i是虚单位，n>=0。
（结束）
有关Kul提出的丢番图方程的更多信息，请参阅Ismail论文-汤姆·科普兰2016年1月31日
勒让德多项式L（n，x）的o.g.f.为1/sqrt（1-2x*z+z^2），将其平方得到U（n，x）的o.g.f，A053117号，所以求和{k=0..n}L（k，x/2）L（n-k，x/3）=S（n，x）。对于n个偶数，这给出了S（n，x）=L（n/2，x/2）^2+2*Sum_{k=0..n/2-1}L（k，x/2A053117号有关规范化勒让德多项式，请参见A100258号有关其他特性和与其他多项式的关系，请参见Allouche等人-汤姆·科普兰2016年2月4日
LG（x，h1，h2）=-log（1-h1*x+h2*x^2）=Sum_{n>0}F（n，-h1，h2,0，..，0）x^n/n是127672英镑具有A127672号（0,0）=0，其中F（n，b1，b2，..，bn）是2016年2月.Exp（LG（x，h1，h2））=1/（1-h1*x+h2*x^2）是该条目的二元行多项式的o.g.f-汤姆·科普兰2016年2月15日（本条目的双变量o.g.f.实例见Sunada第5和18页-汤姆·科普兰2021年1月18日）
对于不同的奇素数p和q，勒让德符号可以写成勒让德（q，p）=Product_{k=1..p}S（q-1，2*cos（2*Pi*k/p）），其中p=（p-1）/2。参见第236页的Lemmermeyer参考文献，等式（8.1）。使用S（q-1，x）的零（见上文），可以得到S（q-1,x）=Product_{l=1..q}（x^2-（2*cos（Pi*l/q））^2），其中q=（q-1）/2。因此S（q-1，2*cos（2*Pi*k/p））=（（-4）^q）*Product_{l=1..q}。关于最后等式的证明，请参阅W.Lang对三角形的评论A057059号对于n=Q和一个明显的函数f，这导致了Eisenstein对二次互易律Legendre（Q，p）=（-1）^（p*Q））*Legendre-（p，Q）的证明，参见Lemmermeyer参考文献，第236-237页-沃尔夫迪特·朗2016年8月28日
对于广义斐波那契多项式的连接，请将Amdeberhan等人链接第5页上的生成函数与本条目的二元行多项式的上述o.g.f.进行比较-汤姆·科普兰2017年1月8日
Ramanujanτ函数的公式（参见A000594号)素数幂为tau（p^k）=p^（11*k/2）*S（k，p^，-11/2）*tau（p）），k>=1，p=A000040型（n） ，n>=1。见哈代参考文献，第164页，等式（10.3.4）和（10.3.6）用S重写-沃尔夫迪特·朗2017年1月27日
一般来说，对于从区间（0,2）（x>=2）开始的a，在开放区间（-a，+a）中，n>=0的S（n，x）的零Z（a；n）的个数Z（a）从没有零，而a=0是微不足道的：Z（0；n）=floor（n//2）-floor（（n+1）*arccos（a/2）/Pi），如上文所述，对于偶数n>=0和奇数n>=1+2*b（a；n）。对于闭合区间[-a，+a]Z（0；n）=1，对于来自（0,1）的a，使用Z（a；n）的值b（a；n）=下限（n/2）-上限（（n+1）*arccos（a/2）/Pi）+1。（结束）
Riordan行多项式S（n，x）（Chebyshev S）属于Boas-Buck类（参见中的注释和参考A046521号)因此，它们满足Boas-Buck恒等式：（E_x-n*1）*S（n，x）=（E_x+1）*Sum_{p=0..n-1}（1-（-1）^p）*（-1）^（（p+1）/2）*S（n-1-p，x），对于n>=0，其中E_x=x*d/dx（欧拉算子）。对于三角形T（n，k），这需要对公式部分中给出的列k的序列进行递归-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
行多项式的例f.e（x，t）：=Sum_{n>=0}（t^n/n！）*S（n，x）通过拉普拉斯逆变换从上述给定的o.g.f.得到，为e（x、t）=（（1/xm）*exp（t/xm）-（1/xp）*xp（t/xp））/（xp-xm），xp=（x+sqrt（x^2-4））/2和xm=（x-sqrt（x2-4）））/2-沃尔夫迪特·朗2017年11月8日
行多项式S（n，x）的因式分解，当n≥1时，根据系数为A187360型这是从Psi多项式的因式分解中获得的（参见上面2011年7月12日的评论），但它是以2*cos（2*Pi/n）的最小多项式写成的，系数为A232624型:
S（2*k，x）=乘积{2<=d|（2*k+1）}C（d，x）*（-1）^度=A055034号（d） C（d，x）的度。
S（2*k+1，x）=产品{2<=d|2*（k+1）}C（d，x）*产品{3<=2*d+1|（k+1。
注意，（-1）^（deg（2*d+1））*C（2*d+1，-x）*C。
具有一般初始条件S（a，b；n，x）=x*S（a，b；n-1，x）-S（a，b；n-2，x），对于n>=1，S（a，b；-1，x）=a和S（a，b；0，x）=b的S多项式是S（a，b；n，x）=b*S（n，x）-a*S（n-1，x），对于n>=-1。回忆一下S（-2，x）=-1和S（-1，x）=0。o.g.f.是g（a，b；z，x）=（b-a*z）/（1-x*z+z^2）-沃尔夫迪特·朗，2019年10月18日
S多项式的多段：S（m*n+k，x）=S（m+k，x）*S（n-1，R（m，x））-S（k，x）*S（n-2，R（m，x）），其中R（n，x）=S（n，x）-S（n-2，x）（见A127672号)对于n>=0，m>=1，k=0，1。。。，m-1。
{S（m*n+k，y）}_{n>=0}的O.g.f:g（m，k，y，x）=（S（k，y。
参见G.Detlefs和W.Lang链接的等式（40）和（49），其中r=x或y，s=-1，网址为A034807号.（结束）
对于复数n和复数x，S（n，x）=（（-i/2）/sqrt（1-（x/2）^2））*（q（x/2）（主分行）这满足S的递归关系，因为它是从S的Binet-de-Moivre公式导出的。示例：S（n/m，0）=cos（（n/m）*Pi/4），对于n>=0和m>=1。S（n*i，0）=（1/2）*（1+exp（n*Pi））*exp（-（n/2）*Pi。S（1+i，2+i）=0.6397424847…+1.0355669490…*i.感谢Roberto Alfano提出了一个导致此公式的问题-沃尔夫迪特·朗，2023年6月5日
Lim_{n->oo}S（n，x）/S（n-1，x）=r（x）=（x-sqrt（x^2-4））/2，对于|x|>=2。对于x=+-2，此极限为+-1-沃尔夫迪特·朗2023年11月15日
参考文献
G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二次讲座，AMS Chelsea Publishing，罗德岛普罗维登斯，2002年，第164页。
Max Koecher和Aloys Krieg，Elliptische Funktitonen und Modulformen，2。Auflage，Springer，2007年，第223页。
Franz Lemmermeyer，互惠法律。《从欧拉到艾森斯坦》，斯普林格出版社，2000年。
D.S.Mitrinovic，分析不等式，Springer-Verlag，1970年；第232页，章节。3.3.38.
