搜索： a001826-编号：a001826
|
| |
|
|
A000005美元
|
| d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。
（原名M0246 N0086）
|
|
+10
4822
|
|
|
|
1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1, 2
|
|
|
评论
|
如果n到素数幂的标准因式分解是乘积p^e（p），那么d（n）=乘积（e（p）+1）。更一般地说，对于k>0，sigma_k（n）=Product_p（（p^（（e（p）+1）*k））-1）/（p^k-1）是n的除数的k次幂之和。
将n写成n=x*y，1<=x<=n，1<=y<=n的方法的数量。有关x*y=n的无序解的数量，请参见A038548号.
整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊2003年4月16日
也等于n的分区数p，这样所有部分都具有相同的基数，即max（p）=min（p）-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日
对于奇数n，这是将n划分为连续整数的次数。证明：对于n=1，明显正确。对于n=2k+1，k>=1，将每个（必然是奇数）除数映射到这样的分区，如下所示：对于1和n，分别映射k+（k+1）和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt（n），映射（n/d-（d-1）/2）+…+（n/d-1）+（n/d）+（n/d+1）+…+（n/d+（d-1）/2）{也就是说，n/d加上（d-1）/2对，每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt（n），map（（d-1）/2-（n/d-1））+…+（（d-1）/2-1）+（d-1（（d+1）/2+（n/d-1））{即，n/d对每个对求和为d}。由于所有这些分区都必须是上述形式之一，因此一对一的通信和证明是完整的-里克·L·谢泼德2008年4月20日
只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau（k）>=k/2-迈克尔·德弗利格，2016年12月14日
a（n）也是2*n划分为相等部分的数量，减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日
设k（n）=log d（n）*log log n/（log 2*log n），则lim-sup k（nA280235型)每一个n（尼古拉斯和罗宾，1983年）。
存在无穷多个n，使得d（n）=d（n+1）（Heath-Brown，1984）。此类整数n<=x的数量至少为c*x/（log-log x）^3（Hildebrand，1987），但最多为O（x/sqrt（log-log x））（Erdős，Carl Pomerance和sárközy，1987）。
（结束）
|
|
|
参考文献
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第840页。
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第38页。
G.Chrystal，《代数：中学高年级和大学的初级教科书》，第6版，切尔西出版社，1959年，纽约，第二部分，第345页，练习二十一（16）。MR0121327（22#12066）
G.H.Hardy和E.M.Wright，由D.R.Heath-Brown和J.H.Silverman修订，《数字理论导论》，第6版，牛津大学出版社，2008年。
K.Knopp，《无穷级数的理论与应用》，布莱克，伦敦，1951年，第451页。
D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第二章。（针对不平等等）
S.Ramanujan，《论文集》，G.H.Hardy等人主编，剑桥1927年；纽约州切尔西，1962年。有很多关于这个序列的引用-N.J.A.斯隆2014年6月2日
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
B.Spearman和K.S.Williams，《数字理论估计手册》，卡尔顿数学。1975年第14号讲稿系列；见第2.1页。
E.C.Titchmarsh，《函数理论》，牛津，1938年，第160页。
特伦斯·陶（Terence Tao），《庞加莱的遗产》（Poincaré's Legacies），第一部分，阿米尔（Amer）。数学。Soc.，2009年，d（n）的上限见第31ff页。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。1972年第十次印刷55系列[替代扫描副本，需要Flash插件]。
G.E.安德鲁斯，我欠了一些债Séminaire Lotharingien de Combinatoire，论文B42a，第42期，2000年；见（7.1）。
D.M.Bressoud和M.V.Subbarao，论内村划分与除数之间的联系，可以。数学。牛市。27, 143-145 (1984). Zbl 0536.10013。
吉米·德维利特（Jimmy Devillet）和盖格利·基斯（Gergely Kiss），对偶运算的特征，arXiv:1806.02073[math.RA]，2018年。
保罗·埃尔德斯（Paul Erdős）、卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance）和安德烈斯·萨尔科齐（András sárközy），关于某些算术函数的局部重复值，程序。阿默尔。数学。Soc.101（1987），1-7。
C.R.弗莱彻，小阶环，数学。加兹。第64卷，第13页，1980年。
Robert Fokkink和Jan van Neerven，问题人员/UWC（荷兰语）
D.R.Heath-Brown，连续整数的除数函数马塞马提卡31（1984），141-149。
阿道夫·希尔德布兰德，连续整数的除数函数《太平洋数学杂志》。129 (1987), 307-319.
