搜索： a048272-编号：a048272
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1, 1, 0, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 6, 12, 9, 11, 15, 16, 15, 22, 22, 22, 35, 33, 37, 42, 48, 48, 66, 68, 69, 90, 89, 104, 122, 127, 135, 165, 175, 189, 218, 234, 250, 302, 315, 332, 393, 413, 453, 519, 549, 587, 677, 715, 778, 872, 936, 1000, 1142, 1204
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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a（n）~（对数（2））^（1/4）*exp（Pi*sqrt（对数（二）*n/3））/（2^（7/4）*3^（1/4）*n^（3/4））。
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数学
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nmax=100；A048272号=表[Sum[-（-1）^d，{d，Divisors[n]}]，{n，1，nmax}]；系数列表[系列[产品[（1+x^k）^(A048272号[[k]]），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
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1、2、4、8、16、24、48、96、144、192、240、480、720、960、1440、2880、3360、5040、6720、10080、20160、30240、40320、60480、80640、100800、110880、181440、201600、221760、332640、443520、665280、887040、1108800、1330560、1995840、2217600、2661120、2882880、4324320、5765760、8648648640、11531520、14414400
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每个项都是一元数的乘积，即这是一个A025487号也就是说，任何项的素因子的指数都不低于下列素的指数。
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配方奶粉
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例子
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24是一个术语，因为24有6个偶数除数{2,4,6,8,12,24}和2个奇数除数，{1,3}，其差值为4，大于任何小于24的数的差值。
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0, 1, 2, 5, 9, 15, 27, 42, 65, 99, 148, 214, 308, 435, 605, 839, 1145, 1548, 2080, 2769, 3659, 4812, 6278, 8145, 10518, 13506, 17257, 21961, 27821, 35095, 44117, 55243, 68928, 85735, 106285, 131357, 161893, 198944, 243817, 298060, 363446
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配方奶粉
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a（n）~3^（1/4）*log（2）*exp（Pi*sqrt（2*n/3））/（2^（7/4）*Pi*n^（1/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年10月9日
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MAPLE公司
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b： =proc（n）选项记住`如果`（n=0，1，加（加（d*[0，1][1+
irem（d，2）]，d=数值[除数]（j））*b（n-j），j=1..n）/n）
结束时间：
g： =proc（n，i）选项记忆`如果`（i*（i+1）/2<n，0，`如果`（n=0，[1，0]，
加（（1->[l[1]，l[2]+l[1]*j]）（g（n-i*j，i-1）），j=0..分钟（n/i，1））
结束时间：
a： =n->加上（b（n-j）*g（j$2）[2]，j=0..n）：
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数学
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表[Sum[Count[#，_？OddQ]-Count[#,_？EvenQ]&@Divisors@k Series系数[QPochhammer[q，q^2]^-2，{q，0，#}]&[n-k]，{k，n}]，{n，0，40}](*迈克尔·德弗利格2016年6月18日之后迈克尔·索莫斯在A022567号*)
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2, 4, 8, 16, 24, 64, 48, 256, 96, 144, 192, 4096, 240, 16384, 768, 576, 480, 262144, 720, 1048576, 960, 2304, 12288, 16777216, 1440, 5184, 49152, 3600, 3840, 1073741824, 2880, 4294967296, 3360, 36864, 786432, 20736, 5040, 274877906944, 3145728, 147456, 6720, 4398046511104, 11520, 17592186044416
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黄体脂酮素
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（PARI）a048272号（n） =sumdiv（n，d，如果（d%2，1，-1））；
a（n）={my（k=1）；而(a048272号（k） ！=-n、 k++）；k、 }\\米歇尔·马库斯2018年5月27日
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A005408号
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| 奇数：a（n）=2*n+1。
（原名M2400）
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1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 121, 123, 125, 127, 129, 131
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莱布尼茨级数：Pi/4=Sum_{n>=0}（-1）^n/（2n+1）（参见。A072172号).
