显示找到的2个结果中的1-2个。
第页1
三角数:a(n)=二项式(n+1,2)=n*(n+1)/2=0+1+2+…+n.(名词)。 (原名M2535 N1002)
+10 4644
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
评论
也称为T(n)或C(n+1,2)或二项式(n+1,2)(首选)。
广义六角形数:n*(2*n-1),n=0,+-1,+-2,+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错,k>=5。在这种情况下,k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1阶完备图的边数,K_{n+1}。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如,三个字母有六种写法:(a)bc,(ab)c,(abc),a(b)c,a(bc),ab(c)。证明:有C(n+2.2)方法可以选择括号的位置,但其中n+1是非法的,因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1,a(n)也是n+2次非奇异曲线的亏格,如费马曲线x^(n+2)+y^(n+2)=1.-艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my_deja.com),2001年2月21日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题:质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说,每个氨基酸的质量不同,所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数;1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque,2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如,中心五边形数(1,6,16,31,…)=5*(0,1,3,6,…)+1。居中七元数(1,8,22,43,…)=7*(0,1,3,6,…)+1.-Xavier Acloque,2003年10月31日
由n+1个平面的交点形成的最大线数-罗恩·R·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基,2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字(0,1)、(0,2)和(1,2)-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2,…,n}中选择两个不同的数字而不重复,或者,可以在集合{1,2,……,n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测,只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母的对称群中的转座数,即除两个元素外所有元素都固定的置换数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho(n):=exp(i*2*Pi/n)(1的n次方根),对于n>=1,rho(n)^a(n)=(-1)^(n+1)。只需使用琐碎性a(2*k+1)==0(mod(2*k+1))和a(2*k)==k(mod))。
a(n)是(a1+a2+a3)^(n-1)展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔肯2007年2月12日
a(n+1)是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩(生成集的最小基数),其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特,2007年5月3日
a(n)给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数,其中n=绘制的cevian数+1。例如,绘制1个cevian,n=1+1=2和a(n)=2*(2+1)/2=3,则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians,则n=1+2=3和a(n)=3*(3+1)/2=6,则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck(npriluck(AT)gmail.com),2007年4月30日
对于n>=1,a(n)是当项的顺序不同的表示被认为不同时,n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说,对于n>=1,a(n)是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日(编辑:罗伯特·A·比勒)
a(n)是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数(单位为h*f0,普朗克常数为h,振子频率为f0)。请参阅上文A.Murthy的评论:n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0,使圆(sqrt(2m+1))-圆(squart(2m))=1。
数字m>=0,这样天花板(2*sqrt(2m+1))-1=1+地板(2*m2(2m))。
数字m>=0,使得fract(sqrt(2m+1))>1/2,fract(m2))<1/2,其中fract(x)是x的小数部分(即x-floor(x),x>=0)。(结束)
如果Y和Z是一个n集X的3个块,那么对于n>=6,a(n-1)是与Y和Z相交的X的(n-2)子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量:n*(n-1)/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德(Georg Wrede),2008年12月18日
等效于连续四面体数的第一个差。请参见A000292号.-Jeremy Cahill(jcahill(AT)inbox.com),2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P(n,x)表示的153641英镑2^(n-1)(P(n,1)-(-1)^k P(n,2k+1))。因此a(k)=|2^(-3)(P(2,1)-(-1)^k P(2,2k+1))|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a(n)是最小的数>a(n-1),使得gcd(n,a(n。如果n是奇数,则gcd是n;如果n是偶数,则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
