显示找到的56个结果中的1-10个。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*|A021009型（n，k）|。
+20
三
1, 0, -5, 22, 9, -1244, 14335, -79470, -586943, 25131304, -434574909, 4418399470, 8524321465, -1771817986548, 53502570125719, -1052208254769014, 11804172888840705, 131741085049224400, -12970386000411511733, 482732550618027365574, -12599999790172579025879
配方奶粉
求和{n>=0}a（n）*x^n/n^3=BesselJ（0,2*sqrt（x））*Sum_{n>=0}x^n/n^3. -伊利亚·古特科夫斯基2022年6月19日
MAPLE公司
T:=proc（n，k）局部S；S:=proc（n，k）选项记忆；
`如果`（k=0，1，` if`（k>n，0，S（n-1，k-1）/k+S（n-l，k）））结束：n*S（n，k）端：
a:=n->加（（-1）^（n-j）*T（n，j）*二项式（n，j），j=0.n）：seq（a（n），n=0..20）；
黄体脂酮素
（PARI）rowT（n）=Vecrev（n！*pollaguerre（n））\\A021009型
a（n）=我的（v=行T（n））；和（k=0，n，（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*abs（v[k+1]））\\米歇尔·马库斯2021年5月4日
1, 2, 9, 57, 464, 4593, 53381, 711056, 10665071, 177698377, 3253933294, 64917524367, 1400923403957, 32503510579738, 806599849548101, 21313355891736741, 597326671763101944
配方奶粉
在Maple表示法中，a（0）=1，a（n）=和（stirling2（n，k）*k*拉盖尔L（k，-1），k=1..n），n=1,2。例如：exp（（exp（x）-1）/（2-exp（x））/（2-exp（x））
a（n）~exp（1/（4*log（2））-3/4+sqrt（2*n/log（2-瓦茨拉夫·科特索维奇2017年11月13日
数学
扁平[{1，表[Sum[StirlingS2[n，k]*k！*LaguerreL[k，-1]，{k，1，n}]，{n，1，20}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年11月13日*）
1, 1, 4, 18, 72, 600, 2400, 29400, 117600, 1905120, 7620480, 153679680, 614718720, 14841066240, 59364264960, 1669619952000, 6678479808000, 214453407168000, 857813628672000, 30967071995059200, 123868287980236800, 4965992272662220800, 19863969090648883200
配方奶粉
a（n）=（（-1）^楼层（n/2）*n/地板（n/2）！）*上层（[n+1，-层（n/2）]，[1]，1）。
a（n）=二项式（n，floor（n/2））*衰减因子（n，n-floor（n/2））。
数学
a[n_]：=Abs[Hypergeometric2F1[-Floor[n/2]，n+1，1，1]n/地板[n/2]！]；
表[a[n]，{n，0，20}]
黄体脂酮素
（SageMath）
定义a（n）：返回二项式（n，n-n//2）*falling_afactorial（n，n-n//2）
打印（[范围（23）中n的a（n）]）
（PARI）a（n）=abs（n！*polcoef（pollaguerre（n），n\2））\\米歇尔·马库斯2021年4月21日
第一类无符号Stirling数s（n+1，2）：a（n+1）=（n+1）*a（n）+n！。
（原名M2902 N1165）
+10
175
0, 1, 3, 11, 50, 274, 1764, 13068, 109584, 1026576, 10628640, 120543840, 1486442880, 19802759040, 283465647360, 4339163001600, 70734282393600, 1223405590579200, 22376988058521600, 431565146817638400, 8752948036761600000, 186244810780170240000
评论
正好有两个循环的n+1元素的排列数。
