显示找到的38个结果中的1-10个。
a（n）=2^n-1。（有时称为梅森数字，尽管该名称通常用于A001348号.)（原名M2655 N1059）
+10
1289
0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295, 8589934591
评论
这是q=2的高斯二项式系数[n，1]。
S_n上秩-1拟阵的个数。
此外，贝拿勒斯神庙问题的解决方案（移动次数最少），即三个菱形针，其中n个针盘按第一个针的大小递减，以相同的顺序放置在第三个针盘上，每次移动不超过一个针盘，也不将一个针盘放在较小的针盘的顶部Xavier Acloque，2003年10月18日
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=最小值，使得a（n，a（m）==0（mod（n-m+1）），对于所有m-阿玛纳斯·穆尔西2003年10月23日
[1，1/2，1/3，…]=[1/1，3/2，7/3，…]的二项式变换；（2^n-1）/n，n=1,2,3-加里·亚当森2005年4月28日
二进制表示为111…1的数字。例如，第7项为（2^7）-1=127=1111111（以2为基数）-亚历山大·瓦恩伯格2005年6月8日
对于n>=2，a（n）是非2次幂的最小斐波那契n阶数-里克·L·谢泼德2007年11月19日
设P（A）是n元集A的幂集，则A（n+1）=P（A-罗斯·拉海耶2008年1月10日
2^n-1是深度n的帕斯卡三角形中元素的总和。-布莱恩·刘易斯（bsl04（AT）uark.edu），2008年2月26日
从偏移量1开始=Jacobsthal序列，A001045号，（1，1，3，5，11，21，…）与（1，2，2，…）卷积-加里·亚当森2009年5月23日
如果n甚至是一个（n）mod 3＝0。这来自同余2^（2k）-1~2*2**2 - 1 ~ 4*4*...*4 - 1 ~ 1*1*...*1-1~0（mod 3）。（请注意，2*2*…*2有偶数个术语。）-华盛顿·邦菲姆2009年10月31日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=2，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年1月26日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0,1；1,2；2）=A（0,1；3，-2；0），在下面给出的W.Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
a（n）＝S（n+1，2），第二类斯特林数。请参见下面的示例-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
帕斯卡三角形中a（n）行的条目都是奇数，而a（n。。。，奇怪。
将条形运算定义为对有符号排列的操作，该操作翻转每个条目的符号。那么a（n+1）是长度为2n的有符号置换的数量，它等于它们的反向补足的条，并且避免了模式集{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。（参见Hardt和Troyka参考。）-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月13日
a（n）是数字k，使得映射k->（3k+1）/2==1（mod 2）直到达到（3k+1/2==0（mod 2中）为止的迭代次数等于n（参见Collatz问题）-米歇尔·拉格诺，2012年1月18日
对于整数a，b，用a<+>b表示，最小c>=a，使得Hd（a，c）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。则a（n+1）=a（n）<+>1。因此，这个序列是非负整数的汉明模拟-弗拉基米尔·舍维列夫2012年2月13日
皮萨诺周期长度：1、1、2、1、4、2、3、1、6、4、10、2、12、3、4、1、8、6、18、4。。。显然地A007733号. -R.J.马塔尔2012年8月10日
从n开始。每个n生成一个子列表{n-1，n-2，…，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。取所有的总和。例如，3->{2,1}和2->{1}，因此a（3）=3+2+1=7-乔恩·佩里2012年9月2日
这是卢卡斯U（P=3，Q=2）序列-R.J.马塔尔2012年10月24日
梅森数>=7都是巴西数，以二为基数。参见链接中的命题1和5.2：“Les nombres brésiliens”-伯纳德·肖特2012年12月26日
H树中第n阶段之后的线段数-奥马尔·波尔2013年2月16日
a（n）是2的最高幂，因此2^a（n）除以（2^n）-伊万·伊纳基耶夫2013年8月17日
在计算机编程中，这些是唯一的无符号数字，例如k&（k+1）=0，其中&是按位AND运算符，数字用二进制表示-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
青蛙问题中交换n只青蛙所需的最少移动次数（例如，参见下面的NRICH1246链接或Britton链接）-N.J.A.斯隆2014年1月4日
a（n）！==4（第5版）；a（n）！==10（11年款）；a（n）！==2、4、5、6（第7版）-胭脂红苏里亚诺2014年4月6日
在0之后，由整数（1，2，3，4，…）的部分和组成的数组的反对角线和-卢西亚诺·安科拉2015年4月24日
a（n+1）等于长度为n的三元字的数量，避免了01,02-米兰Janjic2015年12月16日
当偏移量为0且另一个初始值为0时，第n项为0，0，1，3，7，15。。。是序数n的完全展开冯·诺依曼定义中所需的逗号数。例如，4:=｛0，1，2，3｝：=｛｛｝，｛｝｝，｛｝，｛｝｝，｛｝，｛｝，｛｛｝，｛｝，｛｝，｝，｝，｝，它使用七个逗号。此外，对于n>0，a（n）是序数n-1的完全扩展von Neumann定义中所需的符号总数，其中总是使用单个符号（通常）表示空集，空格被忽略。例如，a（5）=31，表示序号4的此类符号总数-里克·L·谢泼德2016年5月7日
除初始项外，二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴的十进制表示，由“规则659”、“规则721”和“规则734”定义，基于用单个on细胞初始化的5细胞von Neumann邻域-罗伯特·普莱斯2017年3月14日
a（n），n>1，是具有n个元素的集上保序部分内射映射的幺半群的最大子半群的个数-詹姆斯米切尔和威尔夫·威尔逊2017年7月21日
给出了完备二部图K_{n-1，n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
