A000700-OEIS公司

抵消

0,9

Ramanujanθ函数：f（q）（参见121173英镑)，φ（q）(A000122号)，磅/平方英寸（q）(A010054号)，chi（q）(A000700型).

可复制函数数96a的系数-N.J.A.斯隆2015年6月10日

对于n>=1，a（n）是对称群S_n的字符表中的最小行和。表中的最小行和对应于S_n的一维交替表示。最大行和按顺序排列A085547号.-Yuval Dekel（dekelyuval（AT）hotmail.com），2003年9月15日

还有n分为多个部分的分区数！=如果部分是偶数，则相差>=6，且严格不等式。[阿拉迪]

设S是由1+[2,3]+[2,5]+[2.7]+[2.9]+…的部分和构成的集。。。，其中[2，odd]表示一个选项，例如，我们可以有1+2、1+3+2或1+3+5+2+9等。然后A000700型（n）是S中等于n的元素数A000700型（n）奇偶校验与A000041号（n）（分区号）-乔恩·佩里2003年12月18日

a（n）是当n>=2时，对称群S_n在a_n（交替群）的限制下分裂为两类的共轭类的个数。参见下面给出的G.James-A.Kerber参考15200澳元，第12页，1.2.10引理和W.Lang链接A115198号.

此外，如果k是n的最大部分，则k出现奇数次，而从1到k-1的每个整数出现正偶数次（这些是n划分为不同奇数部分的共轭数）。例如：a（15）=4，因为我们有[3,3,3,1,2,2,1,1]、[3,2,2,2,1,1,1,1]、[3，2,2,1,1，1,1,1,1,1，1,1,1]和[1,1,1,1,1，1,1，1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年4月16日

INVERTi变换A000009号（将n划分为奇数部分的数量，从偏移量1开始）=（1，0，1，-1，1，-1,1，-2，-2，2，-3，-3，-4，…）；=三角形左边框A146061号. -加里·亚当森2008年10月26日

对于n偶数：（n-k^2）/2划分为最多k个部分的所有偶数非负整数k的和，例如k^2<n。对于n奇数：所有奇非负整数j的和，如果j^2<n，则（n-j^2）/2划分为最多j个部分的数目的和-格雷厄姆·H·霍克斯2013年10月18日

这个数也是（包含偶数置换的S_n的共轭类的数目）-（包含奇数置换的Sn的共轭类别的数目）=（将n划分为与n具有相同奇偶校验的多个部分的数量）-（将n分割为与n奇偶校验相反的多个部分的数量）=（最大部分与n具有相同奇偶性的n个分区的数量）-（最大部分奇偶性与n相反的分区数量）-大卫·L·哈登2016年12月9日

a（n）是奇的，当n属于A052002号; 也就是说，求和{n>=0}x^A052002号（n） ==Sum_{n>=0}a（n）*x^n（mod 2）-彼得·巴拉2017年1月22日

此外，其成员产生唯一平方根的S_n的共轭类的数目，即S_n中存在唯一的h，使得hh=g表示此类共轭类中的任何g。证明：首先要注意，置换的平方根是由其分解为不同长度的循环的平方根的乘积决定的。h在必须“返回原点”（h^2（x）=g（x）必须在x的循环中）之前只能移动到另一个循环，因为如果g^n（x）=x，那么h^2n（x。然而，将置换分解为相同长度的两个循环有多个平方根：例如，e=e^2=（ab）^2，（ab）（cd）=（acbd）^2=“（adbc）^2”，（abc）（def）=（adbcf）^2=（aebfcd）^2等。这对于任何循环长度都是正确的，因此我们只需要考虑具有不同循环长度的置换。最后，偶数循环长度是奇数置换，因此不能是平方，而奇数循环长度具有唯一的平方根h（x）=g^（（n+1）/2）（x）。因此，这些共轭类和划分成不同奇数部分之间存在对应关系-基思·鲍尔，2024年1月9日

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埃里克·魏斯坦的数学世界，配分函数P.

埃里克·魏斯坦的数学世界，Ramanujan Theta函数.

