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Ramanujan Theta函数


拉马努扬的双变量θ函数f(a,b)由定义

 f(a,b)=sum_(n=-infty)^inftya^(n(n+1)/2)b^(n(n-1)/2)
(1)

对于|ab |<1(伯恩特1985年,第34页;伯恩特等。2000). 它满足

 f(-1,a)=0
(2)

f(a,b)=f(b,a)
(3)
=(-a;ab)_infty(-b;ab
(4)

(伯恩特1985年,第34-35页;伯恩特等。2000),其中(a;q)_k是一个q个-刺猬符号即aq个-系列.

单参数形式的f(a,b)也由定义

f(-q)=f(-q,-q^2)
(5)
=(q;q)_infty
(6)
=1-q-q^2+q^5+q^7-q^(12)-q^。。。
(7)

(组织环境信息系统A010815号; 伯恩特1985年,第36-37页;伯恩特等。2000),其中(a;q)_infty是一个q个-刺猬符号。上述身份等同于五边形的数论.

该函数还满足

qf(-q^(24))=q(q^(24))_英尺
(8)
=sum_(k=-infty)^(infty)(-1)^kq^((6k+1)^2)。
(9)

拉马努扬的φ-功能φ(q)由定义

φ(q)=f(q,q)
(10)
=((-q;q^2)_infty
(11)
=((-q,-q)_infty)/((q,-q)_inft)
(12)
=θ3(0,q)
(13)
=1+2q+2q^4+2q^9+2q^(16)+2q^2(25)+。。。
(14)

(组织环境信息系统A000122号),其中θ3(0,q)是一个雅各比θ函数(伯恩特1985年,第36-37页)。f(a,b)φ(x),二者通过连接

 f(x,x)=φ(x)。
(15)

的特殊值φ包括

φ(e^(-pisqrt(2))=(伽马射线(9/8))/(伽马(5/4))平方(伽马线(1/4))/
(16)
φ(e^(-pi))=(π^(1/4))/(伽马(3/4)),
(17)

哪里伽马(x)是一个伽马函数.

拉马努扬的磅/平方英寸-功能磅/平方英寸(q)由定义

磅/平方英寸(q)=f(q,q^3)
(18)
=(-q;q)_第(q^2;q^2)_第
(19)
=((q^2;q^2)_infty)/((q;q^1)_inft)
(20)
=1/2q^(-1/8)θ_2(0,q^
(21)
=sum_(k=0)^(infty)q^(k(k+1)/2)
(22)
=1+q+q^3+q^6+q^(10)+q^1(15)+qq(21)+。。。
(23)

(组织环境信息系统A010054号; 伯恩特1985年,第37页)。

拉马努扬的芝加哥-函数chi(q)由定义

气(q)=(-q;q^2)_infty
(24)
=产品_(k=0)^(infty)(1+q^(2k+1))
(25)
=1+q+q^3+q^4+q^5+q^6+q^7+2q^8+。。。
(26)

(组织环境信息系统A000700型; Berndt 1985,第37页)。

A类不同的 φ函数有时定义为

 φ^'(q)=sqrt((θ2(0,q))/(θ3(0,q)),
(27)

哪里θi(0,q)又是一个雅可比θ函数,其中具有特殊价值

 φ^’(-e^(-pisqrt(3)))=(4平方(3)-7)^(1/8)。
(28)

另请参阅

雅可比三乘积,五角数定理,q个-系列,q个-系列标识,拉马努詹φ-功能,罗杰斯·拉马努扬续分数,薛定谔公式

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伯恩特,B.C。拉马努扬的笔记本,第三部分。纽约:Springer-Verlag,1985年。伯恩特,公元前。;黄,S.-S。;Sohn,J。;和Son,S.H。“关于罗杰斯·拉马努扬(Rogers-Ramanujan)《遗失的笔记本》(Lost Notebook)中的续分数。"事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。 352, 2157-2177, 2000.Mc Laughlin,J。;窗台,交流。;和Zimmer,P.“动态调查DS15:Rogers-Ramanujan-Slater类型身份。"电子J.组合数学,DS15,1-592008年5月31日。http://www.combinatics.org/Surveys/ds15.pdf.斯隆,新泽西州。答:。序列A000122号,A000700型/M0217中,A010054号、和A010815号在“整数序列在线百科全书”中

引用的关于Wolfram | Alpha

Ramanujan Theta函数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Ramanujan Theta功能。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html

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