西奥多·里夫林，切比雪夫多项式：从近似理论到代数和数论，2。编辑，威利，纽约，1990年，第60-61页。
R.Vein和P.Dale，《行列式及其在数学物理中的应用》，Springer，1999年。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]，表22.8，第797页。
T.Amdeberhan、X.Chen、V.Moll和B.Sagan，广义斐波那契多项式和斐波那奇系数，arXiv预印本arXiv:1306.6511[math.CO]，2013。
亚历山大·伯斯坦（Alexander Burstein）和路易斯·夏皮罗（Louis W.Shapiro），Riordan群中的伪进化，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。
S.R.Finch、P.Sebah和Z.-Q.Bai，帕斯卡三角中的奇数项，arXiv:0802.2654[math.NT]，2008年。
配方奶粉
T（n，k）：如果n<k或n+k奇数，则=0，否则为（（-1）^（（n+k）/2+k））*二项式（（n+k）/2，k）；T（n，k）=-T（n-2，k）+T（n-1，k-1），T；g.f.第k列：（1/（1+x^2）^（k+1））*x^k-迈克尔·索莫斯2002年6月24日
T（n，k）=二项式（（n+k）/2，（n-k）/2）*cos（Pi*（n-k-保罗·巴里2005年8月28日
（无符号）斐波那契多项式的递归性：F（1）=1，F（2）=x；对于n>2，F（n）=x*F（n-1）+F（n-2）。
上述注释中给出的Riordan A-和Z序列共同导致重复出现：
如果n＜k，则T（n，k）＝0，如果k＝0，则T（0,0）＝1，并且
T（n，0）=-Sum_{i=0..floor（（n-1）/2）}C（i）*T（n-1,2*i+1），否则T（n、k）=T（n-1，k-1）-Sum__{i=1.floor=A000108美元（n） ●●●●。
（结束）
行多项式也满足Chebyshev T-多项式的S（n，x）=2*（T（n+2，x/2）-T（n，x/2））/（x^2-4）。证明：多次使用跟踪公式2*T（n，x/2）=S（n，x）-S（n-2，x）（参见2010年12月2日的注释）和S递归。这是一个用T多项式表示S-的公式-沃尔夫迪特·朗，2014年8月7日
非消失的无符号子对角线Diag_（2n）包含元素D（n，k）=Sum_{j=0..k}D（n-1，j）=（k+1）（k+2）。。。（k+n）/n！=二项式（n+k，n），因此次对角线的o.g.f.为（1-x）^（-（n+1））。例如，Diag_4包含D（2,3）=D（1,0）+D（1,1）+D。Diag_4移位A000217号; Diag_6，移位A000292号：Diag_8，移位A000332号; 和Diag_10，A000389号.
k列序列的Boas-Buck递归（见上文注释）是：S（n，k）=（（k+1）/（n-k））*Sum_{p=0..n-1-k}（1-（-1）^p）*（-1）（（p+1）/2）*S（n-1-p，k），对于n>k>=0且输入S（k，k）=1-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
第m行连续非零项的顺序为（-1）^c*（c+b）/c！b！c=m/2，m/2-1。。。，0和b=m-2c，如果m是偶数且c=（m-1）/2，（m-1，/2-1。。。，如果m是奇数，则b=m-2c为0。对于从a（36）开始的第8行，连续5个非零条目的顺序为1、-10,15、-7,1，由c=4,3,2,1,0和b=0,2,4,6,8给出-理查特克2017年8月20日
O.g.f.：exp（和{n>=0}2*T（n，x/2）*T^n/n）=1+x*T+。。。，其中T（n，x）表示第一类第n个切比雪夫多项式-彼得·巴拉2022年8月15日
例子
三角形T（n，k）开始
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0: 1
1: 0 1
2: -1 0 1
3: 0 -2 0 1
4: 1 0 -3 0 1
5: 0 3 0 -4 0 1
6: -1 0 6 0 -5 0 1
7: 0 -4 0 10 0 -6 0 1
8: 1 0 -10 0 15 0 -7 0 1
9: 0 5 0 -20 0 21 0 -8 0 1
10: -1 0 15 0 -35 0 28 0 -9 0 1
11: 0 -6 0 35 0 -56 0 36 0 -10 0 1
有关更多行，请参阅链接。
例如，第四行{0，-2,0,1}对应于多项式S（3，x）=-2*x+x^3。
S（3，x）的零点，ρ（4）=2*cos（Pi/4）=sqrt（2）：
+-t（1，sqrt（2））=+-sqrt（2中）和
+-t（2，sqrt（2））=+-0。
根据Psi多项式对S（3，x）进行因式分解：
S（3，x）=（2^3）*Psi（4，x/2）*Psi=x*（x^2-2）。
（结束）
A序列和Z序列重复：
T（4,0）=-（C（0）*T（3,1）+C（1）*T，
T（5,3）=-3-1*1=-4。
（结束）
列k=2，n=6:S（6，2）=（3/4）*（0-2*S（4，2）+0+2*S（2，2））=（3/4）*（-2*（-3）+2）=6的Boas-Buck递推-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
分解为C多项式（参见2018年4月12日的评论）：
S（4，x）=1-3*x^2+x^4=（-1+x+x^2）*（-1-x+x*2）=（-C（5，-x））*C（5，x）；因子的数量是2=2*A095374号(2).