J.J.Holt和J.W.Jones，计数除数《发现数论》第1.4节。
M.Maia和M.Mendez，关于组合种的算术积，arXiv:math/0503436[math.CO]，2005年。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。[缓存副本，经许可（仅pdf格式）]
王正兵、罗伯特·福克金和万·福克金，分区与除数的关系，美国数学。《月刊》，第102期（1995年4月），第4期，第345-347页。
|
|
|
配方奶粉
|
如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a（n）=（z+1）*（y+1）*。。。
a（n）=2当n是素数时。
G.f.：Sum_{n>=1}a（n）x^n=Sum_{k>0}x^k/（1-x^k）。这通常称为兰伯特系列（见克诺普，蒂奇马什）。
a（n）=Sum_{k=1..n}f（k，n），其中f（k，n）=1，如果k除以n，则为0，否则为0（的Mobius变换A000012号). 等价地，f（k，n）=（1/k）*和{l=1..k}z（k，l）^n与z（k、l）是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日
G.f.：求和{k>0}（（-1）^（k+1）*x^（k*（k+1）/2）/（（1-x^k）*Product_{i=1..k}（1-x ^i））-迈克尔·索莫斯2003年4月27日
a（n）=n-总和{k=1..n}（天花板（n/k）-地板（n/k））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月11日
通用公式：和{k>0}x^（k^2）*（1+x^k）/（1-x^k）。Dirichlet g.f.：zeta（s）^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
和{n>0}a（n）/（n^n）=和{n>0，m>0}1/（n*m）-杰拉尔德·麦卡维，2007年12月15日
对数g.f.：求和{n>=1}a（n）/n*x^n=-log（乘积{n>=1}（1-x^n）^（1/n））-乔格·阿恩特2008年5月3日
a（n）=总和{k=1..n}（楼层（n/k）-楼层（n-1）/k））-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日
对于n>1，a（n）=2+和{k=2..n-1}层（（cos（Pi*n/k））^2）。和floor（（cos（Pi*n/k））^2）=floor（1/4*e^（-（2*i*Pi*n）/k）+1/4*e*（（2*i*Pi*n/k）+1/2）-埃里克·德斯比亚，2010年3月9日，2011年4月16日更正
a（n）=1+总和{k=1..n}（楼层（2^n/（2^k-1））mod 2），针对每个n.Fabio Civolani（civox（AT）tiscali.it），2010年3月12日
（Sum_{d|n}a（d））^2=Sum_}d|n{a（d，d）^3（J.Liouville）。
a（n）=σ_0（n）=1+求和{m>=2}求和{r>=1}（1/m^（r+1））*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^（r+1）-1}e^（2*k*Pi*i*（n+（m-j）*m^r）/m^（r+1））-A.内维斯2010年10月4日
求和{n>=1}a（n）*q^n=（log（1-q）+psi_q（1））/log（q），其中psi_q（z）是q-digama函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日
上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/（1-x^k）得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日
G.f.：Sum_｛n>=1｝Sum_｛d|n｝（-log（1-x^（n/d）））^d/d-保罗·D·汉纳2014年8月21日
2*Pi*a（n）=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/（1-x^k）的残数之和得到的-基里卡米（Seiichi Kirikami）2015年10月22日
一般公式：2*x/（1-x）-和{k>0}x^k*（1-2*x^k）/（1-x^k-马穆卡·吉卜拉泽2018年8月29日
a（n）=Sum_{k=1..n}1/phi（n/gcd（n，k））-丹尼尔·苏图2018年11月5日
a（k*n）=a（n）*（f（k，n）+2）/（f（k，n）+1），其中f（k、n）是k除以n的最高幂的指数，k是素数-加里·德特利夫斯2019年2月8日
a（n）=（1/n）*求和{k=1..n}σ（gcd（n，k）），其中σ（n）=n的除数之和-Orges Leka公司2019年5月9日
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}φ（gcd（n，k））*sigma（n/gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。（结束）
a（n）=和{j=1..n}和{k=1..j}（1/j）*cos（2*k*n*Pi/j）；
a（n）=Sum_{j=1.n}Sum_{k=1..j}（1/j）*e^（2*k*n*Pi*i/j），其中i^2=-1。（结束）
|
|
|
例子
|
G.f.=x+2*x ^2+2*x ^3+3*x ^4+2**x ^5+4*x ^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
系数列表[系列[（Log[1-q]+QPolyGamma[1，q]）/（q Log[q]），{q，0，100}]，q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*）
a[n_]：=系列系数[（QPolyGamma[1，q]+Log[1-q]）/Log[q]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*）
a[n]：=级数系数[q/（1-q）^2 q超几何PFQ[{q，q}，{q^2，q^2}，q，q^2]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*）
a[n_]：=级数系数[q/（1-q）q超几何PFQ[{q，q}，{q^2}，q，q]，{q，0，绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2015年4月15日*）
具有[{M=500}，系数列表[Series[（2x）/（1-x）-Sum[x^k（1-2x^k）/(*马穆卡·吉卜拉泽2018年8月31日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，numdiv（n））}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<1，0，方向（p=2，n，1/（1-X）^2）[n]）}/*迈克尔·索莫斯，2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=1，n+1，和div（m，d，（-log（1-x^（m/d）+x*O（x^n）））^d/d！），n）}\\保罗·D·汉纳2014年8月21日
（岩浆）[1..100]]中的[NumberOfDivisors（n）:n；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（MuPAD）编号：：tau（n）$n=1..90//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（Sage）[范围（1105）内n的σ（n，0）]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
（哈斯克尔）
除数1=[1]
除数n=（1：过滤器（（==0））。雷姆）
[2..n`div`2]）++[n]
a=长度。约数
（哈斯克尔）
a000005=产品。地图（+1）。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日
（Python）
从sympy导入divisor_count
对于范围（1，20）中的n：print（divisor_count（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月5日
（GAP）列表（[1..150]，n->Tau（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日
（朱莉娅）
函数τ（n）
i=2；num=1
而i*i<=n
如果rem（n，i）==0
e=0
而rem（n，i）==0
e+=1
n=div（n，i）
结束
数字*=e+1
结束
i+=1
结束
返回n>1？num+num:num
结束
println（[τ（n）代表1:104中的n]）#彼得·卢什尼2023年9月3日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A007427号（Dirichlet逆），A001227号,A005237号,A005238号,A006601号,A006558号,A019273号,A039665号,A049051号,2018年10月26日,A001842号,A049820号,A051731号,A066446号,A106737号,A129510号,A115361号,129372英镑,A127093号,A143319号,A061017号,A091202号,A091220型,A156552号,A159933号,A159934号,A027750型,A163280号,A183063号,A263730型,A034296号,A237665型.
