|
| |
|
| A111125号 |
| 按行读取三角形：T（k，s）=（（2*k+1）/（2*s+1））*二项式（k+s，2*s），0<=s<=k。 |
|
43
|
|
|
|
1, 3, 1, 5, 5, 1, 7, 14, 7, 1, 9, 30, 27, 9, 1, 11, 55, 77, 44, 11, 1, 13, 91, 182, 156, 65, 13, 1, 15, 140, 378, 450, 275, 90, 15, 1, 17, 204, 714, 1122, 935, 442, 119, 17, 1, 19, 285, 1254, 2508, 2717, 1729, 665, 152, 19, 1, 21, 385, 2079, 5148, 7007, 5733, 2940, 952, 189, 21, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
T（k，s）在Knuth参考文献中显示为T_s（k），第285页。
这个三角形与三角形有关A156308号（n，m），在第285页的参考文献中以U_m（n）的形式出现，由T（k，s）-T（k-1，s）=A156308号（k，s），k>=s>=1（第286页上的恒等式）。T（k，s）=A156308号（k+1，s+1）-A156308号（k，s+1），k>=s>=0（第286页上的恒等式）。
（结束）
A111125号与联合生成A208513型作为多项式v（n，x）的系数数组：最初，u（1，x）=v（1，x）=1；对于n>1，u（n，x）=u（n-1，x）+x*（x+1）*v（n-1）和v（n，x）=u（n-1，x）+x*v（n-1，x）+1。请参阅Mathematica部分。的列A111125号与以下各项相同A208508型然而，这里的交替行和是周期性的（周期为1、2、1、-1、-2、-1）-克拉克·金伯利2012年2月28日
这个三角形T（k，s）（带有5次幂的符号和列）出现在斐波那契数F的展开式中=A000045号用奇数的倍数作为F数的奇数幂的指数。见Jennings参考，第108页，定理1。在中给出的Ozeki参考中引用为引理3A111418号公式为：F_{（2*k+1）*n}=Sum_{s=0..k}（T（k，s）*（-1）^（k+s）*n）*5^s*F_{n}^（2*s+1）），k>=0，n>=0-Wolfdieter Lang公司2012年8月24日
这个三角形T（k，s）出现在公式x^（2*k+1）-x^。用二项式定理证明逆公式（由于Riordan性质，这就足够了）。王和张的引用论文（1.4）激发了我们对此进行研究的动机。
符号三角形（（-1）^（k-s））*T（k，s）给出多项式C（2*k+1，x）/x的（x^2）^s的系数，其中C是一元整数Chebyshev T多项式，其系数在A127672号（C称为R）。请看那里的奇数行。这个有符号三角形是Riordan数组（（1-x）/（1+x）^2，x/（1+x）^2）。通过比较行多项式的o.g.f.，其中x被x^2替换，与C（n，x）/x的o.g.f.二分法的奇数部分进行证明-Wolfdieter Lang公司2012年10月23日
符号三角形S（k，S）：=（（-1）^对角线）/侧面：
s（4*（k+1））=Sum_{s=0..k}（s（k，s）*rho（4*（k+1））^（2*s+1））。
这是计算模C（4*（k+1），rho（4*A187360型)为了在阶增量（4*（k+1））的代数数域Q（rho（4*A055034号). 感谢Seppo Mustonen让我研究正则n-gon中总长度平方的问题，其中这个公式用于偶数n的情况。请参见A127677号对于（4*k+2）-gon中的公式。（结束）
带符号三角形的行多项式（参见上述2012年10月23日的注释），称它们为todd（k，x）=Sum_{s=0..k}（（-1）^（k-s）*T（k，s）*x^s）=s（k，x-2）-s（k-1，x-2(A049310型)和S（-1，x）=0），满足递归todd（k，x）=（-1）^（k-1）*（（x-4）/2）*todd。2014年8月3日评论A130777号.
这导致了有符号三角形的重复出现，如2013年10月4日的注释所示，称其为S（k，S）：S（k、S）=（1/2）*（1+（-1）^ 1+j）），对于k>=S>=1，如果k<S且S（k，0）=（-1）^k*（2*k+1）。注意，从Riordan A序列导出的递归A115141号相似，但系数更简单：S（k，S）=和(15141年（j） *S（k-1，S-1+j），j=0..k-S），k>=S>=1。
（结束）
有关Coxeter根群Cartan矩阵的特征多项式、Chebyshev多项式、分圆多项式和本条目多项式之间的关系，请参见Damianou（第20和21页）和Damianoo和Evripidou（第7页）。
如Damianou和Evripidou第7页上的方程式所示，该条目的有符号行多项式由（p（n，x））^2=（A（2*n+1，x）+2）/x=（F（2*n+1，（2-x），1，0，…）+给出2） /x=F（2*n+1，-x，2*x，-3*x，…，（-1）^n n*x）/x=-FA127677号和F（n，…）是A263196号.参见。A127672号和A127677号.