S（5，x）=3*x-4*x^3+x^5=x*（-1+x）*（1+x）x（-3+x^2）=C（2，x）*C（3，x）*；因子的数量是4=A302707型(2). （结束）
MAPLE公司
PMatrix（10，n->ifelse（irem（n，2）=0，0，（-1）^iquo（n-1，2）））#彼得·卢什尼2022年10月6日
数学
t[n，k]/；EvenQ[n+k]=（（-1）^（（n+k）/2+k））*二项式[（n+k）/2，k]；t[n，k]/；奇数Q[n+k]=0；扁平[表[t[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}][[；；86]](*Jean-François Alcover公司2011年7月5日*）
表[系数[（-I）^n斐波那契[n+1，-I x]，x，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//平坦(*克拉克·金伯利，2011年8月2日；已由更正埃里克·韦斯特因2017年4月6日*）
系数列表[ChebyshevU[Range[0，10]，-x/2]，x]//平坦(*埃里克·韦斯特因2017年4月6日*）
系数列表[表[（-I）^n斐波那契[n+1，-I x]，{n，0，10}]，x]//平坦(*埃里克·韦斯特因2017年4月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）｛T（n，k）=如果（k＜0||k＞n||（n+k）%2，0，（-1）^（（n+k）/2+k）*二项式（（n+k）/2，k））｝/*迈克尔·索莫斯2002年6月24日*/
（SageMath）
@缓存函数
如果n＜0：返回0
如果n==0：如果k==0，则返回1，否则为0
（岩浆）
A049310美元：=func<n，k|（（n+k）mod 2）eq 0 select（-1）^（Floor（n+k）/2）+k）*二项式（Floor；
交叉参考
囊性纤维变性。A000005号,A000217号,A000292号,A000332号,A000389号,A001227号,A007318号,A008611号,A008615号,2014年1月55日,A010892美元,A011973号,A053112号（不带零），A053117号,A053119号（反射），A053121号（倒三角形），A055034号,A097610号,A099774号,A099777号,A100258号,A112552号（第一列被剪裁），A127672号,A168561号（绝对值），A187360型.A194960型,A232624型,A255237号.
k=5，4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4，-5时切比雪夫s（n，x+k）系数的三角形：A207824型,2007年2月23日,A125662号,A078812号,A101950号,A049310美元,A104562号,A053122号,A207815型,A159764号,A123967号.
按行读取三角形：T（k，s）=（（2*k+1）/（2*s+1））*二项式（k+s，2*s），0<=s<=k。
+10
43
1, 3, 1, 5, 5, 1, 7, 14, 7, 1, 9, 30, 27, 9, 1, 11, 55, 77, 44, 11, 1, 13, 91, 182, 156, 65, 13, 1, 15, 140, 378, 450, 275, 90, 15, 1, 17, 204, 714, 1122, 935, 442, 119, 17, 1, 19, 285, 1254, 2508, 2717, 1729, 665, 152, 19, 1, 21, 385, 2079, 5148, 7007, 5733, 2940, 952, 189, 21, 1
评论
T（k，s）在Knuth参考文献中显示为T_s（k），第285页。
这个三角形与三角形有关A156308号（n，m），在第285页的参考文献中以U_m（n）的形式出现，由T（k，s）-T（k-1，s）=A156308号（k，s），k>=s>=1（第286页上的恒等式）。T（k，s）=A156308号（k+1，s+1）-156308英镑（k，s+1），k>=s>=0（第286页的同一性）。
（结束）
111125英镑与联合生成A208513型作为多项式v（n，x）的系数数组：最初，u（1，x）=v（1，x）=1；对于n>1，u（n，x）=u（n-1，x）+x*（x+1）*v（n-1）和v（n，x）=u。请参阅Mathematica部分。的列A111125号与以下各项相同A208508型然而，这里的交替行和是周期性的（周期为1、2、1、-1、-2、-1）-克拉克·金伯利2012年2月28日
这个三角形T（k，s）（带有5次幂的符号和列）出现在斐波那契数F的展开式中=A000045号用奇数的倍数作为F数的奇数幂的指数。见Jennings参考，第108页，定理1。在中给出的Ozeki参考中引用为引理3A111418号公式为：F_{（2*k+1）*n}=Sum_{s=0..k}（T（k，s）*（-1）^（k+s）*n）*5^s*F_{n}^（2*s+1）），k>=0，n>=0-沃尔夫迪特·朗2012年8月24日
这个三角形T（k，s）出现在公式x^（2*k+1）-x^。用二项式定理证明逆公式（由于Riordan性质，这就足够了）。王和张的引用论文（1.4）激发了我们对此进行研究的动机。
符号三角形（（-1）^（k-s））*T（k，s）给出多项式C（2*k+1，x）/x的（x^2）^s的系数，其中C是一元整数Chebyshev T多项式，其系数在A127672号（C在那里被称为R）。查看那里的奇数行。这个有符号三角形是Riordan数组（（1-x）/（1+x）^2，x/（1++）^2）。通过比较行多项式的o.g.f.（其中x被x^2代替）与C（n，x）/x的o.g.f.平分的奇数部分来证明-沃尔夫迪特·朗2012年10月23日
有符号三角形S（k，S）：=（（（-1）^（k-S））*T（k，S）（见前面的注释）用于在（4*（k+1））-gon中表示边/半径的长度比S（4*（k+1））=2*sin（Pi/4*（k+1））=2*cos（（2*k+1）*Pi/（4*（k+1）））作为多项式，单位为ρ（4*（k+1））=2*cos（Pi/4*（k+1）），长度比（最小对角线）/侧面：
s（4*（k+1））=Sum_{s=0..k}（s（k，s）*rho（4*（k+1））^（2*s+1））。
这是计算模C（4*（k+1），rho（4*A187360型)为了在阶增量（4*（k+1））的代数数域Q（rho（4*A055034号). 感谢Seppo Mustonen让我研究正则n-gon中总长度平方的问题，其中这个公式用于偶数n的情况。请参见A127677号对于（4*k+2）-gon中的公式。（结束）
带符号三角形的行多项式（参见上述2012年10月23日的注释），称它们为todd（k，x）=Sum_{s=0..k}（（-1）^（k-s）*T（k，s）*x^s）=s（k，x-2）-s（k-1，x-2(A049310美元)和S（-1，x）=0），满足递归todd（k，x）=（-1）^（k-1）*（（x-4）/2）*todd。2014年8月3日评论A130777号.