和{k=0..n}p^k是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*p+二项式的行列式（i+j-1，i），在这种情况下p=2（经验观察）-托尼·福斯特三世2019年5月11日
有理数r（n）=a（n+1）/2^（n+1/A000079号（n+1）也作为第n次迭代f^{[n]}（c；x）=2^（n+1 2）*24=21作为溶液。请参阅链接和参考。有关第二个问题（也涉及当前序列），请参阅中的注释A130330型. -沃尔夫迪特·朗2019年10月28日
a（n）是包含n的{1,2，..，n}的所有子集中最小元素的和。例如，a（3）=7；{1,2,3}中包含3的子集是{3}、{1,3}，{2,3}、{1,2,3，最小元素之和为7-恩里克·纳瓦雷特，2020年8月21日
a（n-1）是{1,2，..，n}的非空子集的数目，其中没有与集合大小相同的元素。例如，对于n=4，a（3）=7，并且子集是{2}、{3}、}4}、[1,3}和{1,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
也是完全图K_n中支配集的数目。
此外，当n>=3时，n-helm图中的最小支配集数。（结束）
猜想：除了a（2）=3之外，数字m使得2^（m+1）-2^j-2^k-1对所有0<=j<k<=m都是复合的-柴华武2021年9月8日
a（n）是n维tic-tac-toe中通过角单元的三行数-本·奥林2022年3月15日
当n==1（mod 4）时，a（n）==1（mod 30）；
对于n==3（mod 4），a（n）==7（mod 120）；
对于n奇数，（a（n）-1）/30=（a（n+2）-7）/120；
此外，高度为n-1的完美二叉树中的节点数，或：毕达哥拉斯树构造的第n步之后的正方形（或三角形）数：从一段开始。在每个步骤中，构造以最近的线段为底的正方形，以及以正方形的对边为斜边的等轴直角三角形（位于每个正方形的“顶部”）。在下一步中，这些三角形的腿将用作方块的底线段-M.F.哈斯勒2024年3月11日
a（n）是n-Hanoi图的直径。等价地，a（n）是河内塔问题（即上述贝拿勒斯神庙问题）中任意两个州之间的最大最小移动次数-艾伦·比克2024年8月9日
参考文献
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阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》（2019）第8卷第10期。
配方奶粉
G.f.:x/（（1-2*x）*（1-x））。
例如：exp（2*x）-exp（x）。
例如，如果偏移量1:（（exp（x）-1）^2）/2。
a（n）=和{k=0..n-1}2^k-保罗·巴里2003年5月26日
a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）+2，a（0）=0，a（1）=1-保罗·巴里，2003年6月6日
设b（n）=（-1）^（n-1）*a（n）。那么b（n）=和{i=1..n}i*i*斯特林2（n，i）*（-1）^（i-1）。b（n）的示例：（exp（x）-1）/exp（2x）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年12月19日
a（n+1）=2*a（n）+1，a（0）=0。
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）。
a（n）=n+和{i=0..n-1}a（i）；a（0）=0-里克·L·谢泼德2004年8月4日
a（n+1）=（n+1”）*和{k=0..n}二项式（n，k）/（k+1）-保罗·巴里2004年8月6日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）-保罗·巴里2004年8月23日
Stirling_2（n-k，2）从n=k+1开始-阿图尔·贾辛斯基2006年11月18日
a（n）=箍筋S2（n+1,2）-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a（n）=J_n（2），其中J_n是第n个Jordan Totient函数：(A007434号，是J_2）。
a（n）=和{d|2}d^n*mu（2/d）。（结束）
a（n）=det（|s（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-1），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1-1/（2*4^k-8*x*16 ^k/）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月22日
例如：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*x*2^k-1/Q（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日
a（n）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}n*多项式（t1+t2+…+t_n，t1，t2，…，t_n）/（t1+t1+…+tn）-米尔恰·梅卡2013年12月6日
对于所有k>=3，二项式系数C（n，a（k））与其自身的卷积是C（n、a（k+1））-安东·扎哈罗夫2016年9月5日
a（n）=n+和{j=1..n-1}（n-j）*2^（j-1）。参见2017年6月14日的公式A000918号（n+1）和解释-沃尔夫迪特·朗2017年6月14日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a（n+m）=a（n）*a（m）+a（n-宇春记2018年7月27日
a（n+m）=a（n+1）*a（m）-2*a（n）*a-塔拉斯·戈伊2018年12月23日
a（n+1）是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*2+二项式-托尼·福斯特三世2019年5月11日
例子
对于n=3，a（3）=S（4,2）=7，第二类斯特林数，因为有7种方法可以将{a，b，c，d}划分为2个非空子集，即：，
{a} U型{b，c，d}，{b} U型{a，c，d}，{c} U型{a，b，d}，{d} U型{a，b，c}，{a，b}U{c，{a，c}U{b、d}和{a，d}U｛b，c｝-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
因为a（3）=7，所以有7个4的有符号置换，它们等于它们的反向补足的条，并避免{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。这些是：
(+1,+2,-3,-4),
(+1,+3,-2,-4),