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 1, 4, 2, 4, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 1, 4, 4, 2, 2, 4, 4, 2, 3, 2, 2, 6, 2, 4, 4, 2, 2, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 6, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 2, 3, 6, 3, 2, 4, 2, 2, 8
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
|
评论
|
也可以将n划分为连续的正整数，包括长度为1的平凡划分（例如，9=2+3+4或4+5或9，因此a（9）=3）。（对抄袭玩家有用。）请参阅A069283号. -亨利·博托姆利2000年4月13日
这被描述为西尔维斯特定理，但为了减少歧义，我建议称之为西尔韦斯特枚举-古斯·怀斯曼2022年10月4日
a（n）也是第一类T_n（x）切比雪夫多项式因式分解中的因子数Yuval Dekel（dekelyuval（AT）hotmail.com），2003年8月28日
对于n奇数，n是素数，如果序列的第n项是2乔治·J·谢弗（gschaeff（AT）andrew.cmu.edu），2005年9月10日
如果k是最大的部分，那么n的分区数为1，2，。。。，k-1只出现一次。例如：a（9）=3，因为我们有[3,3,2,1]、[2,2,2,2]和[1,1,1,1,1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年3月7日
还有第n个Lucas多项式的因子数-T.D.诺伊2006年3月9日
由Glaisher 1907中的Delta_0（n）表示-迈克尔·索莫斯2013年5月17日
还有n的划分为不同部分的分区p的数量，使得max（p）-min（p）＜length（p）-克拉克·金伯利2014年4月18日
a（n）等于将2*n-1写成（4*x+2）*y+4*x+1的次数，其中x和y是非负整数。a（n）也等于k的不同值的数目，使得k/（2*n-1）+k除以（k/（2%n-1））^（k/-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫，2016年5月23日，2016年7月15日
a（n）也是将n划分为奇数个相等部分的数目-奥马尔·波尔2017年5月14日[这是根据g.f.Sum_{k>=1}x^k/（1-x^（2*k））得出的-N.J.A.斯隆2020年12月3日]
|
|
|
参考文献
|
B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第五部分，Springer-Verlag，见第487页第47条。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第一卷，第306页。
J.W.L.Glaisher，《关于数字表示为二、四、六、八、十和十二平方和》，夸脱。数学杂志。38（1907），1-62（见第4页）。
罗纳德。L.Graham、Donald E.Knuth和Oren Patashnik，《混凝土数学》，第二版（Addison-Wesley，1994），见第65页练习2.30。
P.A.MacMahon，《组合分析》，剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷；见第2卷，第28页。
|
|
|
链接
|
T.Verhoeff，矩形和梯形布置《整数序列》，第2卷（1999年），第99.1.6条。
|
|
|
配方奶粉
|
Dirichlet g.f.：zeta（s）^2*（1-1/2^s）。
通过用不同的方法计算奇数因子fn，我们得到了三种编写普通生成函数的不同方法。它是：
A（x）=x+x ^2+2*x ^3+x ^4+2*x^5+2*x ^6+2*x^7+x ^8+3*x ^9+2*×^10+。。。
=和{k>=1}x^（2*k-1）/（1-x^
=和{k>=1}x^k/（1-x^（2*k））
=Sum_{k>=1}x^（k*（k+1）/2）/（1-x^k）[Ramanujan，第二本笔记本，第355页]。
通用公式：x/（1-x）+Sum_{n>=1}x^（3*n）/（1-x^-乔格·阿恩特2010年11月6日
如果p=2，则与a（p^e）=1相乘；如果p>2，则e+1-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
如果n是奇数，则a（n）=d（n）；如果n是偶数，则d（n(A000005美元). （请参阅Weisstein页面。）-加里·亚当森2011年3月15日
a（n*2^m）=a（nx2^i），a（（2*j+1）^n）=n+1，对于m>=0，i>=0和j>=0。对于正x和y，a（（2*x+1）^n）=a（（2*y+1）^n）-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫，2016年7月17日
L.g.f.：-log（产品{k>=1}（1-x^（2*k-1））^（1/（2*1）））=和{n>=1}a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2018年7月30日
G.f.：（psi_{q^2}（1/2）+log（1-q^2））/log（q），其中psi_q（z）是q-digama函数-迈克尔·索莫斯2019年6月1日
求和{k=1..n}a（k）~n*log（n）/2+（gamma+log（2）/2-1/2）*n，其中gamma是欧拉常数(A001620号). -阿米拉姆·埃尔达尔2022年11月27日
|
|
|
例子
|
G.f.=q+q^2+2*q^3+q^4+2*q*5+2*q_6+2*q~7+q^8+3*q^9+2*q*10+。。。
对于n=9，有三个9的奇除数；它们是[1,3,9]。另一方面，有三个由9组成的连续部分：它们是[9]、[5,4]和[4,3,2]，因此a（9）=3。
初始术语说明：
图表
n个（n）_
1 1 _|1|
2 1 _|1 _|
3 2 _|1 |1|
4 1 _|1 _| |
5 2 _|1 |1 _|
6 2 _|1 _| |1|
7 2 _|1 |1 | |
8 1 _|1 _| _| |
9 3 _|1 |1 |1 _|
10 2 _|1 _| | |1|
11 2 _|1 |1 _| | |
12 2 |1 | |1 | |
...