[n]的所有排列中的循环数。示例：a（3）=11，因为排列（1）（2）（3）、（1）（23）、（12）（3）、（13）（2）、（132）、（123）总共有11个循环-Emeric Deutsch公司2004年8月12日
的行总和A094310号：在对称群S_n中，每个置换因子成k个独立的圈；a（n）=总和k除以S_n.-哈雷-弗兰德（哈雷（AT）umich.edu），2004年6月28日
最后一列的顶层与高度n的所有装饰性多柱体的总和。装饰性多柱体是一种定向柱形凸面多柱体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中达到。例如：a（2）=3，因为高度为2的装饰多面体是垂直和水平多米诺骨牌，其最后一列的标高分别为2和1-Emeric Deutsch公司2006年8月12日
对于所有组合n>=6，a（n）可被n整除。a（2*n）可被2*n+1整除-勒罗伊·奎特，2007年5月20日
对于n>=2，n-1 X n-1矩阵M（i，j）的行列式=i+2，对于i=j，则为1（i，j=1..n-1）。例如，对于n=3，[（3，1），（1，4）]的行列式。参见第53次普特南考试，1992年，问题B5-弗兰兹·弗拉贝克，2008年1月13日，2008年3月26日
当我们对调和序列中的项求和（无需简化）时，分数的分子。(1 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2; 3/2 + 1/3 = 9/6 + 2/6 = 11/6; 11/6 + 1/4 = 44/24 + 6/24 = 50/24;...). 这个分数的分母是n*A000142号. -埃里克·德斯比亚2009年1月7日
高阶指数积分E（x，m=2，n=1）~exp（-x）/x^2*（1-3/x+11/x^2-50/x^3+274/x^4-1764/x^5+13068/x^6-…）的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
a（n）是正好包含2个圈的[n+1]的置换数。例如：a（2）=3，因为置换（1）（23）、（12）（3）、（13）（2）是[3]仅有的两个循环的置换汤姆·伍德沃德（Tom Woodward（twoodward（AT）macalester.edu），2009年11月12日
除n=4外，如果n是复合的，则a（n）mod n=0，如果n为素数，则=n-1-加里·德特利夫斯2010年9月11日
调和数H（n）的分子=Sum_{i=1..n}1/i（未约化时）。请参阅A001008号（Wolstenholme数）表示约化分子-拉胡尔·贾阿2015年2月18日
a（n）是前n个数的（n-1）-st初等对称函数-安东·扎哈罗夫2016年11月2日
对数（x）的第n次迭代积分是x^n*（n！*log（x）-a（n））/（n！）^2+具有任意系数的n-1次多项式。这可以用递推关系a（n）=（n-1）！+来证明n*a（n-1）-莫森·马苏米（Mohsen Maesumi）2018年10月31日
[n]的所有排列中从左到右的最大值（或最小值）的总数。a（3）=11=3+2+2+1+1：（1）（2）（3），（1）-阿洛伊斯·海因茨2020年8月1日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，恒等式186-190。
N.Bleistein和R.A.Handelsman，积分的渐近展开，多佛出版社，1986年，见第2页。MR0863284（89天：41049）
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第217页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。
高善珍，限制结构排列（筹）。
K.Javorszky，《自然秩序：自然秩序》，2016年，ISBN 978-3-99057-139-2。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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John A.Rochowicz Jr。，调和数：见解、近似和应用《教育电子表格》（eJSiE），8（2）（2015），第4条。
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
配方奶粉
设P（n，X）=（X+1）*（X+2）*（X+3）**（X+n）；则a（n）是X的系数；或a（n）=P'（n，0）-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月9日
求和{k>0}a（k）*x^k/k^2=经验（x）*（总和{k>0}（-1）^（k+1）*x^k/（k*k！））-迈克尔·索莫斯2004年3月24日；已由更正沃伦·史密斯2006年2月12日
a（n）是x^（n+2）在（-log（1-x））^2中的系数，乘以（n+2）/2