(+1,-3,+2,-4),
(+2,+4,-1,-3),
(+3,+4,-1,-2),
(-3,+1,-4,+2),
(-3,-4,+1,+2). （结束）
G.f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。
对于具有2个磁盘的河内塔问题，移动如下，因此a（2）=3。
12|_|_ -> 2|1|_ -> _|1|2 -> _|_|12 -艾伦·比克2024年8月7日
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A000225号：=n->2^n-1；[seq（2^n-1，n=0..50）]；
数学
a[n]：=2^n-1；表[a[n]，{n，0，30}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月30日*）
阵列[2^#-1&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
线性递归[{3，-2}，{1，3}，20](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
系数列表[级数[1/（1-3 x+2 x ^2），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a000225=（减去1）。(2 ^)
a000225_list=迭代（（+1）。(* 2)) 0
（PARI）连接（0，Vec（x/（（1-2*x）*（1-x））+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月28日
（SageMath）
定义isMersenne（n）：返回n==总和（[（1-b）<<s用于枚举（（n+1）.bits（））中的（s，b）]）#彼得·卢什尼2019年9月1日
（Python）
4的幂：a（n）=4^n。
（原名M3518 N1428）
+10
541
1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, 262144, 1048576, 4194304, 16777216, 67108864, 268435456, 1073741824, 4294967296, 17179869184, 68719476736, 274877906944, 1099511627776, 4398046511104, 17592186044416, 70368744177664, 281474976710656
评论
与活塞序列E（1，4）、L（1，4.）、P（1，4-）、T（1,4）相同。基本上与Pisot序列E（4，16）、L（4，十六）、P（4，-16）、T（4，16.）相同。请参阅A008776号有关活塞序列的定义。
如果P（n）是n的整数分区数，P（i）是n第i个分区的部分数，d（i）则是n第i个分区的不同部分数，m（i，j）是n第一个分区的第j个部分的重数，则a（n）=和{i=1..P（n/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）*2^（n-1）-托马斯·维德2005年5月18日
等于加泰罗尼亚序列：（1，1，2，5，14，…），与卷积A032443号: (1, 3, 11, 42, ...). -加里·亚当森2009年5月15日
（1+x+x^2+x^3）^n的膨胀系数之和。
a（n）是小于4的n个部分的自然数组成数。例如，a（2）=16，因为有16个自然数组成，小于4的2部分。
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1，a（n）等于n的4色组成数，因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
Pascal三角形的行和使用向左将值增加k＝3的因子的规则。例如，前三行是{1}、{3,1}和{9,6,1}。使用此规则，行总和为（k+1）^n-乔恩·佩里2012年10月11日
半长n+1的Dyck路径中所有峰高的总和-大卫·斯卡布勒2013年4月22日
a（n）等于1加上约化分数k/2^n的分子和分母的0<k<2^n之和-J.M.贝戈2015年7月13日
n级常规四叉树的节点数。
满足Benford定律【Berger-Hill，2011年】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a（n-1）是n的3个成分的数量；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月15日
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米尔恰·梅尔卡，余弦幂和的一个注记《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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Paul K.Stockmeyer，帕斯卡·伦布和隐身构型，arXiv预印本arXiv:1504.04404[math.CO]，2015。
配方奶粉
a（n）=4^n。
a（0）=1；a（n）=4*a（n-1）。
G.f.：1/（1-4*x）。
例如：exp（4*x）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（2k，k）*二项式-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月26日[见Graham等人，等式（5.39），第187页-沃尔夫迪特·朗2019年8月16日]
1=和{n>=1}3/a（n）=3/4+3/16+3/64+3/256+3/1024。。。；部分和：3/4、15/16、63/64、255/256、1023/1024-加里·亚当森2003年6月16日
a（n）=和{j=0..n}2^（n-j）*二项式（n+j，j）.-Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2007年4月6日
a（n）=6*箍筋2（n+1，4）+6*箍钢筋2（n+1,3）+3*箍筋2中（n+1、2）+1=2*箍筋2*（2^n，2^n-1）+箍筋2+1-罗斯·拉海耶2008年6月26日
a（n）=和{k=0..n}二项式（2*n+1，k）-米尔恰·梅卡2011年6月25日
Sum_｛n>=1｝Mobius（n）/a（n）=0.1710822479183-R.J.马塔尔2012年8月12日
对于每个实数x，a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（2*k+x，k）*二项式（2*（n-k）-x，n-k）-鲁伊·杜阿尔特和António Guedes de Oliveira，2013年2月16日