更一般地说,a(2k+1)==j*(2j-1)(mod 2k+2j+1)和
a(2k)==[-k+2j*(j-1)](模2k+2j)。
列总和:
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
---------------
1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a(n)^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^(1/3)的球体的体积。
(结束)
1/a(n+1),n>=0,具有例如f-2*(1+x-exp(x))/x^2和o.g.f.2*(x+(1-x)*log(1-x))/x^2(见斯蒂芬·克劳利公式行)-1/(2*a(n+1))是贝努利多项式系数的谢弗三角形的z序列A196838号/A196839号. -沃尔夫迪特·朗2011年10月26日
(结束)
绘制三个点(0,0)、(a(n)、a(n+1))、(a+1)、a+2)以形成三角形。面积为a(n+1)/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a(n)=n*(n+1)/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*(n+2)^2。a(n)*a(n+2)/2=a(a(n+1)-1)-J.M.贝戈2012年5月17日
(a(n)*a(n+3)-a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月18日
a(n)*a(n+1)+a(n+2)*a(n+3)+3=a(n^2+4*n+6)-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+1)+a(n+k)*a-查理·马里昂2012年9月11日
a(n)*a(n+3)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a-查理·马里昂2012年9月11日
a(n)*a(n+2)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点(a(n)、a(n+1))、(a(n/1)、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a(n)+a(n+k)=(n+k)^2-(k^2+(2n-1)*k-2n)/2。对于k=1,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(见下文)-查理·马里昂2012年10月2日
在n空间中,我们可以定义一个(n-1)非平凡的正交投影。例如,在3-空间中,有一个(2)=3(即点到线上,点到平面,线到平面)-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1,a(n)等于半群P_n\S_n的秩(生成集的最小基数)和幂等秩(幂等生成集的极小基数),其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3,a(n-1)等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩,其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
(结束)
对于n>=3,a(n)等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩,其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
公式a(n)*a(n+4k+2)/2+a(k)=a(a(n+2k+1)-(k^2+(k+1)^2))是Bergot 2012年5月17日评论中公式a(n*a(n+2)/2=a(a+1)-1的推广-查理·马里昂,2013年3月28日
对于奇数m=2k+1,我们有递推式a(m*n+k)=m^2*a(n)+a(k)。推论:如果数字T在序列中,那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出,只要T是三角形数,那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说,如果T是三角形数,那么(2*k+1)^2*T+k*(k+1)/2也是三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/(b+2)将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1,得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a(n),对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a(n)=A028896号(n) /6,其中A028896号(n) =s(n)-s(n-1)是s(n,n)=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s(n)可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X(n-1)X(n-2)矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈2013年8月13日
A_n型根系中的正根数(对于n>0)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n,k的第r次连续求和的公式是二项式(n+r,r+1)[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3,a(n-2)是1,2,…,的置换数,。。。,n的上(1)-下(0)个元素的分布为0…011(n-3个零),或者相同,a(n-2)是上下系数{n,3}(参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫,2014年2月14日
