搜索: a048272-编号:a048272
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1, 1, 0, 2, 1, 1, 3, 1, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 6, 12, 9, 11, 15, 16, 15, 22, 22, 22, 35, 33, 37, 42, 48, 48, 66, 68, 69, 90, 89, 104, 122, 127, 135, 165, 175, 189, 218, 234, 250, 302, 315, 332, 393, 413, 453, 519, 549, 587, 677, 715, 778, 872, 936, 1000, 1142, 1204
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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链接
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配方奶粉
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a(n)~(对数(2))^(1/4)*exp(Pi*sqrt(对数(二)*n/3))/(2^(7/4)*3^(1/4)*n^(3/4))。
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数学
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nmax=100;A048272号=表[Sum[-(-1)^d,{d,Divisors[n]}],{n,1,nmax}];系数列表[系列[产品[(1+x^k)^(A048272号[[k]]),{k,1,nmax}],{x,0,nmax{],x]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 2, 4, 8, 16, 24, 48, 96, 144, 192, 240, 480, 720, 960, 1440, 2880, 3360, 5040, 6720, 10080, 20160, 30240, 40320, 60480, 80640, 100800, 110880, 181440, 201600, 221760, 332640, 443520, 665280, 887040, 1108800, 1330560, 1995840, 2217600, 2661120, 2882880, 4324320, 5765760, 8648640, 11531520, 14414400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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每个项都是一元数的乘积,即这是一个A025487号也就是说,任何项的素因子的指数都不低于下列素的指数。
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链接
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配方奶粉
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例子
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24是一个术语,因为24有6个偶数除数{2,4,6,8,12,24}和2个奇数除数,{1,3},其差值为4,大于任何小于24的数的差值。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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0, 1, 2, 5, 9, 15, 27, 42, 65, 99, 148, 214, 308, 435, 605, 839, 1145, 1548, 2080, 2769, 3659, 4812, 6278, 8145, 10518, 13506, 17257, 21961, 27821, 35095, 44117, 55243, 68928, 85735, 106285, 131357, 161893, 198944, 243817, 298060, 363446
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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配方奶粉
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a(n)~3^(1/4)*log(2)*exp(Pi*sqrt(2*n/3))/(2^(7/4)*Pi*n^(1/4))-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年10月9日
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MAPLE公司
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b: =proc(n)选项记忆`如果`(n=0,1,加(加(d*[0,1][1+
irem(d,2)],d=数值[除数](j))*b(n-j),j=1..n)/n)
结束时间:
g: =proc(n,i)选项记忆`如果`(i*(i+1)/2<n,0,`如果`(n=0,[1,0],
加((1->[l[1],l[2]+l[1]*j])(g(n-i*j,i-1)),j=0..分钟(n/i,1))
结束时间:
a: =n->加上(b(n-j)*g(j$2)[2],j=0..n):
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数学
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表[Sum[Count[#,_?OddQ]-Count[#,_?EvenQ]&@Divisors@k Series系数[QPochhammer[q,q^2]^-2,{q,0,#}]&[n-k],{k,n}],{n,0,40}](*迈克尔·德弗利格2016年6月18日之后迈克尔·索莫斯在A022567号*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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2, 4, 8, 16, 24, 64, 48, 256, 96, 144, 192, 4096, 240, 16384, 768, 576, 480, 262144, 720, 1048576, 960, 2304, 12288, 16777216, 1440, 5184, 49152, 3600, 3840, 1073741824, 2880, 4294967296, 3360, 36864, 786432, 20736, 5040, 274877906944, 3145728, 147456, 6720, 4398046511104, 11520, 17592186044416
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评论
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所有条款都是公平的。
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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(PARI)a048272美元(n) =sumdiv(n,d,如果(d%2,1,-1));
a(n)={my(k=1);而(a048272号(k) !=-n、 k++);k、 }\\米歇尔·马库斯2018年5月27日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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A005408号
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| 奇数:a(n)=2*n+1。 (原名M2400)
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+10 1181
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1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 119, 121, 123, 125, 127, 129, 131
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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莱布尼茨级数:Pi/4=Sum_{n>=0}(-1)^n/(2n+1)(参见。A072172号).