这导致了有符号三角形的重复出现，如2013年10月4日的注释所示，称其为S（k，S）：S（k、S）=（1/2）*（1+（-1）^ 1+j）），对于k>=S>=1，如果k<S且S（k，0）=（-1）^k*（2*k+1）。注意，从Riordan A序列导出的递归A115141号相似，但系数更简单：S（k，S）=和(A115141号（j） *S（k-1，S-1+j），j=0..k-S），k>=S>=1。
（结束）
有关Coxeter根群Cartan矩阵的特征多项式、Chebyshev多项式、分圆多项式和本条目多项式之间的关系，请参见Damianou（第20和21页）和Damianoo和Evripidou（第7页）。
如Damianou和Evripidou在第7页上的方程所示，该条目的有符号行多项式由（p（n，x））^2=（A（2*n+1，x）+2）/x=（F（2*n+1，（2-x），1，0，0，…）+2） /x=F（2*n+1，-x，2*x，-3*x，…，（-1）^n n*x）/x=-FA127677号和F（n，…）是A263196号.参见。A127672号和A127677号.
（结束）
符号三角形S（k，S）=（（-1）^（k-S））*T（k，S）的行多项式P（k，x）是由三角形的行多项式R（2*k+1，x）给出的A127672号通过
P（k，x）=R（2*k+1，平方（x））/sqrt（x）-沃尔夫迪特·朗2021年5月2日
链接
亚历山大·伯斯坦（Alexander Burstein）和路易斯·夏皮罗（Louis W.Shapiro），Riordan群中的伪进化，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。
配方奶粉
T（k，s）=（（2*k+1）/（2*s+1））*二项式（k+s，2*s），0<=s<=k。
T（n，k）=二项式（n+k，2*k）+2*二项式。
行生成多项式P（n，x）是Morgan-Voyce多项式b（n，x）和b（n，×）的推广。当n>=2时，它们满足递推方程P（n，x）=（x+2）*P（n-1，x）-P（n-2，x），初始条件P（0，x）=1，P（1，x）=x+r+1，且r=2。r=0和r=1的情况给出了Morgan-Voyce多项式A085478号和A078812号分别是。安德烈·詹宁（Andre Jeannin）考虑了r将军的案件。
P（n，x）=U（n+1,1+x/2）+U（n，1+x/2A053117号P（n，x）=2/x*{T（2*n+2，u）-T（2*n，u）），其中u=sqrt（（x+4）/4），T（n，x）表示第一类切比雪夫多项式-参见A053120号.P（n，x）=乘积_{k=1..n}（x+4*（sin（k*Pi/（2*n+1））^2）。P（n，x）=1/x*（b（n+1，x）-b（n-1，x））和PA085478号.参见。2011年2月57日.
（结束）
O.g.f.列号s：（（1+x）/（1-x）^2）*（x/（1-x）^2”^s，s>=0。（来自上述评论中给出的Riordan数据）。
行多项式R（k，x）的O.g.f:=Sum_{s=0..k}（T（k，s）*x^s），k>=0:（1+z）/（1-（2+x）*z+z^2）（来自Riordan属性）。
（结束）
T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-l，k-1）-T（n-2，k），T（0,0）=1，T（1,0）=3，T（1.1）=1-菲利普·德尔汉姆2013年11月12日
例子
三角形T（k，s）开始于：
k \s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0: 1
1: 3 1
2: 5 5 1
3: 7 14 7 1
4: 9 30 27 9 1
5: 11 55 77 44 11 1
6: 13 91 182 156 65 13 1
7: 15 140 378 450 275 90 15 1
8: 17 204 714 1122 935 442 119 17 1
9: 19 285 1254 2508 2717 1729 665 152 19 1
10: 21 385 2079 5148 7007 5733 2940 952 189 21 1
斐波那契数F_{（2*k+1）*n}的应用，行k=3：
F_{7*n}=7*（-1）^（3*n）*F_n+14*（-1-沃尔夫迪特·朗2012年8月24日
此Riordan三角形的Z和A序列重复出现的示例：Z=A217477号= [3,-4,12,-40,...]; T（4,0）=3*7-4*14+12*7-40*1=9。A=[1、2、-1、2、-5、14…]；T（5,2）=1*30+2*27-1*9+2*1=77。沃尔夫迪特·朗2012年10月18日
示例：（4*（k+1））-横截长度比s（4*；k=1，s（8）=-3*rho（8）+rho（八）^3=sqrt（二平方码（二））；k=2，s（12）=5*rho（12）-5*rho-沃尔夫迪特·朗2013年10月4日
带符号三角形S（k，S）=（（-1）^（k-S））*T（k，S）的递归示例（参见上述2014年8月14日的注释）：
S（4,1）=0+（-2*2-1）*S（3,1）-（1/2）*（3*4^2*S（3.2）+4*4^3*S（3.3））=-5*14-3*8*（-7）-128*1=-30。Riordan A序列的递归A115141号为S（4,1）=-7-2*14-（-7）-2*1=-30-沃尔夫迪特·朗2014年8月14日
数学
（*第一个程序*）
u[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=16；
u[n，x_]：=u[n-1，x]+x*v[n-1、x]；
v[n，x]：=u[n-1，x]+（x+1）*v[n-1、x]+1；
表[展开[u[n，x]]，{n，1，z/2}]
表[Expand[v[n，x]]，｛n，1，z/2｝]
cu=表[系数列表[u[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cu]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z}]
cv=表[系数列表[v[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cv]
（*第二个节目*）
T[n_，k_]：=（（2*n+1）/（2*k+1））*二项式[n+k，2*k]；
表[T[n，k]，{n，0，15}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年2月1日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：