a(n)是对称n×n矩阵的向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1,…,n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V(x_1,x_2,…,x_n)定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个(n)红色大理石和一个(n+1)蓝色大理石,其中a(n)、a(n+1)是连续的三角形数字。然后,对于n>0,随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。通常,对于k>2,设b(0)=0,b(1)=1,对于n>1,b(n)=(k-1)*b(n-1)-b(n-2)+1。假设,对于n>0,一个袋子包含b(n)个红色大理石和b(n+1)个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠,得到两个红色或两个蓝色的概率为(k-1)/(k+1)。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里昂2014年11月3日
考虑将自然数从集合S=(1,2,3,…,n)分为若干部分。生成序列的签名的长度(顺序)由三角数给出。例如,对于n=10,签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a(n)将(n-1)个未标记对象的分区计算为三(3)个部分(标记为a、b、c),例如,a(5)=15表示(n-1”=4。这些是(aaaa)、(bbbb)、)、(英国广播公司)、(密件抄送)、(英国电视广播公司)-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测:序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。因此,推测出的公式是(n-1)(n-2)/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想:设m为任意正整数。然后,对于每个n=1,2,3,。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a(n)=n*(n+1)/2;换句话说,所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。(我通过计算机检查了这个猜想,没有发现反例。)-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1,a(n)是n+4到n个部分的组成数,避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌游戏(请参阅A242424型以及Chamberland和Gardner的书),对于n>0,你从一堆a(n)牌开始。那么,达到固定状态{n,n-1,…,1}所需的操作数是a(n-1)。例如,{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里昂2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1,a(n)=tau_n(k*),其中tau_n(k)是k的有序n分解数,k*是素数的平方。例如,tau_3(4)=tau_3(9)=tau_3(25)=tau _3(49)=6(参见A007425号)因为4、9、25和49的除数的除数是6,并且a(3)=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2(2004年2月19日)和a(n”^2+a(n+1)^2=a((n+1+6a(k-1))-查理·马里昂2016年11月27日
a(n)也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0,2^5*(二项式(n+1,2))^2表示2*(2*n+1)^2个连续整数之和中的第一个整数,等于(2*n+1)^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组(a,b,c)的数量,使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数,因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a(n)是顶点位于(1,1)、(n+1,n+2)和(n+1)^2,(n+2,^2)的三角形的面积-阿特·贝克,2018年12月6日
对于n>0,a(n)是最小的k>0,因此n除以(1/a(1)+1/a(2)+…+的分子1/a(n-1)+1/k)。应该注意的是,1/1+1/3+1/6+…+2/(n(n+1))=2n/(n+1-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界(参见Dimca中的定理1.1)-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月4日
对于n>0,a(n+1)是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数,其中A是n个数字的集合。(结束)
a(n)是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行绘制两行,每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出双射线。对于n>=1,a(n-1)是线之间可能的最大交点数。等价地,[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论(2015年1月5日)中的概括。(2k+1)^2*a(n)+a(k)=a((2k+1*n+k)-查理·马里昂2023年8月28日
a(n)+a(n+k)+a。对于k=1,我们有a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2-查理·马里昂2023年11月17日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第828页。
C.Alsina和R.B.Nelson,《魅力证明:优雅数学之旅》,MAA,2010年。见第1章。
T.M.Apostol,《解析数论导论》,施普林格出版社,1976年,第2页。
A.H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,纽约州多佛,1964年,第189页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证据:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,第109ff页。
马克·张伯兰(Marc Chamberland),《单个数字:赞美小数字》(Single Digits:In Pracise of Small Numbers),第3章,数字三,第72页,普林斯顿大学出版社,2015年。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第155页。