Sharkovski定理中使用的自然数排序的开始——参见Cielsielski-Pogoda论文。
Sharkovski排序从奇数>=3开始,然后是这些数字的两倍,然后是它们的4倍,再是它们的8倍,以此类推,最后是2的幂,以降序结束,最后是2^0=1。
除了初始项(s)之外,对于Gamma_0(6),权重为2n的空间的维数形成尖点。
a(1)=1;a(n)是最小的数,使得a(n-阿玛纳斯·穆尔西2003年7月14日
大于n的最小数,不是n的倍数,但包含在二进制表示中-莱因哈德·祖姆凯勒2003年10月6日
Pi*sqrt(2)/4=Sum_{n>=0}(-1)^floor(n/2)/(2n+1)=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11。。。[由于周期f(x)=x over-Pi<x<Pi=2(sin(x)/1-sin(2x)/2+sin(3x)/3-…),使用x=Pi/4(Maor)]-杰拉尔德·麦卡维2005年2月4日
a(n)=所有完整三角形的最短边a,边a<=b<=c,内半径n>=1。
奇数是假设算法“合并排序”可以在恒定单位时间内合并时产生的最简单递归的解,即T(1):=1,T(n):=T(地板(n/2))+T(天花板(n/2Peter C.Heinig(算法(AT)gmx.de),2006年10月14日
2n-5统计S_n中模式312零次出现和模式123一次出现的排列David Hoek(David.hok(AT)telia.com),2007年2月28日
对于n>2,a(n-1)是最小整数,而不是<n个n次方数字的和(允许为0)-乔纳森·桑多2007年7月1日
n>0时4^(n-1)的除数-J.洛厄尔2008年8月30日
奇数(n)=2*n+1=平方金字塔数(3*n+1)/三角数(3xn+1)-皮埃尔·卡米2008年9月27日
a(n)也是同一平面中n+2个点可以确定的三角形的最大数量。3个点确定最大1个三角形;4个点可以得到3个三角形;5分等于5分;6分可以得到7分等等-卡米娜·苏里亚诺,2009年6月8日
还有3个粗略数:没有素因子小于3的正整数-迈克尔·波特2009年10月8日
给定图G的L(2,1)标号L,设k是由L指定的最大标号。G的所有L(2,L)标号上可能的最小k用λ(G)表示。对于n>0,这个序列给出了lambda(K{n+1}),其中K{n+1}是n+1顶点上的完整图-K.V.Iyer公司2009年12月19日
对于n>0,连分式[1,1,n]=(n+1)/a(n);例如,[1,1,7]=8/15-加里·亚当森2010年7月15日
参见描述的属性加里·德特利夫斯在里面A113801号:更一般地,这些数字的形式为(2*h*n+(h-4)*(-1)^n-h)/4(h和n inA000027号)因此((2*h*n+(h-4)*(-1)^n-h)/4)^2-1==0(mod h);在这种情况下,a(n)^2-1==0(mod 4)。还有a(n)^2-1==0(mod 8)-布鲁诺·贝塞利2010年11月17日
a(n)是一枚公平硬币所需的最小投掷次数,因此超过n个硬币的概率至少为1/2。事实上,Sum_{k=n+1..2n+1}Pr(k头|2n+1抛掷)=1/2-丹尼斯·沃尔什2012年4月4日
1/N(即,1/1,1/2,1/3,…)=和{j=1,3,5,…,无穷}k^j,其中k是常数1/exp.ArcSinh(N/2)=收敛于barover(N)。收敛到barover(1)或[1,1,1,…]=1/phi=0.6180339…,而cf-barover(2)收敛到0.414213…,依此类推。因此,当k=1/phi时,我们得到1=k^1+k^3+k^5+。。。,通过k=0.414213…=(sqrt(2)-1),我们得到1/2=k^1+k^3+k^5+。。。。同样,当收敛到barover(3)=0.302775…=k时,我们得到1/3=k^1+k^3+k^5+。。。,等-加里·亚当森2012年7月1日
单教练素数猜想(A216371型)关于奇整数:如果整数在A216371型(有一个辅导员的素数形式为4q-1或4q+1,(q>0));其coach的顶行由前q个奇数整数的置换组成。示例:素数19(q=5),在其coach的每行中有5个项:19:[1,9,5,7,3]。。。[1, 1, 1, 2, 4]. 这可以解释为:(19-1)=(2^1*9),(19-9)=(2%1*5),(19-5)=(2_1-7),(19.7)=(2,2*3),(十九-3)=(2-4*1)-加里·亚当森2012年9月9日
这个序列有唯一的因子分解。基本元素是奇数素数(A065091号). (序列的每个项都可以表示为序列项的乘积。原始元素只有平凡的因式分解。如果序列项的积总是在序列中,并且每个元素都有唯一的因式化为原始元素,我们就说序列有唯一的因子化。因此,例如复合数没有唯一的因子分解,因为例如36=4*9=6*6有两个不同的因子分解。)-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2013年9月28日