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Monster简单组的McKay-Thompson系列索引条目

配方奶粉

G.f.：产品{k>=1}（1+x^（2*k-1））。

通用公式：和{k>=0}x ^（k^2）/产品{i=1..k}（1-x^（2*i））欧拉（哈代和赖特，定理345）

G.f.：1/产品{i>=1}（1+（-x）^i）-乔恩·佩里2004年5月27日

chi（q）=（-q；q^2）_oo=f（q）/f（-q^2。

和{k=0..n}A081360型（k） *a（n-k）=0，对于n>0-约翰·莱曼2000年4月26日

周期-4序列的Euler变换[1，-1，1，0，…]。

q^（1/24）*eta（q^2）^2/（eta（q）*eta（q^4））的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2004年6月11日

渐近：a（n）~exp（Pi*l_n）/（2*24^（1/4）*l_n^（3/2）），其中l_n=（n-1/24）^（1/2）（Ayoub）。Ayoub中的渐近公式是不正确的，因为这意味着分区总数的增长速度更快。（引用正确，这本书只是错了，不确定什么是正确的渐近式。）-爱德华·厄利2002年11月15日。正确的公式是a（n）~exp（Pi*sqrt（n/6））/（2*24^（1/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年6月23日

a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）*b（k）*a（n-k），n>1，a（0）=1，b（n）=A000593号（n） =n的奇数因子之和-弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月19日[见N.Robbins文章中的定理2（a）]

对于n>0：a（n）=b（n，1），其中b（n、k）=b-莱因哈德·祖姆凯勒2003年8月26日

q^（1/24）*（m*（1-m）/16）^（-1/24）的q次幂展开式，其中m=k^2是参数，q是Jacobian椭圆函数的nome。

给定g.f.A（x），B（q）=（1/q）*A（q^3）^8满足0=f（B（q，B（q^2）），其中f（u，v）=u*v*（u-v^2）*（v-u^2）-（4*（1-u*v）））^2-迈克尔·索莫斯2007年7月16日

G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（2304 t））=f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯2007年7月16日

q^（1/24）*f（t）的q=exp（Pi*i*t）幂展开式，其中f（）是韦伯函数-迈克尔·索莫斯2007年10月18日

A069911型（n） =a（2*n+1）。A069910号（n） =a（2*n）。

a（n）=和{k=1..n}（-1）^（n-k）A008284号（n，k）-杰里米·马丁2013年7月6日

a（n）=S（n，1），其中S（n、m）=Sum_{k=m.n/2}（-1）^（k+1）*S（n-k，k）+（-1）（n+1），S（n）=（-1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月7日

G.f.：产品{k>0}（1+x^（2*k-1））=产品{k>0}-迈克尔·索莫斯2014年11月8日

a（n）~Pi*BesselI（1，Pi*sqrt（24*n-1）/12）/sqrt（24*n-1-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月8日

通用公式：exp（总和{k>=1}x^k/（k*（1-（-x）^k））-伊利亚·古特科夫斯基，2018年6月7日

给定g.f.A（x），B（q）=（1/q）*A（q^24）/2^（1/4）满足0=f（B（q，B（q^5）），其中f（u，v）=u^6+v^6+2*u*v*（1-（u*v）^4）-迈克尔·索莫斯2019年3月14日

通用公式：和{n>=0}x^n/产品{i=1..n}（1+（-1）^（i+1）*x^i）-彼得·巴拉2020年11月30日

发件人彼得·巴拉，2021年1月15日：（开始）

通用公式：（1+x）*Sum_{n>=0}x^（n*（n+2））/Product_{k=1..n}（1-x^）/产品{k=1..n}（1-x^（2*k））=。。。。

G.f.：1/（1+x）*Sum_{n>=0｝x^（n-1）^2/产品_{k=1..n}（1-x^（2*k））=1/（（1+x）*（1+x^3））*Sum_{n>=0｝x^（n-2）^2/产品_{k=1..n}（1-x^（2*k））=1/（（1+x）*（1+x^3）*（1+x^5））*Sum_{n>=0｝x^（n-3）^2/产品_｛k=1..n｝（1-x^（2*k））=。。。。（结束）