a（n）=（2*n+1）*二项式（2*n，n）*和{j=0..n}（-1）^j/（2*j+1）*二项式（n，j）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月15日
a（n）=（1/2）*产品{k=0..n}（1+（2*n+1）/（2*k+1））-彼得·巴拉，2018年3月6日
a（n）=分母（zeta_star({2}_（n+1））/zeta（2*n+2）），其中zeta_star是多个zeta星值({2} _n（n）)表示（2，…，2），其中2的重数为n-鲁迪·埃尔·哈达德2022年2月22日
a（n）=1+3*Sum_{k=0..n}二项式（2*n，n+k）*（k|9），其中（k|8）是雅可比符号-格雷格·德累斯顿2022年10月11日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（2*n+1，2*k）=Sum _{k=0..n}二项式（2*n+1，2*k+1）-塞拉·弗里德2023年3月23日
MAPLE公司
对于从0到10的n，do和（2^（n-j）*二项式（n+j，j），j=0..n）；od；编号Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2007年4月6日
数学
系数列表[级数[1/（1-4x），{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2014年5月29日*）
嵌套列表[4#&，1,30](*哈维·P·戴尔2015年3月26日*）
线性递归[{4}，{1}，31](*罗伯特·拉塞尔2018年11月8日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a000302=（4^）
（Scala）（列表填充（20）（4:BigInt））.scanLeft（1:BigIn）（_*_）//阿隆索·德尔·阿特2019年6月22日
（Python）打印（[4**n代表范围（25）内的n）]#迈克尔·布拉尼基2021年1月4日
a（n）=2^（n-1）*（2^n-1），n>=0。
（原名M4183）
+10
129
0, 1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816, 523776, 2096128, 8386560, 33550336, 134209536, 536854528, 2147450880, 8589869056, 34359607296, 137438691328, 549755289600, 2199022206976, 8796090925056, 35184367894528, 140737479966720, 562949936644096
评论
a（n）也是由n维超立方体中的一对顶点决定的不同线的数目。这些模平行的线数为A003462号.-Ola Veshta（olaveshta（AT）my-deja.com），2001年2月15日
设G_n是n>=1的初等阿贝尔群G_n=（C_2）^n：A006516号是数字-1在G_n的字符表中出现的次数A007582号是数字1的倍数。这两个序列一起涵盖了表中的所有值，即。，A006516号（n）+A007582号（n） =2^（2n）。-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年6月1日
a（n）是由四个不同的字母组成的n个字母的单词数，其中一个出现的次数是奇数-Lekraj Beedassy公司2003年7月22日[例如，见Balakrishnan参考文献，问题2.67和2.68，第69页-沃尔夫迪特·朗2017年7月16日]
循环图C_8中距离为3的两个节点之间长度为2n+1的行走次数-赫伯特·科西姆巴2004年7月2日
分数序列a（n+1）/（n+1）是（1，0，1/3，0，1/5，0，1/7，…）的第三个二项式变换-保罗·巴里，2005年8月5日
序列6*a（n），n>=1，给出了Hanoi图H_4^{n}的边数，图中有4个销钉，n>=1个圆盘-丹尼尔·帕里斯2006年7月28日
8*a（n）是使用佩夫兹纳在《计算分子生物学》（Computational Molecular Biology）一书中建议的二维格雷码制作规则DNA芯片时使用的4*n掩模的总边界长度。-布鲁诺·佩塔佐尼（Bruno（AT）enix.org），2007年4月5日
如果我们从二进制文件中的1开始，在每个步骤中我们都要加1和0，那么我们就构造了这个序列：1110110011000等等。；看见A109241号（n-1）-阿图尔·贾辛斯基2007年11月26日
设P（A）是一个n元集A的幂集，则A（n）=P（A）的元素对{x，y}的个数，其中x不等于y-罗斯·拉海耶2008年1月2日
维德将这些称为“联合常用2组合”。“联合严格k组合”集是联合常用k组合的子集，其中空集和集本身被排除在可能的选择之外。这些数字C（2^n-2，k），对于k=2（即集合幂集的{x，y}），给出{1，0，1，15，91，435，1891，7875，32131，129795，521731，…}-罗斯·拉海耶2008年1月15日
如果我们将假脱机完全数定义为：
欺骗完美数是指如果其奇数复合因子中的一些（一个或多个）被错误地假设为素数，即被视为欺骗素数，则该数将是完美的。
如果我们将“强”欺骗完美数定义为：
“强”假完美数是一个假完美数，其中sigma（n）不揭示n的奇数复合因子的复合性，而n被错误地假设为素数，即取为假素数。
错误地假设n为素数的奇复合因子必须在sigma（n）中求和而不是乘法。
然后：
如果2^n-1是奇数合成，但被当作假素数，那么2^（n-1）*（2^n-1）是偶数假正数（而且是“强”假正数）。
例如：
a（8）=2^（8-1）*（2^8-1）=128*255=32640（其中255（因子为3*5*17）被视为假素数）；
sigma（a（8））=（2^8-1）*（255+1）=255*256=2*（128*255）=2*32640=2n是假脱机完美的（由于另外获得255，因此也是“强”假脱机完美）；
a（11）=2^（11-1）*（2^11-1）=1024*2047=2096128（其中2047（因子为23*89）被视为假素数）；
西格玛（a（11））=（2^11-1）*（2047+1）=2047*2048=2*（1024*2047）=2*2096128=2n是欺骗完美（也是“强”欺骗完美，因为2047是相加获得的）。
我在谷歌上搜索了一下，没有发现任何关于“强”与“弱”欺骗完美数字之间的区别。可能还用到了其他一些术语。
偶数“弱”假正数的一个例子是：
n=90=2*5*9（其中9（因子3^2）被视为假素数）；
sigma（n）=（1+2）*（1+5）*。
欧拉证明：
如果2^k-1是质数，那么2^（k-1）*（2^k-1）是一个完全数，每个偶数完全数都有这种形式。