如果n<0：返回0
如果n==0：如果k==0，则返回1，否则为0
如果n==1，则h=3*T（n-1，k），否则为2*T（n-1，k）
返回T（n-1，k-1）-T（n-2，k）-h
（岩浆）[（2*n+1）/（n+k+1））*二项式（n+k+1，2*k+1）:k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2022年2月1日
1, 0, 1, -1, 0, 3, 0, -3, 0, 5, 3, 0, -30, 0, 35, 0, 15, 0, -70, 0, 63, -5, 0, 105, 0, -315, 0, 231, 0, -35, 0, 315, 0, -693, 0, 429, 35, 0, -1260, 0, 6930, 0, -12012, 0, 6435, 0, 315, 0, -4620, 0, 18018, 0, -25740, 0, 12155, -63, 0, 3465, 0, -30030, 0, 90090, 0, -109395, 0, 46189
评论
有关Jacobi四次椭圆曲线的关系，请参阅MathOverflow链接。有关将它们与切比雪夫多项式和斐波纳契多项式关联的多项式的自进化，请参见A049310美元和A053117号有关与其他多项式（Jacobi、Gegenbauer和Chebyshev）的同余和连接，请参阅Allouche等人的链接。有关椭圆上同调和模形式的关系，请参阅Copeland链接中的参考资料-汤姆·科普兰2016年2月4日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第798页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
配方奶粉
第n个归一化勒让德多项式由2^（-n-a（n））（d/dx）^n（x^2-1）^n/n！带有a（n）=A005187号n偶数和a（n）的（n/2）=A005187号（n-1）/2）表示n奇数。非正规多项式具有o.g.f.1/sqrt（1-2xz+z^2）-汤姆·科普兰2016年2月7日
第m行中的连续非零项按顺序为（c+b）/（c！（m-b）！（2b-m）*A048896号（m-1））带符号（-1）^b，其中c=m/2-1，m/2，m/2+1。。。，（m-1）和b=c+1，如果m是偶数且符号（-1）^c带有c=（m-1。。。，（m-1），其中b=c+1，如果m是奇数。对于第9行，5个连续的非零条目为315、-4620、18018、-25740、12155，由c=4,5,6,7,8和b=5,6,18,9给出-理查特克2017年8月22日
例子
三角形开始：
1;
0, 1;
-1, 0, 3;
0, -3, 0, 5;
3, 0, -30, 0, 35;
0, 15, 0, -70, 0, 63;
-5, 0, 105, 0, -315, 0, 231;
0, -35, 0, 315, 0, -693, 0, 429;
35, 0, -1260, 0, 6930, 0, -12012, 0, 6435;
...
黄体脂酮素
（PARI）a（k，n）=polcoeff（pollegendre（k，x），n）*2^估值（k！，2）
（Python）
从mpmath导入*
mp.dps=20
定义a007814（n）：
return 1+bin（n-1）[2:].count（'1'）-bin（n）[2:].count
对于范围（11）中的n：
y=2**总和（对于范围（2，n+1）中的i，a007814（i））
l=切块（泰勒（λx：勒让德（n，x），0，n））
按行读取的不规则三角形：U（n，x）系数，第二类切比雪夫多项式，指数按降序排列。
+10
17
1, 2, 4, -1, 8, -4, 16, -12, 1, 32, -32, 6, 64, -80, 24, -1, 128, -192, 80, -8, 256, -448, 240, -40, 1, 512, -1024, 672, -160, 10, 1024, -2304, 1792, -560, 60, -1, 2048, -5120, 4608, -1792, 280, -12, 4096, -11264, 11520, -5376, 1120, -84, 1
评论
第二类切比雪夫多项式由递推关系定义：U（0，x）=1；U（1，x）=2倍；U（n+1，x）=2x*U（n，x）-U（n-1，x）。
（结束）
行总和是{1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11…}。
三角形，省略零，由（2，0，0，0,0，0,1，0，…）DELTA（0，-1/2，1/2，0，0-0，0/0，0…）给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年12月27日
sin（（n+1）*x）/sin（x）按cos（x）的降幂展开的系数。第n行的长度为A008619号（n） ●●●●-宋嘉宁2018年11月2日
链接
Tracale Austin、Hans Bantilan、Isao Jonas和Paul Kory，Pfaffian变换，《整数序列杂志》，第12卷（2009年），第25页
Pantelis A.Damianou，美丽的正弦公式阿默尔。数学。《月刊》第121期（2014年），第2期，第120-135页。3149030马来西亚令吉
配方奶粉
U（n）的生成函数是1/（1-2tx+t^2）。鉴于A038207年，向下移动列以允许在每行中使用（1、1、2、2、3、3…）项，然后插入替换符号。
移动o.g.f.：g（x，t）=x/（1-2x+tx^2）。
G（x，t）的成分逆式是Ginv（x，t）=（（1+2x）-sqrt（（1[2x）^2-4tx^2））/（2tx）=x-2x^2+（4+t）x^3-（8+6t）x*4+。。。，移动的o.g.fA091894号（mod标志A091894号(0,0) = 0.). 囊性纤维变性。A097610号h1=-2，h2=t（结束）
例子
第二类的前几个切比雪夫多项式是
1;
2倍；
4x^2-1；
8x^3-4x；
16x^4-12x^2+1；
32x^5-32x^3+6x；
64倍^6-80倍^4+24倍^2-1；
128x^7-192x^5+80x^3-8x；
256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1；
512x^9-1024x^7+672x^5-160x^3+10x；
...