a（n）~2^（1/2）*Pi^（1/2）*log（n）*n^（1/1）*e^-n*n^n.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月6日
例如：对数（1-x）/（x-1）。（=（log（1-x））^2/2，如果偏移量为1）-迈克尔·索莫斯2004年2月5日
带递归的D-有限：a（n）=a（n-1）*（2*n-1）-a（n-2）*（n-1）^2，如果n>1-迈克尔·索莫斯2004年3月24日
a（n）=n*和{k=1..n}（-1）^（k+1）*二项式（n，k）/k-弗拉德塔·乔沃维奇2005年1月29日
p^2除以素数p>3的a（p-1）。a（n）=（求和{i=1..n}1/i）/产品{i=1.n}1/i-亚历山大·阿达姆楚克2006年7月11日
a（n+1）=和{i=1..层（（n-1）/2）}n/（（n-i）*i）+总和{i=天花板（n/2）..地板（n/2/（2*（n-i）*i）-山珍高2010年9月14日
a（n）=（a（n-1）*（n^2-2*n+1）+（n+1）！）/（n-1）对于n>2。
除n=2外，如果n是复合的，则（a（n+1）^2-a（n）^2）mod n^2=0，如果n为素数，则4*n。
除n=2外，如果n是复合的，（a（n+1）^3-a（n）^2）mod n=0；如果n是素数，则n-2。
除n=2外，如果n是复合的，则（a（n）^2+a（n+1）^2）mod n=0，如果n为素数，则mod n=2。（结束）
a（n）=积分{x=0..oo}（x^n-n！）*log（x）*exp（-x）dx-格鲁·罗兰2011年3月28日
a（n）=3*n/2+2*（n-2）*Sum_{k=0..n-3}二项式（k+2,2）/（n-2-k）对于n>=2-加里·德特利夫斯2011年9月2日
a（n）/（n-1）！=ml（n）=n*ml（n-1）/（n-1。ml的G.f:x*（1-log（1-x））/（1-x）^2-保罗·魏森霍恩，2011年11月18日
a（n）=det（|S（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-2），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
例如：x/（1-x）*E（0）/2，其中E（k）=2+E（k+1）*x*（k+1/（k+2）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年6月1日[编辑：迈克尔·索莫斯2013年11月28日]
0=a（n）*（a（n+4）-6*a（n+3）+7*a（n+2）-a（n+1））-a-迈克尔·索莫斯2013年11月28日
对于计算序列的简单方法，乘以n！通过（1-x^n）/（1-x）dx的0到1的积分-拉胡尔·贾阿2015年2月18日
a（n）~sqrt（2*Pi*n）*n^n*（log（n）+gamma）/exp（nA001620号.（结束）
a（n）=（（-1）^（n+1）/2*（n+1”）*Sum_{k=1..n}k*Bernoulli（k-1）*Stirling1（n，k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年11月20日
a（n）=（n）！*（digamma（n+1）+gamma），其中gamma是Euler-Marcheroni常数A001620号. -佩德罗·卡塞雷斯2018年3月10日
伽马射线'（x）=a（x-1）-（x-1）*gamma，其中gamma'（x）是gamma函数在正整数处的导数，gamma是Euler-Mascheroni常数。例如。：
伽马'（1）=-伽马，伽马'，
伽马'（22）=186244810780170240000-51090942171709440000*伽马。（结束）
以下都是推测：
例如：对于非零m，（1/m）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*（1/n）*二项式（m*n，n）*x^n/（1-x）^11*x^3/3！+50*x^4/4！+。。。。
对于非零m，a（n）=（1/m）*n*求和{k=1..n}（-1）^（k+1）*（1/k）*二项式（m*k，k）*二项式（n+（m-1）*k，n-k）。
a（n）^2=（1/2）*n^2*Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）*（1/k^2）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）。（结束）
a（n）=n！*1/（1-1 ^2/（3-2 ^2/-彼得·巴拉2024年3月16日
例子
（1x）^-1*（-log（1-x））=x+3/2*x^2+11/6*x^3+25/12*x^4+。。。
G.f.=x+x^2+5*x^3+14*x^4+94*x^5+444*x^6+3828*x^7+25584*x^8+。。。
MAPLE公司