J.M.De Koninck和A.Mercier,1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres,Probléme 309 pp 46-196,Ellipses,巴黎,2004年
E.Deza和M.M.Deza,数字,世界科学出版社(2012),第6页。
L.E.Dickson,《数字理论史》。卡内基公共研究所。256,华盛顿特区,第1卷,1919年;第2卷,1920年;1923年第3卷,见第2卷,第1页。
马丁·加德纳(Martin Gardner),《数学巨著》(Colossal Book of Mathematics),第34章,保加利亚纸牌游戏和其他看似无止境的任务,第455-467页,诺顿公司(W.W.Norton&Company),2001年。
詹姆斯·格莱克,《信息:历史,理论,洪水》,万神殿,2011年。[第82页提到了E.de Joncort1762年出版的前19999个三角形数字的表格。]
凯·霍斯特曼(Cay S.Horstmann),斯卡拉(Scala)为住院患者提供服务。新泽西州上鞍河:Addison-Wesley(2012):171。
拉博斯·E:关于RGB颜色的数量,我们可以区分。配分光谱。在第七届匈牙利生物计量学和生物数学会议上演讲。布达佩斯。2005年7月6日。
A.弥赛亚,《量子力学》,第一卷,荷兰北部,阿姆斯特丹,1965年,第457页。
J.C.P.Miller,编辑,《二项式系数表》。英国皇家学会数学表,第3卷,剑桥大学出版社,1954年。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
T.Trotter,三角数的一些恒等式,《休闲数学杂志》,1973年春季,6(2)。
D.Wells,《企鹅好奇和有趣数字词典》,第91-93页,企鹅图书1987年。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准应用数学局。系列55,第十次印刷,1972年。
阿约米昆·阿德尼兰(Ayomikun Adeniran)和劳拉·普德威尔(Lara Pudwell),停车功能中的模式避免,枚举器。梳子。申请。3:3(2023),第S2R17条。
T.贝尔登和T.加德纳,三角数和完美平方《数学公报》86(2002),423-431。
比卡什·查克拉博蒂,无词证明:自然数幂和,arXiv:2012.11539[math.HO],2020年。
Alexandru Dimca和Takuro Abe,关于复超可解线排列,arXiv:1907.12497[math.AG],2019年。
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫,二项式系数的幂和《整数序列杂志》,第16卷(2013年),#13.1。
E.T.Frankel,数字微积分与有限差分《美国数学月刊》,57(1950),14-25。[带注释的扫描副本]
亚当·格拉博夫斯基,多边形数字《形式化数学》,第21卷,第2期,第103-113页,2013年;DOI:10.2478/forma-2013-012;备用副本
C.汉堡,三角形数字无处不在《伊利诺伊州数学和科学学院数学杂志:高中数学资源笔记本》(1992年),第7-10页。
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser 2013。见第35页。图书网站
R.Jovanovic,三角形数字[在Wayback Machine缓存副本]
萨米恩·艾哈迈德·汗,多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。(2020)第33卷,第2期,265-282。
Hyun Kwang Kim,关于正则多面体数,程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》,131(2003),65-75。
克拉克·金伯利,互补方程,《整数序列杂志》,第10卷(2007年),第07.1.4条。
克拉克·金伯利(Clark Kimberling)和约翰·布朗(John E.Brown),部分补体和转座色散,J.整数序列。,2004年第7卷。
A.J.F.莱瑟兰,乌拉姆螺旋上的三角形数在埃里克·魏斯坦(Eric Weisstein)的《数学世界》(World of Mathematics)中,有一篇关于Prime Spiral to Leatherland,a.J.F。,神秘的素数螺旋现象. -N.J.A.斯隆,2019年12月13日
谢尔盖·穆拉维奥夫(Sergey V.Muravyov)、刘德米拉·库多诺戈娃(Liudmila I.Khudonogova)和叶卡捷琳娜·伊梅利亚诺娃(Ekaterina Y.Emelyanova),基于偏好聚集的区间数据融合《计量》(2017),见第5页。
Enrique Navarrete和Daniel Orellana,寻找素数作为序列的不动点,arXiv:1907.10023[math.NT],2019年。
小埃德·佩格。,序列图片,《数学游戏》专栏,2003年12月8日。
小埃德·佩格。,序列图片,数学游戏专栏,2003年12月8日[缓存副本,经许可(仅pdf)]
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
大卫·G·拉德克利夫,三角数的乘积规则,arXiv:1606.05398[math.NT],2016年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO],2014-2015。
Kenneth A.Ross,正方形和立方的第一个数字,数学。Mag.85(2012)36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。
Frank Ruskey和Jennifer Woodcock,集分区对的随机距离和块距离,《组合算法》,287-299,《计算讲义》。科学。,7056,施普林格,海德堡,2011年。
克劳德·亚历山大·西蒙内蒂,一种新的数学符号:术语,arXiv:2005.00348[math.GM],2020年。
H.Stamm-Wilbrandt,帕斯卡三角形倒数之和[来自Wayback Machine的缓存副本]
T.Trotter,三角数的几个恒等式,J.Rec.数学。第6卷,第2期,1973年春季。[来自Wayback Machine的缓存副本]
米歇尔·沃尔德施米特,连续分数埃科尔·德雷切·CIMPA-Oujda,《名义应用研究》,2015年5月18日至29日:乌伊达(马洛克)。
配方奶粉
通用:x/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如:exp(x)*(x+x^2/2)。
a(n)=a(-1-n)。
a(n)=(-1)^n*Sum_{k=1..n}(-1)*k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a(n+1)=(n+2)/n)*a(n),和{n>=1}1/a(n=2)-乔恩·佩里2003年7月13日