a（n）=A046682号（n）-A000701号（n） ●●●●。参见Gupta和Ballantine等人-米歇尔·马库斯2021年9月4日

通用公式：A（x）=exp（和{k>=1}（-1）^k/（k*（x^k-x^（-k）））-彼得·巴拉2021年12月23日

例子

T96a=1/q+q^23+q^71+q^95+q^119+q^143+q^167+2*q^191+。。。

G.f.=1+x+x ^3+x ^4+x ^5+x ^6+x ^7+2*x ^8+2*x ^9+2*x^10+2**x ^11+3*x ^12+。。。

MAPLE公司

N:=100；t1:=系列（mul（1+x^（2*k+1），k=0..N），x，N）；A000700型：=过程（n）系数（t1，x，n）；结束；

#第二个Maple项目：

b： =proc（n，i）选项记住`如果`（n=0，1，`if`（n>i^2，0，

b（n，i-1）+`if`（i*2-1>n，0，b（n-（i*2-2），i-1，））

结束时间：

a： =n->b（n，iquo（n+1，2））：

seq（a（n），n=0..80）#阿洛伊斯·海因茨2016年3月12日

数学

系数列表[系列[积[1+x^（2k+1），{k，0，75}]，{x，0，70}]，x](*罗伯特·威尔逊v2004年8月22日*）

a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ[q]}，级数系数[（（1-m）m/（16q））^（-1/24），{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）

a[n_]：=系列系数[乘积[1+x^k，{k，1，n，2}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）

p[n_]：=p[n]=选择[Select[Integer Partitions[n]，DeleteDuplicates[#]==#&]，应用[And，OddQ[#]]&]；表[p[n]，{n，0，20}]（*显示了将n划分为不同的奇数部分*）

表[长度[p[n]]，{n，0，20}](*A000700型（n），n>=0*）

共轭分区[part_]：=表[Count[#，_？（#>=i&）]，{i，First[#]}]&[part]；s[n]：=s[n]=选择[InterPartitions[n]，共轭分区[#]=#&]；表[s[n]，{n，1，20}]（*显示自共轭分区*）

表[长度[s[n]]，{n，1，20}](*A000700型（n），n>=1*）

(*彼得·J·C·摩西2014年3月12日*）

系数表[QPochhammer[q^2]^2/（QPochharmer[q]*QPochhamer[qq^4]）+O[q]^70，q](*Jean-François Alcover公司2015年11月5日，之后迈克尔·索莫斯*)

（O[x]^70+2/Q赭石锤[-1，-x]）[[3]](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年11月20日*）

nmax=100；poly=常量数组[0，nmax+1]；poly〔〔1〕〕＝1；poly[2]]=1；Do[Do[If[OddQ[k]，poly[[j+1]]+=poly[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年11月24日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^2/（eta（x+a）*eta（x^4+a）），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年6月11日*/

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1/prod（k=1，n，1+（-x）^k，1+x*O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年6月11日*/

（PARI）我的（x='x+O（'x^70））；Vec（eta（x^2）^2/（eta\\乔格·阿恩特2023年9月7日

（最大值）

S（n，m）：=如果n=0，则1，如果n<m，则0，如果n=m，则（-1）^（n+1）else和；

名单（S（n，1），n，0，27）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月7日*/

（Python）

从数学导入prod

来自症状输入因子

定义A000700元（n）：如果n==0，则返回1，否则求和（（-1）**（k+1）*A000700型（n-k）*prod（（p**（e+1）-1）//（p-1）对于p，e在因子（k）中。items（）如果p>2）对于k在范围（1，n+1）中）//n#柴华武2021年9月9日

（岩浆）

m： =80；

R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；

系数（R！（（&*[1+x^（2*j+1）：[0..m+2]]中的j））//G.C.格雷贝尔2023年9月7日

（SageMath）

从sage.moduler.etaproducts导入qexp_eta

m=80

定义f（x）：返回qexp_eta（QQ[['q']]，m+2）.subs（q=x）

定义A000700元_列表（前c）：

P.<x>=PowerSeriesRing（QQ，prec）

返回P（f（x^2）^2/（f（x）*f（x*4）））.list（）

A000700型_列表（m）#G.C.格雷贝尔2023年9月7日

交叉参考

囊性纤维变性。A000009号,A000041号,A000701号,A046682号,2005年2月,A053250元,A069910号,A069911型,A081362号（签名版本），A085547号,A088994号（标记版本），A146061号,A169987号-169995英镑,A295291型,A304044型.

的主对角线A218907型.

上下文中的序列：A169994号 A169995号 A213419型*A081362号 A112216号 A225956号

相邻序列：A000697美元 A000698号 A000699美元*A000701号 A000702号 A000703号

关键词

非n,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的