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抵消

0,2

这是Glaisher函数lambda（m）。它似乎只为奇数m定义，λ（4t-1）=0（t>=1），λ（4t+1）=a（t）（t>=0）。 -N.J.A.斯隆2018年11月25日

Ramanujanθ函数：f（q）（参见A121373号)，φ（q）(A000122号)，磅/平方英寸（q）(A010054号)，chi（q）(A000700型).

Martin（1996）表一中列出的74个eta商中的第36个。

Dickson，v.2，p.295简要陈述了Glaisher的研究结果，1883，pp 212-215。这个结果是，a（n）是chi（x）的非负奇整数中16*n+4=x^2+y^2+z^2+w^2的所有解的和，也是chi（x）*chi（y）的非负奇整数中8*n+2=x^2+y^2的全部解的和。其中，如果x==1（mod 4），chi（x=x）；如果x==3（mod4），则为-x。 [迈克尔·索莫斯，2012年6月18日]

第8页Cynk和Hulek中的g_3（q）表示为第16级的唯一权重3 Hecke特征形式，其复数乘以i-迈克尔·索莫斯2012年8月24日

这是一个整数权重模形式无限族的成员。g_1=A008441号，g_2=A002171号，g_3=A000729号，g4级=A215601型，g5=A215472号. -迈克尔·索莫斯2012年8月24日

参考文献

L.E.Dickson，《数论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第295页，第3卷第134页。

J.W.L.Glaisher，《关于数字作为四个平方和的表示以及一些相关的算术函数》，《纯粹与应用数学季刊》，36（1905），305-358。见第340页。

J.W.L.Glaisher，算术函数P（m），Q（m）、Omega（m）和Quart。《数学杂志》，37（1906），36-48。

莫里斯·纽曼，eta（tau）幂系数表。内德勒。阿卡德。韦滕施。程序。序列号。A.59=印度。数学。 18 (1956), 204-216.

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链接

Seiichi Manyama，n=0..10000时的n，a（n）表

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S.Cooper、M.D.Hirschorn和R.Lewis，欧拉乘积的幂及相关恒等式《拉马努扬杂志》，第4卷（2），137-155（2000）。

S.Cynk和K.Hulek，高维模Calabi-Yau流形的构造与实例，arXiv:math/0509424[math.AG]，2005-2006年。

S.R.Finch，欧拉q级数的威力，arXiv:math/0701251[math.NT]，2007年。

J.W.L.Glaisher，关于二次方和四次方之和构成数的注记《纯粹与应用数学季刊》，19（1883），212-215。

J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，20（1884），97-167。

J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，20（1884），97-167。[带注释的扫描副本]

J.W.L.Glaisher，关于数字表示为2、4、6、8、10和12平方和的问题，夸脱。数学杂志。38（1907），1-62（见第5页）。

Y.Martin，乘法eta商，事务处理。阿默尔。数学。Soc.348（1996），编号12，4825-4856，见第4852页表一。

S.Milne和V.Leininger，一些新的无穷族eta函数恒等式，《分析方法与应用》6（1999），225--248。

M.纽曼，eta（tau）幂系数表荷兰阿卡德。韦滕施。程序。序列号。A.59=印度。数学。 18 (1956), 204-216.[带注释的扫描副本]

迈克尔·索莫斯，伊夫·马丁74个乘法eta商及其A数列表索引

迈克尔·索莫斯，Ramanujan theta函数简介

埃里克·魏斯坦的数学世界，Ramanujan Theta函数

Product_{k>=1}（1-x^k）^m展开的索引项

Glaisher提到的序列的索引项

配方奶粉

根据Stieltjes脚注160，将q^（-1/4）/16*theta_2（q）^4*theta_3（q）*theta_4（q）展开为q.-[Dickson，v.3，p.134]的幂。迈克尔·索莫斯2012年6月18日

q^（-1/2）/4*k*k'*（k/（pi/2））^3的q^2次幂展开式，其中k，k'，k是Jacobi椭圆函数。 -迈克尔·索莫斯，2012年6月22日

G.f.：产品{k>0}（1-x^k）^6。

给定g.f.A（x），则A（q^4）=f（-q^4，^6=phi（q）*phi（-q）*psi（q^2）^4，其中phi（）、psi（）、f（）是Ramanujan theta函数。 -迈克尔·索莫斯2006年8月23日

a（n）=b（4*n+1），其中b（n）与b（2^e）=0^e相乘，b（p^e）=p^e*（1+（-1）^e）/2，如果p==3（mod 4），b（p ^e）＝b（p）*b（p~（e-1））-b（p~。 -迈克尔·索莫斯2006年8月23日