a:=n->加（n！/k，k=1..n）：序列（a（n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2008年1月22日
数学
表[（PolyGamma[m]+EulerGamma）（m-1）！，{m，1，24}](*沃特·梅森*)
表[n！*谐波编号[n]，{n，0，19}](*罗伯特·威尔逊v2005年5月21日*）
表[Sum[1/i，{i，1，n}]/乘积[1/i、{i、1、n}]，{n，1，30}](*亚历山大·阿达姆楚克2006年7月11日*）
Abs[StirlingS1[范围[20]，2]](*哈维·P·戴尔2011年8月16日*）
表[Gamma'[n+1]/。EulerGamma->0，{n，0，30}](*李涵2024年2月14日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（n+1）！/2*和（k=1，n，1/k/（n+1-k））}/*迈克尔·索莫斯2004年2月5日*/
（Sage）[范围（1，22）中i的stirling_number1（i，2）]#零入侵拉霍斯2008年6月27日
（最大值）
a（n）：=（-1）^（n+1）/2*（n+1”）*和（k*bern（k-1）*stirling1（n，k），k，1，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年11月20日*/
（岩浆）a:=[]；对于[1..22]中的n，做一个：=一只猫[Abs（StirlingFirst（n，2））]；结束；a//马吕斯·A·伯蒂，2020年1月1日
a（n）=n*n！=（n+1）！-不！。
（原名M3545 N1436）
+10
161
0, 1, 4, 18, 96, 600, 4320, 35280, 322560, 3265920, 36288000, 439084800, 5748019200, 80951270400, 1220496076800, 19615115520000, 334764638208000, 6046686277632000, 115242726703104000, 2311256907767808000, 48658040163532800000, 1072909785605898240000
评论
类似的序列，初始0被1替换，即A094258号，由递归a（2）=1，a（n）=a（n-1）*（n-1）^2/（n-2）定义Andrey Ryshevich（Ryshevich（AT）notes.idlab.net），2002年5月21日
E_1（x）+gamma+log（x）幂级数展开中的分母，x>0-迈克尔·索莫斯2002年12月11日
如果任意长度k的所有排列都是按字典顺序排列的，那么这个序列中的第n项（n≤k）给出了排列的索引，该排列将最后n个元素向右旋转一个位置。例如，有24个4项的排列。按字典顺序，它们是（0,1,2,3），（0,1,1,2），（0，2,1，3）。。。(3,2,0,1), (3,2,1,0). 置换0是（0,1,2,3），它旋转最后一个元素1，即不做任何更改。置换1是（0,1,3,2），它旋转最后两个元素。置换4是（0,3,1,2），它旋转最后3个元素。置换18是（3,0,1,2），它旋转最后4个元素。相同的数字适用于任何长度的排列Henry H.Rich（glasss（AT）bellsouth.net），2003年9月27日
a（n）=[1,4,18,96，…]的斯特林变换是A069321号（n） =[1,5,31233，…]。
a（n）=[0,1,4,18，…]的部分和为A033312号（n+1）=[0,1,5,23，…]。
的二项式变换A000166号（n+1）=[0,1,2,9，…]是a（n）=[0,1,4,18，…]。
的二项式变换A000255号（n+1）=[1,3,11,53，…]是a（n+1，=[1,4,18,96，…]。
a（n）=[0,1,4,18，…]的二项式变换为A093964号（n） =[0,1,6,33…]。
的部分总和A001564号（n） =[1,3,4,14，…]是a（n+1）=[1,4,18,96，…]。
（结束）
[n+1]的所有排列中的小下降数。置换（x_1，x_2，…，x_n）中的一个小下降是一个位置i，使得x_i-x_（i+1）=1。例如：a（2）=4，因为在{1,2,3}的置换123、13\2、2\13、231、312、3\2\1中有4个小下降（用\表示）。a（n）=和{k=0..n-1}k*A123513型（n，k）-Emeric Deutsch公司，2006年10月2日
等效地，在大卫、肯德尔和巴顿的记法中，第263页，这是n+1个字母的所有排列中连续递增对的总数（参见。A010027号). -N.J.A.斯隆2014年4月12日
a（n）也是[n]的所有排列中从左到右最大值的位置之和。例如：a（3）=18，因为[3]的置换123132213231312和321中的左至右最大值的位置分别为123、12、13、12、1和1，并且1+2+3+1+2+1+3+1+2+1=18-Emeric Deutsch公司2008年9月21日