以下似乎是正确的（有证据吗？）：
如果2^k-1是一个作为假素数的奇数复合数，那么2^（k-1）*（2^k-1）是一个“强”假完美数，每个偶数“强”伪完美数都有这种形式？
只有一个已知的奇数假完美数（由勒内·笛卡尔发现），但它是一个“弱”假完美数。（结束）
从“1”开始=（1，1，2，4，8，…）A002450型: (1, 5, 21, 85, 341, ...); 和（1，3，7，15，31，…）卷积A002001号: (1, 3, 12, 48, 192, ...). -加里·亚当森2010年10月26日
半积分特征的n维奇数θ函数的个数。（冈宁，第22页）-迈克尔·索莫斯，2014年1月3日
a（n）是当所有奇数<2^n除以2,4,8，。。。，2个-J.M.贝戈2014年5月7日
设b（m，k）=从m个标记单元格的圆形数组中形成m个选择序列的方法的数目，而不进行替换，从而在第k个选择中发生第一次选择相邻单元格的单元格（“第一次连接”）。b（m，k）定义为m>=3，3<=k<=m。然后b（m、k）/2m忽略旋转和反射。设m＝n+2，则a（n）＝b（m，m-1）/2m。重申，a（n）是三角形b（m，k）/2m的第（m-1）列，其初始行为（1）、（1 2）、（2 6 4）、（6 18 28 8）、（24 72 128 120 16）、（120 360 672 840 496 32）、（720 2160 4128 5760 5312 2016 64）；看见A249796型。还要注意b（m，3）/2m=n！，b（m，m）/2m=2^n。证明很容易-托尼·巴托莱蒂2014年10月30日
从a（1）=1开始，这个序列是4*k+1形式的前2^（n-1）个数的和=A016813号（k） 。例如，a（4）=120=1+5+9+13+17+21+25+29-J.M.贝戈2014年12月7日
a（n）是Z^n中格L的数目，使得商群Z^n/L是C_4-阿尔瓦尔·伊比亚斯2015年11月26日
设f（x）=x+2*sqrt（x）和g（x）=x-2*sqert（x）。则f（4^n*x）=b（n）*f（x）+a（n）*g（x）和gA007582号. -卢克·卢梭，2018年12月6日
对于n>=1，a（n）是一阶Reed-Muller码RM（1,2n）的覆盖半径-克里斯托夫·贝尔2021年12月22日
a（n）=
参考文献
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链接
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配方奶粉
G.f.:x/（（1-2*x）*（1-4*x））。
例如，对于a（n+1），n>=0:2*exp（4*x）-exp（2*x）。
a（n）=2^（n-1）*斯特林S2（n+1,2），n>=0，斯特林S2（n，m）=A008277号（n，m）。
a（n）=斯特林S2（2^n，2^n-1）=二项式（2^n，2）-罗斯·拉海耶2008年1月12日
a（n+1）=和{k=0..n}和{j=0..n{4^（n-j）*二项式（j，k）-保罗·巴里，2005年8月5日
a（n+2）=6*a（n+1）-8*a（n），a（1）=1，a（2）=6-丹尼尔·帕里斯，2006年7月28日[错误更正人：尤拉门迪，2008年8月6日]
三角形的行和A134346号此外A048473号: (1, 5, 17, 53, 161, ...); 双倍btA151821号：（1、4、8、16、32、64…）和三重btA010684号: (1, 3, 1, 3, 1, 3, ...). -加里·亚当森2007年10月21日
a（n）=3*箍筋2（n+1,4）+箍筋2-罗斯·拉海耶2008年6月1日
a（n）=（（4^n-2^n）/2-2^（n-1））/4，n>=1-零入侵拉霍斯，2009年6月5日
a（n）=二项式（2*n+2，n+1）-加泰罗尼亚语（n+2）-N.J.A.斯隆2021年4月1日
例子
G.f.=x+6*x^2+28*x^3+120*x^4+496*x^5+2016*x^6+8128*x^7+32640*x^8+。。。
MAPLE公司
GBC:=proc（n，k，q）局部i；mul（（q^（n-i）-1）/（q^（k-i）-1），i=0..k-1）；结束；#定义q元高斯二项式系数[n，k]_q
[seq（GBC（n+1，2，2）-GBC（n，2，2中），n=0..30）]；#生产A006516号
seq（二项式（2^n，2），n=0..19）#零入侵拉霍斯，2008年2月22日
数学
表[2^（n-1）（2^n-1），｛n，0，30｝]（*或*）线性递归〔｛6，-8｝，｛0，1｝，30〕(*哈维·P·戴尔2011年7月15日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）[范围（24）内n的lucas_number1（n，6，8）]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（鼠尾草）[（4**n-2**n）/2代表范围（24）内的n]#零入侵拉霍斯，2009年6月5日
（PARI）向量（100，n，n-；2^（n-1）*（2^n-1））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月6日
（哈斯克尔）
a006516 n=a006516_列表！！n个
a006516_list=0:1：
zipWith（-）（map（*6）$tail a006516_list）（映射（*8）a006516-list）
（岩浆）[2^（n-1）*（2^n-1）：[0..30]]中的n//文森佐·利班迪2014年10月31日
（Python）对于范围（0，30）中的n：打印（2**（n-1）*（2**n-1），结束='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月6日
（GAP）列表（[0..25]，n->2^（n-1）*（2^n-1））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年12月6日
1, 7, 31, 127, 511, 2047, 8191, 32767, 131071, 524287, 2097151, 8388607, 33554431, 134217727, 536870911, 2147483647, 8589934591, 34359738367, 137438953471, 549755813887, 2199023255551, 8796093022207, 35184372088831, 140737488355327, 562949953421311
评论
4^n的除数之和-保罗·巴里2005年10月13日