这些也是数字k,使得(k^k+1)/(k+1)是一个整数-德里克·奥尔2014年5月22日
a(n-1)给出了直接和{1,2,3,…,n}+{1,2,3,..,n}中不同和的数目。例如,{1}+{1}只有一个可能的和,因此a(0)=1。{1,2}+{1,2,}有三个不同的可能和{2,3,4},因此a(1)=3。{1,2,3}+{1,2,3+有5个不同的可能和{2,3,4,5,6},因此a(2)=5-德里克·奥尔2014年11月22日
4*n的分区数最多分为2个部分-科林·巴克2015年3月31日
a(n)可表示为两个但不少于两个连续非负整数的和,例如,1=0+1、3=1+2、5=2+3等(参见A138591号). -马丁·瑞诺2016年3月14日
互补方程a(n)=a(n-1)^2-a(n-2)*b(n-1-克拉克·金伯利2017年11月21日
同时给出了n-蜈蚣图中最大团和最大团的个数-埃里克·韦斯特因2017年12月1日
词法上最早的不同正整数序列,因此任何连续项的平均值总是一个整数。(有关相反的属性,请参见A042963号.) -伊凡·内雷廷2017年12月21日
a(n)是大小为n+1的停车功能的数量,避免了模式123、132和231-劳拉·普德威尔2023年4月10日
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参考文献
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T.M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第2页。
T.Dantzig,《科学语言》,第4版(1954年),第276页。
H.Doerrie,《初等数学的100个大问题》,纽约州多佛市,1965年,第73页。
D.Hök,Parvisa mönster i permutationer[瑞典],(2007)。
E.Maor,《三角快乐》,普林斯顿大学出版社,新泽西州,1998年,第203-205页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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阿约米昆·阿德尼兰(Ayomikun Adeniran)和劳拉·普德威尔(Lara Pudwell),停车功能中的模式避免,枚举器。梳。申请。3:3(2023),第S2R17条。
D.Applegate和J.C.Lagarias,3x+1半群《数论杂志》,第177卷,第1期,2006年3月,第146-159页;另请参见arXiv版本,arXiv:math/0411140[math.NT],2004-2005年。
伊莎贝尔·卡桑、赫尔穆斯·马洛内克、玛丽亚·艾琳·法尔坎奥和格拉萨·托马兹,与多维多项式序列相关的组合恒等式,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.7.4条。
Milan Janjić,限制性三元词和插入词,arXiv:1905.04465[math.CO],2019年。
杰伊·卡普拉夫(Jay Kappraff)和加里·亚当森(Gary W.Adamson),多边形和混沌,桥梁。
弗兰克·拉马哈罗,枚举扭曲结的状态,arXiv:1712.06543[math.CO],2017年。
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配方奶粉
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a(n)=2*n+1。a(-1-n)=-a(n)。a(n+1)=a(n)+2。
通用名称:(1+x)/(1-x)^2。
例如:(1+2*x)*exp(x)。
带插值零点的G.f:(x^3+x)/((1-x)^2*(1+x)^2);例如,带插值零的f.:x*(exp(x)+exp(-x))/2-杰弗里·克雷策2012年8月25日
G.f.A(x)满足0=f(A(x),A(x^2)),其中f(u,v)=v*(1+2*u)*(1-2*u+16*v)-(u-4*v)^2*(1+2*u+2*u^2)-迈克尔·索莫斯2007年3月30日
a(n)=b(2*n+1),其中b(n)=n,如果n是奇数,则为乘法。[这似乎说明了这一点A000027号是乘法的吗-R.J.马塔尔2011年9月23日]
a(n)=(n+1)^2-n^2。
G.f.G(x)=总和{k>=0}x ^楼层(sqrt(k))=总和_{k>=0.}x^A000196号(k) ●●●●。(结束)
a(0)=1,a(1)=3,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)-杰姆·奥利弗·拉丰2008年5月7日
a(n)=(n-1)+n(两个连续整数的和)-多米尼克·坎西拉2010年8月9日
n*a(2n+1)^2+1=(n+1)*a(2 n)^2;例如,3*15^2+1=4*13^2-查理·马里恩2010年12月31日