以另一个1:（1，1，4，18，…）作为该系列的序言；然后下一项=后者的点积，其中“n发生n次”。例如：96=（1，1，4，8）点（4，4，4）=（4+4+16+72）-加里·亚当森2009年4月17日
a（n）也是n+1节点上星图S_{n+1}的最小（n-）可区别标记数-埃里克·韦斯特因2014年10月14日
a（n-1）是n个元素上没有长度n的圈的置换数-丹尼斯·沃尔什2017年10月2日
以n+1为基数的泛数字的数目，因此每个数字只出现一次。例如，有一个（9）=9*9！=3265920以10为基数的泛数字(A050278号). -阿米拉姆·埃尔达尔2020年4月13日
参考文献
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配方奶粉
例如：x/（1-x）^2。
（y+n！）^n，n>=1的展开式中y^（n-1）的系数给出了序列1，4，18，96，600，4320，35280-阿图尔·贾辛斯基2007年10月22日
函数在正半轴上的第n个矩的积分表示，用Maple表示法：a（n）=Integral_{x=0..oo}（x^n*（x*（x-1）*exp（-x））dx，对于n>=0。此表示形式可能不唯一-卡罗尔·彭森2001年9月27日
i>0时，a（0）=0，a（n）=（n-1）*（1+Sum_{i=1..n-1}a（i））-杰拉尔德·麦卡维2004年6月11日
出现在下列恒等式的分母中：和{n>=1}1/（n*（n+1）*（n+2））=1/4，和{n>=1}1/k-1）.-Dick Boland，2005年6月6日[一般表达式意味着Sum_{n>=1}1/（n*（n+1）*…*（n+k-1））=（Sum_}n>=k}1/C（n，k））/k！=1/（（k-1）*（k-1-宋佳宁2023年5月7日]
a（n）=总和{m=2..n+1}|Stirling1（n+1，m）|，n>=1和a（0）：=0，其中Stirling 1（n，m）=A048994号（n，m），n>=m=0。
a（n）=1/（和{k>=0}k！/（n+k+1）！），n>0-弗拉德塔·乔沃维奇2006年9月13日
a（n）的倒数是多项式乘系数形式的前导系数，该系数是通过将二项系数与固定的下项相加而获得的，上项为n，除以项指数，对于n>=1:Sum_{k=i.n}C（k，i）/k=（1/a（n））*n*（n-1）**（n-i+1）。前几个这样的多项式是和{k=1..n}C（k，1）/k=（1/1）*n，和{k=2..n}C（k、2）/k=（1/4）*n*（n-1布雷兹奈（breznayp（AT）uwgb.edu），2008年9月28日
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j），那么a（n）=（-1）^（n-1）*f（n、1、-2），（n>=1）-米兰Janjic2009年3月1日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=0.79659999…[焦利方程289]
G.f.：2*x*Q（0），其中Q（k）=1-1/（k+2-x*（k+2）^2*（k+3）/（x*（k+2）*（k+3）-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月19日
G.f.:W（0）*（1-sqrt（x））-1，其中W（k）=1+sqrt；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月18日
G.f.：T（0）/x-1/x，其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月17日
通用公式：Q（0）*（1-x）/x-1/x，其中Q（k）=1-x*（k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月22日
具有递推的D-有限：a（n）+（-n-2）*a（n-1）+（n-1）*a（n-2）=0-R.J.马塔尔2020年1月14日
a（n）=（-1）^（n+1）*（n+1A094485型（n，k）*伯努利（k）。伯努利数的Worpitzky表示的倒数-彼得·卢什尼2020年5月28日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=γ-Ei（-1）=A239069型.（结束）
例子
E_1（x）+γ+对数（x）=x/1-x^2/4+x^3/18-x^4/96+。。。，x>0-迈克尔·索莫斯2002年12月11日
G.f.=x+4*x^2+18*x^3+96*x^4+600*x^5+4320*x^6+35280*x^7+322560*x^8+。。。
数学
表[n！n，{n，0，25}](*哈维·P·戴尔2011年10月3日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n*n！）}/*迈克尔·索莫斯2002年12月11日*/
（哈斯克尔）
a001563 n=a001563_列表！！n个
