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A02267 第一类Chebyshev多项式的系数:CoS(x)下降幂中CoS(n*x)展开系数的三角形。 二十四
1, 1, 2,-1, 4,-3, 8,-8, 1, 16,-20, 5, 32,-48, 18,-1, 64,-112, 56,-7, 128,-256, 160,-32, 1, 256,-576, 432,-576, 432,--,--,--,--,- -,- -,- -,- -,- -,- -,- -,- -,- - 列表图表参考文献历史文本内部格式
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0、3

评论

行的长度是1, 1, 2,2, 3, 3,…A000 8619

这个三角形是由A118800通过向下移动列来允许每行中的(1, 1, 2,2, 3, 3,…)项。-加里·W·亚当森12月16日2007

无符号三角形=A031439*A000 7318. -加里·W·亚当森11月28日2008

三角形,具有省略,由(1, 1, 0,0, 0, 0,0, 0, 0,…)δ(0,-1, 1, 0,0, 0, 0,0, 0,…)给出,其中δ是定义在A084938. -菲利普德勒姆12月16日2011

狼人郎,八月02日(2014):(开始)

这个不规则三角形是切比雪夫三角的行反转版本。A053120由给定A03991删除消失的奇数索引列。

如果在每行n>=1中附加零点,以获得一个规则三角形(参见菲利普德勒姆注释,G.F.和例子)这成为Riordan三角形(1-x)/(1-*x),-x^ 2 /(1-2-x)。也见无符号版本A201701这个规则三角形。

(结束)

显然,这个数组的无符号对角线是行的A13139. -汤姆·科普兰10月11日2014

K=和(d1(t1,ty2)* EM1 1^ Ty1*EM2 2Ty2)求出k的所有长度2个整数分割,即1×Ty1+2*Ty2= k,其中Smik是2个数据中的平均k次幂和对称多项式(即Smik=Syk/2),其中Syk是k次和对称多项式,其中Emik是平均k次对称多项式,Emik=Eyk/二项式(2,k),EEK是第k个初等对称多项式。看来系数是由以下所产生的:数据d1(t1,ty2)形成不规则三角形,每个k值从k=1开始有一行。因此,这个过程和相关的OEIS序列。A28 768A28 8199A28 8207A88211A88245A88188是第一类T切比雪b多项式的推广。-格雷戈瑞热拉尔沃纳尔,朱尔01 2017

推荐信

I. S. Gradshteyn和I. M. Ryzhik,积分表,级数和乘积,第五版,第1.335节,第35页。

S. Selby,编辑,CRC基本数学表,CRC出版社,1970,第106页。[来自里克·谢泼德,朱尔06 2010

链接

Alois P. Heinz行n=0…200,扁平化

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本] P 795。

Pantelis A. Damianou漂亮的正弦公式阿梅尔。数学月121(2014),第2, 120—135。MR3149030

C. Lanczos应用分析(选定页面的注释扫描)

G. G. Wojnar,D. Sz。沃伊纳尔和布林多项式中的普遍奇异线性平均关系表GW。n=2,第22页,ARXIV:1706.08381 [数学,GM ],2017。

公式

CoS(n*x)=2*COS((n-1)*x)*COS(x)-COS((n-2)*x)(来自CRC的多角度关系)。-里克·谢泼德,朱尔06 2010

G.f.:(1-x)/(1-2x+y*x^ 2)。-菲利普德勒姆12月16日2011

SuMu{{=0…n} t(n,k)*x^ k=A011782A(n)A000 0 12(n)A146569(n)A08755(n)A138230(n)A000 64 95(n)A138229(n)分别为x=0, 1, 2、3, 4, 5、6。-菲利普德勒姆12月16日2011

例子

设C=CoS x,我们有:CoS 0x=1,CoS 1x= 1C;CoS 2x= 2C^ 2-1;CoS 3x= 4C^ 3-3C,CoS 4x= 8c^ 4-8c^ 2+1等。

1;1;2,-1;4,-3;8,-8,1;16,-20,5;32,-48,18,-1;

T4= 8x^ 4 -8x^ 2+1=8,-8,+1=2 ^(3)-(4)(2)+[2 ^(-1)](1)/^。

菲利普德勒姆,12月16日2011:(开始)

三角形(1,1,0,0,0,0,……)δ(0,-1,1,0,0,0,0,…)开始:

1;

1, 0;

2,1, 0;

4,3, 0, 0;

8、8, 1, 0、0;

16、20, 5, 0、0, 0;

32,- 48, 18,- 1, 0, 0,0;(结束)

狼人郎,八月02日(2014):(开始)

不规则三角T(n,k)开始:

n k 1 2 3 3 4 5 6 7 8…

0:1

1:1

2:2—1

3:4—3

4:8—8—1

5:16—20—5

6:32—48—18—1

7:64—112—56—7

8:128 - 256 - 160 - 32 - 1

9:256 - 576 - 432 - 120 - 9

10:512 - 1280 - 1120 - 400 50 - 1

11:1024 - 2816 - 2816 - 1232 220 - 11

12:2048 - 6144 - 6912 - 3584 - 840 - 72 1

13:4096 - 13312 - 16640 - 9984 - 2912 - 364 13

14:8192 - 28672 - 39424 - 26880 - 9408 - 1568 98 - 1

15:16384 - 61440 - 92160 - 70400 - 28800 - 6048 560 - 15

t(4,x)=8×x ^ 4×8×x ^ 2+1 *x^ 0,t(5,x)=16×x ^ 5 - 20*x ^ 3 +占卜×x^,用切比雪夫的t多项式(A053120(结束)

Mathematica

t[n]:=(COS[N x]// TrigExpand)/。Sin [x] ^ m] /;Enq[m]>(1 -COS[x] ^ 2)^(m/2)//展开;[r]=Real-ErristList[t[n],Cs[x] ];如果[ODQ[长度[r],AppDeto [r,0 ] ];[r,2 ] [ [全部,1 ] ],{n,0, 13 }] ] [[1;;53 ] ]让弗兰,五月06日2011 *)

交叉裁判

囊性纤维变性。A028.

反思A000 8310,主要入口。零点:A03991.

囊性纤维变性。A053120(行反转表,包括零点)。

囊性纤维变性。A118800A031439A081277A124182.

囊性纤维变性。A131333(行和1),A131333(交替行和)。-狼人郎,八月02日2014

语境中的顺序:A100818 A000 529 A1066*A20737 A114438 A28775

相邻序列:A02244 A02255 A028*A028 A02269 A02300

关键词

塔布容易标志

作者

斯隆

扩展

更多条款戴维·W·威尔逊

行长度序列和链接添加到Abramowitz Stegun狼人郎,八月02日2014

地位

经核准的

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最后修改8月18日04:50 EDT 2019。包含326072个序列。(在OEIS4上运行)