arctanh(x)=Sum_{n>=0}x^(2n+1)/a(n)-R.J.马塔尔2011年9月23日
a(n)=det(f(i-j+1)){1<=i,j<=n},其中f(n)=A113311号(n) ;对于n<0,我们得到f(n)=0-米尔恰·梅卡2012年6月23日
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1+2*(k+1)*x/(1-1/(1+2*(k+1)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月11日
a(n)=Product_{k=1..2*n}2*sin(Pi*k/(2*n+1))=Product_{k=1。请参阅2013年10月9日的配方奶粉A000027号带有参考-沃尔夫迪特·朗2013年10月10日
注意,作为n->infinity,sqrt(n^2+n)->n+1/2,设f(n)=n+1/2-sqrt(n ^2+n)。然后,对于n>0,a(n)=圆(1/f(n))/4-理查德·福伯格2014年2月16日
a(n)=Sum_{k=0..n+1}二项式(2*n+1,2*k)*4^(k)*bernoulli(2*k)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年2月24日
a(n)=Sum_{k=0..n}二项式(6*n+3,6*k)*Bernoulli(6*k)-米歇尔·马库斯2016年1月11日
和{n>=1}(-1)^n/(a(n)*a(n+1))=Pi/4-1/2=1/(3+(1*3)/(4+(3*5)/(4+…+(4*n^2-1)/(4]…))))。囊性纤维变性。A016754号. -彼得·巴拉2024年3月28日
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例子
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G.f.=q+3*q^3+5*q^5+7*q^7+9*q^9+11*q^11+13*q^13+15*qq^15+。。。
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MAPLE公司
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数学
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线性递归〔{2,-1},{1,3},20〕(*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*)
系数列表[级数[(1+x)/(-1+x)^2,{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[0..100]]中[2*n+1:n;
(PARI){a(n)=2*n+1}
(PARI)第一(n)=Vec((1+x)/(1-x)^2+O(x^n))\\伊恩·福克斯2017年12月29日
(哈斯克尔)
a005408 n=(+1)。(* 2)
a005408_list=[1,3..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月11日,2011年6月28日
(Maxima)标记列表(2*n+1,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年12月11日*/
(Python)a=lambda n:2*n+1#因德拉尼尔·戈什2017年1月4日
(GAP)列表([0..100],n->2*n+1)#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年10月16日
(弧垂)[2*n+1代表范围(100)内的n]#G.C.格鲁贝尔2018年11月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,核心,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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-2, -4, -6, -8, -10, -12, -14, ... 是黎曼-泽塔函数的平凡零点Vivek Suri(vsuri(AT)jhu.edu),2008年1月24日
如果2集Y和(n-2)集Z是n集X的不相交子集,则a(n-2-米兰Janjic2007年9月19日
直链烷烃(C(n)H(2n+2))、支链烷烃(C-保罗·穆尔贾迪2010年2月18日
a(k)是(k,4)-笼的(Moore下界和)阶:周长为4的最小k-正则图:每个部分有k个顶点的完全二部图-杰森·金伯利2011年10月30日
设n是必须在n+1个孩子之间平均分配的煎饼数。a(n)是完成任务所需的最小径向切割数-伊万·伊纳基耶夫2013年9月18日