a001563_list=zipWith（-）（尾部a000142_list）a000142_列表
（岩浆）[阶乘（n+1）-阶乘（n）：[0..20]]中的n//文森佐·利班迪2014年8月8日
（Sage）[n*（0..20）中n的阶乘（n）]#G.C.格鲁贝尔，2019年12月30日
（GAP）列表（[0..20]，n->n*阶乘（n））//G.C.格鲁贝尔，2019年12月30日
n-集的部分置换数；n X n个二进制矩阵的数量，每行和每列最多一个1。
（原名M1795 N0708）
+10
156
1, 2, 7, 34, 209, 1546, 13327, 130922, 1441729, 17572114, 234662231, 3405357682, 53334454417, 896324308634, 16083557845279, 306827170866106, 6199668952527617, 132240988644215842, 2968971263911288999, 69974827707903049154, 1727194482044146637521, 44552237162692939114282
评论
a（n）也是[1..n]的所有置换的递增子序列的总数（参见Lifschitz和Pittel）-N.J.A.斯隆2012年5月6日
a（n）也是完全二部图K（n，n）中的匹配数沙伦·塞拉（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月19日
a（n）也是B_n中避免有符号置换的12个数（参见Simion ref）。
a（n）也是对称逆半群（幺半群）I_n.-a.Umar的阶，2008年9月9日
设B_{n}（x）=Sum_{j>=0}exp（j！/（j-n）*x-1）/j！；那么a（n）=2！[x^2]Taylor（B_{n}（x）），其中[x^2]表示B_{n}（x）的Taylor级数中x^2的系数。
a（n）是完全二部图K{n，n}的Hosoya指数-埃里克·韦斯特因2011年7月9日
a（n）也是n X n板上k辆车的非攻击性位置数，总和k>=0-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年8月28日
另外，n X n rook图中的顶点覆盖数和独立顶点集数-埃里克·韦斯特因，2013年1月4日
a（n）是[n]到[n]的子集中的内射函数数，其中[n]={1,2，…，n}。对于大小为k的子集D，有n/（n-k）！从D到[n]的内射函数。对所有子集求和，得到a（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）*n/（n-k）！=求和{k=0..n}k*C（n，k）^2-丹尼斯·沃尔什2015年11月16日
a（n）/n！是乌拉姆“历史相关随机序列”第n项的期望值。见Kac（1989），等式（2）-N.J.A.斯隆2019年11月16日
对于所有n，a（2*n）是奇数，a（2*n+1）是偶数。更一般地说，对于每个正整数k，a（n+k）==a（n）（mod k）对于所有n。因此，对于每个正向整数k，通过减少a（n==0（mod 7），a（11*n+4）==0-彼得·巴拉2022年11月7日
猜想：a（n）*k是所有整数分区中最大部分的和，这些整数分区包含它们与n+1部分和最小部分k的第一个差异-约翰·泰勒·拉斯科2024年2月28日
参考文献
霍伊，《半群理论基础》。牛津：克拉伦登出版社，（1995年）。【摘自A.Umar，2008年9月9日】
J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），巴黎，1933年，第78页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H.S.Wall，连分式分析理论，切尔西1973年，第356页。
链接
弗朗西丝卡·艾卡迪（Francesca Aicardi）、迭戈·阿西斯（Diego Arcis）和杰苏斯·朱尤马亚（Jesús Juyumaya），分枝逆与平面幺半群，arXiv:2210.17461[math.RT]，2022年。
T.Banica，量子部分等距的代数结构，arXiv:1411.0577[math.OA]，2014-2015年。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps，生成树的生成函数《离散数学》246（1-3），2002年3月，第29-55页。
D.Borwein、S.Rankin、S.和L.Renner，内射部分变换的枚举，离散数学。(1989), 73: 291-296. 【摘自A.Umar，2008年9月9日】
Aria Chen、Tyler Cummins、Rishi De Francesco、Jate Greene、Tanya Khovanova、Alexander Meng、Tanish Parida、Anirudh Pulugortha、Anand Swaroop和Samuel Tsui，卡片技巧和信息，arXiv:2405.21007[math.HO]，2024。见第14页。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第598页。