Sharkovski定理中使用的自然数排序的开始——参见Cielsielski-Pogoda论文。
Sharkovski排序从奇数>=3开始，然后是这些数字的两倍，然后是它们的4倍，再是它们的8倍，以此类推，最后是2的幂，以降序结束，最后是2^0=1。
除了初始项外，Gamma_0（6）的权空间2n尖点的维数也是形式的。
a（1）=1；a（n）是最小的数，使得a（n-阿玛纳斯·穆尔西2003年7月14日
大于n的最小数，不是n的倍数，但包含在二进制表示中-莱因哈德·祖姆凯勒2003年10月6日
Pi*sqrt（2）/4=Sum_{n>=0}（-1）^floor（n/2）/（2n+1）=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11。。。[由于周期f（x）=x over-Pi<x<Pi=2（sin（x）/1-sin（2x）/2+sin（3x）/3-…），使用x=Pi/4（Maor）]-杰拉尔德·麦卡维2005年2月4日
a（n）=所有完整三角形的最短边a，边a<=b<=c，内半径n>=1。
奇数是假设算法“合并排序”可以在恒定单位时间内合并时产生的最简单递归的解，即T（1）：=1，T（n）：=T（地板（n/2））+T（天花板（n/2Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月14日
2n-5统计S_n中模式312零次出现和模式123一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日
对于n>2，a（n-1）是最小整数，而不是<n个n次方数字的和（允许为0）-乔纳森·桑多2007年7月1日
n>0时4^（n-1）的除数-J.洛厄尔2008年8月30日
奇数（n）=2*n+1=平方金字塔数（3*n+1）/三角数（3xn+1）-皮埃尔·卡米2008年9月27日
a（n）也是同一平面上n+2个点可以确定的最大三角形数。3个点确定最大1个三角形；4个点可以得到3个三角形；5分等于5分；6分可以给7分等等-卡米娜·苏里亚诺，2009年6月8日
还有3个粗略数：没有素因子小于3的正整数-迈克尔·波特2009年10月8日
给定图G的L（2,1）标号L，设k是由L指定的最大标号。G的所有L（2,L）标号上可能的最小k用λ（G）表示。对于n>0，这个序列给出了lambda（K{n+1}），其中K{n+1}是n+1顶点上的完整图-K.V.Iyer公司2009年12月19日
对于n>0，连分式[1,1，n]=（n+1）/a（n）；例如，[1,1,7]=8/15-加里·亚当森2010年7月15日
参见描述的属性加里·德特利夫斯在里面A113801号：更一般地，这些数字的形式为（2*h*n+（h-4）*（-1）^n-h）/4（h和n inA000027号)因此（（2*h*n+（h-4）*（-1）^n-h）/4）^2-1==0（mod h）；在这种情况下，a（n）^2-1==0（mod 4）。还有a（n）^2-1==0（mod 8）-布鲁诺·贝塞利2010年11月17日
a（n）是一枚公平硬币所需的最小投掷次数，因此超过n个硬币的概率至少为1/2。事实上，Sum_{k=n+1..2n+1}Pr（k个头|2n+1投掷）=1/2-丹尼斯·沃尔什2012年4月4日
1/N（即，1/1，1/2，1/3，…）=和{j=1,3,5，…，无穷}k^j，其中k是常数1/exp.ArcSinh（N/2）=收敛于barover（N）。收敛到barover（1）或[1,1,1，…]=1/phi=0.6180339…，而cf-barover（2）收敛到0.414213…，依此类推。因此，当k=1/phi时，我们得到1=k^1+k^3+k^5+。。。，通过k=0.414213…=（sqrt（2）-1），我们得到1/2=k^1+k^3+k^5+。。。。同样，当收敛到barover（3）=0.302775…=k时，我们得到1/3=k^1+k^3+k^5+。。。，等-加里·亚当森2012年7月1日
单教练素数猜想(A216371型)关于奇整数：如果整数在A216371型（以4q-1或4q+1形式的一个教练进行素数运算，（q>0））；其coach的顶行由前q个奇数整数的置换组成。例如：素数19（q=5）在其coach的每行中有5个术语：19:[1，9，5，7，3]。。。[1, 1, 1, 2, 4]. 这可以解释为：（19-1）=（2^1*9），（19-9）=（2%1*5），（19-5）=（2_1-7），（19.7）=（2,2*3），（十九-3）=（2-4*1）-加里·亚当森2012年9月9日
这个序列具有唯一的因子分解。基本元素是奇数素数(A065091号). （序列的每个项都可以表示为序列项的乘积。原始元素只有平凡的因式分解。如果序列项的积总是在序列中，并且每个元素都有唯一的因式化为原始元素，我们就说序列有唯一的因子化。因此，例如复数没有唯一的因子分解，因为例如36＝4*9＝6*6有两个不同的因子分解。）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2013年9月28日
这些也是数字k，因此（k^k+1）/（k+1）是一个整数-德里克·奥尔2014年5月22日
a（n-1）给出了直接和{1,2,3，…，n}+{1,2,3,..，n}中不同和的数目。例如，{1}+{1}只有一个可能的和，因此a（0）=1。{1,2}+{1,2,}有三个不同的可能和{2,3,4}，因此a（1）=3。{1,2,3}+{1,2,3+有5个不同的可能和{2,3,4,5,6}，因此a（2）=5-德里克·奥尔2014年11月22日
4*n的分区数最多分为2个部分-科林·巴克2015年3月31日
a（n）可表示为两个但不少于两个连续非负整数的和，例如，1=0+1、3=1+2、5=2+3等（参见A138591号). -马丁·瑞诺2016年3月14日
互补方程a（n）=a（n-1）^2-a（n-2）*b（n-1）的唯一解a（），其中a（0）=1，a（1）=3，a（）和b（）是递增的互补序列-克拉克·金伯利2017年11月21日
同时给出了n-蜈蚣图中最大团和最大团的个数-埃里克·韦斯特因2017年12月1日
词法上最早的不同正整数序列，因此任何连续项的平均值总是一个整数。（有关相对属性，请参见A042963号.) -伊凡·内雷廷2017年12月21日
a（n）是大小为n+1的停车功能的数量，避免了模式123、132和231-劳拉·普德威尔2023年4月10日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第2页。