对于n>0,a(n)是最大的数字k,因此(k!-n)/(k-n)是一个整数-德里克·奥尔2014年7月2日
当n>2时,a(n)也是在经典意义上同时避免213、231和321的排列数,可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见A245904型有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
4n的分区数正好分为2个部分-科林·巴克2015年3月23日
互补方程a(n)=a(n-1)^2-a(n-2)*b(n-1-克拉克·金伯利2017年11月21日
整数k是偶数正的,当phi(2k)>phi(k)时,其中phi是Euler的总和(A000010号)[参见参考De Koninck&Mercier]-伯纳德·肖特2020年12月10日
避免模式132、213、312的n个元素的3个重复突变的数量,以及避免模式213、231、321的3个错误突变的数量。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月20日
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参考文献
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T.M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第2页。
J.-M.De Konink和A.Mercier,1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres,Probléme 529a第71和257页,Ellipses,2004年,巴黎。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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尼古拉斯·博尼肯(Nicolas Bonichon)和皮埃尔·让·莫雷尔(Pierre-Jean Morel),Baxter d-置换和其他模式避免类,arXiv:22022.12677[math.CO],2022。
Charles Cratty、Samuel Erickson、Frehiwet Negass和Lara Pudwell,双重列表中的模式避免,预印本,2015年。
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配方奶粉
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总尺寸:2*x/(1-x)^2。
带插值零点的G.f:2x^2/((1-x)^2*(1+x)^2);例如,带插值零点的f:x*sinh(x)-杰弗里·克雷策2012年8月25日
a(0)=0,a(1)=2,a(n)=2a(n-1)-a(n-2)-杰姆·奥利弗·拉丰2008年5月7日
以n-1为基数读取数字序列22-杰森·金伯利2011年10月30日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3)-文森佐·利班迪2011年12月23日
a(n)=2*n=Product_{k=1..2*n-1}2*sin(Pi*k/(2*n)),n>=0(未定义乘积:=1)。请参阅2013年10月9日的配方奶粉A000027号带有参考-沃尔夫迪特·朗2013年10月10日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)^2=Pi^2/48=A245058型.(结束)
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例子
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G.f.=2*x+4*x^2+6*x^3+8*x^4+10*x^5+12*x^6+14*x^7+16*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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(岩浆)[0..100]]中的[2*n:n;
(R) 序列(0,200,2)
(哈斯克尔)
a005843=(*2)
(Python)def a(n):返回2*n#马丁·戈戈夫2022年10月20日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000027号,A002061号,A005408号,A001358号,A077553号,A077554号,A077555号,A002024号,A087112号,A157888号,A157889号,A140811号,A157872号,A157909号,A157910型,A165900个.