对于插值零,这是n*(n+2)*(1+(-1)^n)/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n+1)是n X n对称帕斯卡矩阵M_(i,j)=二项式(i+j+1,i)的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n)=((n+1)^3-n^3-1)/6.-泽维尔·阿克洛佩,2003年10月24日
a(n)=a(n-1)+(1+sqrt(1+8*a(n-1)))/2。当取平方根的负分支时,此递归关系被反转,即a(n)被转换为a(n-1)而不是a(n+1)-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a(n)=a(n-2)+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a(n)=平方(sqrt(和{i=1..n}和{j=1.n}(i*j)^3))=(和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}(i*j))^(1/6)-亚历山大·阿达姆楚克,2004年10月26日
如果n是奇数,a(n)==1(mod n+2);如果n是偶数,a-乔恩·佩里2004年12月16日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)=地板((2*n+1)^2/8)-保罗·巴里2006年5月29日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(n+1^2)[R B Nelsen,《数学杂志》70(2)(1997),第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a(n+1+k)=a((n+1)*(n+1+k))。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期:2012年5月22日]-查理·马里昂2011年2月4日
(sqrt(8*a(n)+1)-1)/2=n.大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月26日
多边形数的一般公式是P(k,n)=(k-2)*(n-1)n/2+n=n+(k-2*A000217号(n-1),对于n>=1,k>=3-奥马尔·波尔,2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{j=0..k-1}(二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0.0..k-1}(-a-j)),那么当n>=1时,a(n)=-f(n,n-1,1)-米兰Janjic2008年12月20日
4*a(x)+4*a(y)+1=(x+y+1)^2+(x-y)^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}((Pochhammer(1,m)*Pochhamder(1,m))*x^m/(Pochharmer(3,m)*阶乘(m))=((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2给出,其n阶导数具有闭合形式,必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号(n+1)=(lim_{x->0}d^n/dx^n((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2)+n*(对数(1-x)+对数(-1/(-1+x)))*(-x+1+n))/x^2))^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时,a(n)=楼层(n^3/(n+1))/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a(n)=4*a(楼层(n/2))+(-1)^(n+1)*楼层(n+1,/2)-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3);a(0)=0,a(1)=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a(n)+2*a(n-1)+a(n-2)=n^2+(n-1;和
a(n)+3*a(n-1)+3*a(n-2)+a(n-3)=n^2+2*(n-1。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}二项式(m,m-k)*a(n-k)=求和{k=0..m-1}二项式(m-1,m-1-k)*(n-k)^2。
a(n)-2*a(n-1)+a(n-2)=1,a。
通常,对于n>=m>2,Sum_{k=0..m}(-1)^k*二项式(m,m-k)*a(n-k)=0。
(结束)
对于n>0,a(n)=1/(积分_{x=0..Pi/2}4*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x),^3)-弗朗切斯科·达迪2011年8月2日
(n)+(a(n))+1=a(a(n)+1)-J.M.贝戈2012年4月27日
a(n)*a(n+1)=a(和{m=1..n}A005408号(m) )/2,对于n>=1。例如,如果n=8,则a(8)*a(9)=a(80)/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式:x*(1+3x+6x^2+…)=x*产品{j>=0}(1+x^(2^j))^3=x*A(x)*A(x^2)*A。。。,其中A(x)=(1+3x+3x^2+x^3)-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G(0),其中G(k)=1+(2*k+3)*x/(2*k+1-x*(k+2)*(2*k+1)/(x*(k+2)+(k+1)/G(k+1)));(连分数,第3类,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
G.f.:x+3*x^2/(Q(0)-3*x),其中Q(k)=1+k*(x+1)+3*x-x*(k+1)*(k+4)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a(n)+a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)+n=a(2*n+4)-伊万·伊纳基耶夫2013年3月16日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+8)+6*n=a(3*n+15)-查理·马里昂2013年3月18日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+20)+2*n^2+57*n=a(5*n+55)-查理·马里昂2013年3月18日