T.Dantzig，《科学语言》，第4版（1954年），第276页。
H.Doerrie，《初等数学的100个大问题》，纽约州多佛市，1965年，第73页。
D.Hök，Parvisa mönster i permutationer[瑞典]，（2007）。
E.Maor，《三角快乐》，普林斯顿大学出版社，新泽西州，1998年，第203-205页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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阿约米昆·阿德尼兰（Ayomikun Adeniran）和劳拉·普德威尔（Lara Pudwell），停车功能中的模式回避，枚举器。梳子。申请。3:3（2023），第S2R17条。
D.Applegate和J.C.Lagarias，3x+1半群《数论杂志》，第177卷，第1期，2006年3月，第146-159页；另请参见arXiv版本，arXiv:math/0411140[math.NT]，2004-2005年。
伊莎贝尔·卡桑、赫尔穆斯·马洛内克、玛丽亚·艾琳·法尔坎奥和格拉萨·托马兹，多维多项式序列的组合恒等式，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.7.4条。
Milan Janjić，限制性三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
Jay Kappraff和Gary W.Adamson，多边形和混沌，桥梁。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
Franck Ramaharo，枚举扭曲结的状态，arXiv:1712.06543[math.CO]，2017年。
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配方奶粉
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a（n）=2*n+1。a（-1-n）=-a（n）。a（n+1）=a（n）+2。
通用名称：（1+x）/（1-x）^2。
例如：（1+2*x）*exp（x）。
带插值零点的G.f:（x^3+x）/（（1-x）^2*（1+x）^2）；例如f。使用插值零：x*（exp（x）+exp（-x））/2-杰弗里·克雷策2012年8月25日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2）），其中f（u，v）=v*（1+2*u）*（1-2*u+16*v）-（u-4*v）^2*（1+2*u+2*u^2）-迈克尔·索莫斯2007年3月30日
a（n）=b（2*n+1），其中b（n）=n，如果n是奇数，则为乘法。[这似乎说明了这一点A000027号是乘法的吗-R.J.马塔尔2011年9月23日]
a（n）=（n+1）^2-n^2。
G.f.G（x）=总和{k>=0}x ^楼层（sqrt（k））=总和_{k>=0.}x^A000196号（k） ●●●●。（结束）
a（0）=1，a（1）=3，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）-杰姆·奥利弗·拉丰，2008年5月7日
a（n）=（n-1）+n（两个连续整数的和）-多米尼克·坎西拉2010年8月9日
n*a（2n+1）^2+1=（n+1）*a（2 n）^2；例如，3*15^2+1=4*13^2-查理·马里恩2010年12月31日
arctanh（x）=Sum_{n>=0}x^（2n+1）/a（n）-R.J.马塔尔2011年9月23日
a（n）=det（f（i-j+1））{1<=i，j<=n}，其中f（n）=A113311号（n） ；对于n<0，我们得到f（n）=0-米尔恰·梅卡，2012年6月23日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1+2*（k+1）*x/（1-1/（1+2*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月11日
注意，作为n->infinity，sqrt（n^2+n）->n+1/2，设f（n）=n+1/2-sqrt（n ^2+n）。然后，对于n>0，a（n）=圆（1/f（n））/4-理查德·福伯格2014年2月16日
a（n）=Sum_{k=0..n+1}二项式（2*n+1,2*k）*4^（k）*bernoulli（2*k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年2月24日
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（6*n+3,6*k）*Bernoulli（6*k）-米歇尔·马库斯2016年1月11日
和{n>=1}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=Pi/4-1/2=1/（3+（1*3）/（4+（3*5）/（4+…+（4*n^2-1）/（4]…））））。囊性纤维变性。A016754号. -彼得·巴拉2024年3月28日
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例子
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G.f.=q+3*q^3+5*q^5+7*q^7+9*q^9+11*q^11+13*q^13+15*qq^15+。。。
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{2，-1}，{1，3}，20](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
系数列表[级数[（1+x）/（-1+x）^2，{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..100]]中[2*n+1:n；
（PARI）{a（n）=2*n+1}
（PARI）第一（n）=Vec（（1+x）/（1-x）^2+O（x^n））\\伊恩·福克斯2017年12月29日
（哈斯克尔）
a005408 n=（+1）。(* 2)
a005408_list=[1，3..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月11日，2011年6月28日
