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A000700型 乘积{k>=0}的展开(1+x^(2k+1));将n划分为不同奇数部分的数目;自共轭分区数;具有n个节点的对称Ferrers图的数目。
(原名M0217 N0078)
1634
1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 23, 25, 26, 29, 33, 35, 37, 41, 46, 49, 52, 57, 63, 68, 72, 78, 87, 93, 98, 107, 117, 125, 133, 144, 157, 168, 178, 192, 209, 223, 236, 255, 276, 294, 312, 335, 361, 385 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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Ramanujanθ函数:f(q)(参见A121373号),φ(q)(A000122号),磅/平方英寸(q)(A010054号),chi(q)(A000700型).
可复制函数数96a的系数-N.J.A.斯隆2015年6月10日
对于n>=1,a(n)是对称群S_n的字符表中的最小行和。表中的最小行和对应于S_n的一维交替表示。最大行和按顺序排列A085547号.-Yuval Dekel(dekelyuval(AT)hotmail.com),2003年9月15日
还有n分为多个部分的分区数!=2,并且相差>=6,如果一个部分是偶数,则具有严格的不等式。[阿拉迪]
设S是由1+[2,3]+[2,5]+[2.7]+[2.9]+…的部分和构成的集。。。,其中[2,odd]表示一个选项,例如,我们可以有1+2、1+3+2或1+3+5+2+9等。然后A000700型(n) 是S中等于n的元素数A000700型(n) 奇偶校验与A000041号(n) (分区号)-乔恩·佩里2003年12月18日
a(n)是当n>=2时,对称群S_n在a_n(交替群)的限制下分裂为两类的共轭类的个数。参见下面给出的G.James-A.Kerber参考A115200个,第12页,1.2.10引理和W.Lang链接A115198号.
此外,如果k是n的最大部分,则k出现奇数次,而从1到k-1的每个整数出现正偶数次(这些是n划分为不同奇数部分的共轭数)。例如:a(15)=4,因为我们有[3,3,3,1,2,2,1,1]、[3,2,2,2,1,1,1,1]、[3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]和[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年4月16日
INVERTi变换A000009号(将n划分为奇数部分的数量,从偏移量1开始)=(1,0,1,-1,1,-1,1,-2,-2,2,-3,-3,-4,…);=三角形左边框A146061号. -加里·亚当森2008年10月26日
对于n偶数:(n-k^2)/2划分为最多k个部分的所有偶数非负整数k的和。对于n奇数:(n-j^2)/2划分为最多j个部分的划分数j的和-格雷厄姆·霍克斯2013年10月18日
这个数也是(包含偶数置换的S_n的共轭类的数目)-(包含奇数置换的Sn的共轭类别的数目)=(将n划分为与n具有相同奇偶校验的多个部分的数量)-(将n分割为与n奇偶校验相反的多个部分的数量)=(最大部分与n具有相同奇偶性的n个分区的数量)-(最大部分奇偶性与n相反的分区数量)-大卫·L·哈登2016年12月9日
a(n)是奇数,当n属于A052002号; 也就是说,求和{n>=0}x^2005年2月(n) ==Sum_{n>=0}a(n)*x^n(mod 2)-彼得·巴拉2017年1月22日
此外,其成员产生唯一平方根的S_n的共轭类的数目,即S_n中存在唯一的h,使得hh=g表示此类共轭类中的任何g。证明:首先要注意,置换的平方根是由其分解为不同长度的循环的平方根的乘积决定的。h在必须“返回原点”(h^2(x)=g(x)必须在x的循环中)之前只能移动到另一个循环,因为如果g^n(x)=x,那么h^2n(x。然而,分解为两个相同长度的循环的置换有多个平方根:例如,e=e ^2=(a b)^2,(a b)(c d)=(a c b d)^2=(a d b c)^2,(a b c)(d e f)=(a d b e c f)^2=(a e b f c d)^2,等等。这对任何循环长度都是正确的,所以我们只需要考虑具有不同循环长度的置换。最后,偶数循环长度是奇数置换,因此不能是平方,而奇数循环长度具有唯一的平方根h(x)=g^((n+1)/2)(x)。因此,这些共轭类和划分成不同奇数部分之间存在对应关系-基思·鲍尔2024年1月9日
参考文献
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链接
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克里斯蒂安·卡塞尔(Christian Kassel)和克里斯托夫·鲁特诺(Christophe Reutenauer),二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数,arXiv:11505.07229v3[math.AG],2015年。[本文的后一版本有不同的标题和内容,论文的理论部分已移至以下出版物。]
克里斯蒂安·卡塞尔(Christian Kassel)和克里斯托夫·鲁特诺(Christophe Reutenauer),二维环面上n点Hilbert格式zeta函数的完全确定,arXiv:1610.07793[math.NT],2016年。
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埃里克·魏斯坦的数学世界,配分函数P.