a（n）是图的第n层中水平线段的数量。有关更多信息，请参阅A286001型.（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
对于n从1乘1到100 dos:=0：对于d从1乘2到n do，如果n mod d=0，则s:=s+1:fi:od：打印；日期：
a:=1；
对于ifactors（n）[2]中的d do
如果op（1，d）>2，则
a:=a*（op（2，d）+1）；
结束条件：；
结束do:
a；
|
|
|
数学
|
f[n_]：=块[{d=除数[n]}，计数[OddQ[d]，真]]；表[f[n]，{n，105}](*罗伯特·威尔逊v2004年8月27日*）
表[Total[Mod[Divisors[n]，2]，{n，105}](*扎克·塞多夫2010年4月16日*）
f[n_]：=块[{d=DivisorSigma[0，n]}，如果[OddQ@n，d，d-Divisor Sigma[0，n/2]]]；数组[f，105](*罗伯特·威尔逊v*)
a[n_]：=和[Mod[d，2]，{d，除数[n]}]；(*迈克尔·索莫斯2013年5月17日*）
a[n_]：=除数和[n，Mod[#，2]&]；(*迈克尔·索莫斯，2013年5月17日*）
计数[除数[#]，_？奇数Q]&/@范围[110](*哈维·P·戴尔2015年2月15日*）
（*cl=当前水平，cs=当前子部分计数*）
a001227[n_]：=模块[{cs=0，cl=0，i，wL，k}，wL=a262045[n]；k=长度[wL]；对于[i=1，i<=k，i++，If[wL[[i]]>cl，cs++；cl++]；如果[wL[[i]]<cl，cl--]]；中文]
a[n_]：=除数Sigma[0，n/2^整数指数[n，2]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年6月12日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=汇总（n，d，d%2）}/*迈克尔·索莫斯，2007年10月6日*/
（PARI）{a（n）=方向（p=2，n，1/（1-X）/（1-kronecker（4，p）*X））[n]}/*迈克尔·索莫斯2007年10月6日*/
（PARI）a（n）=总和（k=1，四舍五入（求解（x=1，n，x*（x+1）/2-n）），（k^2-k+2*n）%（2*k）==0）\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年5月31日
（哈斯克尔）
a001227=总和。a247795_低
（SageMath）
定义A001227号（n） ：return len（[1对于除数（n）中的d，如果is_odd（d）]）
（岩浆）[划分数（n）/估值（2*n，2）：[1..100]]中的n//文森佐·利班迪2019年6月2日
（Python）
从functools导入reduce
从运算符导入mul
来自sympy导入因子
定义A001227号（n） ：return reduce（mul，（q+1代表p，q代表因子（n）.items（），如果p>2），1）#柴华湖2021年3月8日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000005美元,A000079号,A000593号,A010054号（字符功能），A038547号,A050999号,A051000型,A051001号,A051002美元,A051731号,A054844号,A069283号,A069288号,A109814号,A115369号,A118235号,A118236号,A125911号,136655英镑,A183063号,A183064号,A237593型,A247795型,A272887型,A273401型,A279387型,A286001型.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的,多重,核心
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A002654号
|
| 将n写成最多两个非零平方和的方法的数量，其中顺序很重要；此外（形式4m+1的n除数）-（形式4m+3的除数）。
（原名M0012 N0001）
|
|
+10
104
|
|
|
|
1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 3, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,5
|
|
|
评论
|
Glaisher将其称为E（n）或E_0（n）-N.J.A.斯隆2018年11月24日
与Z X Z相似的索引n的Z X Z的子格数；范数n的Z[i]（主）理想的个数。
a（n）也是n=x^2+y^2的整数解数的四分之一（顺序和符号很重要，允许0（不带符号））。a（n）=n（n）/4，其中n（n）来自Niven-Zuckermann参考文献第147页。另见定理5.12，p.150，它定义了一个（强）乘法函数h（n），该函数与A056594号（n-1），n>=1，n（n）/4=和（h（d），d除以n）-沃尔夫迪特·朗2013年4月19日
|
|
|
参考文献
|
J.M.Borwein、D.H.Bailey和R.Girgensohn，《数学实验》，A K Peters有限公司，马萨诸塞州纳蒂克，2004年。x+357页，见第194页。
乔治·克里斯塔尔（George Chrystal），《代数：中学高年级和大学的初级教科书》，第6版，切尔西出版公司，纽约，1959年，第二部分，第346页，练习二十一（17）。MR0121327（22#12066）
埃米尔·格罗斯瓦尔德，《整数的平方和表示法》。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第15页。
伊万·奈文和赫伯特·扎克曼，《数字理论导论》，纽约：约翰·威利出版社，1980年，第147和150页。
Günter Scheja和Uwe Storch，Lehrbuch der Algebra，Tuebner，1988年，第251页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，初等数论，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第340页。
|
|
|
链接
|
迈克尔·巴克（Michael Baake），《d≤4维重合问题的求解》，R.V.Moody主编，《长范围非周期秩序的数学》（the Mathematics of Long-Range Aperiodic Order），克鲁沃（Kluwer）1997年，第9-44页；arXiv:数学/0605222[math.MG]，2006年。
Michael Baake和Uwe Grimm，准晶体组合, 2002.
