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A000700型 |
| 乘积{k>=0}的展开(1+x^(2k+1));将n划分为不同奇数部分的数目;自共轭分区数;具有n个节点的对称Ferrers图的数目。 (原名M0217 N0078)
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1634
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1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 23, 25, 26, 29, 33, 35, 37, 41, 46, 49, 52, 57, 63, 68, 72, 78, 87, 93, 98, 107, 117, 125, 133, 144, 157, 168, 178, 192, 209, 223, 236, 255, 276, 294, 312, 335, 361, 385
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,9
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评论
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对于n>=1,a(n)是对称群S_n的字符表中的最小行和。表中的最小行和对应于S_n的一维交替表示。最大行和按顺序排列A085547号.-Yuval Dekel(dekelyuval(AT)hotmail.com),2003年9月15日
还有n分为多个部分的分区数!=2,并且相差>=6,如果一个部分是偶数,则具有严格的不等式。[阿拉迪]
设S是由1+[2,3]+[2,5]+[2.7]+[2.9]+…的部分和构成的集。。。,其中[2,odd]表示一个选项,例如,我们可以有1+2、1+3+2或1+3+5+2+9等。然后A000700型(n) 是S中等于n的元素数A000700型(n) 奇偶校验与A000041号(n) (分区号)-乔恩·佩里2003年12月18日
a(n)是当n>=2时,对称群S_n在a_n(交替群)的限制下分裂为两类的共轭类的个数。参见下面给出的G.James-A.Kerber参考A115200个,第12页,1.2.10引理和W.Lang链接A115198号.
此外,如果k是n的最大部分,则k出现奇数次,而从1到k-1的每个整数出现正偶数次(这些是n划分为不同奇数部分的共轭数)。例如:a(15)=4,因为我们有[3,3,3,1,2,2,1,1]、[3,2,2,2,1,1,1,1]、[3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]和[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年4月16日
INVERTi变换A000009号(将n划分为奇数部分的数量,从偏移量1开始)=(1,0,1,-1,1,-1,1,-2,-2,2,-3,-3,-4,…);=三角形左边框A146061号. -加里·亚当森2008年10月26日
对于n偶数:(n-k^2)/2划分为最多k个部分的所有偶数非负整数k的和。对于n奇数:(n-j^2)/2划分为最多j个部分的划分数j的和-格雷厄姆·霍克斯2013年10月18日
这个数也是(包含偶数置换的S_n的共轭类的数目)-(包含奇数置换的Sn的共轭类别的数目)=(将n划分为与n具有相同奇偶校验的多个部分的数量)-(将n分割为与n奇偶校验相反的多个部分的数量)=(最大部分与n具有相同奇偶性的n个分区的数量)-(最大部分奇偶性与n相反的分区数量)-大卫·L·哈登2016年12月9日
此外,其成员产生唯一平方根的S_n的共轭类的数目,即S_n中存在唯一的h,使得hh=g表示此类共轭类中的任何g。证明:首先要注意,置换的平方根是由其分解为不同长度的循环的平方根的乘积决定的。h在必须“返回原点”(h^2(x)=g(x)必须在x的循环中)之前只能移动到另一个循环,因为如果g^n(x)=x,那么h^2n(x。然而,分解为两个相同长度的循环的置换有多个平方根:例如,e=e ^2=(a b)^2,(a b)(c d)=(a c b d)^2=(a d b c)^2,(a b c)(d e f)=(a d b e c f)^2=(a e b f c d)^2,等等。这对任何循环长度都是正确的,所以我们只需要考虑具有不同循环长度的置换。最后,偶数循环长度是奇数置换,因此不能是平方,而奇数循环长度具有唯一的平方根h(x)=g^((n+1)/2)(x)。因此,这些共轭类和划分成不同奇数部分之间存在对应关系-基思·鲍尔2024年1月9日
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参考文献
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R.Ayoub,《数字分析理论导论》,Amer。数学。Soc.,1963年;见第197页。
B.C.Berndt,Ramanujan的θ函数理论,θ函数:从古典到现代,Amer。数学。Soc.,普罗维登斯,RI,1993年,第1-63页。MR 94m:11054。
T.J.I'a.Bromwich,《无穷级数理论导论》,麦克米伦出版社,第2期。1949年版,第116页,见q_2。
哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年,第277页,定理345、347。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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克里斯蒂娜·巴伦丁、汉娜·伯森、阿曼达·福尔森、徐志云、伊莎贝拉·内格里尼和博亚·温,关于Lehmer的一个划分恒等式,arXiv:2109.00609[math.CO],2021。
D.Ford、J.McKay和S.P.Norton,关于可复制功能的更多信息、Commun。《代数》22,第13期,5175-5193(1994)。
Edray Herber Goins和Talitha M.Washington,关于广义爬楼梯问题,Ars Combin.117(2014),183-190。MR3243840(已审核),arXiv:0909.5459[math.CO],2009年。
R.K.盖伊,划分中的一个定理,研究论文11,1967年1月,数学。卡尔加里大学系。[带注释的扫描副本]
Christopher R.H.Hanusa和Rishi Nath,自共轭核心分区的数量,arxiv:1201.6629[math.NT],2012年。
克里斯蒂安·卡塞尔(Christian Kassel)和克里斯托夫·鲁特诺(Christophe Reutenauer),二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数,arXiv:11505.07229v3[math.AG],2015年。[本文的后一版本有不同的标题和内容,论文的理论部分已移至以下出版物。]
Padmavathamma、R.Raghavendra和B.M.Chandrashekara,卡拉迪一个配分定理的新的双射证明,离散数学。,237 (2004), 125-128.