瓦茨拉夫·科特索维奇，非攻击性棋子2013年第6版，第219页。
V.Lifschitz和P.Pittel，随机置换的递增子序列数J.组合理论系列。A 31（1981），第1、1-20号。MR0626437（84e:05012）
W.D.Munn，对称逆半群的特征，程序。剑桥菲洛斯。Soc.53（1957），13-18。【摘自A.Umar，2008年9月9日】
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}k*C（n，k）^2。
例如：（1/（1-x））*exp（x/（1-x））-高德纳1995年7月
带递归的D-有限：a（n）=2*n*a（n-1）-（n-1）^2*a（n-2）。
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）n/k-保罗·巴里2004年5月7日
a（n）=和{k=0..n}P（n，k）*C（n，k）；a（n）=Sum_｛k=0..n｝n^2/（k！*（n-k）^2). -罗斯·拉海耶，2004年9月20日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling1（n，k）*Bell（k+1）-弗拉德塔·乔沃维奇2005年3月18日
通过b（0）=1，b（n）=b（n-1）+（1/n）*Sum_{k=0..n-1}定义b（k）。则b（n）=a（n）/n-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月5日
渐近地，a（n）/n！~（1/2）*Pi^（-1/2）*exp（-1/2+2*n^（1/2））/n^（1/4），所以a（n）~C*BesselI（0，2*sqrt（n））*n！C=exp（-1/2）=0.6065306597126334236…-Alec Mihailovs，2005年9月6日，建立了一个猜想富兰克林·T·亚当斯-沃特斯
a（n）=（n！/e）*和{k>=0}二项式（n+k，n）/k-戈特弗里德·赫尔姆斯2006年11月25日
积分表示为正函数在正半轴上的第n个矩（Stieltjes矩问题的解），用Maple符号表示：a（n）=int（x^n*BesselI（0,2*sqrt（x））*exp（-x）/exp（1），x=0..无穷大），n=0,1-卡罗尔·彭森和G.H.E.Duchamp（gduchamp2（AT）free.fr），2007年1月9日
a（n）=n！*拉盖尔L[n，-1]。
例如：exp（x）*Sum_{n>=0}x^n/n^2=Sum_{n>=0}a（n）*x^n/n^2. -保罗·D·汉纳2011年11月18日
收敛序列中来自Stieltjes连续分数的分母A073003型，Euler-Compertz常数G:=Integral_{x=0..oo}1/（1+x）*exp（-x）dx：
G=1/（2-1^2/（4-2^2/。参见[墙，第18章，（92.7），a=1]。收敛到连分式的序列开始于[1/2，4/7，20/34，124/209，…]。分子在A002793号.（结束）
一般公式：1=和{n>=0}a（n）*x^n*（1-（n+1）*x）^2-保罗·D·汉纳2012年11月27日
例如：exp（x/（1-x））/（1-x）=g（0）/（1-x），其中g（k）=1+x/（（2*k+1）*（1-x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月28日
a（n）=和{k=0..n}L（n，k）*（k+1）；L（n，k）无符号Lah数-彼得·卢什尼2014年10月18日
0=a（n）*（-24*a（n+2）+99*a n+3））-迈克尔·索莫斯2018年7月31日
例子
G.f.=1+2*x+7*x^2+34*x^3+209*x^4+1546*x^5+13327*x^6+130922*x^7+-迈克尔·索莫斯2018年7月31日
MAPLE公司
选项记忆；
如果n<=1，则
n+1；
其他的
2*n*程序名称（n-1）-（n-1）^2*程序名称（n-2）；
结束条件：；
数学
表[n！LaguerreL[n，-1]，{n，0，25}]
递归表[{（n+1）^2 a[n]-2（n+2）a[n+1]+a[n+2]==0，a[1]==2，a[2]==7}，a，{n，25}](*埃里克·韦斯特因2017年9月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=和（k=0，n，k！*二项式（n，k）^2）；
（PARI）a（n）=suminf（k=0，二项式（n+k，n）/k！）/（经验（1）/n！）/*戈特弗里德·赫尔姆斯2006年11月25日*/