埃里克·魏斯坦的数学世界,Ramanujan Theta函数.
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配方奶粉
G.f.:产品{k>=1}(1+x^(2*k-1))。
通用公式:和{k>=0}x ^(k^2)/产品{i=1..k}(1-x^(2*i))欧拉(哈代和赖特,定理345)
G.f.:1/产品_{i>=1}(1+(-x)^i)-乔恩·佩里,2004年5月27日
chi(q)=(-q;q^2)_oo=f(q)/f(-q^2。
和{k=0..n}A081360型(k) *a(n-k)=0,对于n>0-约翰·莱曼2000年4月26日
周期-4序列的Euler变换[1,-1,1,0,…]。
q^(1/24)*eta(q^2)^2/(eta(q)*eta(q^4))的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2004年6月11日
渐近:a(n)~exp(Pi*l_n)/(2*24^(1/4)*l_n^(3/2)),其中l_n=(n-1/24)^(1/2)(Ayoub)。Ayoub中的渐近公式是不正确的,因为这意味着分区总数的增长速度更快。(引用正确,这本书只是错了,不确定什么是正确的渐近式。)-爱德华·厄利2002年11月15日。右公式是a(n)~exp(Pi*sqrt(n/6))/(2*24^(1/4)*n^(3/4))-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月23日
a(n)=(1/n)*和{k=1..n}(-1)^(k+1)*b(k)*a(n-k),n>1,a(0)=1,b(n)=A000593号(n) =n的奇数因子之和-弗拉德塔·约沃维奇2002年1月19日[见N.Robbins文章中的定理2(a)]
对于n>0:a(n)=b(n,1),其中b(n、k)=b-莱因哈德·祖姆凯勒2003年8月26日
q^(1/24)*(m*(1-m)/16)^(-1/24)的q次幂展开式,其中m=k^2是参数,q是Jacobian椭圆函数的nome。
给定g.f.A(x),B(q)=(1/q)*A(q^3)^8满足0=f(B(q,B(q^2)),其中f(u,v)=u*v*(u-v^2)*(v-u^2)-(4*(1-u*v)))^2-迈克尔·索莫斯2007年7月16日
G.f.是周期1傅里叶级数,满足f(-1/(2304 t))=f(t),其中q=exp(2 Pi it)-迈克尔·索莫斯2007年7月16日
q^(1/24)*f(t)的q=exp(Pi*i*t)幂展开式,其中f()是韦伯函数-迈克尔·索莫斯2007年10月18日
A069911型(n) =a(2*n+1)。A069910号(n) =a(2*n)。
a(n)=和{k=1..n}(-1)^(n-k)A008284号(n,k)-杰里米·马丁2013年7月6日
a(n)=S(n,1),其中S(n、m)=Sum_{k=m.n/2}(-1)^(k+1)*S(n-k,k)+(-1)(n+1),S(n)=(-1)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月7日
G.f.:产品{k>0}(1+x^(2*k-1))=产品{k>0}-迈克尔·索莫斯2014年11月8日
a(n)~Pi*BesselI(1,Pi*sqrt(24*n-1)/12)/sqrt(24*n-1-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月8日
通用公式:exp(总和{k>=1}x^k/(k*(1-(-x)^k))-伊利亚·古特科夫斯基,2018年6月7日
给定g.f.A(x),B(q)=(1/q)*A(q^24)/2^(1/4)满足0=f(B(q,B(q^5)),其中f(u,v)=u^6+v^6+2*u*v*(1-(u*v)^4)-迈克尔·索莫斯2019年3月14日
通用公式:和{n>=0}x^n/产品{i=1..n}(1+(-1)^(i+1)*x^i)-彼得·巴拉2020年11月30日
发件人彼得·巴拉,2021年1月15日:(开始)
通用公式:(1+x)*Sum_{n>=0}x^(n*(n+2))/Product_{k=1..n}(1-x^)/产品{k=1..n}(1-x^(2*k))=。。。。
G.f.:1/(1+x)*Sum_{n>=0}x^(n-1)^2/产品_{k=1..n}(1-x^(2*k))=1/((1+x)*(1+x^3))*Sum_{n>=0}x^(n-2)^2/产品_{k=1..n}(1-x^(2*k))=1/((1+x)*(1+x^3)*(1+x^5))*Sum_{n>=0}x^(n-3)^2/产品_{k=1..n}(1-x^(2*k))=。。。。(结束)
a(n)=A046682号(n)-A000701号(n) ●●●●。参见Gupta和Ballantine等人-米歇尔·马库斯2021年9月4日
通用公式:A(x)=exp(和{k>=1}(-1)^k/(k*(x^k-x^(-k)))-彼得·巴拉2021年12月23日
例子
T96a=1/q+q^23+q^71+q^95+q^119+q^143+q^167+2*q^191+。。。
G.f.=1+x+x ^3+x ^4+x ^5+x ^6+x ^7+2*x ^8+2*x ^9+2*x^10+2**x ^11+3*x ^12+。。。
MAPLE公司