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961, 1369, 1681, 1849, 2209, 2809, 3481, 3721, 4489, 5041, 5329, 6241, 6889, 7921, 9409, 10201, 10609, 11449, 11881, 12769, 16129, 17161, 18769, 19321, 22201, 22801, 24649, 26569, 27889, 29929, 32041, 32761, 36481
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,1
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评论
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有3个除数(1,它们的平方根,它们自己)的唯一数字-亚历山大·瓦恩伯格2006年1月15日
除了1和数字本身之外,只有1个因子的整数。序列中的每个数字都是除1和数字本身之外的1因子的倍数。4:2是除1和4之外的唯一因素;9:3是除1和9之外的唯一因素;Rachit Agrawal(Rachit _Agrawal(AT)daict.ac.in),2007年10月23日
带p除数的第n个数等于第n个素数的幂p-1,其中p是素数-奥马尔·波尔2008年5月6日
有2个p^2阶阿贝尔群(C_p^2和C_pxC_p),没有非阿贝尔群-弗兰兹·弗拉贝克2008年9月11日
也对n进行编号,使phi(n)=n-sqrt(n)-米歇尔·拉格诺2012年5月25日
设r(n)=(a(n)-1)/(a(n)+1);则乘积{n>=1}r(n)=(3/5)*(4/5)*2/5. -迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2019年2月26日
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链接
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Brady Haran和Matt Parker,平方素数,数字视频(2018)。
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配方奶粉
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对于n>2:a(n)=1(mod 24)-扎克·塞多夫2011年12月7日
产品{n>=1}a(n)/(a(n)-1)=Pi^2/6-丹尼尔·苏图2017年2月6日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=zeta(2)/zeta(4)=15/Pi^2(A082020型).
产品{n>=1}(1-1/a(n))=1/泽塔(2)=6/Pi^2(A059956号). (结束)
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MAPLE公司
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数学
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素数[Range[30]]^2(*扎克·塞多夫2011年12月7日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)表示质数(p=2,1e3,print1(p^2“,”))\\查尔斯·格里特豪斯四世,2011年6月10日
(哈斯克尔)
a001248 n=a001248_列表!!(n-1)
a001248_list=映射(^2)a000040_list--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
(Magma)[PrimesUpTo(300)中的p^2:p]//文森佐·利班迪2014年3月27日
(SageMath)[n^2表示prime_range(1301)中的n#G.C.格鲁贝尔2024年5月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A003242号
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| n个相邻部分不相等的成分数(Carlitz成分)。 |
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+10 351
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1, 1, 1, 3, 4, 7, 14, 23, 39, 71, 124, 214, 378, 661, 1152, 2024, 3542, 6189, 10843, 18978, 33202, 58130, 101742, 178045, 311648, 545470, 954658, 1670919, 2924536, 5118559, 8958772, 15680073, 27443763, 48033284, 84069952, 147142465, 257534928, 450748483, 788918212
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,4
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参考文献
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Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第191页。
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链接
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L.Carlitz,受限成分《斐波纳契季刊》,14(1976)254-264。
Sylvie Corteel,PawełHitchenko,Carlitz合成的推广《整数序列杂志》,第10卷(2007年),第07.8.8条
史蒂文·芬奇,数学常数的勘误表和补遗,arXiv:2001.00578[math.HO],2020-2022,第42和117页。
P.Flajolet和R.Sedgewick,分析组合数学, 2009; 参见第201页
F.Harary和R.W.Robinson,无枝树的数量,Jnl。Reine Angewandte Mathematik莱因·安格万特·马塞马提克278(1975),322-335。(带注释的扫描副本)
A.Knopfmacher和H.Prodinger,论卡利茨的作品,《欧洲组合学杂志》,1998年第19卷,第579-589页。
E.Munarini、M.Poneti、S.Rinaldi、,基质成分,JIS 12(2009)09.4.8,第8章。
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配方奶粉
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通用公式:1/(1-和{k>0}x^k/(1+x^k))。
a(n)~cr^n,其中c约为0.456387,r约为1.750243。(公式来自Knopfmacher和Prodinger参考。)-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯,2010年5月27日。精度更好:r=1.7502412917183090312497386246398158787782058181590561316586…(参见A241902型),c=0.45636347405881334921001859298593318027266156100046548066205-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年4月30日