详细阐述Librandi 2014年的评论：所有这些数字，即使是Z中的素数，在Z[sqrt（2）]中也肯定不是素数，因为a（n）至少可以被分解为（2^（2n+1）-1）-。例如，7=（3-sqrt（2））（3+sqrt（2）），31=（7-3*sqrt（2））（7+3*sqrt（2）），127=（15-7*sqrt（2））（15+7*sqrt（2））-阿隆索·德尔·阿特2017年10月17日
链接
鲁迪·埃尔·哈达德，递归和和分区标识，arXiv:2101.09089[math.NT]，2021。
鲁迪·埃尔·哈达德，多重ζ值的推广。第1部分：经常性款项《数论和离散数学注释》，28（2），2022，167-199，DOI:10.7546/nntdm.2022.28.2.167-199。
配方奶粉
通用名称：（1+2*x）/（（1-x）*（1-4*x））。
例如：2*exp（4*x）-exp（x）。
a（n）=（-16^n/2）*B（2n，1/4）/B（2n），其中B（n，x）是第n个伯努利多项式，B（k）=B（k，0）是第k个伯努里数。
a（n）=5*a（n-1）-4*a（n-2）。
a（n）=（-4^n/2）*B（2*n，1/2）/B（2*n）。（结束）
a（n）=箍筋2（2*（n+1），2）-零入侵拉霍斯2006年12月6日
a（n）=4*a（n-1）+3，n>0，a（0）=1-文森佐·利班迪2010年12月30日
a（n）=和{i=0..n}二项式（2n+2，2i）-韦斯利·伊万·赫特2015年3月14日
a（n）=（1/4^n）*Sum_{k=0..n}二项式（2*n+1,2*k）*9^k-彼得·巴拉2019年2月6日
a（n）=分子（ζ({2}_（n+1））/ζ（2*n+2）），其中ζ({2} _n（n）)表示（2，…，2），其中2的重数为n-鲁迪·埃尔·哈达德2022年2月22日
MAPLE公司
序列（2*4^n-1，n=0..22）#彼得·卢什尼2011年8月17日
黄体脂酮素
（岩浆）[2*4^n-1:n英寸[0..30]]//韦斯利·伊万·赫特2015年3月14日
（哈斯克尔）
a083420=减去1。(* 2) . (4 ^) --莱因哈德·祖姆凯勒2015年12月22日
反对偶函数（版本1）读取的Jordan函数J_k（n）的值数组。
+10
24
1, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 8, 7, 1, 4, 12, 26, 15, 1, 2, 24, 56, 80, 31, 1, 6, 24, 124, 240, 242, 63, 1, 4, 48, 182, 624, 992, 728, 127, 1, 6, 48, 342, 1200, 3124, 4032, 2186, 255, 1, 4, 72, 448, 2400, 7502, 15624, 16256, 6560, 511, 1, 10, 72, 702, 3840
参考文献
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配方奶粉
J_k（n）=总和（d除以n，d^k*mu（n/d））-贝诺伊特·克洛伊特和迈克尔·奥里森（Orrison（AT）math.hmc.edu），2002年6月7日
例子
数组开始：
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, ...
1, 3, 8, 12, 24, 24, 48, 48, 72, 72, ...
1, 7, 26, 56, 124, 182, 342, 448, 702, ...
1, 15, 80, 240, 624, 1200, 2400, 3840, ...
MAPLE公司
J:=程序（n，k）局部i，p，t1，t2；t1:=n^k；对于从1到n的p，如果isprime（p）和n mod p=0，则t1:=t1*（1-p^（-k））；fi；od；t1；结束；
#备选方案
加（d^k*numtheory[mobius]（n/d），d=numtheori[divisors]（n））；
结束进程：
数学
JordanTotient[n_，k_：1]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]/；（n>0）&&IntegerQ[n]；
A004736号[n_]：=二项式[楼层[3/2+Sqrt[2*n]]，2]-n+1；
A002260号[n_]：=n-二项式[楼层[1/2+Sqrt[2*n]]，2]；
黄体脂酮素
（PARI）
jordantot（n，k）=汇总（n，d，d^k*moebius（n/d））；
A004736号（n） =二项式（楼层（3/2+sqrt（2*n）），2）-n+1；
（Python）
从functools导入缓存
定义MoebiusTrans（a，i）：
@高速缓存
定义mb（n，d=1）：
返回d%n和-mb（d，n%d<1）+mb（n，d+1）或1//n
def-mob（m，n）：如果m%n==0，则返回mb（m//n），否则为0
返回和（mob（i，d）*a（d）for d in range（1，i+1））
定义Jrow（n，大小）：
return[MoebiusTrans（lambda m:m**n，k）for k in range（1，size）]
对于范围（1，8）中的n：打印（Jrow（n，13））
#或者：
从sympy导入primefactors作为primedivisor
从分数导入分数作为QQ
从math导入prod作为产品
定义J（n:int，k:int）->int：
t=QQ（功率（k，n），1）
s=prime_divisors（k）中p的乘积（1-QQ（1，pow（p，n））
return（t*s）.分子#分母总是1
对于范围（1，8）中的n：打印（[J（n，k）对于范围（1，13）中的k]）
反对偶函数（版本2）读取的Jordan函数J_k（n）的值数组。
+10
22
1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 7, 8, 2, 1, 15, 26, 12, 4, 1, 31, 80, 56, 24, 2, 1, 63, 242, 240, 124, 24, 6, 1, 127, 728, 992, 624, 182, 48, 4, 1, 255, 2186, 4032, 3124, 1200, 342, 48, 6, 1, 511, 6560, 16256, 15624, 7502, 2400, 448, 72, 4, 1, 1023, 19682
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第199页，#3。
R.Sivaramakrishnan，《欧拉托利的多方面》。二、。概括和类比，Nieuw Arch。威斯克。（4） 8（1990），第2期，169-187
例子
数组开始：
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, ...