J.佩里,还有更多的分区函数.[存档副本截至2006年9月23日,来自web.archive.org]
G.N.Watson,两个分区表,程序。伦敦数学。《社会学杂志》,42(1936),550-556。
马克·威尔顿,算盘上的分区计数,arXiv:math/0609175[math.CO],2006年。
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配方奶粉
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G.f.:产品{k>=1}(1+x^(2*k-1))。
通用公式:和{k>=0}x ^(k^2)/产品{i=1..k}(1-x^(2*i))欧拉(哈代和赖特,定理345)
G.f.:1/产品_{i>=1}(1+(-x)^i)-乔恩·佩里,2004年5月27日
chi(q)=(-q;q^2)_oo=f(q)/f(-q^2。
周期-4序列的Euler变换[1,-1,1,0,…]。
q^(1/24)*eta(q^2)^2/(eta(q)*eta(q^4))的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2004年6月11日
渐近:a(n)~exp(Pi*l_n)/(2*24^(1/4)*l_n^(3/2)),其中l_n=(n-1/24)^(1/2)(Ayoub)。Ayoub中的渐近公式是不正确的,因为这意味着分区总数的增长速度更快。(引用正确,这本书只是错了,不确定什么是正确的渐近式。)-爱德华·厄利2002年11月15日。右公式是a(n)~exp(Pi*sqrt(n/6))/(2*24^(1/4)*n^(3/4))-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月23日
a(n)=(1/n)*和{k=1..n}(-1)^(k+1)*b(k)*a(n-k),n>1,a(0)=1,b(n)=A000593号(n) =n的奇数因子之和-弗拉德塔·约沃维奇2002年1月19日[见N.Robbins文章中的定理2(a)]
对于n>0:a(n)=b(n,1),其中b(n、k)=b-莱因哈德·祖姆凯勒2003年8月26日
q^(1/24)*(m*(1-m)/16)^(-1/24)的q次幂展开式,其中m=k^2是参数,q是Jacobian椭圆函数的nome。
给定g.f.A(x),B(q)=(1/q)*A(q^3)^8满足0=f(B(q,B(q^2)),其中f(u,v)=u*v*(u-v^2)*(v-u^2)-(4*(1-u*v)))^2-迈克尔·索莫斯2007年7月16日
G.f.是周期1傅里叶级数,满足f(-1/(2304 t))=f(t),其中q=exp(2 Pi it)-迈克尔·索莫斯2007年7月16日
q^(1/24)*f(t)的q=exp(Pi*i*t)幂展开式,其中f()是韦伯函数-迈克尔·索莫斯2007年10月18日
a(n)=S(n,1),其中S(n、m)=Sum_{k=m.n/2}(-1)^(k+1)*S(n-k,k)+(-1)(n+1),S(n)=(-1)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月7日
G.f.:产品{k>0}(1+x^(2*k-1))=产品{k>0}-迈克尔·索莫斯2014年11月8日
a(n)~Pi*BesselI(1,Pi*sqrt(24*n-1)/12)/sqrt(24*n-1-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月8日
通用公式:exp(总和{k>=1}x^k/(k*(1-(-x)^k))-伊利亚·古特科夫斯基,2018年6月7日
给定g.f.A(x),B(q)=(1/q)*A(q^24)/2^(1/4)满足0=f(B(q,B(q^5)),其中f(u,v)=u^6+v^6+2*u*v*(1-(u*v)^4)-迈克尔·索莫斯2019年3月14日
通用公式:和{n>=0}x^n/产品{i=1..n}(1+(-1)^(i+1)*x^i)-彼得·巴拉2020年11月30日
通用公式:(1+x)*Sum_{n>=0}x^(n*(n+2))/Product_{k=1..n}(1-x^)/产品{k=1..n}(1-x^(2*k))=。。。。
G.f.:1/(1+x)*Sum_{n>=0}x^(n-1)^2/产品_{k=1..n}(1-x^(2*k))=1/((1+x)*(1+x^3))*Sum_{n>=0}x^(n-2)^2/产品_{k=1..n}(1-x^(2*k))=1/((1+x)*(1+x^3)*(1+x^5))*Sum_{n>=0}x^(n-3)^2/产品_{k=1..n}(1-x^(2*k))=。。。。(结束)
通用公式:A(x)=exp(和{k>=1}(-1)^k/(k*(x^k-x^(-k)))-彼得·巴拉2021年12月23日
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例子
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T96a=1/q+q^23+q^71+q^95+q^119+q^143+q^167+2*q^191+。。。
G.f.=1+x+x ^3+x ^4+x ^5+x ^6+x ^7+2*x ^8+2*x ^9+2*x^10+2**x ^11+3*x ^12+。。。