（Maxima）生成列表（2*n+1，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年12月11日*/
（Python）a=lambda n:2*n+1#因德拉尼尔·戈什2017年1月4日
（GAP）列表（[0..100]，n->2*n+1）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月16日
（弧垂）[2*n+1代表范围（100）内的n]#G.C.格鲁贝尔2018年11月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,核心,美好的,容易的
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作者
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经核准的
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0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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-2, -4, -6, -8, -10, -12, -14, ... 是黎曼-泽塔函数的平凡零点Vivek Suri（vsuri（AT）jhu.edu），2008年1月24日
如果2集Y和（n-2）集Z是n集X的不相交子集，则a（n-2-米兰Janjic2007年9月19日
直链烷烃（C（n）H（2n+2））、支链烷烃（C-保罗·穆尔贾迪2010年2月18日
a（k）是（k，4）-笼的（Moore下界和）阶：周长为4的最小k-正则图：每个部分有k个顶点的完全二部图-杰森·金伯利，2011年10月30日
设n是必须在n+1个孩子之间平均分配的煎饼数。a（n）是完成任务所需的最小径向切割数-伊万·伊纳基耶夫2013年9月18日
对于n>0，a（n）是最大的数字k，因此（k！-n）/（k-n）是一个整数-德里克·奥尔2014年7月2日
当n＞2时，a（n）也是在经典意义上同时避免213、231和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见A245904型有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
4n的分区数正好分为2个部分-科林·巴克2015年3月23日
互补方程a（n）=a（n-1）^2-a（n-2）*b（n-1-克拉克·金伯利2017年11月21日
整数k是偶数正的，当phi（2k）>phi（k）时，其中phi是Euler的总和(A000010号)[参见参考De Koninck&Mercier]-伯纳德·肖特2020年12月10日
避免模式132、213、312的n个元素的3个重复突变的数量，以及避免模式213、231、321的3个错误突变的数量。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月20日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第2页。
J.-M.De Konink和A.Mercier，1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres，Probléme 529a第71和257页，Ellipses，2004年，巴黎。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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尼古拉斯·博尼肯（Nicolas Bonichon）和皮埃尔·让·莫雷尔（Pierre-Jean Morel），Baxter d-置换和其他模式避免类，arXiv:22022.12677[math.CO]，2022。
Charles Cratty、Samuel Erickson、Frehiwet Negass和Lara Pudwell，双重列表中的模式避免，预印本，2015年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（1-x）^2。
带插值零点的G.f:2x^2/（（1-x）^2*（1+x）^2）；例如，带插值零点的f:x*sinh（x）-杰弗里·克雷策2012年8月25日
a（0）=0，a（1）=2，a（n）=2a（n-1）-a（n-2）-杰姆·奥利弗·拉丰2008年5月7日
以n-1为底读取的数字序列22-杰森·金伯利2011年10月30日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）-文森佐·利班迪2011年12月23日
a（n）=2*n=乘积_{k=1..2*n-1}2*sin（Pi*k/（2*n）），n>=0（未定义乘积：=1）。请参阅2013年10月9日的配方奶粉A000027号带有参考-沃尔夫迪特·朗2013年10月10日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）^2=Pi^2/48=A245058型.（结束）
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例子
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G.f.=2*x+4*x^2+6*x^3+8*x^4+10*x^5+12*x^6+14*x^7+16*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..100]]中的[2*n:n；
（R） 序列（0，200，2）
（哈斯克尔）
a005843=（*2）
（Python）def a（n）：返回2*n#马丁·戈戈夫，2022年10月20日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000027号,A002061号,A005408号,A001358号,A077553号,A077554号,A077555号,A002024号,A087112号,A157888号,A157889号,A140811号,A157872号,A157909号,A157910型,165900澳元.