当n>0时,3*a(n)+a(n-1)=a(2*n)-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说,a(k*n)=(2*k-1)*a(n)+a((k-1)*n-1)-查理·马里昂2015年4月20日
此外,a(k*n)=a(k)*a(n)+a(k-1)*a(n-1)-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a(n+1)=det(二项式(i+2,j+1),1<=i,j<=n)-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a(n)=地板(n/2)+天花板(n^2)=n-地板(n/2)+地板(n^2)-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a(n)=楼面((n+1)/(exp(2/(n+1))-1))-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a(n)/n!=3*exp(1)/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=4*log(2)-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/(和{n>=m}1/a(n))=m,对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
下面是2006年11月22日公式A(n)^2+A(n+1)^2=A(n+1^2)的推广。设T(k,n)=a(n)+k。然后对于所有k,T(k、n)^2+T(k和n+1)^2=T(k(n+1))^2+2*k)-2*k-查理·马里昂2015年12月10日
Dirichlet g.f.:(zeta(s-2)+zeta(s-1))/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a(n)^2-a(n-1)^2=n^3-米奎尔·塞尔达,2016年6月29日
a(n)^2+a(n+3)^2+19=a(n^2+4*n+10)-查理·马里昂2016年11月23日
2*a(n)^2+a(n”)=a(n^2+n)-查理·马里昂2016年11月29日
通用公式:x/(1-x)^3=(x*r(x)*r(x^3)*r,其中r(x)=(1+x+x^2)^3=(1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6)-加里·亚当森2016年12月3日
a(n)=矩阵Q(n)的逆的元素之和,其中Q(n)有元素Q_i,j=1/(1-4*(i-j)^2)。因此,如果e=由1组成的适当大小的向量,那么a(n)=e’。Q(n)^-1.e-迈克尔·尤基什2017年3月20日
a(n)=和{k=1..n}(2*k-1)*(2*n-2*k-1)!!)/((2*k-2)*(2*n-2*k)!!)-迈克尔·尤基什2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a(n+i)=(3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k)/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
当n为奇数时,a(n)==0(mod n)(参见De Koninck参考)-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a(k)*a(n)+((a(k。当k=1时,这个公式简化为众所周知的公式8*a(n)+1=(2*n+1)^2-查理·马里昂2020年7月23日
a(k)*a(n)=和{i=0..k-1}(-1)^i*a((k-i)*(n-i))-查理·马里昂2020年12月4日
产品{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)/(2*Pi)。
乘积_{n>=2}(1-1/a(n))=1/3。(结束)
a(n)=Sum_{k=1..2*n-1}(-1)^(k+1)*a(k)*a(2*n-k)。例如,对于n=4,1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里昂2022年3月23日
2*a(n)=A000384号(n) 通常,如果P(k,n)=第n个k次方数,则(j+1)*a(n)=P(5+j,n)-n^2+(j+1-查理·马里昂2023年3月14日
例子
总尺寸:x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时,a(3)=4*3/2=6。
示例(a(4)=10):ABCD,其中a、B、C和D是链中的不同链接,或是肽中的不同氨基酸可能片段:a、B,C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a(2):冬青树叶落在德川幕府,a(4):毕达哥拉斯四联中的分数,a(5):八球台球中的物体球-Bradley Klee公司2015年8月24日
a(1)=1到a(5)=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2(Beeler,McGrath,上文)如下。这些作文按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312) (232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
(结束)
MAPLE公司
istriangular:=proc(n)局部t1;t1:=楼层(平方米(2*n));如果n=t1*(t1+1)/2,则返回true,否则返回false;结束条件:;终末程序#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S,{S=Prod(B,B,B),B=Set(Z,1<=卡)},未标记]:
seq(combstruct[计数](ZL,大小=n),n=2..55)#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程(n)
issqr(1+8*n);
结束进程:#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
数学
数组[#*(#-1)/2&,54](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*)
