Ramanujan theta函数简介迈克尔·索莫斯2019年10月12日michael.somos@gmail.com在他关于椭圆函数的工作中，Ramanujan使用了他自己的幂级数定义的θ函数的版本函数的符号。以下是激发表单的一种方法他对自己职能的特殊定义。为了激发定义，回忆一下最简单的聚合无穷级数，即几何幂级数x的非负幂和为1/（1-x）。我们想要一个这个级数的乘法模拟。一种可能性是使用1-x^n作为无穷乘积中的因子，但起始于n=1，因为1-x^0=1-1=0会导致产品消失立即。因此，我们有以下定义。定义1。Ramanujan f函数定义为f（-x）=（1-x）（1-x^2）（1-x^3）（1-x ^4）。。。其中，|x|<1是收敛所必需的。我们经常使用正式权力级数，所以我们需要的是x ^n随着n的增加收敛到零到无穷大。f（-x）而不是更简单的f（x）的原因来自Ramanujan的通用双变量θ函数，即定义2。一般的双变量Ramanujan f函数为他用以下系列定义了笔记本中使用的f（a，b）=1+（a+b）+（ab）（a^2+b^2）+（ap）^3（a^3+b^3）+（ab）^6（a^4+b^4）+。。。其中，|ab|<1是收敛所必需的。Ramanujan的想法函数是一个双向无限项和，其中连续项的商是一个几何级数。因此，我们有f（a，b）=+a^6b^10+a^3b^6+ab^3+b+1+a+a^2b+a^6b^3+a^10b^6+。。。这可以通过使用索引变量的求和符号来编写n对所有整数n求a^n（n+1）/2b^n（n-1）/2的和。此外，令人惊讶的是，它有一个无限乘积表达式，如下所示f（a，b）=（1+a）（1+b）（1-q）。。。其中q=ab。这相当于雅各比的三重产品身份，因此f（a，b）是同时具有无穷大的幂级数的一个例子和和无穷乘积表达式。根据f（a，b），Ramanujan的单变量θ函数是f（-x）=f（-x，-x^2），这也许解释了为什么Ramanujan使用f（-x）而不是more明显的f（x）。这个θ函数的幂级数展开式是f（-x）=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+。似乎每个项都是系数加1的x的幂或者减一。这些符号似乎与两个减号交替出现后跟两个加号，依此类推。x的指数是广义五边形数。这个幂级数是普通的OEIS序列A010815的生成函数。Ramanujan还基于x的指数是正方形和三角形数。因此，定义定义3。Ramanujan phi函数定义为φ（x）：=f（x，x）=1+2x+2x^4+2x^9+2x^16+。这个幂级数是OEIS序列的普通生成函数这与他的另一个θ函数密切相关。定义4。Ramanujan psi功能定义如下磅/平方英寸（x）：=f（x，x^3）=1+x+x^3+x^6+x^10+x^15+。这个幂级数是OEIS序列的普通生成函数A010054.最后一个幂级数实际上不是θ函数，而是Ramanujan在重要方面使用，但不像phi和psiθ函数。其定义如下定义5。Ramanujan chi函数定义为气（x）：=（1+x）（1+x^3）（1+x^5）…=1+x+x^3+x^4+。这个幂级数是OEIS序列的普通生成函数A000700。似乎没有简单的无限和表达式。