1;
2;
4, -1;
8, -4;
16, -12, 1;
32, -32, 6;
64, -80, 24, -1;
128, -192, 80, -8;
256, -448, 240, -40, 1;
512, -1024, 672, -160, 10;
1024, -2304, 1792, -560, 60, -1; （结束）
三角形（2,0,0,00,0，…）DELTA（0，-1/2，1/2，0,0,1，…）开始于：
1;
2, 0;
4, -1, 0;
8, -4, 0, 0;
16, -12, 1, 0, 0;
32, -32, 6, 0, 0, 0;
64, -80, 24, -1, 0, 0, 0; （结束）
数学
t[n_，m_]=（-1）^m*二项式[n-m，m]*2^（n-2*m）；
表[表[t[n，m]，{m，0，层[n/2]}]，{n，0，10}]；
1, 2, 4, 1, 8, 4, 16, 12, 1, 32, 32, 6, 64, 80, 24, 1, 128, 192, 80, 8, 256, 448, 240, 40, 1, 512, 1024, 672, 160, 10, 1024, 2304, 1792, 560, 60, 1, 2048, 5120, 4608, 1792, 280, 12, 4096, 11264, 11520, 5376, 1120, 84, 1, 8192, 24576, 28160, 15360
评论
三角形行中的数字沿着“第一层”斜对角线，在中对齐三角形中指向左上角A013609号（（1+2*x）^n）和沿（第一层）斜对角线指向中心对齐三角形的右上角A038207年（（2+x）^n），请参阅链接-扎格罗斯·拉洛，2018年7月31日
如果s（n）是n处的行和，则比率s（n）/s（n-1）约为2.414213562373095(A014176号：当n接近无穷大时，银平均值的十进制展开，1+sqrt（2））-扎格罗斯·拉洛，2018年7月31日
参考文献
Shara Lalo和Zagros Lalo，《多项式展开定理和数字三角形》，Zana出版社，2018年，ISBN:978-1-9995914-0-3，第80-83、357-358页。
链接
S.Halici，关于一些Pell多项式《Apulensis大学学报》，第29/2012号，第105-112页。
配方奶粉
当0<=k<=n时：
Riordan阵列（1/（1-2*x），x^2/（1-2-*x））。
G.f.：1/（1-2*x-y*x^2）。
T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（-2，k-1），其中T（0,0）=1，T（1,0）=2，T
移动o.g.f.：g（x，t）=x/（1-2 x-t x ^2）。
G（x，t）的成分逆矩阵是Ginv（x，t）=-[（1+2x）-sqrt[（1x2x）^2+4t x^2]/（2tx）=x-2 x^2+（4-t）x^3-（8-6t）x*4+。。。，移动的o.g.fA091894号（mod标志A091894号(0,0) = 0).
（结束）
例子
前七行：
1
2
4...1
8...4
16..12..1
32..32..6
64..80..24..1
（2，0，0，0,0，…）DELTA（0，1/2，-1/2，0，0-0，……）开始：
1
2, 0
4, 1, 0
8, 4, 0, 0
16, 12, 1, 0, 0
32, 32, 6, 0, 0, 0
64, 80, 24, 1, 0, 0, 0
128, 192, 80, 8, 0, 0, 0, 0
数学
u[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=16；
u[n，x_]：=u[n-1，x]+（x+1）*v[n-1、x]
v[n，x_]：=u[n-1，x]+v[n-1、x]
表[系数[u[n，x]]，{n，1，z}]
表[系数[v[n，x]]，{n，1，z}]
cu=表[系数列表[u[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cu]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z}]
cv=表[系数列表[v[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cv]
t[0,0]=1；t[n_，k_]：=t[n，k]=如果[n<0|k<0，0，2t[n-1，k]+t[n-2，k-1]]；表[t[n，k]，{n，0，15}，{k，0，Floor[n/2]}]//扁平(*扎格罗斯·拉洛2018年7月31日*）
t[n_，k_]：=t[n，k]=2^（n-2k）*（n-k）/（n-2 k）！k！）；表[t[n，k]，{n，0，15}，{k，0，Floor[n/2]}]//扁平(*扎格罗斯·拉洛2018年7月31日*）
三角形T（n，k），按行读取：如果n-k奇数，则T（n、k）=0。T（n，k）=2*（-1）^（n-k）/2）*（2k-n）/（n+k）*二项式（（n+k）/2，（n-k）/2），如果n-k是偶数。
+10
14
1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 1, -2, 0, 0, 0, 1, 0, -3, 0, -1, 0, 1, 2, 0, -3, 0, -2, 0, 1, 0, 5, 0, -2, 0, -3, 0, 1, -2, 0, 8, 0, 0, 0, -4, 0, 1, 0, -7, 0, 10, 0, 3, 0, -5, 0, 1, 2, 0, -15, 0, 10, 0, 7, 0, -6, 0, 1, 0, 9, 0, -25, 0, 7, 0, 12, 0, -7, 0, 1, -2, 0, 24, 0, -35, 0, 0, 0, 18, 0, -8, 0, 1, 0, -11, 0, 49, 0, -42, 0, -12, 0
评论
P（n，x）的多项式系数按行递增，其中P（0，x）=1，P（1，x）=x，P（2，x）=2+x^2，P（3，x）=x+x^3，P。
配方奶粉
如果n-k为奇数，则T（n，k）=0。T（n，k）=2*（-1）^（n-k）/2）*（2k-n）/（n+k）*二项式（（n+k）/2，（n-k）/2），如果n-k是偶数。
P（n，x）=x*P（n-1，x）-P（n-2，x），n>=5。
例子
{1}, = 1
{0，1}，=x
{2，0，1}，=2+x^2
{0，1，0，1}，=x+x^3
{-2,0,0,0，1}，=-2+x^4
{0，-3，0，-1，0，1}，=-3x-x^3+x^5
{2, 0, -3, 0, -2, 0, 1},
{0, 5, 0, -2, 0, -3, 0, 1},
{-2, 0, 8, 0, 0, 0, -4, 0, 1},
{0, -7, 0, 10, 0, 3, 0, -5, 0, 1},
{2, 0, -15, 0, 10, 0, 7, 0, -6, 0, 1},
{0, 9, 0, -25, 0, 7, 0, 12, 0, -7, 0, 1}
MAPLE公司
137276英镑：=进程（n，k）本地nmk，npk；如果n＝0，则为1；elif（n-k）mod 2≤0，则为0；其他nmk：=（n-k）/2；npk：=（n+k）/2；（-1）^nmk*（2*k-n）/npk*二项式（npk，nmk）；fi；结束时间：
反对角线读取的数组T（m，n）：m X n网格的多米诺骨牌数量（m>=0，n>=0）。
+10
13
1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 0, 5, 0, 5, 0, 1, 1, 1, 8, 11, 11, 8, 1, 1, 1, 0, 13, 0, 36, 0, 13, 0, 1, 1, 1, 21, 41, 95, 95, 41, 21, 1, 1, 1, 0, 34, 0, 281, 0, 281, 0, 34, 0, 1, 1, 1, 55, 153, 781, 1183, 1183, 781, 153, 55, 1, 1, 1, 0, 89, 0, 2245, 0, 6728, 0, 2245, 0, 89, 0, 1, 1, 1, 144, 571, 6336
评论
如果我们使用从1开始的行索引，那么数组的每一行都是一个可除序列，也就是说，这些项满足这样的性质：如果n除以m，那么a（n）除以a（m），前提是a（n！=0.行k满足2^层（k/2）的线性递归（Stanley，Ex.36 p.273）-彼得·巴拉2014年4月30日
参考文献
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，第1卷，剑桥大学出版社，1997年。
链接
詹姆斯·普罗普，配对计数：问题与进展，arXiv:math/9904150[math.CO]，1999年。
配方奶粉
T（n，k）^2=Product_{b=1..k}Product_{a=1..n}（2*cos（a*Pi/（n+1））+2*i*cos。见Propp，第5节。
等价地，从1开始使用行索引n和列索引k，我们得到T（n，k）^2=结果（F（n，x），U（k-1，x/2））的绝对值，其中U（n，x）是第二类切比雪夫多项式，F（n、x）是一个斐波那契多项式，由F（0，x）=0，F（1，x）=1和F。注释中提到的数组项的可分性属性就是这个结果的结果。（结束）
例子
数组开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
1, 0, 3, 0, 11, 0, 41, 0, 153, 0, 571, ...