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961, 1369, 1681, 1849, 2209, 2809, 3481, 3721, 4489, 5041, 5329, 6241, 6889, 7921, 9409, 10201, 10609, 11449, 11881, 12769, 16129, 17161, 18769, 19321, 22201, 22801, 24649, 26569, 27889, 29929, 32041, 32761, 36481
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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除了1和数字本身之外，只有1个因子的整数。序列中的每个数字都是除1和数字本身之外的1因子的倍数。4:2是除1和4之外的唯一因素；9:3是除1和9之外的唯一因素；Rachit Agrawal（Rachit _Agrawal（AT）daict.ac.in），2007年10月23日
带p除数的第n个数等于第n个素数的幂p-1，其中p是素数-奥马尔·波尔2008年5月6日
有2个p^2阶阿贝尔群（C_p^2和C_pxC_p），没有非阿贝尔群-弗兰兹·弗拉贝克2008年9月11日
也对n进行编号，使phi（n）=n-sqrt（n）-米歇尔·拉格诺2012年5月25日
设r（n）=（a（n）-1）/（a（n）+1）；则乘积{n>=1}r（n）=（3/5）*（4/5）*2/5-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2019年2月26日
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链接
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布雷迪·哈兰和马特·帕克，平方素数，数字视频（2018）。
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配方奶粉
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对于n>2:a（n）=1（mod 24）-扎克·塞多夫2011年12月7日
产品{n>=1}a（n）/（a（n）-1）=Pi^2/6-丹尼尔·苏图2017年2月6日
乘积_{n>=1}（1+1/a（n））=ζ（2）/ζ（4）=15/Pi^2(A082020型).
产品{n>=1}（1-1/a（n））=1/泽塔（2）=6/Pi^2(A059956号). （结束）
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MAPLE公司
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数学
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素数[Range[30]]^2(*扎克·塞多夫2011年12月7日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a001248 n=a001248_列表！！（n-1）
a001248_list=映射（^2）a000040_list--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
（Magma）[PrimesUpTo（300）中的p^2:p]//文森佐·利班迪2014年3月27日
（SageMath）[n^2表示prime_range（1301）中的n#G.C.格鲁贝尔2024年5月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,改变
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作者
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状态
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经核准的
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A003242号
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| n个相邻部分不相等的成分数（Carlitz成分）。 |
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+10
351
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1, 1, 1, 3, 4, 7, 14, 23, 39, 71, 124, 214, 378, 661, 1152, 2024, 3542, 6189, 10843, 18978, 33202, 58130, 101742, 178045, 311648, 545470, 954658, 1670919, 2924536, 5118559, 8958772, 15680073, 27443763, 48033284, 84069952, 147142465, 257534928, 450748483, 788918212
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第191页。
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链接
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L.Carlitz等人，受限成分《斐波纳契季刊》，14（1976）254-264。
Sylvie Corteel，PawełHitchenko，Carlitz合成的推广，《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.8.8条
史蒂文·芬奇，数学常数的勘误表和补遗，arXiv:2001.00578[math.HO]，2020-2022，第42和117页。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 参见第201页
F.Harary和R.W.Robinson，无枝树的数量，Jnl。Reine Angewandte Mathematik莱因·安格万特·马塞马提克278（1975），322-335。（带注释的扫描副本）
A.Knopfmacher和H.Prodinger，论卡利茨的作品《欧洲组合数学杂志》，1998年第19卷，第579-589页。
E.Munarini、M.Poneti、S.Rinaldi、，基质成分，JIS 12（2009）09.4.8，第8章。
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配方奶粉
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通用公式：1/（1-和{k>0}x^k/（1+x^k））。
