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第二类切比雪夫多项式

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切比雪夫大学

一组修正的切比雪夫多项式，由一个稍微不同的生成函数它们产生于四维的发展球形的谐波在角动量理论中。它们是盖根堡多项式的具有α=1它们还与三角函数密切相关多角度公式.切比雪夫表示第二类多项式U_n（x），并在中实现沃尔夫拉姆语言作为切比雪夫[n个,x个]. 多项式U_n（x）如上图所示x英寸[-1,1]和n=1, 2, ..., 5

第二类的前几个切比雪夫多项式是

U_0（x）=1
（1）
U_1（x）=2倍
（2）
U_2（x）=4x^2-1
(3)
U_3（x）=8x^3-4x
(4)
U_4（x）=16倍^4-12倍^2+1
(5)
U_5（x）=32倍^5-32倍^3+6倍
(6)
U_6（x）=64x^6-80x^4+24x^2-1。
(7)

当从最小幂到最大幂排序时，非零系数的三角形为1；2;-1, 4;-4, 8; 1,-12, 16; 6,-32, 32; ... （组织环境信息系统A053117号).

定义生成函数切比雪夫的第二类多项式是

g（t，x）=1/（1-2xt+t^2）
(8)
=sum_（n=0）^（单位）U_n（x）t^n
(9)

对于|x |<1和|t |<1。查看与切比雪夫第一类多项式 T（x），采取部分/部分方程式的(9)以获得

（partialg）/（partialt）=2（x-t）（1-2xt+t^2）^（-2）
(10)
=sum_（n=0）^（infty）nU_n（x）t^（n-1）。
(11)

乘法(◇) 通过t吨然后给出

（2xt-2t^2）（1-2xt+t^2”）^（-2）=sum_（n=0）^inftynU_n（x）t^n
(12)

并添加(12)和(◇) 给予

（（2xt-2t^2）+（1-2xt+t^2=（1-t^2）/（（1-2xt+t^2，^2）
(13)
=sum_（n=0）^（infty）（n+1）U_n（x）t^n。
(14)

这是一样的生成函数至于切比雪夫多项式第一类除以下额外因素外1-2xt+t^2在中分母.

这个罗德里格斯代表对于单位（_n）是

U_n（x）=（（-1）^n（n+1）sqrt（pi））/（2^（n+1）（n+1/2）！（1-x^2）^（1/2））（d^n）/（dx^n）[（1-x ^2）（n+1/2）]。
(15)

多项式也可以用和来定义

U_n（x）=总和（r=0）^（|_n/2_|）（-1）^r（n-r；r）（2x）^
（16）
=总和（m=0）^（|_n/2_|）（n+1；2m+1）x^（n-2m）（x^2-1）^m，
(17)

哪里|_x个_|是楼层功能和【x】是天花板函数,或就产品而言

U_n（x）=2^n产品_（k=1）^n[x-cos（（kpi）/（n+1））]
(18)

（Zwillinger 1995，第696页）。

U_n（x）也要服从趣味行列式身份

U_n=|2x10 0。。。0 0; 1 2 x 10。。。0 0；0 1 2 x 1。。。0 0；0 0 1 2x。。。0 0; 0 0 0 1 ... 1 0; | ... ... ... ... ... 1; 0 0 0 0 ... 1 2倍|。
(19)

第二类切比雪夫多项式是雅可比多项式 P_n^（（α，β））具有α=β=1/2,

U_n（x）=（n+1）（P_n^（（1/2，1/2））（x））/（P_n ^（1/2，1/2））（1））
(20)
=（n+1）_2F_1（-n，n+2；3/2；1/2（1-x）），
(21)

哪里_2F_1（a，b；c；x）是一个超几何的功能（Koekoek和Swarttouw，1998年）。

出租x=服装允许第二类切比雪夫多项式写成

U_n（x）=（sin[（n+1）θ]）/（sintheta）。
(22)

然后通过下式给出变换微分方程的第二个线性相关解

W_n（x）=（cos[（n+1）θ]）/（sintheta），
(23)

也可以写

W_n（x）=（1-x^2）^（-1/2）T_（n+1）（x），
(24)

哪里T_n（x）是一个切比雪夫第一类多项式。请注意W_n（x）因此是不一多项式的.

三角形结果 ρ（U_n（x），U_k（x））由提供{0},{-4,0},{0,-64,0},{16,256,4096,0},{0,0,0,1048576,0}, ... （组织环境信息系统A054376号).

另请参阅

切比雪夫近似公式,切比雪夫多项式第一类,Gegenbauer多项式

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/多项式/ChebyshevU/,http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/ChebyshevUGeneral/

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《正交多项式》第22章手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第771-8021972页。Arfken，G.“切比雪夫（切比雪芙）多项式和切比雪夫多项式——数值应用。"§13.3和13.4英寸数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第731-748页，1985Koekoek，R.和Swarttouw，R.F。“切比雪夫”§1.8.2在里面超几何正交多项式的Askey-Scheme及其应用q个-模拟。荷兰代尔夫特：代尔夫特理工大学，技术数学学院信息学报告98-17，第41-43页，1998年。Koepf，W.“高效切比雪夫多项式的计算。“输入电脑类代数系统：实用指南（编辑：M.J.Wester）。纽约：威利，第79-99页，1999年。小E.佩格。“切比雪夫。”http://www.mathpuzzle.com/ChebyshevU.html.里夫林，T·J。切比雪夫多项式。纽约：威利出版社，1990年。新泽西州斯隆。答：。序列A053117号和A054376号在“整数序列在线百科全书”中扳手，J.和奥尔德姆，K.B。“切比雪夫多项式T_n（x）和U_n（x）“Ch.22英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第193-207页，1987年。瓦西利耶夫，N.和Zelevinsky，A.“切比雪夫多层面：应用递归关系到一组著名的公式。"量子 101999年9月/10月20日至26日。兹威林格，D.（编辑）。CRC公司标准数学表和公式。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，1995年。

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切比雪夫多项式第二类

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《第二类切比雪夫多项式》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ChebyshevPolynomialoftheSecondKind.html

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