1, 1, 5, 11, 36, 95, 281, 781, 2245, 6336, 18061, ...
1, 0, 8, 0, 95, 0, 1183, 0, 14824, 0, 185921, ...
1, 1, 13, 41, 281, 1183, 6728, 31529, 167089, 817991, 4213133, ...
1, 0, 21, 0, 781, 0, 31529, 0, 1292697, 0, 53175517, ...
MAPLE公司
使用（线性代数）：
T： =proc（m，n）选项记忆；局部i，j，t，M；
如果m<=1或n<=1，则1-irem（n*m，2）
elif irem（n*m，2）=1，然后为0
elif m<n，然后T（n，m）
否则M:=矩阵（n*M，形状=不对称）；
对于我来说
对于j到m do
t： =（i-1）*m+j；
如果j<m，则m[t，t+1]：=1 fi；
如果i<n，则M[t，t+M]：=1-2*irem（j，2）fi
日
od；
sqrt（行列式（M））
fi（菲涅耳）
结束时间：
seq（seq（T（m，d-m），m=0..d），d=0..14）#阿洛伊斯·海因茨2011年4月11日
数学
t[m_，n_]：=乘积[2*（2+Cos[2*j*Pi/（m+1）]+Cos[2*k*Pi/（n+1）]），{k，1，n/2}，{j，1，m/2}]；t[_？奇Q，_？奇Q]=0；表[t[m-n，n]//完全简化，{m，0，13}，{n，0，m}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2014年1月7日之后A099390号*)
行读取的三角形：的签名版本A059260号：序列a（n，x）的部分和根据其二项式变换（1+a（.，x））^n展开的系数；截断指数的拉盖尔多项式展开。
+10
9
1, 0, 1, 1, -1, 1, 0, 2, -2, 1, 1, -2, 4, -3, 1, 0, 3, -6, 7, -4, 1, 1, -3, 9, -13, 11, -5, 1, 0, 4, -12, 22, -24, 16, -6, 1, 1, -4, 16, -34, 46, -40, 22, -7, 1, 0, 5, -20, 50, -80, 86, -62, 29, -8, 1, 1, -5, 25, -70, 130, -166, 148, -91, 37, -9, 1, 0, 6, -30, 95, -200, 296, -314, 239, -128, 46, -10, 1
评论
上面的下三角数组T和拉盖尔多项式L（k，x）=和{j=0..k}（-1）^j二项式（k，j）x^j/j！，以下身份保持不变：
（A） Sum_{k=0..n}（-1）^k L（k，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）x^k/k！；
（B） 和{k=0..n}x^k/k！=Sum_{k=0..n}T（n，k）L（k，-x）；
（C） 和{k=0..n}x^k=和{k=0..n}T（n，k）（1+x）^k=（1-x^（n+1））/（1-x）。
更一般地，对于多项式序列，
（D） 和{k=0..n}P（k，x）=和{k=0..n}T（n，k）（1+P（.，x））^k，
其中，例如，对于Appell序列，例如Bernoulli多项式，undarally，（1+Ber（.，x））^k=Ber（k，x+1）。
通过j的本影替换，恒等式B从A开始！A中x^j的L（j，-x）。恒等式C与素数指数的分圆多项式有关，通过拉普拉斯变换从B开始。
积分C得到了和{k=0..n}T（n，k）（2^（k+1）-1）/（k+1=H（n+1）的调和数。
对于x>=0，恒等式A>=0（参见MathOverflow链接，了解Hermite多项式的计算）。
从恒等式C，W（m，n）=（-1）^n和{k=0..n}T（n，k）（2-m）^k=m>2的完全图k_m的任意两个不同顶点之间长度为n+1的游程数。
链接
J.亚当斯，关于J（x）-II组《拓扑学》，第3卷，第137-171页，佩加蒙出版社，（1965）。
配方奶粉
T（n，k）=和{j=0..n}（-1）^（j+k）*二项式（j，k）。
例如：（exp（t）-（x-1）*exp（（x-1，*t））/（2-x）。
O.g.f.（第n行）：（1-（x-1）^（n+1））/（2-x）。
关联的操作员身份：
如果D=D/dx，：xD:^n=x^n*D^n，并且：dx:^n=D^n*x^n，那么bin（xD，n）=二项式（xD、n）=：xD:^n/n！和L（n，-：xD:）=：Dx:^n/n=bin（xD+n，n）=（-1）^n bin（-xD-1，n），
A-o）和{k=0..n}（-1）^kL（k，-：xD:）=和{k=0..n}:-Dx:^k/k！
=和{k=0..n}T（n，k）：-xD:^k/k！=和{k=0..n}（-1）^k T（n，k）bin（xD，k）
B-o）和{k=0..n}:xD:^k/k！=和{k=0..n}，T（n，k）L（k，-：xD:）
=和{k=0..n}T（n，k）：Dx:^k/k！=求和{k=0..n}，bin（xD，k）。
关联的二项式恒等式：
A-b）求和{k=0..n}（-1）^k bin（s+k，k）=求和{k=0..n}（-1）^k T（n，k）bin（s，k）
=Sum_{k=0..n}bin（-s-1，k）=Sum{k=0.0.n}T（n，k）bin（s-1+k，k）
B-B）Sum_{k=0..n}bin（s，k）=Sum_{k=0..n}T（n，k）bin（s+k，k）
=总和{k=0..n}（-1）^k bin（-s-1+k，k）
=Sum_｛k=0..n｝（-1）^k T（n，k）bin（s-1，k）。
特别是，从s=n的B-B开始，和{k=0..n}T（n，k）bin（n+k，k）=2^n。从s=0的B-B，行和都是1。
其中-s-1=m=0,1,2，。。。，B-B给出有限差分（递归）：