a（n）~cr^n，其中c约为0.456387，r约为1.750243。（公式来自Knopfmacher和Prodinger参考。）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2010年5月27日。精度更好：r=1.7502412917183090312497386246398158787782058181590561316586…（参见A241902型)，c=0.45636347405881334921001859298593318027266156100046548066205-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年4月30日
G.f.是1/（1-和{k>0}（z^k/（1-z^k）-p*z^（k*p）/（1-z ^（k*p）））的特例p=2，参见129922英镑. -乔格·阿恩特2013年4月28日
G.f.：1/（1-x*（d/dx）log（产品{k>=1}（1+x^k）^（1/k）））-伊利亚·古特科夫斯基2018年10月18日
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例子
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n=7的23种成分为
[ 1] 1 2 1 2 1
[ 2] 1 2 1 3
[ 3] 1 2 3 1
[4]1 2 4
[ 5] 1 3 1 2
[ 6] 1 3 2 1
[ 7] 1 4 2
[ 8] 1 5 1
[ 9] 1 6
[10] 2 1 3 1
[11] 2 1 4
[12] 2 3 2
[13] 2 4 1
[14] 2 5
[15] 3 1 2 1
[16] 3 1 3
[17] 3 4
[18] 4 1 2
[19] 4 2 1
[20] 4 3
[21]5 2
[22] 6 1
[23] 7
（结束）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，
加法（`if`（j=i，0，b（n-j，`if'（j<=n-j，j，0）），j=1..n））
结束时间：
a： =n->b（n，0）：
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数学
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nmax=50；系数列表[级数[1/（1-总和[x^k/（1+x^k），{k，1，nmax}]），{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）N=66；x='x+O（'x^N）；p＝2；
gf=1/（1-和（k=1，N，x^k/（1-x^k）-p*x^（k*p）/（1-x^（k*p）））；
（哈斯克尔）
a003242 n=a003242_list！！n个
a003242_list=1:f[1]，其中
f xs=y:f（y:xs）其中
y=总和$zipWith（*）xs a048272_list
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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E.罗德尼·坎菲尔德
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扩展
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状态
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经核准的
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A016825号
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| 与2（mod 4）同余的正整数：a（n）=4*n+2，对于n>=0。 |
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+10
211
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2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98, 102, 106, 110, 114, 118, 122, 126, 130, 134, 138, 142, 146, 150, 154, 158, 162, 166, 170, 174, 178, 182, 186, 190, 194, 198, 202, 206, 210, 214, 218, 222, 226, 230, 234
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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奇数的两倍，也称为单偶数。
连续分数（1/2）=（e+1）/（e-1）。tanh（1/2）=（e-1）/（e+1）的连续分数为a（0）=0，a（n）=A016825号（n-1），n>=1。
φ（x）=φ（x/2）的解；原始数字在这里-拉博斯·埃利默2002年12月16日
还有求和{i=1..n+2}（p（i）-p（i+1））^2的最小值，其中p（n+3）=p（1），因为p在{1,2，…，n+2}的所有排列上都有范围（参见Mihai参考）。例如：a（2）=10，因为{1,2,3,4}置换的和的值是10（8倍），12（8倍”）和18（8倍“）-Emeric Deutsch公司2005年7月30日
另外，a（n）=（n-1）+n+（n+1）+（n+2），因此a（n”）和-a（n）都是四个连续整数的和-里克·L·谢泼德2009年3月21日
Pi/8中的分母=1/2-1/6+1/10-1/14+1/18-1/22+-穆罕默德·阿扎里安2011年10月13日
这个序列给出了i^x+1=0，x实数的正零点，其中i^x=exp（i*x*Pi/2）-伊利亚·古特科夫斯基2015年8月8日
数字k，使和{j=1..k}j^3不是k的倍数-柴华湖2017年8月23日
数字k，使得Lucas（k）是3的倍数-布鲁诺·贝塞利2017年10月17日
偶数构成一个环，这些是该环中的素数。注意，素数的唯一因式分解不成立，因为60=2*30=6*10-N.J.A.斯隆2019年11月11日
还有以10结尾的数字，以2为底-约翰基斯2022年5月9日
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参考文献
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H.Bass，数学，数学家和数学教育，公牛。阿默尔。数学。Soc.（N.S.）42（2004），第4期，417-430。
Arthur Beiser，《现代物理概念》，第二版，McGraw-Hill，1973年。
J.R.Goldman，《数学女王》，1998年，第70页。
Granino A.Korn和Theresa M.Korn，《科学家和工程师数学手册》，McGraw-Hill图书公司，纽约（1968年）。
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链接
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D.H.Lehmer，包含算术级数的连分数《数学脚本》，29（1973）：17-24。[摘录的注释副本]
I.Lukovits和D.Janezic，纳米管中共轭电路的计数，J.化学。Inf.计算。科学。44 (2004), 410-414.
