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| A008441号 |
| 将n写成两个三角形数之和的方法的数量。 |
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64
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1, 2, 1, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 1, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 2, 1, 4, 0, 0, 2, 0, 4, 2, 2, 2, 0, 0, 3, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 0, 4, 0, 2, 2, 0, 6, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 4, 2, 2, 4, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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参考文献
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B.C.Berndt，Ramanujan的笔记本第三部分，Springer-Verlag。见第139页示例（iv）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球形填料、晶格和群”，Springer-Verlag，第102页。
R.W.Gosper，《十九世纪废弃矿田的露天采矿数学》，收录于《数学中的计算机》（Ed.D.V.Chudnovsky和R.D.Jenks）。纽约：Dekker，1990年。见第279页。
R.W.Gosper，q三角学、符号计算、数论、特殊函数、物理学和组合数学的实验和发现。编辑：F.G.Garvan和M.E.H.Ismail。Kluwer，Dordrecht，荷兰，2001年，第79-105页。[参见图片。]
P.A.MacMahon，《组合分析》，剑桥大学出版社，伦敦和纽约，1915年第1卷和1916年第2卷。见第2卷，第31页，第272条。
Ivan Niven、Herbert S.Zuckerman和Hugh L.Montgomery，《数字理论导论》，第五版，John Wiley and Sons，Inc.，纽约，1991年，第165页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准应用数学局。55系列，第十次印刷，1972年，第575、16.23.1和16.23.2页。
R.P.阿加瓦尔，兰伯特级数和拉马努扬印度科学院产品。科学。（《数学科学》），第103卷，第3期，1993年，第269-293页（见第285页）。
新泽西州罚款，基本超几何级数及其应用阿默尔。数学。Soc.，1988年；第72页，等式（31.2）；第78页，等式如下（32.25）。
J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n）《纯粹与应用数学季刊》，20（1884），97-167。见第108页。
N.Heninger、E.M.Rains和N.J.A.Sloane，关于生成函数n次根的可积性，arXiv:math/0509316[math.NT]，2005-2006；《组合理论》，A辑，113（2006），1732-1745。
K.Ono、S.Robins和P.T.Wahl，整数表示为三角数之和《Aequationes mathematicae》，1995年8月，第50卷，第1-2期，第73-94页。
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配方奶粉
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这个序列是许多序列的四分之一。以下是两个示例：
a（n）=b（4*n+1），其中b（n）是乘法的，b（2^e）=0^e，b（p^e）=（1+（-1）^e）/2如果p==3（mod 4），b（p ^e）=1如果p==1（mod4）-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
G.f.：（Sum_｛k>=0｝x^（（k^2+k）/2））^2=（Sum_｛k>=0｝x^（k^2+k））*（Z中的Sum_｛k｝x^（k^2））。
雅可比θ（θ_2（0，sqrt（q）））^2/（4*q^（1/4））的展开。
求和[d|（4n+1），（-1）^（（d-1）/2）]。
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q），B（q^2），B（q^4）），其中f（u，v，w）=v^3+4*v*w^2-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
给定g.f.A（x），则B（q）=q*A（q^4）满足0=f（B（q-迈克尔·索莫斯2005年9月14日
通用公式：和{k>=0}a（k）*x^（2*k）=和{k>=0}x^k/（1+x^，2*k+1））。
通用公式：Z}x^k/（1-x^（4*k+1））中的和{k-迈克尔·索莫斯2005年11月3日
psi（x）^2=phi（x）*psi（x^2）的x次幂展开，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数。
莫比乌斯变换是周期8序列[1，-1，-1，0，1，1，-1，0-…]-迈克尔·索莫斯2008年1月25日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（8 t））=1/2（t/i）G（t），其中q=exp（2 Pi i t），G（）是A104794号.
周期2序列的欧拉变换[2，-2，…]。
通用格式：q^（-1/4）*eta（q^2）^4/eta（q）^2。另请参见精细参考。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））^2/（1-x ^（2*k-1））^2。
通用公式：exp（总和{n>=1}2*（x^n/n）/（1+x^n））-保罗·D·汉纳2016年3月1日
连分式1/（1-x^1+x^1*（1-x^1）^2/以x^2的幂-迈克尔·索莫斯2017年4月20日
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）-x^。
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（2*n+1）+x^。（结束）
通用公式：求和{n=-oo..oo}x^（4*n^2+2*n）*（1+x^。见阿加瓦尔，第285页，方程6.20，i=j=1，mu=4。
对于形式4*k+3的素数p，a（n*p^2+（p^2-1）/4）=a（n）。
对于形式为4*k+1的素数p和不等于（p-1）/4（mod p）的n，我们有a（n*p^2+（p^2-1）/4）=3*a（n）（因为b（n），其中b（4*n+1）=a（n，是乘法的）。（结束）
G.f.A（q）满足：
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1-q^（4*n+2））（Agarwal中的集合z=q，alpha=q^2，mu=4，方程式6.15）。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^（2*n）/（1-q^。
A（q^2）=Sum_{n=-oo..oo}q^n/（1+q^（2*n+1））^2=Sum_{n=-oo..oo}q^。（结束）
通用公式：求和{k>=0}a（k）*q^k=Sum_{k>=0.}（-1）^k*q^（k*（k+1））*（1+q^-Mamuka Jibladze公司，2021年6月6日
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例子
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G.f.=1+2*x+x^2+2*x^3+2*x^4+3*x^6+2*x^7+2*x^9+2*x^10+2*x^11+。。。
B（q）的G.f=q*A（q^4）=q+2*q^5+q^9+2*q*13+2*q^17+3*q^25+2*q~29+2*q ^37+2*qq^41+。。。
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MAPLE公司
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sigmamr：=过程（n，m，r）局部a，d；a:=0；对于数论中的d[除数]（n），如果modp（d，m）=r，则a:=a+1；结束条件：；结束do:a；结束进程：
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数学
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加号@@（（-1）^（1/2（除数[4#+1]-1））(*蚂蚁王2010年12月2日*）
a[n_]：=级数系数[（1/2）椭圆Theta[2，0，q]椭圆Theta[3，0，q]，{q，0，n+1/4}]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月19日*）
a[n_]：=级数系数[（1/4）椭圆Theta[2，0，q]^2，{q，0，2n+1/2}]；(*迈克尔·索莫斯2012年6月19日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，除数和[4 n+1，（-1）^商[#，2]&]]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月8日*）
三角形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[8n+1]；表[Count[FrobeniusSolve[{1，1}，n]，{__？TriangeQ}]，{n，0，104}](*罗伯特·威尔逊v2017年4月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polceoff（和（k=0，（平方（8*n+1）-1）\2，x^（k*（k+1）/2），x*O（x^n））^2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（-1）^（d\2）））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月2日*/
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^4/eta（x+a）*2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n=4*n+1；sumdiv（n，d，（d%4==1）-（d%4=3））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月14日*/
（PARI）{my（q='q+O（'q^166））；Vec（eta（q^2）^4/eta（q）^2）}\\乔格·阿恩特2017年4月16日
（Sage）模块形式（Gamma1（8），1，prec=420）.1#迈克尔·索莫斯2014年6月8日
（哈斯克尔）
a052343=（翻转div 2）。(+ 1) . a008441号
（岩浆）A:=基（模形式（伽马1（8），1），420）；A[2]/*迈克尔·索莫斯2015年1月31日*/
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交叉参考
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将n写成k个三角形数之和的方法的数量，对于k=1，…：A010054号,A008441号,A008443号,A008438号,A008439号,A008440型,A226252型,A007331号,A226253型,A226254号,A226255型,A014787美元,A014809号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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