N:=100;t1:=系列(mul(1+x^(2*k+1),k=0..N),x,N);A000700型:=过程(n)系数(t1,x,n);结束;
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,i)选项记忆`如果`(n=0,1,`if`(n>i^2,0,
b(n,i-1)+`if`(i*2-1>n,0,b(n-(i*2-2),i-1,))
结束时间:
a: =n->b(n,iquo(n+1,2)):
seq(a(n),n=0..80)#阿洛伊斯·海因茨2016年3月12日
数学
系数列表[系列[积[1+x^(2k+1),{k,0,75}],{x,0,70}],x](*罗伯特·威尔逊v2004年8月22日*)
a[n_]:=具有[{m=反椭圆NomeQ[q]},级数系数[((1-m)m/(16q))^(-1/24),{q,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
a[n_]:=系列系数[乘积[1+x^k,{k,1,n,2}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
p[n_]:=p[n]=选择[Select[Integer Partitions[n],DeleteDuplicates[#]==#&],应用[And,OddQ[#]]&];表[p[n],{n,0,20}](*显示了将n划分为不同的奇数部分*)
表[长度[p[n]],{n,0,20}](*A000700型(n) ,n>=0*)
共轭分区[part_]:=表[Count[#,_?(#>=i&)],{i,First[#]}]&[part];s[n_]:=s[n]=选择[IntegerPartitions[n],共轭分区[#]==#&];表[s[n],{n,1,20}](*显示自共轭分区*)
表[长度[s[n]],{n,1,20}](*A000700型(n) ,n>=1*)
(*彼得·J·C·摩西2014年3月12日*)
系数表[QPochhammer[q^2]^2/(QPochharmer[q]*QPochhamer[qq^4])+O[q]^70,q](*Jean-François Alcover公司2015年11月5日,之后迈克尔·索莫斯*)
(O[x]^70+2/Q赭石锤[-1,-x])[[3]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月20日*)
nmax=100;poly=常数阵列[0,nmax+1];聚[1]]=1;poly[2]]=1;Do[Do[If[OddQ[k],poly[[j+1]]+=poly[[j-k+1]],{j,nmax,k,-1}],{k,2,nmax}];聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年11月24日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polceoff(eta(x^2+a)^2/(eta(x+a)*eta(x^4+a)),n))}/*迈克尔·索莫斯2004年6月11日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff(1/prod(k=1,n,1+(-x)^k,1+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2004年6月11日*/
(PARI)我的(x='x+O('x^70));Vec(eta(x^2)^2/(eta\\乔格·阿恩特2023年9月7日
(最大值)
S(n,m):=如果n=0,则1 else如果n<m,则0 else如果n=m,则(-1)^(n+1)else sum((-1)^(k+1)*S(n-k,k),k,m,n/2)+(-1)^(n+1);
名单(S(n,1),n,0,27)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月7日*/
(Python)
从数学导入prod
来自症状输入因子
定义A000700型(n) :如果n==0,则返回1,否则求和((-1)**(k+1)*A000700型(n-k)*prod((p**(e+1)-1)//(p-1)对于p,e在因子(k)中。items()如果p>2)对于k在范围(1,n+1)中)//n#柴华湖2021年9月9日
(岩浆)
m: =80;
R<x>:=PowerSeriesRing(整数(),m);
系数(R!((&*[1+x^(2*j+1):[0..m+2]]中的j))//G.C.格鲁贝尔2023年9月7日
(SageMath)
从sage.moduler.etaproducts导入qexp_eta
m=80
定义f(x):返回qexp_eta(QQ[['q']],m+2).subs(q=x)
定义A000700型_列表(前c):
P.<x>=PowerSeriesRing(QQ,prec)
返回P(f(x^2)^2/(f(x)*f(x*4))).list()
A000700型_列表(m)#G.C.格鲁贝尔2023年9月7日
交叉参考
的主对角线A218907型.
关键词
非n,容易的,美好的
作者
状态
经核准的

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