Ramanujan theta函数简介 Michael Somos 2019年10月12日 Michael.Somos@gmail.com 在他的椭圆函数研究中,Ramanujan使用他自己的函数符号,使用幂级数定义的θ函数。这里有一种方法可以激发他对函数的特定定义的形式。为了激发这个定义,回想一下最简单的收敛无穷级数,它是几何幂级数,x的所有非负幂和为1/(1-x)。我们想要这个系列的乘法模拟。一种可能性是使用 1-x^n作为无穷乘积中的因子,但从 n=1开始,因为1-x^0=1-1=0会导致乘积立即消失。因此我们有以下定义。Ramanujan f函数由 f(-x)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)… ,其中| x |<1是收敛所必需的。通常,我们使用形式幂级数,所以我们需要的是,当n变成无穷大时,x^n收敛到零。之所以用f(-x)而不是更简单的f(x) 来自Ramanujan的一般双变量θ函数,即 定义2。在他的笔记本中使用的一般双变量Ramanujan f函数是由他用以下级数定义的 f(a,b)=1+(a+b)+(ab)(a^2+b^2)+(ab)^3(a^3+b^3)+(ab)^6(a^4+b^4)+… 其中| ab |<1是收敛所必需的。Ramanujan的 函数背后的思想是,它是一个双向无限项和,其中连续项的商是一个几何级数。因此我们有 f(a,b)=。。。+a^6b^10+a^3b^6+ab^3+b+1+a+a^3b+a^6b^3+a^10b^6+… 可以使用索引变量 n对所有整数n求和a^n(n+1)/2b^n(n-1)/2。而且,令人惊讶的是,它有一个无限乘积表达式,如下所示 =(1+a)(1+b)(1-q^2)(1+bq^2)(1-q^3). 其中q=ab。这相当于雅各比的三乘积恒等式,因此f(a,b)是幂级数的一个例子,它既有无穷的和表达式,又有无穷的乘积表达式,这也许可以解释为什么Ramanujan使用f(-x)而不是更明显的f(x)。这个θ函数的幂级数展开式是 f(-x)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+。似乎每个项都是x的幂,系数加一或减一。这些符号似乎是由两个减号交替出现,然后是两个加号,依此类推。x的指数是 广义五边形数。这个级数的幂函数也是基于这个级数的。因此,定义定义3。Ramanujan phi函数由 phi(x)定义:=f(x,x)=1+2 x+2 x^4+2 x^9+2 x^16+。此幂级数是OEIS序列 A000122的普通生成函数。这与他的另一个θ函数密切相关。Ramanujan psi函数由 psi(x):=f(x,x^3)=1+x+x^3+x^6+x^10+x^15+。此幂级数是OEIS序列 A010054的普通生成函数。最后一个幂级数实际上并不是θ函数,而是Ramanujan在重要方面使用的,但不像phi和 psiθ函数那样频繁。其定义如下 定义5。Ramanujan chi函数由 chi(x):=(1+x)(1+x^3)(1+x^5)定义。。。=1+x+x^3+x^4+。此幂级数是OEIS序列 A000700的普通生成函数。似乎没有简单的无限和表达式。