1, 3, 8, 12, 24, 24, 48, 48, 72, 72, ...
1, 7, 26, 56, 124, 182, 342, 448, 702, ...
1, 15, 80, 240, 624, 1200, 2400, 3840, ...
MAPLE公司
J:=程序（n，k）局部i，p，t1，t2；t1:=n^k；对于从1到n的p，如果isprime（p）和n mod p=0，则t1:=t1*（1-p^（-k））；fi；od；t1；结束；
数学
JordanTotient[n_，k_：1]：=除数总和[n，#^k*MoebiusMu[n/#]&]/；（n>0）&&IntegerQ[n]；
A004736号[n_]：=二项式[楼层[3/2+Sqrt[2*n]]，2]-n+1；
A002260号[n_]：=n-二项式[楼层[1/2+Sqrt[2*n]]，2]；
黄体脂酮素
（PARI）
jordantot（n，k）=汇总（n，d，d^k*moebius（n/d））；
A004736号（n） =二项式（楼层（3/2+sqrt（2*n）），2）-n+1；
G.f.：1/（（1-2*x）*（1-2**^2））。
+10
21
1, 2, 6, 12, 28, 56, 120, 240, 496, 992, 2016, 4032, 8128, 16256, 32640, 65280, 130816, 261632, 523776, 1047552, 2096128, 4192256, 8386560, 16773120, 33550336, 67100672, 134209536, 268419072, 536854528, 1073709056, 2147450880, 4294901760, 8589869056
评论
a（n）是包含至少一个奇数整数的{1,2，…，n+1}的子集数-杰弗里·克雷策2009年3月3日
a（n-3）是使用两种颜色的长度为n的颜色图案的手性对的数目。如果颜色被置换，则两种颜色模式是等效的。例如，使用两种不同颜色的五种颜色的字符串有六个手性对：AAAAB-ABBBB、AAABA-ABAAA、AAABB-AABBB、3ABAB-ABABB、AABBA-ABBAA和ABAB-ABBAB。当手性对计数两次时，使用k种颜色的长度n的颜色图案的数量是斯特林子集数S2（n，k）。长度为n、正好使用2种颜色的非彩色图案的数量为S2（地板（n/2）+1,2）。a（n-3）的值是这两者之差的一半-罗伯特·拉塞尔，2018年2月1日
a（n-2）是一行n种颜色正好有2种不同颜色的手性对的数目。如果序列的相反方向不同，则两者的组合就是手性对。对于正好使用2种不同颜色的4种颜色的行，手性对是AAAB-BAAA、AABA-ABAA、AABB-BBAA、ABAB-BABA、ABBB-BBBA和BABB-BBAB。因此a（4-2）=a（2）=6-罗伯特·拉塞尔，2018年6月10日
链接
S.J.Cyvin等人。，多戊聚糖理论，J.化学。Inf.计算。科学。，33 (1993), 466-474.
Juan B.Gil和Jessica A.Tomasko，受限格拉斯曼排列，arXiv:2112.03338[math.CO]，2021。
配方奶粉
a（n）=2^（n+1）-2^（楼层（（n+1）/2））-杰弗里·克雷策2009年3月3日
a（n）＝2*（a（n-1）位OR a（n-2）），a（0）＝1，a（1）＝2-皮埃尔·查兰德2010年12月12日
G.f.：（1+x*Q（0））/（1-x）^2，其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*2^（2*k）/（2*xx2^k-1/（1+1/（2x2^k-8*x*2（2*k）/（4*x2^k+1/Q（k+1））））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月23日
a（0）=1，a（1）=2，a（2）=6，a（n）=2*a（n-1）+2*a（n-2）-4*a（n-3）-哈维·P·戴尔2013年6月25日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-3-n）*2^（n+2+楼层（（n+1）/2））-迈克尔·索莫斯，2018年7月1日
例子
G.f.=1+2*x+6*x^2+12*x^3+28*x^4+56*x^5+120*x^6+240*x^7+496*x^8+-迈克尔·索莫斯2018年7月1日
MAPLE公司
seq（系数（级数（（1-2*x）*（1-2x^2））^（-1），x，n+1），x、n），n=0..35）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月27日
数学
递归表[{a[n]==2（位或[a[n-1]，a[n-2]]），a[0]==1，a[1]==2}，a，{n，0，32}](*杰弗里·克雷策，2011年1月9日*）
系数列表[级数[1/（（1-2x）（1-2x^2）），{x，0，40}]，x]（*或*）线性递归[{2，2，-4}，{1，2，6}，40](*哈维·P·戴尔2013年6月25日*）
表[（箍筋S2[n，2]-箍筋S2[地板[n/2]+1，2]）/2，{n，3，30}](*罗伯特·拉塞尔2018年1月29日*）
a[n]：=2^（n+1）-2^商[n+1，2]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=2^（n+1）-2^（（n+1/*迈克尔·索莫斯2018年7月1日*/
（GAP）列表（[0..35]，n->2^（n+1）-2^（配额（n+1，2））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年9月27日
按行读取的三角形：T（n，k）=2^n-2^k，0<=k<=n。
+10
20
