A127672-OEIS公司

抵消

0,1

行多项式R（n，x）：=Sum_{m=0..n}a（n，m）*x^m在Abramowitz-Stegun手册中被称为切比雪夫C_n（x）多项式，第778页，第22.5.11页（见A049310型请注意，在第774页上，S和C多项式已在旧版中混淆）。 -沃尔夫迪特·朗2011年6月3日

这是三角形的签名版本A114525号.

对于m=1..11，无符号列序列（无零）为：A005408,A000290型,A000330号,A002415号,A005585号,A040977号,A050486号,A053347号,A054333号,A054334号,A057788号.

行多项式R（n，x）：=Sum_{m=0..n}a（n，m）*x*m，给出n=2,3，。..，floor（N/2）Chebyshev S（N-1，x）-多项式的正零点（参见A049310型)根据其最大零ρ（N）：=2*cos（Pi/N），将x=rho（N）。正零点的顺序是下降的：n=1对应于最大的零点rho（n），n=floor（n/2）对应于最小的正零点。示例N=5:rho（5）=phi（黄金分割），R（2，phi）=phi^2-2=phi-1，S（4，x）的第二大（和最小）正零点。 -沃尔夫迪特·朗2010年12月1日

对于n>=1，行多项式R（n，x）分解为2*cos（Pi/k）的最小多项式，称为C（k，x），系数在A187360型，如下所示。

R（n，x）=产品{d|oddpart（n）}C（2*n/d，x）

=产品{d|oddpart（n）}C（2^（k+1）*d，x），

带奇数部分（n）=A000265美元（n），2^k是2除以n的最大幂，其中k=0,1,2，。..

（证明：R和C是一元的，两边的度数重合，R（n，x）的零点都出现在R.h.s上。）-沃尔夫迪特·朗2011年7月31日[定理1B，等式（43）在W.Lang链路中-沃尔夫迪特·朗2018年4月13日]

行多项式R（n，x）的零点是2*cos（Pi*（2*k+1）/（2*n）），k=0,1。..，n-1；n>=1（来自切比雪夫T多项式）。 -沃尔夫迪特·朗2011年9月17日

行多项式R（n，x）的判别式如下A193678号. -沃尔夫迪特·朗2011年8月27日

具有M（N；N，M）=R（M-1，X[N]），1<=N，M<=N，N>=1，以及任意X[N]N项的N X N矩阵M（N）的行列式与具有矩阵项V（N；N，M）=X[N'^（M-1）的Vandermondian Det（V（N））的两倍相同。这是第59页Vein-Dale参考中给出的一般定理的一个实例。注意R（0，x）=2（而不是1）。另请参阅2013年8月26日的评论A049310型自2013年8月27日起A000178号. -沃尔夫迪特·朗2013年8月27日

这个三角形a（n，m）也用于表示内接在半径R的圆中的正则（2*（n+1））-边，长度比边/R，称为s（2*，n+1），作为ρ（2*。见平分线（（-1）^（k-s））*A111125号（k，s）和A127677号以获取评论和示例。 -沃尔夫迪特·朗2013年10月5日

发件人汤姆·科普兰2015年11月8日：（开始）

这些是Coxeter简单李代数B_n的邻接矩阵的特征多项式a_n（x）=2*T_n（x/2），与第一类Cheybshev多项式T_n（x）=cos（n*q）和x=cos。给定多项式（x-t）*（x-1/t）=1-（t+1/t）*x+x^2=e2-e1*x+x ^2，该多项式零点的对称幂和p_n（t，1/t）=t^n+t^（-n）可以用初等对称多项式e1=t+1/t=y和e2=t*1/t=1表示为p_n b2，…，十亿）是的费伯多项式A263916型.

给定t和y=t+1/t的前n+1行的部分和是PS（n，t）=sum_{k=0..n}a_n（y）=（t^（n/2）+t^。（对于n素数，这只与分圆多项式有关。）

然后a_n（y）=PS（n，t）-PS（n-1，t），对于t=e^（iq），y=2*cos（q），因此a_n（2*cos（q））=PS（n，e^（iq））-PS（n-1，e^（iq））=2*cos（nq）=2*t_n（cos（q）），其中PS（n，e^（iq））=2*cos（nq/2）*sin（（n+1）q/2）/sin（q/2）。

（完）

R（45，x）是阿德里亚·范·鲁门（Adrian van Roomen，Adrianus Romanus）在1593年的《理想数学》（Ideae mathematicae）中使用的著名多项式，提出了四个问题，由维特（Viète）解决。例如，见哈维尔参考文献，第69-74页。 -沃尔夫迪特·朗2018年4月28日

发件人沃尔夫迪特·朗2018年5月5日：（开始）

行多项式R（n，x）与切比雪夫T多项式的已知恒等式(A053120号)是：

（1） R（-n，x）=R（n，x）。

（2） R（n*m，x）=R（n，R（m，x。

（3） R（2*k+1，x）=（-1）^k*x*S（2*k，sqrt（4-x^2）），k>=0，S行多项式为A049310型.

