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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A127672号 切比雪夫T-多项式的单整数形式(幂递增)。 81
1、2、2、0、1、2、0、1、0、-3、0、1、2、0、1、2、0、-4、0、0、1、2、0、-4、0、0、1、2、2、0、9、0、-6、0、1、0、7、0、14、0、0、14、0、7、0、1、1、7、0、1、1、14、0、14、0、7、7、7、2、0、16、0、16、0、20、20、8、8、0、9、9、27、27、0、9、9、1、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、5、5、5、5、5、5 11,0,1,2,0,-36,0,105,0,-112,0,54,0,-12,0,1,0,13,0,-91 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,1

评论

行多项式R(n,x):=sum(a(n,m)*x^m),m=0..n)在《Abramowitz-Stegun手册》p。778年5月22日

(参见A049310型作为参考,请注意p。774 S和C多项式在旧版印刷品中被混淆了)-狼牙2011年6月3日

这是三角形的签名版本A114525号.

对于m=1..11,无符号列序列(无零)为:A005408号,A000290型,A000330型,A002415,A005585号,A040977号,A050486号,A053347号,A054333号,A054334号,A057788号.

行多项式R(n,x):=和(a(n,m)*x*m,m=0..n),给出了n=2,3,…,floor(n/2)切比雪夫S(n-1,x)-多项式的正零点(见A049310型)根据它最大的零rho(N):=2*cos(Pi/N),把x=rho(N)放进去。正零的顺序是递减的:n=1对应最大的零rho(n),n=floor(n/2)对应最小的正零。例N=5:rho(5)=phi(黄金分割),R(2,phi)=phi^2-2=phi-1,S(4,x)的第二大(最小)正零点-狼牙2010年12月1日

当n>=1时,行多项式R(n,x)分解为2*cos(Pi/k)的最小多项式,称为C(k,x),系数如下所示:A187360型,如下所示。

R(n,x)=乘积(C(2*n/d,x),d |奇数(n))

=乘积(C(2^{k+1}*d,x),d |奇部(n)),

带零头(n)=A000265型(n) ,2^k是2除以n的最大幂,其中k=0,1,2,。。。

(证明:R和C是一元的,两边的度数重合,R(n,x)的零点都出现在R.h.s上)-狼牙,2011年7月31日[W。Lang链接-狼牙2018年4月13日]

行多项式R(n,x)的零点为2*cos(Pi*(2*k+1)/(2*n)),k=0,1,…,n-1;n> =1(来自切比雪夫T多项式)-狼牙2011年9月17日

行多项式R(n,x)的判别式如下A167938号. -狼牙2011年8月27日

具有项M(N)的nxn矩阵M(N)的行列式;n、 m)=R(m-1,x[n]),1<=n,m<=n,n>=1,以及任何x[n],与具有矩阵项V(n)的Vandermondian Det(V(n))的两倍相同;n、 m)=x[n]^(m-1)。这是关于p。59.注意R(0,x)=2(不是1)。另见2013年8月26日的评论A049310型从2013年8月27日起A000178号. -狼牙2013年8月27日

这个三角形a(n,m)也被用来表示规则的(2*(n+1))-边,内接于半径R的圆内,长度比side/R,称为s(2*(n+1)),作为rho(2*(n+1))中的多项式,长度比(最小对角线)/边。见二等分((-1)^(k-s))*A111125号(k,s)和A127677号评论和例子-狼牙2013年10月5日

汤姆·科普兰2015年11月8日:(开始)

这些是Coxeter单李代数B峈n(x)=2t峈n(x/2)的特征多项式,与第一类Cheybshev多项式T峈n(x)=cos(n*q)和x=cos(q)有关(见第页)。给多项式(x-t)(x-1/t)=1-(t+1/t)x+x^2=e2-e1-e1 x+x^2=e2-e1 x+x^2=e2-e1 x+x^2的多项式(x-t-t)(t,1/t)=t^n+t ^(-n)这个多项式的零点零点的对称幂和可以用初等对称多项式的形式来表示,这个多项式的零点的零点可以用初等对称多项式的形式来表示,e1=t+1/t=y和e2=t*1/t=1作为p U n(t,1/t)=a n(t,1/t)=n n(n,y,1,0,0,0,……),其中F(n,n,b1,b1,b2,……,b2,……,,在,。。,bn)是邮编:A263916.