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MAPLE公司
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N:=100;t1:=系列(mul(1+x^(2*k+1),k=0..N),x,N);A000700型:=过程(n)系数(t1,x,n);结束;
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,i)选项记忆`如果`(n=0,1,`if`(n>i^2,0,
b(n,i-1)+`if`(i*2-1>n,0,b(n-(i*2-2),i-1,))
结束时间:
a: =n->b(n,iquo(n+1,2)):
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数学
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系数列表[系列[积[1+x^(2k+1),{k,0,75}],{x,0,70}],x](*罗伯特·威尔逊v2004年8月22日*)
a[n_]:=具有[{m=反椭圆NomeQ[q]},级数系数[((1-m)m/(16q))^(-1/24),{q,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
a[n_]:=系列系数[乘积[1+x^k,{k,1,n,2}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*)
p[n_]:=p[n]=选择[Select[Integer Partitions[n],DeleteDuplicates[#]==#&],应用[And,OddQ[#]]&];表[p[n],{n,0,20}](*显示了将n划分为不同的奇数部分*)
表[长度[p[n]],{n,0,20}](*A000700型(n) ,n>=0*)
共轭分区[part_]:=表[Count[#,_?(#>=i&)],{i,First[#]}]&[part];s[n_]:=s[n]=选择[IntegerPartitions[n],共轭分区[#]==#&];表[s[n],{n,1,20}](*显示自共轭分区*)
表[长度[s[n]],{n,1,20}](*A000700型(n) ,n>=1*)
nmax=100;poly=常数阵列[0,nmax+1];聚[1]]=1;poly[2]]=1;Do[Do[If[OddQ[k],poly[[j+1]]+=poly[[j-k+1]],{j,nmax,k,-1}],{k,2,nmax}];聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年11月24日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polceoff(eta(x^2+a)^2/(eta(x+a)*eta(x^4+a)),n))}/*迈克尔·索莫斯2004年6月11日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff(1/prod(k=1,n,1+(-x)^k,1+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2004年6月11日*/
(PARI)我的(x='x+O('x^70));Vec(eta(x^2)^2/(eta\\乔格·阿恩特2023年9月7日
(最大值)
S(n,m):=如果n=0,则1 else如果n<m,则0 else如果n=m,则(-1)^(n+1)else sum((-1)^(k+1)*S(n-k,k),k,m,n/2)+(-1)^(n+1);
(Python)
从数学导入prod
来自症状输入因子
定义A000700型(n) :如果n==0,则返回1,否则求和((-1)**(k+1)*A000700型(n-k)*prod((p**(e+1)-1)//(p-1)对于p,e在因子(k)中。items()如果p>2)对于k在范围(1,n+1)中)//n#柴华湖2021年9月9日
(岩浆)
m: =80;
R<x>:=PowerSeriesRing(整数(),m);
系数(R!((&*[1+x^(2*j+1):[0..m+2]]中的j))//G.C.格鲁贝尔2023年9月7日
(SageMath)
从sage.moduler.etaproducts导入qexp_eta
m=80
定义f(x):返回qexp_eta(QQ[['q']],m+2).subs(q=x)
P.<x>=PowerSeriesRing(QQ,prec)
返回P(f(x^2)^2/(f(x)*f(x*4))).list()
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000009号,A000041号,A000701号,A046682号,A052002号,A053250元,A069910号,A069911型,A081362号(签名版本),A085547号,A088994号(标记版本),A146061号,A169987号-A169995号,5295291英镑,A304044型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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