0, 1, 0, 3, 2, 0, 7, 6, 4, 0, 15, 14, 12, 8, 0, 31, 30, 28, 24, 16, 0, 63, 62, 60, 56, 48, 32, 0, 127, 126, 124, 120, 112, 96, 64, 0, 255, 254, 252, 248, 240, 224, 192, 128, 0, 511, 510, 508, 504, 496, 480, 448, 384, 256, 0, 1023, 1022, 1020, 1016, 1008, 992, 960, 896, 768, 512, 0
例子
三角形开头为：
0;
1, 0;
3, 2, 0;
7, 6, 4, 0;
15, 14, 12, 8, 0;
31, 30, 28, 24, 16, 0;
数学
表[2^n-2^k，{n，0，15}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2021年7月13日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[0..n]中的[2^n-2^k:k，[0..15]]中的n//G.C.格鲁贝尔2021年7月13日
（弧垂）展平（[[2^n-2^k代表k in（0..n）]代表n in（0..15）]）#G.C.格鲁贝尔2021年7月13日
带有2种颜色的n个珠子的可逆串的数量。如果超过1个珠子，则不回文。
+10
15
2, 1, 2, 6, 12, 28, 56, 120, 240, 496, 992, 2016, 4032, 8128, 16256, 32640, 65280, 130816, 261632, 523776, 1047552, 2096128, 4192256, 8386560, 16773120, 33550336, 67100672, 134209536, 268419072, 536854528
评论
a（n）也是路径图P（n）中边数为奇数的诱导子图的数目，如果n>0。-Alessandro Cosentino（cosenal（AT）gmail.com），2009年2月6日
此外，“规则566”定义的二维细胞自动机从原点到第n个生长阶段角的对角线的十进制表示，基于5细胞von Neumann邻域，在第0阶段用单个黑色（on）细胞初始化-罗伯特·普莱斯2017年7月5日
参考文献
S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第170页。
链接
M.Archibald、A.Blecher、A.Knopfmacher、M.E.Mays、，整数合成中的反转和奇偶性，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.4.1条。
S.J.Cyvin等人。，多戊聚糖理论，J.化学。Inf.计算。科学。，33 (1993), 466-474.
配方奶粉
2，0，0，0，…的“BHK”（可逆，同一，未标记）变换。。。
a（n）=2^（n-1）-2^楼层（n-1，/2），n>1-弗拉德塔·乔沃维奇2001年11月11日
G.f.：2*x+x^2/（（1-2*x）*（1-2*x^2））Mohammed Bouayoun（bouyao（AT）wanadoo.fr），2004年3月25日
a（n）=2*（a（n-1）位或a（n-2）），n>3-皮埃尔·查兰德2010年12月12日
a（n）=2*a（n-1）+2*a（-n2）-4*a（n-3）-韦斯利·伊万·赫特2020年7月3日
黄体脂酮素
（岩浆）[2]类[2^（n-1）-2^层（（n-1”/2）：n in[2..40]]//韦斯利·伊万·赫特2020年7月3日
（PARI）a（n）=（[0,1,0；0,0,1；-4，2，2]^（n-1）*[2；1；2]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年10月21日
1, 5, 19, 71, 271, 1055, 4159, 16511, 65791, 262655, 1049599, 4196351, 16781311, 67117055, 268451839, 1073774591, 4295032831, 17180000255, 68719738879, 274878431231, 1099512676351, 4398048608255, 17592190238719
评论
（n+1）-st Peano单词中字母2的出现次数。
在二进制表示法中，前导的一个后跟n个零，然后是n个一-莱因哈德·祖姆凯勒2006年2月7日
群G_nG_{n+1}=G_n（运算）D_8中的对合数。例如，Q_8->1对合；D_8->5对合-罗杰·巴古拉2007年8月8日
链接
A.M.Cohen和D.E.Taylor，关于有限群定义的一类李代数《美国数学月刊》，第114卷，第7期，2007年8月至9月，第633-638页。阿尔索预印本在定理6.2的证明中，a（n）=tn。
谢尔盖·基塔耶夫和图菲克·曼苏尔，皮亚诺曲线与某些模式的计数，arXiv:math/0210268[math.CO]，2002年。第3节引理1，d_2^n=a（n-1）。
配方奶粉
a（n）=2^（2*n-1）+2*a（n-1）+1-罗杰·巴古拉，2007年8月8日
G.f.：1/（1-4*x）+1/（1-2*x）-1/（1-x）。
例如：E^（4*x）+E^
例子
n=5:a（5）=4^5+2^5-1=1024+32-1=1055->“1000001111”。
数学
线性递归[{7，-14，8}，{1，5，19}，30](*哈维·P·戴尔2015年9月6日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[0..60]]中的[4^n+2^n-1:n//文森佐·利班迪2011年4月26日
交叉参考
有关与的关系，请参阅公式部分A000120号,A000217号,A000225号,A002378号,A007582号,A020522号,A023416号,A030101型,A063376号,A070939号,A083420号,A279396型.
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