（结束）
符号三角形S（k，S）=（（-1）^（k-S））*T（k，S）的行多项式P（k，x）是由三角形的行多项式R（2*k+1，x）给出的A127672号通过
|
|
|
链接
|
亚历山大·伯斯坦（Alexander Burstein）和路易斯·夏皮罗（Louis W.Shapiro），Riordan群中的伪进化，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。
|
|
|
配方奶粉
|
T（k，s）=（（2*k+1）/（2*s+1））*二项式（k+s，2*s），0<=s<=k。
T（n，k）=二项式（n+k，2*k）+2*二项式。
行生成多项式P（n，x）是Morgan-Voyce多项式b（n，x）和b（n，×）的推广。当n>=2时，它们满足递推方程P（n，x）=（x+2）*P（n-1，x）-P（n-2，x），初始条件P（0，x）=1，P（1，x）=x+r+1，且r=2。r=0和r=1的情况给出了Morgan-Voyce多项式A085478号和A078812美元分别是。安德烈·珍妮已经考虑了r将军的案件。
P（n，x）=U（n+1,1+x/2）+U（n，1+x/2A053117号P（n，x）=2/x*{T（2*n+2，u）-T（2*n，u）），其中u=sqrt（（x+4）/4），T（n，x）表示第一类切比雪夫多项式-参见A053120号.P（n，x）=乘积_{k=1..n}（x+4*（sin（k*Pi/（2*n+1））^2）。P（n，x）=1/x*（b（n+1，x）-b（n-1，x））和P（n，x）=1/x*{（b（2*n+2，x）+1）/b（n+1，x）-（b（2*n，x）+1）/b（n，x）}，其中b（n，x）：=Sum_{k=0..n}二项式（n+k，2*k）*x^k是A085478号.参见。A211957型.
（结束）
O.g.f.列号s：（（1+x）/（1-x）^2）*（x/（1-x）^2”^s，s>=0。（来自上述评论中给出的Riordan数据）。
行多项式R（k，x）的O.g.f:=Sum_{s=0..k}（T（k，s）*x^s），k>=0:（1+z）/（1-（2+x）*z+z^2）（来自Riordan属性）。
（结束）
T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-l，k-1）-T（n-2，k），T（0,0）=1，T（1,0）=3，T（1.1）=1-菲利普·德尔汉姆2013年11月12日
|
|
|
例子
|
三角形T（k，s）开始于：
k \s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0: 1
1: 3 1
2: 5 5 1
3: 7 14 7 1
4: 9 30 27 9 1
5: 11 55 77 44 11 1
6: 13 91 182 156 65 13 1
7: 15 140 378 450 275 90 15 1
8: 17 204 714 1122 935 442 119 17 1
9: 19 285 1254 2508 2717 1729 665 152 19 1
10: 21 385 2079 5148 7007 5733 2940 952 189 21 1
斐波那契数F_{（2*k+1）*n}的应用，行k=3：
此Riordan三角形的Z和A序列重复出现的示例：Z=A217477号= [3,-4,12,-40,...]; T（4,0）=3*7-4*14+12*7-40*1=9。A=[1、2、-1、2、-5、14…]；T（5,2）=1*30+2*27-1*9+2*1=77。Wolfdieter Lang公司2012年10月18日
（4*（k+1））-多边形长度比s（4*（k+1））（边/半径）作为比率rho（4*（k+1））（（最小对角线）/边）中的多项式的示例：k=0，s（4）=1*rho（4）=sqrt（2）；k=1，s（8）=-3*rho（8）+rho（8）^3=sqrt（2-sqrt（2））；k=2，s（12）=5*rho（12）-5*rho-Wolfdieter Lang公司2013年10月4日
带符号三角形S（k，S）=（（-1）^（k-S））*T（k，S）的递归示例（参见上述2014年8月14日的注释）：
S（4,1）=0+（-2*2-1）*S（3,1）-（1/2）*（3*4^2*S（3.2）+4*4^3*S（3.3））=-5*14-3*8*（-7）-128*1=-30。Riordan A序列的复发A115141号是S（4,1）=-7-2*14-（-7）-2*1=-30-Wolfdieter Lang公司，2014年8月14日
|
|
|
数学
|
（*第一个程序*）
u[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=16；
u[n，x_]：=u[n-1，x]+x*v[n-1、x]；
v[n，x]：=u[n-1，x]+（x+1）*v[n-1、x]+1；
表[展开[u[n，x]]，{n，1，z/2}]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z/2}]
cu=表[系数列表[u[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cu]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z}]
cv=表[系数列表[v[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cv]
（*第二个程序*）
T[n_，k_]：=（（2*n+1）/（2*k+1））*二项式[n+k，2*k]；
表[T[n，k]，{n，0，15}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年2月1日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：
如果n<0：返回0
如果n==0：如果k==0，则返回1，否则为0
h=3*T（n-1，k），如果n==1，则为2*T（n-1，k）
返回T（n-1，k-1）-T（n-2，k）-h
（岩浆）[（2*n+1）/（n+k+1））*二项式（n+k+1，2*k+1）:k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2022年2月1日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
