登录
A000729号
产品扩展{k>=1}(1-x^k)^6。
(原名M4076 N1691)
15
1, -6, 9, 10, -30, 0, 11, 42, 0, -70, 18, -54, 49, 90, 0, -22, -60, 0, -110, 0, 81, 180, -78, 0, 130, -198, 0, -182, -30, 90, 121, 84, 0, 0, 210, 0, -252, -102, -270, 170, 0, 0, -69, 330, 0, -38, 420, 0, -190, -390, 0, -108, 0, 0, 0, -300, 99, 442, 210, 0, 418, -294, 0, 0, -510, 378, -540, 138, 0
抵消
0,2
评论
这是Glaisher函数lambda(m)。它似乎只为奇数m定义,λ(4t-1)=0(t>=1),λ(4t+1)=a(t)(t>=0)。 -N.J.A.斯隆2018年11月25日
Ramanujanθ函数:f(q)(参见A121373号),φ(q)(A000122号),磅/平方英寸(q)(A010054号),chi(q)(A000700型).
Martin(1996)表一中列出的74个eta商中的第36个。
Dickson,v.2,p.295简要陈述了Glaisher的研究结果,1883,pp 212-215。这个结果是,a(n)是chi(x)的非负奇整数中16*n+4=x^2+y^2+z^2+w^2的所有解的和,也是chi(x)*chi(y)的非负奇整数中8*n+2=x^2+y^2的全部解的和。其中,如果x==1(mod 4),chi(x=x);如果x==3(mod4),则为-x。 [迈克尔·索莫斯,2012年6月18日]
第8页Cynk和Hulek中的g_3(q)表示为第16级的唯一权重3 Hecke特征形式,其复数乘以i-迈克尔·索莫斯2012年8月24日
这是一个整数权重模形式无限族的成员。g_1=A008441号,g_2=A002171号,g_3=A000729号,g4级=A215601型,g5=A215472号. -迈克尔·索莫斯2012年8月24日
参考文献
L.E.Dickson,《数论史》。卡内基公共研究所。256,华盛顿特区,第1卷,1919年;第2卷,1920年;1923年第3卷,见第2卷,第295页,第3卷第134页。
J.W.L.Glaisher,《关于数字作为四个平方和的表示以及一些相关的算术函数》,《纯粹与应用数学季刊》,36(1905),305-358。见第340页。
J.W.L.Glaisher,算术函数P(m),Q(m)、Omega(m)和Quart。《数学杂志》,37(1906),36-48。
莫里斯·纽曼,eta(tau)幂系数表。内德勒。阿卡德。韦滕施。程序。序列号。A.59=印度。数学。 18 (1956), 204-216.
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
M.Boylan,某些eta-product新形式系数的例外同余《J·数论》98(2003),第2期,第377-389页。MR1955423(2003k:11071)
S.Cooper、M.D.Hirschorn和R.Lewis,欧拉乘积的幂及相关恒等式《拉马努扬杂志》,第4卷(2),137-155(2000)。
S.Cynk和K.Hulek,高维模Calabi-Yau流形的构造与实例,arXiv:math/0509424[math.AG],2005-2006年。
S.R.Finch,欧拉q级数的威力,arXiv:math/0701251[math.NT],2007年。
J.W.L.Glaisher,关于二次方和四次方之和构成数的注记《纯粹与应用数学季刊》,19(1883),212-215。
J.W.L.Glaisher,关于函数chi(n)《纯粹与应用数学季刊》,20(1884),97-167。
J.W.L.Glaisher,关于函数chi(n)《纯粹与应用数学季刊》,20(1884),97-167。[带注释的扫描副本]
J.W.L.Glaisher,关于数字表示为2、4、6、8、10和12平方和的问题,夸脱。数学杂志。38(1907),1-62(见第5页)。
Y.Martin,乘法eta商,事务处理。阿默尔。数学。Soc.348(1996),编号12,4825-4856,见第4852页表一。
S.Milne和V.Leininger,一些新的无穷族eta函数恒等式,《分析方法与应用》6(1999),225--248。
M.纽曼,eta(tau)幂系数表荷兰阿卡德。韦滕施。程序。序列号。A.59=印度。数学。 18 (1956), 204-216.[带注释的扫描副本]
迈克尔·索莫斯,Ramanujan theta函数简介
埃里克·魏斯坦的数学世界,Ramanujan Theta函数
配方奶粉
根据Stieltjes脚注160,将q^(-1/4)/16*theta_2(q)^4*theta_3(q)*theta_4(q)展开为q.-[Dickson,v.3,p.134]的幂。迈克尔·索莫斯2012年6月18日
q^(-1/2)/4*k*k'*(k/(pi/2))^3的q^2次幂展开式,其中k,k',k是Jacobi椭圆函数。 -迈克尔·索莫斯,2012年6月22日