G.f.是1/(1-和{k>0}(z^k/(1-z^k)-p*z^(k*p)/(1-z ^(k*p)))的特例p=2,参见A129922号. -乔格·阿恩特2013年4月28日
G.f.:1/(1-x*(d/dx)log(产品{k>=1}(1+x^k)^(1/k)))-伊利亚·古特科夫斯基2018年10月18日
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例子
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n=7的23种成分为
[ 1] 1 2 1 2 1
[ 2] 1 2 1 3
[3]1 2 3 1
[ 4] 1 2 4
[ 5] 1 3 1 2
[ 6] 1 3 2 1
[ 7] 1 4 2
[ 8] 1 5 1
[ 9] 1 6
[10] 2 1 3 1
[11] 2 1 4
[12] 2 3 2个
[13] 2 4 1
[14] 2 5
[15] 3 1 2 1
[16] 3 1 3
[17] 3 4
[18] 4 1 2
[19] 4 2 1
[20] 4 3
[21] 5 2
[22] 6 1
[23] 7
(结束)
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MAPLE公司
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b: =proc(n,i)选项记住`如果`(n=0,1,
加法(`if`(j=i,0,b(n-j,`if'(j<=n-j,j,0)),j=1..n))
结束时间:
a: =n->b(n,0):
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数学
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nmax=50;系数列表[级数[1/(1-总和[x^k/(1+x^k),{k,1,nmax}]),{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年7月7日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)N=66;x='x+O('x^N);p=2;
gf=1/(1-和(k=1,N,x^k/(1-x^k)-p*x^(k*p)/(1-x^(k*p)));
(哈斯克尔)
a003242 n=a003242_list!!n个
a003242_list=1:f[1],其中
f xs=y:f(y:xs)其中
y=sum$zipWith(*)xs a048272_list
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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E.罗德尼·坎菲尔德
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扩展
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状态
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经核准的
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A016825号
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| 与2(mod 4)同余的正整数:a(n)=4*n+2,对于n>=0。 |
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+10 213
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2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98, 102, 106, 110, 114, 118, 122, 126, 130, 134, 138, 142, 146, 150, 154, 158, 162, 166, 170, 174, 178, 182, 186, 190, 194, 198, 202, 206, 210, 214, 218, 222, 226, 230, 234
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,1
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评论
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奇数的两倍,也称为单偶数。
coth(1/2)=(e+1)/(e-1)的连续分数。tanh(1/2)=(e-1)/(e+1)的连分式为a(0)=0,a(n)=A016825号(n-1),n>=1。
φ(x)=φ(x/2)的解;原始数字在这里-拉博斯·埃利默2002年12月16日
还有求和{i=1..n+2}(p(i)-p(i+1))^2的最小值,其中p(n+3)=p(1),因为p在{1,2,…,n+2}的所有排列上都有范围(参见Mihai参考)。例如:a(2)=10,因为{1,2,3,4}置换的和的值是10(8倍),12(8倍”)和18(8倍“)-Emeric Deutsch公司2005年7月30日
另外,a(n)=(n-1)+n+(n+1)+(n+2),因此a(n”)和-a(n)都是四个连续整数的和-里克·L·谢泼德2009年3月21日
Pi/8中的分母=1/2-1/6+1/10-1/14+1/18-1/22+-穆罕默德·阿扎里安2011年10月13日
这个序列给出了i^x+1=0,x实数的正零点,其中i^x=exp(i*x*Pi/2)-伊利亚·古特科夫斯基2015年8月8日
数字k,使和{j=1..k}j^3不是k的倍数-柴华武2017年8月23日
数字k,使得Lucas(k)是3的倍数-布鲁诺·贝塞利2017年10月17日
偶数构成一个环,这些是该环中的素数。注意,素数的唯一因式分解不成立,因为60=2*30=6*10-N.J.A.斯隆2019年11月11日
以2为基数以10结尾的数字-约翰基斯2022年5月9日
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参考文献
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H.Bass,数学,数学家和数学教育,公牛。阿默尔。数学。Soc.(N.S.)42(2004),第4期,417-430。
Arthur Beiser,《现代物理概念》,第二版,McGraw-Hill,1973年。
J.R.Goldman,《数学女王》,1998年,第70页。
Granino A.Korn和Theresa M.Korn,《科学家和工程师数学手册》,McGraw-Hill图书公司,纽约(1968年)。
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链接
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D.H.Lehmer,包含算术级数的连分数《数学脚本》,29(1973):17-24。[摘录的注释副本]
I.Lukovits和D.Janezic,纳米管中共轭电路的计数,J.化学。Inf.计算。科学。44 (2004), 410-414.