谢·科沃，问题3586《Crux Mathematicorum》，第36卷，第7期（2010年），第461和463页；问题3586的解决方案提案人，同上，第37卷，第7期（2011年），第477-479页。
J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，第20卷（1884年），第97-167页。
J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，第20卷（1884年），第97-167页。[带注释的扫描副本]
|
|
|
配方奶粉
|
Dirichlet级数：（1-2^（-s））^。
当m=-16时，Dirichlet级数Product_p（1-（Kronecker（m，p）+1）*p^（-s）+Kronecker*（m，p^）*p~（-2s））^（-1）的展开系数。
如果n=2^k*u*v，其中u是素数4m+1的乘积，v是素数4+3的乘积；那么a（n）=0，除非v是正方形，在这种情况下，a（n）=u（Jacobi）的除数。
如果p=2，则与a（p^e）=1相乘；e+1，如果p==1（mod 4）；如果p==3（mod 4），则为（e+1）mod 2-大卫·W·威尔逊2001年9月1日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=（u-v）^2-（v-w）*（4*w+1）-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
G.f.：Sum_｛n>=1｝（（-1）^楼层（n/2）*x^（（n^2+n）/2）/（1+（-x）^n））-弗拉德塔·乔沃维奇2004年9月15日
（eta（q^2）^10/（eta。
通用公式：和{k>0}x^k/（1+x^（2*k））=和{k>0}-（-1）^k*x^-迈克尔·索莫斯2005年8月17日
a（4*n+3）=a（9*n+3）=a“9*n+6”=0。a（9*n）=a（2*n）=a（n）-迈克尔·索莫斯2006年11月1日
Dirichlet g.f.：ζ（s）*β（s）=zeta（s）*L（chi_2（4），s）-拉尔夫·斯蒂芬2015年3月27日
G.f.：（theta_3（x）^2-1）/4，其中theta_（）是雅可比θ函数-伊利亚·古特科夫斯基2018年4月17日
求和{n>=1}（-1）^n*a（n）/n=Pi*log（2）/4（Covo，2010）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年4月7日
求和{k=1..n}a（k）^2~n*（log（n）+C）/4，其中C=A241011型=
4*伽马-1+对数（2）/3-2*对数（Pi）+8*对数（伽马（3/4））-12*泽塔'（2）/Pi^2=2.016621545733408115279685971511542645018417752364748061。。。
Ramanujan（1916年，公式（22））发布的常数C，4*gamma-1+log（2）/3-log（Pi）+4*log（gamma（3/4））-12*Zeta'（2）/Pi^2=2.3482276258576……是错误的！（结束）
|
|
|
例子
|
4=2^2，所以a（4）=1；5=1^2+2^2=2^2+1^2，所以a（5）=2。
x+x ^2+x ^4+2*x ^5+x ^8+x ^9+2*x ^10+2*x^13+x ^16+2**x ^17+x ^18+。。。
2 = (+1)^2 + (+1)^2 = (+1)^2 + (-1)^2 = (-1)^2 + (+1)^2 = (-1)^2 + (-1)^2. 因此有4个整数解，在Niven-Zuckerman参考中称为N（2），a（2）=N（2”/4=1。4 = 0^1 + (+2)^2 = (+2)^2 + 0^2 = 0^2 + (-2)^2 = (-2)^2 + 0^2. 因此，N（4）=4，a（4）=N（四）/4=1。N（5）=8，a（5）=2-沃尔夫迪特·朗2013年4月19日
|
|
|
MAPLE公司
|
带有（数字理论）：
本地count1，count3，d；
计数1:=0:
计数3:=0:
对于numtheory中的d[除数]（n）do
如果d mod 4=1，则
计数1:=计数1+1
elif d mod 4=3，则
计数3:=计数3+1
图1：
结束do：
count1-count3；
结束进程：
#第二个Maple项目：
a： =n->add（`if`（d:：奇数，（-1）^（（d-1）/2），0），d=numtheory[除数]（n））：
|
|
|
数学
|
f[2，e_]：=1；f[p_，e_]：=如果[Mod[p，4]==1，e+1，Mod[e+1，2]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月19日*）
Rest[系数列表[级数[椭圆θ[3，0，q]^2/4，{q，0，100}]，q]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年3月10日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）方向（p=2，101，1/（1-X）/（1-kronecker（-4，p）*X））
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（k=1，n，x^k/（1+x^（2*k）），x*O（x^n）），n）}
（PARI）{a（n）=汇总（n，d，（d%4==1）-（d%4==3））}
（PARI）{a（n）=局部（a）；a=x*O（x^n）；polcoeff（eta（x^2+a）^10/（et（x+a）*eta（x^4+a））^4/4，n）}\\迈克尔·索莫斯，2005年6月3日
（PARI）a（n）=我的（f=因子（n>>估值（n，2）））；prod（i=1，#f~，if（f[i，1]%4==1，f[i、2]+1，（f[i，2]+1）%2））\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年9月9日
（PARI）我的（B=bnfinit（x^2+1））；向量（100，n，#bnfisintnorm（B，n））\\乔格·阿恩特，2024年6月1日
（哈斯克尔）
a002654 n=产品$zipWith f（a027748_row m）（a12410_row m），其中
f p e |p`mod`4==1=e+1
|否则=（e+1）`mod`2
m=a000265 n
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A002654号（n） ：对于因子（n）.items（）中的p，e，返回prod（1 if p==2 else（e+1 if p%4==1 else）%2）#柴华湖2022年5月9日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A002175号,A008441号,A121444号,A122856号,A122865号,A022544号,A143574号,A000265号,A027748号,A124010型,A025426号（两个方块，顺序无关紧要），A120630号（Dirichlet逆），A101455号（莫比乌斯变换），A000089号,A241011型.