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配方奶粉
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a（n）=4*n+2，对于n>=0。
总尺寸：2*（1+x）/（1-x）^2。
例如：2*（1+2*x）*exp（x）。
a（n）=a（n-1）+4。
a（-1-n）=-a（n）。（结束）
当n>0时，a（n）=8*n-a（n-1），a（0）=2-文森佐·利班迪2010年11月20日
a（n）=T（n+2）-T（n-2），其中T（n）=n*（n+1）/2=A000217号（n） ●●●●。一般来说，如果M（k，n）=2*k*n+k，那么M（k、n）=T（n+k）-T（n-k）-查理·马里恩2020年2月24日
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例子
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0.4621171572600097585023184…=0+1/（2+1/（6+1/（10+1/（14+…））），即tanh（1/2）的c.f。
2.1639534137386528487700040…=2+1/（6+1/（10+1/（14+1/（18+…））），即coth（1/2）的c.f。
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MAPLE公司
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a:=n->4*n+2:seq（a（n），n=0。。70); #斯特凡诺·斯佩齐亚2019年6月17日
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数学
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线性递归[{2，-1}，{2，6}，70](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
系数列表[系列[2*（1+x）/（1-x）^2，｛x，0，70｝]，x](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
嵌套列表[#+4&，2，60](*哈维·P·戴尔2022年4月8日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..70]]中的[4*n+2:n；
（PARI）a（n）=4*n+2
（PARI）contfrac（tanh（1/2））\\说明第三条评论-哈里·史密斯2009年5月9日[编辑：M.F.哈斯勒2020年3月9日]
（哈斯克尔）
a016825=（+2）。(* 4)
（GAP）平面（列表（[0..70]，n->4*n+2））#斯特凡诺·斯佩齐亚2019年6月17日
（Sage）[4*n+2表示n in（0..70）]#G.C.格鲁贝尔2019年6月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,cofr公司,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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除了初始项外，Gamma_0（14）的权重空间2n尖点的维数也是形式的。
如果X是一个n集，并且X的Y和Z不相交的2个子集，那么a（n-3）等于X的3个子集的数目，这些子集与Y和Z相交-米兰Janjic2007年8月26日
允许重复的5个对象u、v、z、x、y的n-置换数（n>=1），包含n-1个u。例如：如果n=1，则n-1=0（0）u，a（1）=4，因为我们有v、z，x、y。如果n=2，则n=1=1（1）u，b（2）=8，因为我们具有vu、zu、xu、yu、uv、uz、ux、uy。A038231号格式化为三角形数组：对角线：4、8、12、16、20、24、28、32-零入侵拉霍斯2008年8月6日
a（n）*Pi=由半径为2的圆从零开始沿正x轴滚动而生成的摆线的非负零点-韦斯利·伊万·赫特2013年7月1日
除了初始项之外，边长为2的n维三次格子（n>1）上的最小路径的顶点数，直到一个自空行走被卡住为止。A004767型+ 1. -马修·雷曼2013年12月23日
当轨道基数等于2688时，Aut（Z^7）的轨道数是轨道代表格点的无穷范数n的函数-菲利普·谢瓦利埃2015年12月29日
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链接
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汤姆·M·阿波斯托尔，解析数论导论《施普林格·弗拉格出版社》，1976年，第3页。
弗兰克·拉马哈罗，几类结阴影的统计，arXiv:1802.07701[math.CO]，2018年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014年，2015年。
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配方奶粉
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总尺寸：4*x/（1-x）^2-大卫·威尔丁2014年6月21日
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a008586=（*4）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A000466号,A001844号,A004767号,A008574号,A030308号,A033888号,A035008号,A038231号,A048272号,A053755号,A090418号,A214546型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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