G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（16 t））=64（t/i）^3 f（t），其中q=exp（2 Pi it）。 -迈克尔·索莫斯2012年8月24日

通用公式：求和{k>=0}a（k）*x^（4*k+1）=（1/2）*Z}中的求和{u，v（u*u-4*v*v）*xqu（u*u+4*v*v）。 -迈克尔·索莫斯2007年6月14日

G.f.：eta（x）^6=Sum_{n>=0}（1+2n）^2*x^（n^2+n）+2*Sum_}n>=0，k>=1}。 [保罗·D·汉纳2010年3月15日]

a（0）=1，a（n）=-（6/n）*和{k=1..n}A000203号（k） *a（n-k），对于n>0。 -Seiichi Manyama先生2017年3月26日

通用公式：exp（-6*Sum_{k>=1}x^k/（k*（1-x^k）））。 -伊利亚·古特科夫斯基2018年2月5日

设M是一个正整数，其素因子都与3（mod 4）同余-参见A004614号则a（M^2*n+（M^2-1）/4）=M^2*a（n）。参见Cooper等人的等式5。 -彼得·巴拉2020年12月1日

a（n）=b（4*n+1），其中b（n）与b（2^e）=0^e相乘，b（p^e）=p^e*（1+（-1）^e）/2，如果p==3（mod 4），b（p ^e）＝（（x+y*i）^（2*e+2）-（x-y*i很奇怪。 -宋嘉宁2022年3月19日

例子

G.f.=1-6*x+9*x^2+10*x^3-30*x^4+11*x^6+42*x^7-70*x^9+18*x^10+。..

G.f.=q-6*q^5+9*q^9+10*q^13-30*q^17+11*q^25+42*q^29-70*q^37+。..

数学

a[n_]：=级数系数[1/16椭圆Theta[4，0，q]椭圆Theta[2，0，q]^4椭圆Theta[3]，{q，0，4n+1}]； (*迈克尔·索莫斯2012年6月18日*）

a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=Sqrt[16n+4]}，SeriesCoefficient[Sum[Mod[k，2]q^k^2，{k，m}]^3 Sum[KroneckerSymbol[-4，k]k q^k ^2，}]，{q，0，16 n+4}]]； (*迈克尔·索莫斯2012年6月12日*）

a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ@q}，级数系数[Sqrt[（1-m）m]（椭圆K[m]2/Pi）^3/（4q^（1/2）），{q，0，2n}]]； (*迈克尔·索莫斯2012年6月22日*）

a[n_]：=系列系数[乘积[1-x^k，{k，n}]^6，{x，0，n}]； (*迈克尔·索莫斯，2015年5月17日*）

a[n_]：=级数系数[QPochhammer[x]^6，{x，0，n}]； (*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*）

a[n_]：=级数系数[（-1/4）椭圆ThetaPrime[1，-Pi/4，q]椭圆Theta[1，-Pi/4、q]^3，{q，0，4n+1}]； (*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*）

a[n_]：=级数系数[（-1/16）椭圆ThetaPrime[1，0，q]椭圆Theta[1，-Pi/2，q]^3，{q，0，4 n+1}]； (*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x+a）^6，n））}；

（PARI）{a（n）=my（a，p，e，x，y，a0，a1）；if（n<0，0，n=4*n+1；a=因子（n）；prod（k=1，矩阵大小（a）[1]，[p，e]=a[k，]；if；a0=1；a1=y=2*（x^2-y^2）；对于（i=2，e，x=y*a1-p^2*a0；a0=a1；a1=x）；a1））}； /*迈克尔·索莫斯2006年8月21日*/

（PARI）{a（n）=局部（tn=（平方（8*n+1）+1）\2）；polceoff（和（m=0，tn，（1+2*m）^2*x^（m^2+m）+x*O（x^n）/*保罗·D·汉纳2010年3月15日*/

（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma1（16），3），274）；甲[2]-6*A[6]+9*A[10]+10*A[14]-30*A[18]； /*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*/

（岩浆）A:=基础（CuspForms（伽马1（16），3），274）；A[1]-6*A[5]； /*迈克尔·索莫斯，2017年1月9日*/

交叉参考

欧拉产品的力量：A000594号,A000727号-A000731号,A000735号,A000739号,A002107号,A010815号-A010840型.

上下文中的序列：A051221号 A029843号 2009年2月41日*A280666型 A282937型 A106248号

相邻序列：A000726号 A000727号 A000728号*A000730型 A000731号 A000732号

关键词

签名,容易的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的