（4） R（2*k，x）=R（k，x^2-2），k>=0。

（完）

对于y=z^n+z^（-n）和x=z+z^1（-1），Hirzebruch注意到y（z）=R（n，x）表示该项的行多项式。 -汤姆·科普兰2019年11月9日

参考文献

朱利安·哈维尔（Julian Havil），《非理性，你不能指望的数字故事》，普林斯顿大学出版社，普林斯顿和牛津，2012年，第69-74页。

F.Hirzebruch等人，《流形和模块形式》，Vieweg 1994年，第77、105页。

R.Vein和P.Dale，《行列式及其在数学物理中的应用》，Springer，1999年。

链接

罗伯特·伊斯雷尔，n=0..10010时的n，a（n）表（第0到140行，扁平）

M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。第55辑，第十次印刷，1972年。

汤姆·科普兰，椭圆Lie Triad补遗

P.Damianou，关于Cartan矩阵和Chebyshev多项式的特征多项式，arXiv预打印arXiv:1110.6620[math.RT]，2011-2014。

Gary Detlefs和Wolfdieter Lang，线性三项递归序列多段的改进公式，arXiv:2304.12937[math.CO]，2023年。

沃尔夫迪特·朗，行多项式。

沃尔夫迪特·朗，正则n-gon中的场Q（2cos（pi/n））及其Galois群和长度比，arXiv:1210.1018[math.GR]，2012-2017年。

沃尔夫迪特·朗，关于三个完全循环整数系统的等价性，arXiv:2008.04300[math.NT]，2020年。

与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

配方奶粉

如果n是奇数，a（n，0）=0；如果n是偶数，a=A053120号（n，m）（切比雪夫T多项式的系数）。

第m列（带符号三角形）的G.f:2/（1+x^2），如果m=0，则为（x^m）*（1-x^2。

Riordan型矩阵（（1-x^2）/（1+x^2），x/（1+x^2）），如果设a（0,0）=1（而不是2）。

行多项式的O.g.f:R（x，z）：=Sum_{n>=0}R（n，x）*z^n=（2-x*z）*S（x，z），S多项式的O.g.f.S（x，x）=1/（1-x*z+z^2）（参见A049310型).

注意R（n，x）=R（2*n，sqrt（2+x）），n>=0（从两侧的o.g.f.s）。 -沃尔夫迪特·朗2011年6月3日

a（n，m）：如果n<m或n+m奇数，则=0；a（n，0）=2*（-1）^（n/2）（n偶数）；否则a（n，m）=（（-1）^（（n+m）/2+m））*n*二项式（（n+m）/2-1，m-1）/m。

n>=2和m>=2的递归：a（n，m）=a（n-1，m-1）-a（n-2，m），a（n、m）=0，如果n<m，a（2*k，1）=0、a（2xk+1,1）=（2*k+1）*（-1）^k。

切比雪夫T（n，x）=和{m=0..n}a（n，m）*2^（m-1）*x^m-沃尔夫迪特·朗2011年6月3日

R（n，x）=2*T（n，x/2）=S（n，x）-S（n-2，x），n>=0，使用Chebyshev的T多项式和S多项式，表明它们是整数多项式和一元多项式。 -沃尔夫迪特·朗2011年11月8日

发件人汤姆·科普兰2015年11月8日：（开始）

a（n，x）=sqrt（2+a（2n，x，））或2+a。

示例：对于n=2，-2+x^2=sqrt（2+2-4*x^2+x^4）。

对于n=3，-3*x+x^3=sqrt（2-2+9*x^2-6*x^4+x^6）。

（完）

L（x，h1，h2）=-log（1-h1*x+h2*x^2）=Sum_{n>0}F（n，-h1，h2,0，…，0）x^n/n=h1*x+（-2*h2+h1^2）x^2/2+（-3*h1*h2+h 1^3）x^3/3+。..是二元行多项式的对数序列生成器，其中T（0,0）=0，F（n，b1，b2，…，bn）是A263916型.exp（L（x，h1，h2））=1/（1-h1*x+h2*x^2）是A049310型. -汤姆·科普兰，2016年2月15日

例子

行n=4:[2,0，-4,0,1]代表多项式2*y^0-4*y^2+1*y^4。将y^m替换为2^（m-1）*x^m，这将成为T（4，x）=1-8*x^2+8*x^4。

三角形开始：

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。..

0: 2

1: 0 1

2: -2 0 1

3: 0 -3 0 1

4: 2 0 -4 0 1

5: 0 5 0 -5 0 1

6: -2 0 9 0 -6 0 1

7: 0 -7 0 14 0 -7 0 1

8: 2 0 -16 0 20 0 -8 0 1

9: 0 9 0 -30 0 27 0 -9 0 1

10: -2 0 25 0 -50 0 35 0 -10 0 1 ...

分解为最小C多项式：

R（12，x）=R（（2^2）*3，x）=C（24，x）*C（8，x）=C（（2^3）*1，x）*C（（2^3）*3，x）。 -沃尔夫迪特·朗2011年7月31日

MAPLE公司

seq（seq（系数（2*矫形[T]（n，x/2），x，j），j=0..n），n=0..20）； #罗伯特·伊斯雷尔2015年8月4日

数学

a[n_，k_]：=级数系数[（2-t*x）/（1-t*x+x^2），{x，0，n}，{t，0，k}]；扁平[表[a[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]](*L.埃德森·杰弗里2017年11月2日*）

交叉参考

行总和（有符号）：A057079号（n-1）。行总和（无符号）：A000032号（n）（卢卡斯数字）。交替行总和：A099837号（n+3）。

二等分：A127677号（偶数n三角形，没有零项），（（-1）^（n-m））*A111125号（n，m）（奇数n个三角形，没有零项）。

囊性纤维变性。A049310型,A053120号,A108045号,A263916型.

上下文中的序列：A358135型 A212357号 A114525号*A294168型 A299196型 A227698型

相邻序列：A127669号 A127670型 A127671号*A127673号 A127674号 A127675号

关键词

签名,表,容易的

作者

沃尔夫迪特·朗2007年3月7日

扩展

更改了名称并重写了表沃尔夫迪特·朗2011年11月8日

状态

经核准的