文件夹列表[#1+#2&,0,范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
系数列表[级数[x/(1-x)^3,{x,0,50}],x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*)
(*对于Mathematica 10.4+*)表[多边形编号[n],{n,0,53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*)
线性递归[{3,-3,1},{0,1,3},54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*)
(*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供,用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列,只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford,因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*)
fd[x_]:=楼层[10^Mod[Log[10,x],1]]
benfordtest[num_]:=模块[{},
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=0];
对于[n=1,n<=num,n++,
{
d=fd[n(n+1)/2];
如果[d!=0,数字[d]=数字[d]+1];
}];
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=1.0位[d]/num];
对于[d=1,d<=9,d++,
打印[d,“”,100.0位[d],“”、100.0日志[10,(d+1)/d]]];
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n,{3}]],{n,0,15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*)
黄体脂酮素
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),n,t);而(t=n*n++/2)<=lim,listput(v,t));车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
(哈斯克尔)
a000217 n=a000217_list!!n个
a000217_list=扫描1(+)[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
(岩浆)[0..60]]中的[n*(n+1)/2:n//布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
(SageMath)[n*(n+1)/2表示n in(0..60)]#布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
(Scala)(1至53).左图(0)(_+_)//霍斯特曼(2012),第171页
(J) a000217=:*-:@>:注意。斯蒂芬·马克迪西,2018年5月2日
(Python)对于范围(0,60)中的n:打印(n*(n+1)/2,end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年12月6日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是
#孤立术语。如果在迭代中,行“x,y=x+y+1,y+1”
#被替换为“x,y=x+y+k,y+k”,然后得到图形数,
#对于k=0(自然A001477号),k=1(三角形),k=2(正方形),k=3(五边形),k=4(六边形)。
定义aList():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
收益率x
x、 y=x+y+1,y+1
交叉参考
囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668号,A001082号,A001788号,A002024号,A002378号,A002415号,A003056号(反函数),A004526号,A006011号,A007318号,A008953号,A008954号,A010054级(特征函数),A028347号,A036666号,A046092号,A051942号,A055998号,A055999号,A056000型,A056115号,A056119号,A056121号,A056126号,A062717号,A087475型,A101859号,A109613号,A143320型,A210569型,A245031型,A245300型,A060544号,A016754号.
0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0
配方奶粉
a(1)=1、a(n+1)=(a(n)+n+1)mod 10。
周期为20:重复[0,1,3,6,0,5,1,8,6,5,5,6,8,1,5,0,6,3,0]-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年3月13日
因此,所有三角形数字都以数字0、1、3、5、6或8结尾,因此没有以数字2、4、7或9结尾-哈维·P·戴尔2014年12月31日
a(n)=n*(n+1)/2模块10-蚂蚁之王2009年4月26日
a(n)=a(n-5)-a(n-10)+a(n-15)。
总尺寸:x*(1+3*x+6*x^2+5*x^4+5*x*6+5*x|8+6*x|10+3*x^11+x^12)/(1-x^5+x^10-x^15)。(结束)
MAPLE公司
seq(mod(二项式(n+1,2),10),n=0。。100); #G.C.格鲁贝尔2019年9月14日
数学
表[Mod[n*(n+1)/2,10],{n,0,100}]
黄体脂酮素
(岩浆)[二项式(n+1,2)mod 10:n in[0..100]]//G.C.格鲁贝尔2019年9月14日
(Sage)[(0..100)中n的Mod(二项式(n+1,2),10)]#G.C.格鲁贝尔2019年9月14日
(GAP)列表([0..100],n->(二项式(n+1,2)mod 10))#G.C.格鲁贝尔2019年9月14日
搜索在0.019秒内完成
查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。
许可协议、使用条款、隐私政策。.
上次修改时间:2024年9月21日14:48 EDT。包含376087个序列。(在oeis4上运行。)
|