G.f.:产品{k>0}(1-x^k)^6。
给定g.f.A(x),则A(q^4)=f(-q^4,^6=phi(q)*phi(-q)*psi(q^2)^4,其中phi()、psi()、f()是Ramanujan theta函数。 -迈克尔·索莫斯2006年8月23日
a(n)=b(4*n+1),其中b(n)与b(2^e)=0^e相乘,b(p^e)=p^e*(1+(-1)^e)/2,如果p==3(mod 4),b(p ^e)=b(p)*b(p~(e-1))-b(p~。 -迈克尔·索莫斯2006年8月23日
G.f.是周期1傅里叶级数,满足f(-1/(16 t))=64(t/i)^3 f(t),其中q=exp(2 Pi it)。 -迈克尔·索莫斯2012年8月24日
通用公式:求和{k>=0}a(k)*x^(4*k+1)=(1/2)*Z}中的求和{u,v(u*u-4*v*v)*xqu(u*u+4*v*v)。 -迈克尔·索莫斯2007年6月14日
G.f.:eta(x)^6=Sum_{n>=0}(1+2n)^2*x^(n^2+n)+2*Sum_}n>=0,k>=1}。 [保罗·D·汉纳2010年3月15日]
a(0)=1,a(n)=-(6/n)*和{k=1..n}A000203号(k) *a(n-k),对于n>0。 -Seiichi Manyama先生2017年3月26日
通用公式:exp(-6*Sum_{k>=1}x^k/(k*(1-x^k)))。 -伊利亚·古特科夫斯基2018年2月5日
设M是一个正整数,其素因子都与3(mod 4)同余-参见A004614号则a(M^2*n+(M^2-1)/4)=M^2*a(n)。参见Cooper等人的等式5。 -彼得·巴拉2020年12月1日
a(n)=b(4*n+1),其中b(n)与b(2^e)=0^e相乘,b(p^e)=p^e*(1+(-1)^e)/2,如果p==3(mod 4),b(p ^e)=((x+y*i)^(2*e+2)-(x-y*i很奇怪。 -宋嘉宁2022年3月19日
例子
G.f.=1-6*x+9*x^2+10*x^3-30*x^4+11*x^6+42*x^7-70*x^9+18*x^10+。..
G.f.=q-6*q^5+9*q^9+10*q^13-30*q^17+11*q^25+42*q^29-70*q^37+。..
数学
a[n_]:=级数系数[1/16椭圆Theta[4,0,q]椭圆Theta[2,0,q]^4椭圆Theta[3],{q,0,4n+1}]; (*迈克尔·索莫斯2012年6月18日*)
a[n_]:=如果[n<0,0,With[{m=Sqrt[16n+4]},SeriesCoefficient[Sum[Mod[k,2]q^k^2,{k,m}]^3 Sum[KroneckerSymbol[-4,k]k q^k ^2,}],{q,0,16 n+4}]]; (*迈克尔·索莫斯2012年6月12日*)
a[n_]:=具有[{m=反椭圆NomeQ@q},级数系数[Sqrt[(1-m)m](椭圆K[m]2/Pi)^3/(4q^(1/2)),{q,0,2n}]]; (*迈克尔·索莫斯2012年6月22日*)
a[n_]:=系列系数[乘积[1-x^k,{k,n}]^6,{x,0,n}]; (*迈克尔·索莫斯,2015年5月17日*)
a[n_]:=级数系数[QPochhammer[x]^6,{x,0,n}]; (*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*)
a[n_]:=级数系数[(-1/4)椭圆ThetaPrime[1,-Pi/4,q]椭圆Theta[1,-Pi/4、q]^3,{q,0,4n+1}]; (*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*)
a[n_]:=级数系数[(-1/16)椭圆ThetaPrime[1,0,q]椭圆Theta[1,-Pi/2,q]^3,{q,0,4 n+1}]; (*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polceoff(eta(x+a)^6,n))};
(PARI){a(n)=my(a,p,e,x,y,a0,a1);if(n<0,0,n=4*n+1;a=因子(n);prod(k=1,矩阵大小(a)[1],[p,e]=a[k,];if;a0=1;a1=y=2*(x^2-y^2);对于(i=2,e,x=y*a1-p^2*a0;a0=a1;a1=x);a1))}; /*迈克尔·索莫斯2006年8月21日*/
(PARI){a(n)=局部(tn=(平方(8*n+1)+1)\2);polceoff(和(m=0,tn,(1+2*m)^2*x^(m^2+m)+x*O(x^n)/*保罗·D·汉纳2010年3月15日*/
(岩浆)A:=基础(模块形式(Gamma1(16),3),274);甲[2]-6*A[6]+9*A[10]+10*A[14]-30*A[18]; /*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*/
(岩浆)A:=基础(CuspForms(伽马1(16),3),274);A[1]-6*A[5]; /*迈克尔·索莫斯,2017年1月9日*/
关键词
签名,容易的
作者
状态
经核准的