如果只读取Glaisher（PLMS 1884）中的表，该表省略了零项，则会得到A213408型.
判别式5、8、12、13、17、21、24、28、29、33、37、40的实二次数域的Dedekind zeta函数为A035187号,A035185号,A035194号,A035195号,A035199号,A035203型,A035188号,A035210美元,A035211号,A035215号,A035219号,A035192号分别是。
|
|
|
关键词
|
核心,容易的,非n,美好的,多重
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 1, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 1, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 4, 0, 0, 2, 0, 4, 2, 2, 2, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 0, 4, 0, 2, 2, 0, 6, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 4, 2, 2, 4, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
参考文献
|
B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本第三部分，Springer-Verlag。见第139页示例（iv）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
R.W.Gosper，《十九世纪废弃矿田的露天采矿数学》，收录于《数学中的计算机》（Ed.D.V.Chudnovsky和R.D.Jenks）。纽约：Dekker，1990年。见第279页。
R.W.Gosper，q三角学、符号计算、数论、特殊函数、物理学和组合数学的实验和发现。编辑：F.G.Garvan和M.E.H.Ismail。Kluwer，Dordrecht，荷兰，2001年，第79-105页。[参见图片。]
P.A.MacMahon，《组合分析》，剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷。见第2卷，第31页，第272条。
Ivan Niven、Herbert S.Zuckerman和Hugh L.Montgomery，《数字理论导论》，第五版，John Wiley and Sons，Inc.，纽约，1991年，第165页。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。55系列，第十次印刷，1972年，第575、16.23.1和16.23.2页。
R.P.阿加瓦尔，兰伯特级数和拉马努扬印度科学院产品。科学。（《数学科学》），第103卷，第3期，1993年，第269-293页（见第285页）。
新泽西州罚款，基本超几何级数及其应用阿默尔。数学。Soc.，1988年；第72页，等式（31.2）；第78页，等式如下（32.25）。
J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，20（1884），97-167。见第108页。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；《组合理论》，A辑，113（2006），1732-1745。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
|
|
|
配方奶粉
|
这个序列是许多序列的四分之一。以下是两个示例：
a（n）=b（4*n+1），其中b（n）是乘法的，b（2^e）=0^e，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2如果p==3（mod 4），b（p ^e）=1如果p==1（mod4）-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
通用公式：（和{k>=0}x^（（k^2+k）/2））^2=（和{k>=0{x^。
雅可比θ（θ_2（0，sqrt（q）））^2/（4*q^（1/4））的展开。
求和[d|（4n+1），（-1）^（（d-1）/2）]。
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q，B（q^2），B（q ^4）），其中f（u，v，w）=v^3+4*v*w^2-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
雅可比k/（4*q^（1/2））*（2/Pi）*k（k）的q^2次幂展开-迈克尔·索莫斯2005年9月14日。的卷积A001938号和A004018号这出现在Abramowitz-Stegun参考文献第575、16.23.1和16.23.2页中给出的Jacobi sn和cn公式的分母中，其中m=k^2-沃尔夫迪特·朗2016年7月5日
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k）=和{k>=0}x^k/（1+x^，2*k+1））。
通用公式：Z}x^k/（1-x^（4*k+1））中的和{k-迈克尔·索莫斯2005年11月3日
psi（x）^2=phi（x）*psi（x^2）的x次幂展开，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数。
莫比乌斯变换是周期8序列[1，-1，-1，0，1，1，-1，0-…]-迈克尔·索莫斯2008年1月25日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（8 t））=1/2（t/i）G（t），其中q=exp（2 Pi i t），G（）是A104794号.