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配方奶粉
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a(n)=4*n+2,对于n>=0。
总尺寸:2*(1+x)/(1-x)^2。
例如:2*(1+2*x)*exp(x)。
a(n)=a(n-1)+4。
a(-1-n)=-a(n)。(结束)
当n>0时,a(n)=8*n-a(n-1),a(0)=2-文森佐·利班迪2010年11月20日
a(n)=T(n+2)-T(n-2),其中T(n)=n*(n+1)/2=A000217号(n) ●●●●。一般来说,如果M(k,n)=2*k*n+k,那么M(k、n)=T(n+k)-T(n-k)-查理·马里恩2020年2月24日
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例子
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0.4621171572600097585023184…=0+1/(2+1/(6+1/(10+1/(14+…))),即tanh(1/2)的c.f。
2.1639534137386528487700040…=2+1/(6+1/(10+1/(14+1/(18+…))),即coth(1/2)的c.f。
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MAPLE公司
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a:=n->4*n+2:seq(a(n),n=0。。70); #斯特凡诺·斯佩齐亚2019年6月17日
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数学
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线性递归[{2,-1},{2,6},70](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*)
系数列表[级数[2*(1+x)/(1-x)^2,{x,0,70}],x](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*)
嵌套列表[#+4&,2,60](*哈维·P·戴尔2022年4月8日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)[4*n+2:n英寸[0..70];
(PARI)a(n)=4*n+2
(PARI)contfrac(tanh(1/2))\\说明第三条评论-哈里·史密斯2009年5月9日[编辑:M.F.哈斯勒2020年3月9日]
(哈斯克尔)
a016825=(+2)。(* 4)
(GAP)平面(列表([0..70],n->4*n+2))#斯特凡诺·斯佩齐亚,2019年6月17日
(鼠尾草)[4*n+2代表n in(0..70)]#G.C.格鲁贝尔2019年6月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,辅因子,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 128, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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除了初始项外,Gamma_0(14)的权重空间2n尖点的维数也是形式的。
如果X是一个n集,并且X的Y和Z不相交的2个子集,那么a(n-3)等于X的3个子集的数目,这些子集与Y和Z相交-米兰Janjic2007年8月26日
允许重复的5个对象u、v、z、x、y的n-置换数(n>=1),包含n-1个u。例如:如果n=1,则n-1=0(0)u,a(1)=4,因为我们有v、z,x、y。如果n=2,则n=1=1(1)u,b(2)=8,因为我们具有vu、zu、xu、yu、uv、uz、ux、uy。A038231号格式化为三角形数组:对角线:4、8、12、16、20、24、28、32-泽因瓦利·拉霍斯,2008年8月6日
a(n)*Pi=由半径为2的圆从零开始沿正x轴滚动而生成的摆线的非负零点-韦斯利·伊万·赫特2013年7月1日
除了初始项之外,边长为2的n维三次格子(n>1)上的最小路径的顶点数,直到一个自空行走被卡住为止。A004767型+ 1. -马修·雷曼2013年12月23日
当轨道基数等于2688时,Aut(Z^7)的轨道数是轨道代表格点的无穷范数n的函数-菲利普·谢瓦利埃2015年12月29日
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链接
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汤姆·M·阿波斯托尔,解析数论导论《施普林格·弗拉格出版社》,1976年,第3页。
弗兰克·拉马哈罗,几类结阴影的统计,arXiv:1802.07701[math.CO],2018年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO],2014年,2015年。
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配方奶粉
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总尺寸:4*x/(1-x)^2-大卫·威尔丁2014年6月21日
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a008586=(*4)
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000290型,A000466号,A001844号,A004767型,A008574号,A030308号,A033888号,A035008号,A038231号,A048272号,A053755号,A090418号,A214546型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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