给定t且y=t+1/t的前n+1行的部分和为PS(n,t)=

和(k=0到n,a_n(y))=[t^(n/2)+t^(-n/2)][t^((n+1)/2)-t^((n+1)/2)]/[t^(1/2)-t^(-1/2)](对于n素数,这只与分圆多项式有关。)

然后a_n(y)=PS(n,t)-PS(n-1,t),对于t=e^(iq),y=2 cos(q),因此,a_n(2 cos(q))=PS(n,e^(iq))=2 cos(nq)=2 t賫n(cos(q))=2 cos(nq)=2 t賫n(cos(q))=2 cos(nq/2)sin((n+1)q/2)/sin(q/2)。

(结束)

R(45,x)是阿德里安·范·鲁门(Adrianus Romanus)在1593年的《数学思想》中提出四个问题的著名多项式,由维特解决。例如,见《甲肝参考》,第69-74页-狼牙2018年4月28日

狼牙2018年5月5日:(开始)

列多项式R(n,x)的一些恒等式是由Chebyshev T多项式的已知恒等式得到的(A053120型)是:

(1) R(-n,x)=R(n,x)。

(2) R(n*m,x)=R(n,R(m,x))=R(m,R(n,x))。

(3) R(2*k+1,x)=(-1)^k*x*S(2*k,sqrt(4-x^2)),k>=0,S行多项式为A049310型.

(4) R(2*k,x)=R(k,x^2-2),k>=0。

(结束)

对于y=z^n+z^(-n)和x=z+z^(-1),Hirzebruch注意到y(z)=R(n,x)对于该条目的行多项式-汤姆·科普兰2019年11月9日

参考文献

朱利安·哈维尔(Julian Havil),《非理性主义,你不能指望的数字的故事》,普林斯顿大学出版社,普林斯顿和牛津,2012年,第69-74页。

F。Hirzebruch等人,《流形和模化形式》,Vieweg 1994,第77、105页。

R。静脉和P。戴尔,行列式及其在数学物理中的应用,斯普林格,1999。

链接

罗伯特·以色列,n=0..10010的n,a(n)表(第0至140行,展平)

M。阿布拉莫维茨和我。A。Stegun,编辑。,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55,第十次印刷,1972年。

T。科普兰,椭圆李三和弦补遗

P。达米诺,关于Cartan矩阵和Chebyshev多项式的特征多项式,arXiv预印本arXiv:1110.6620[math.RT],2011-2014年。

沃尔夫迪特·朗,行多项式。

沃尔夫迪特·朗,Q(2cos(pi/n)),它的Galois群和正则n边形上的长度比,arXiv:1210.1018[math.GR],2012-2017年。

沃尔夫迪特·朗,三个完全循环整数系统的等价性,arXiv:2008.04300[math.NT],2020年。

与切比雪夫多项式相关的序列的索引项。

公式

如果n是奇数,a(n,0)=0;如果n是偶数,a(n,0)=2*(-1)^(n/2),否则a(n,m)=t(n,m)/2^(m-1)和t(n,m):=A053120型(n,m)(切比雪夫T多项式的系数)。

G、 f.对于第m列(有符号三角形):2/(1+x^2),如果m=0,其他(x^m)*(1-x^2)/(1+x^2)^(m+1)。

Riordan型矩阵((1-x^2)/(1+x^2),x/(1+x^2)),如果把a(0,0)=1(而不是2)。

O、 对于行多项式:R(x,z):=和(n>=0,R(n,x)*z^n)=(2-x*z)*S(x,z),S多项式的O.g.f.S(x,z)=1/(1-x*z+z^2)(参见A049310型).