求和{k=0..n}（-1）^k T（n，k）bin（m，k）=Sum_{k=0..n}（-1）^k bin（m+k，k）=T（n+m，m），即T列的有限差生成T的移位列。T列是交叉引用中列出的序列的有符号移位版本。由于有限差分是对合，T（n，k）=Sum_{j=0..k}（-1）^jT（n+j，j）bin（k，j）}。Gauss-Newton插值可以用来给出s非整数的广义T（n，s）。
U（n，cos（x））=e^（-n*i*x）*Sum_{k=0..n}T（n，k）*（1+e^A053117号i^2=-1-汤姆·科普兰2014年10月18日
当a（n，x）=e^（nx）时，部分和为1+e^x++e^（nx）=和{k=0..n}T（n，k）（1+e^x）^k=[x/（e^x-1）][e^！，其中Ber（n，x）是伯努利多项式（参见亚当斯第140页）。在x=0时计算这些表达式的（d/dx）^m，给出了整数的m次幂的部分和、它们的二项式变换和伯努利多项式之间的关系。
当a（n，x）=（-1）^ne^（nx）时，部分和是1-e^x++（-1）^ne^（nx）=和{k=0..n}T（n，k）（1-e^x）*x^k/k！，其中Eul（n，x）是Euler多项式。在x=0时计算这些表达式的（d/dx）^m，给出了整数的符号m次幂的部分和之间的关系；它们的二项式变换，与第二类斯特林数和置换面体的面数有关；和欧拉多项式。
（结束）
如中所示A059260号，根据具有该项系数的二元多项式，生成器由（1/（1-y））*1/（1+（y/（1-y。其形式为-h2*1/（1+h1*x+h2*x^2），与A049310美元其中h1=y/（1-y）和h2=-1/（1-y）=-（1+h1）-汤姆·科普兰2016年2月16日
D中的P（k，x）=x给出了求和{k=0..n}T（n，k）*Sum{j=0..k}二项式（k，j）=Sum{k=0..n}T（n、k）2^k=n+1。
量子整数[n+1]_q=（q^（n+1）-q^，（-n-1））/（q-q^-（-1））=q^
T（n，k）=[x^k]和{j=0..n}（x-1）^j-彼得·卢什尼2019年7月9日
例子
1
0 1
1 -1 1
0 2 -2 1
1 -2 4 -3 1
0 3 -6 7 -4 1
1 -3 9 -13 11 -5 1
0 4 -12 22 -24 16 -6 1
1 -4 16 -34 46 -40 22 -7 1
0 5 -20 50 -80 86 -62 29 -8 1
1 -5 25 -70 130 -166 148 -91 37 -9 1
MAPLE公司
加（二项式（j，k）*（-1）^（j+k），j=k.n）；
数学
表[和[（-1）^（j+k）*二项式[j，k]，{j，0，n}]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔，2018年2月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（总和（j=0，n，（-1）^（j+k）*二项式（j，k）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2018年2月6日
（Magma）[[（&+[（-1）^（j+k）*二项式（j，k）：在[0.n]]中的j）：在[0.n]]中的k：在[0.10]]中的n//G.C.格鲁贝尔2018年2月6日
（鼠尾草）
Trow=λn：总和（（x-1）^j代表（0..n）中的j）.list（）
对于n in（0..10）：打印（Trow（n））#彼得·卢什尼2019年7月9日
扩展
公式re-Euler多项式修正汤姆·科普兰2024年3月8日
1, 2, -1, 4, -4, 8, 1, -12, 16, 6, -32, 32, -1, 24, -80, 64, -8, 80, -192, 128, 1, -40, 240, -448, 256, 10, -160, 672, -1024, 512, -1, 60, -560, 1792, -2304, 1024, -12, 280, -1792, 4608, -5120, 2048
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第796页。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
M.Janjic和B.Petkovic，计数函数，arXiv预印本arXiv:1301.4550，2013.-发件人N.J.A.斯隆2013年2月13日
例子
三角形开始：
1;
2;
-1, 4;
-4, 8;
1, -12, 16;
6, -32, 32;
-1, 24, -80, 64;
-8, 80, -192, 128;
1, -40, 240, -448, 256;
10, -160, 672, -1024, 512;
-1, 60, -560, 1792, -2304, 1024;
-12, 280, -1792, 4608, -5120, 2048;
...
三角形以零开始：
1;
0, 2;
-1, 0, 4;
0, -4, 0, 8;
1, 0, -12, 0, 16;
0, 6, 0, -32, 0, 32;
-1, 0, 24, 0, -80, 0, 64;
0, -8, 0, 80, 0, -192, 0, 128;
1, 0, -40, 0, 240, 0, -448, 0, 256;
0, 10, 0, -160, 0, 672, 0, -1024, 0, 512;
-1, 0, 60, 0, -560, 0, 1792, 0, -2304, 0, 1024;
0, -12, 0, 280, 0, -1792, 0, 4608, 0, -5120, 0, 2048;
...
（结束）
数学
a[n_，k_]：=系数[ChebyshevU[n，x]，x，k]；行[n_]：=表[a[n，k]，{k，Mod[n，2]，n，2}]；表[行[n]，{n，0，11}]//展平(*Jean-François Alcover公司2012年10月3日*）
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