周期2序列的欧拉变换[2，-2，…]。
通用格式：q^（-1/4）*eta（q^2）^4/eta（q）^2。另请参见精细参考。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））^2/（1-x ^（2*k-1））^2。
通用公式：exp（总和{n>=1}2*（x^n/n）/（1+x^n））-保罗·D·汉纳2016年3月1日
连分式1/（1-x^1+x^1*（1-x^1）^2/以x^2的幂-迈克尔·索莫斯2017年4月20日
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）-x^。
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）+x^。（结束）
通用公式：求和{n=-oo..oo}x^（4*n^2+2*n）*（1+x^。见阿加瓦尔，第285页，方程6.20，i=j=1，mu=4。
对于形式4*k+3的素数p，a（n*p^2+（p^2-1）/4）=a（n）。
对于形式为4*k+1的素数p和不等于（p-1）/4（mod p）的n，我们有a（n*p^2+（p^2-1）/4）=3*a（n）（因为b（n），其中b（4*n+1）=a（n，是乘法的）。（结束）
G.f.A（q）满足：
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1-q^（4*n+2））（Agarwal中的集合z=q，alpha=q^2，mu=4，方程式6.15）。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^（2*n）/（1-q^。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1+q^（2*n+1））^2=Sum_{n=-oo..oo}q^。（结束）
通用公式：求和{k>=0}a（k）*q^k=Sum_{k>=0.}（-1）^k*q^-马穆卡·吉卜拉泽，2021年5月17日
通用公式：求和{k>=0}a（k）*q^k=Sum_{k>=0.}（-1）^k*q^（k*（k+1））*（1+q^-马穆卡·吉卜拉泽，2021年6月6日
|
|
|
例子
|
G.f.=1+2*x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^6+2*x|7+2*x*^9+2*x*10+2*x^11+。。。
B（q）的G.f=q*A（q^4）=q+2*q^5+q^9+2*q*13+2*q^17+3*q^25+2*q~29+2*q ^37+2*qq^41+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
sigmamr：=过程（n，m，r）局部a，d；a:=0；对于numtheory[除数]（n）中的d，如果modp（d，m）=r，那么a:=a+1；结束条件：；结束do:a；结束进程：
|
|
|
数学
|
加上@@（（-1）^（1/2（除数[4#+1]-1））和/@范围[0104](*蚂蚁王2010年12月2日*）
a[n_]：=级数系数[（1/2）椭圆Theta[2，0，q]椭圆Theta[3，0，q]，{q，0，n+1/4}]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月19日*）
a[n_]：=级数系数[（1/4）椭圆Theta[2，0，q]^2，{q，0，2n+1/2}]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月19日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，除数和[4 n+1，（-1）^商[#，2]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月8日*）
三角形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[8n+1]；表[Count[FrobeniusSolve[｛1，1｝，n]，｛__？三角形Q｝]，｛n，0，104｝](*罗伯特·威尔逊v2017年4月15日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polceoff（和（k=0，（平方（8*n+1）-1）\2，x^（k*（k+1）/2），x*O（x^n））^2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（-1）^（d\2）））}/*迈克尔·索莫斯，2005年9月2日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^4/eta（x+a）*2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（d%4==1）-（d%4=3））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月14日*/
（PARI）{my（q='q+O（'q^166））；Vec（eta（q^2）^4/eta（q）^2）}\\乔格·阿恩特2017年4月16日
（Sage）模块形式（Gamma1（8），1，prec=420）.1#迈克尔·索莫斯2014年6月8日
（哈斯克尔）
a052343=（翻转div 2）。(+ 1) . a008441号
（岩浆）A:=基础（模块形式（伽马1（8），1），420）；A[2]/*迈克尔·索莫斯2015年1月31日*/
|
|
|
交叉参考
|
将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787号,A014809号.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A050449号
|
| a（n）=和{d|n，d==1（mod 4）}d。 |
|
+10
24
|
|
|
|
1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 10, 6, 1, 1, 14, 1, 6, 1, 18, 10, 1, 6, 22, 1, 1, 1, 31, 14, 10, 1, 30, 6, 1, 1, 34, 18, 6, 10, 38, 1, 14, 6, 42, 22, 1, 1, 60, 1, 1, 1, 50, 31, 18, 14, 54, 10, 6, 1, 58, 30, 1, 6, 62, 1, 31, 1, 84, 34, 1, 18, 70, 6, 1, 10, 74, 38, 31, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,5
|
|
|
评论
|
非乘法：a（3）*a（7）！=例如，a（21）-R.J.马塔尔2011年12月20日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：和{n>=0}（4*n+1）*x^（4xn+1）/（1-x^-弗拉德塔·乔沃维奇2002年11月14日
G.f.：总和=1｝x^n*（1+3*x^（4*n））/（1-x^（4*n））^2-彼得·巴拉2021年12月19日
求和{k=1..n}a（k）=c*n^2+O（n*log（n）），其中c=Pi^2/48=0.205616(A245058型). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月26日
|
|
|
MAPLE公司
|
a:=0；
对于numtheory中的d[除数]（n）do
如果d mod 4=1，则
a:=a+d；
结束条件：；
结束do：
a；
结束进程：
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=sumdiv（n，d，d*（（d%4）==1））\\米歇尔·马库斯2018年1月30日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 3, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 3, 1, 2, 2, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0, 16
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
R.A.Smith和M.V.Subbarao，算术级数中除数的平均数《加拿大数学公报》，第24卷，第1期（1981年），第37-41页。