注意R(n,x)=R(2*n,sqrt(2+x))。n> =0(从两侧的o.g.f.s)-狼牙2011年6月3日

a(n,m):=0,如果n<m或n+m奇数;a(n,0)=2*(-1)^(n/2)(n偶);否则a(n,m)=((-1)^((n+m)/2+m))*n*二项式((n+m)/2-1,m-1)/m。

n>=2和m>=2的递归:a(n,m)=a(n-1,m-1)-a(n-2,m),a(n,m)=0,如果n<m,a(2*k,1)=(2*k+1,1)=(2*k+1)*(-1)^k。另外,对于m=0列:a(2*k,0)=2*(-1)^k,a(2*k+1,0)=0,k>=0。

切比雪夫T(n,x)=和(m=0..n,a(n,m)*(2^(m-1))*x^m)-狼牙2011年6月3日

R(n,x)=2*T(n,x/2)=S(n,x)-S(n-2,x),n>=0,其中Chebyshev的T-和S-多项式表明它们是整数和一元多项式-狼牙2011年11月8日

汤姆·科普兰2015年11月8日:(开始)

a(n,x)=sqrt[2+a(2n,x)],或2+a(2n,x)=(a(n,x))^2,是第一类切比雪夫多项式与余弦和半角公式关系的反映,(cos(q/2))^2=(1+cos(q))/2。

示例:对于n=2,-2+x^2=sqrt(2+2-4 x^2+x^4)。

对于n=3,-3 x+x^3=sqrt(2-2+9 x^2-6 x^4+x^6)。

(结束)

L(x,h1,h2)=-log(1-h1*x+h2*x^2)=和{n>0}F(n,-h1,h2,0,…,0)x^n/n=h1 x+(-2h2+h1^2)x^2/2+(-3h1 h2+h1^3)x^3/3+。。。。是二元行多项式的对数级数生成器,其中T(0,0)=0,F(n,b1,b2,…,bn)是邮编:A263916. Exp(L(x,h1,h2))=1/(1-h1*x+h2*x^2)是A049310型. -汤姆·科普兰2016年2月15日

例子

第n=4行:[2,0,-4,0,1]代表多项式2*y^0-4*y^2+1*y^4。用2^(m-1)*x^m替换y^m,这就变成T(4,x)=1-8*x^2+8*x^4。

三角形开始:

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

0:2个

1: 0 1

2: -2 0 1

3: 0-3 0 1

4: 2 0-4 0 1

5: 0 5 0-5 0 1

6: -2 0 9 0-6 0 1

7: 0-7 0 14 0-7 0 1

8: 20-16 0 20 0-8 0 1

9: 0 9 0-30 0 27 0-9 0 1

10: -2 0 25 0-50 0 35 0-10 0 1。。。

最小C多项式的因式分解:

R(12,x)=R((2^2)*3,x)=C(24,x)*C(8,x)=C((2^3)*1,x)*C((2^3)*3,x)-狼牙2011年7月31日

枫木

seq(seq(系数(2*正多边形[T](n,x/2),x,j),j=0..n),n=0..20)#罗伯特·以色列2015年8月4日

数学

a[n,k}:系列系数[(2-t*x)/(1-t*x+x^2),{x,0,n},{t,0,k}];展平[表[a[n,k],{n,0,12},{k,0,n}]](*L。埃德森·杰弗瑞2017年11月2日*)

交叉引用

行总和(签名):A057079号(n-1)。行总和(无符号):A000032号(n) (卢卡斯数字)。交替行和:A099837号(n+3)。

平分:A127677号(偶数n个三角形,没有零项),(-1)^(n-m))*A111125号(n,m)(奇数n个三角形,没有零项)。

囊性纤维变性。A049310型,A053120型,A108045型,邮编:A263916.

上下文顺序:A321731 A212357号 A114525号*A294168 A299196年 A227698号

相邻序列:邮编:A127669 A127670号 A127671号*A127673号 A127674号 A127675号

关键字

签名,,容易的

作者

狼牙2007年3月7日

扩展

名称更改和表重写者狼牙2011年11月8日

状态

经核准的

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