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：和{k>=1}x^（3*k）/（1-x^）（4*k））-伊利亚·古特科夫斯基2019年9月11日
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
联接[{0}，表[d=除数[n]；长度[Select[d，Mod[#，4]==3&]]，{n，100}]](*T.D.诺伊2012年8月10日*）
a[n_]：=除数和[n，1&，Mod[#，4]==3&]；a[0]=0；数组[a，100，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，d%4==3））\\阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月25日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,9
|
|
|
评论
|
Möebius变换是一个周期7序列{1，0，0，0，0，0，0，…}。
|
|
|
链接
|
R.A.Smith和M.V.Subbarao，算术级数中除数的平均数《加拿大数学公报》，第24卷，第1期（1981年），第37-41页。
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：和{k>=1}x^k/（1-x^（7*k））。
通用公式：和{k>=0}x ^（7*k+1）/（1-x^（7-k+1））。
求和{k=1..n}a（k）=n*log（n）/7+c*n+O（n^（1/3）*log(A001620号)（Smith和Subbarao，1981年）-阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月25日
|
|
|
例子
|
a（8）=2，因为8有4个除数{1,2,4,8}，其中2个除数}的形式为7*k+1。
|
|
|
MAPLE公司
|
N： =200:#以获得（0）。。a（否）
五： =矢量（N）：
对于从1到N的k do
R： =[seq（i，i=k..N，7*k）]；
V[R]：=映射（`+`，V[R],1）；
日期：
|
|
|
数学
|
nmax=120；系数列表[级数[和[x^k/（1-x^（7k）），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
nmax=120；系数列表[级数[和[x^（7k+1）/（1-x^）（7k/1）），{k，0，nmax}]，{x，0，nm最大}]，x]
表[Count[Divisors[n]，_？（整数Q[（#-1）/7]&）]，{n，0，100}](*哈维·P·戴尔2022年11月8日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）concat（[0]，Vec（总和（k=1100，x^k/（1-x^（7*k））+O（x^101））\\因德拉尼尔·戈什2017年3月29日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,9
|
|
|
评论
|
a（n）>=1，因为除数d=1总是被计算在内。
n=10^6之前的最大项都等于24。这8个术语表示n=675675、765765、799425、855855、863379、883575、945945或987525-哈维·P·戴尔2017年5月31日
a（n）可以从n的素因式分解中计算出来。设v（n）=（n1，n3，n5，n7），其中nr是r类（mod 8）中n的除数（我们不关心偶数余数）。那么如果gcd（k，m）=1，我们有v（k）=（k1，k3，k5，k7），那么a（k）=k1，v（m）=（m1，m3，m5，m7），因此a（m）=k1。
我们有一个（k*m）=（km）_1=k1*m1+k2*m2+k3*m3+k4*m4。其他（km）_3..（km）_7具有类似的表达式。
如果p==1（mod 8），则a（p^e）=e+1，否则楼层（e/2）+1。（结束）
|
|
|
链接
|
R.A.Smith和M.V.Subbarao，算术级数中除数的平均数《加拿大数学公报》，第24卷，第1期（1981年），第37-41页。
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
MAPLE公司
|
sigmamr：=过程（n，m，r）局部a，d；a:=0；对于numtheory[除数]（n）中的d，如果modp（d，m）=r，那么a:=a+1；结束条件：；结束do:a；结束进程：
|
|
|
数学
|
表[Count[Divisors[n]，_？（型号[#，8]==1&）]，{n，100}](*哈维·P·戴尔2017年5月31日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）={my（d=除数（n））；#select（x->x%8==1，d）}\\大卫·A·科内斯，2021年4月6日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 10, 12, 11, 12, 14, 14, 18, 16, 18, 20, 19, 24, 22, 22, 23, 24, 31, 28, 30, 28, 30, 36, 31, 32, 34, 36, 42, 40, 38, 38, 42, 48, 42, 44, 43, 44, 60, 46, 47, 48, 50, 62, 54, 56, 54, 60, 66, 56, 58, 60, 59, 72, 62, 62, 73, 64, 84, 68
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1, 2
|
|
|
评论
|
非乘法：例如，a（3）*a（7）<>a（21）。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：和{n>0}n*x^n/（1-x^（4*n））-弗拉德塔·乔沃维奇2002年11月14日
求和{k=1..n}a（k）~c*n^2/2，其中c=22183英镑.（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
a:=0；
对于numtheory中的d[除数]（n）do
如果（n/d）mod 4=1，则
a:=a+d；
结束条件：；
结束do：
a；
结束进程：
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=sumdiv（n，d，if（n/d%4==1，d））\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年12月4日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,8
|
|
|
评论
|
Möbius变换是周期6序列{1，0，0，0，0，0，…}。
|
|
|
链接
|
R.A.Smith和M.V.Subbarao，算术级数中除数的平均数《加拿大数学公报》，第24卷，第1期（1981年），第37-41页。
|
|
|
配方奶粉
|
通用公式：和{k>=1}x^k/（1-x^（6*k））。
通用公式：和{k>=0}x ^（6*k+1）/（1-x^（6-k+1））。
a（n）=A320001型（n） +[1==n（mod 6）]，其中[]是艾弗森括号，仅当n=1 mod 6时为1，否则为0。
求和{k=1..n}a（k）=n*log（n）/6+c*n+O（n^（1/3）*log(A001620号)（Smith和Subbarao，1981年）-阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月25日
|
|
|
例子
|
a（14）＝2，因为14具有4个除数{1,2,7,14}，其中2个除数{1,7}的形式为6*k+1。
|
|
|
数学
|
nmax=120；系数列表[级数[和[x^k/（1-x^（6k）），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x]
nmax=120；系数列表[级数[和[x^（6k+1）/（1-x^）（6k/1）），{k，0，nmax}]，{x，0，nmax}]
表[Count[Divisors[n]，_？（型号[#，6]==1&）]，{n，0，120}](*哈维·P·戴尔2018年4月27日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.020秒内完成
|