（PARI）{a（n）=n！^2*polcoeff（exp（x+x*O（x^n））*sum（m=0，n，x^m/m！^2），n）}/*保罗·D·汉纳2011年11月18日*/
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，polceoff（1-和（m=0，n-1，a（m）*x^m*（1-（m+1）*x+x*O（x^n））^2），n））}/*保罗·D·汉纳2012年11月27日*/
（PARI）我的（x='x+O（'x^22））；Vec（塞拉普拉斯（（1/（1-x））*exp（x/（1-x，）））\\乔格·阿恩特2022年8月11日
（岩浆）[因子（n）*求值（拉盖尔多项式（n），-1）：[0.25]]中的n//G.C.格鲁贝尔2022年8月11日
（SageMath）[（0..25）中n的阶乘（n）*laguerre（n，-1）]#G.C.格鲁贝尔2022年8月11日
（Python）
从数学导入阶乘，梳
定义A002720型（n） ：返回和（阶乘（k）*梳（n，k）**范围（n+1）中k的2）#柴华武2023年8月31日
第（i，j）项为二项式（i，j）*2^（i-j）的三角形。
+10
96
1, 2, 1, 4, 4, 1, 8, 12, 6, 1, 16, 32, 24, 8, 1, 32, 80, 80, 40, 10, 1, 64, 192, 240, 160, 60, 12, 1, 128, 448, 672, 560, 280, 84, 14, 1, 256, 1024, 1792, 1792, 1120, 448, 112, 16, 1, 512, 2304, 4608, 5376, 4032, 2016, 672, 144, 18, 1, 1024, 5120, 11520, 15360, 13440, 8064, 3360, 960, 180, 20, 1
评论
这个无限矩阵是帕斯卡矩阵的平方(A007318号)其行为[1,0，…]，[1,1,0，..]，[1,2,1,0。。。
作为右上角三角形，表格行给出了点、边、面、立方体的数量，
4D超立方体等-亨利·博托姆利2000年4月14日。更准确地说，第（i，j）项是i维超立方体的j维子空间的数量（见Coxeter参考文献）-克里斯托夫·韦伯2009年5月8日
1+[1,1,2]+[2,2,3]+[3,3,4]+[4,4,5]+。。。其中删除了零个条目-乔恩·佩里2004年1月1日
Riordan阵列（1/（1-2x），x/（1-2x））-保罗·巴里2005年7月28日
T（n，k）是下降集包含在{s_k}中的Coxeter群B_n的元素数，0<=k<=n-1。对于T（n，n），我们将其解释为具有空下降集的B_n的元素数（因为s_n不存在）伊丽莎白·莫里斯（epmorris（AT）math.washington.edu），2006年3月1日
设S是具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于P（a）的每个元素x，y，xSy，如果x是y的子集，那么T（n，k）=S的元素数（x，y），其中y比x多k个元素-罗斯·拉海耶2007年10月12日
T（n，k）是第一象限中从（0,0）到（n，k）的路径数，仅使用步骤B=（1,0）蓝色、R=（1,00）红色和U=（1,1）。例如：T（3,2）=6，因为我们有BUU、RUU、UBU、URU、UUB和UUR-Emeric Deutsch公司2007年11月4日
T（n，k）是使用步骤（0,1）和两种步骤（1,0）从（0,0）到（n，k）的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月1日
T（i，j）是包含j 1的{1,2,3}的i-置换数。例如：T（2,1）=4，因为我们有12、13、21和31；T（3,2）=6，因为我们有112、113、121、131、211和311-零入侵拉霍斯2007年12月21日
（2+x）^n展开式中系数的三角形-N-E.法西2008年4月13日
三角形T（n，k），按行读取，由[2,0,0,0，0,0,1,0，…]DELTA[1,0,0-0,00,0.0，…]给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2009年12月15日
n维立方体的f向量（“面”-向量）[参见例如，Hoare]。（这是对上述博托姆利的重申。）-汤姆·科普兰2012年10月19日
逆矩阵的矩阵元素是T^（-1）（n，k）=（-1）^（n+k）*T（n，k）-R.J.马塔尔2013年3月12日
T（n，k）是函数f:[n]->[3]的数量，其中k个元素正好映射到3。注意，有C（n，k）方法可以选择映射到3的k个元素，有2^（n-k）方法可将其他（n-k）元素映射到{1,2}。因此，当k从0运行到n时，通过求和T（n，k）得到3^n=Sum_{k=0..n}T（n、k）-丹尼斯·沃尔什，2017年9月26日
由于该数组是Pascal下三角矩阵的平方，因此该数组的行多项式作为Pascal矩阵的行多项式P_n（x）与其自身的本影合成。例如，P_3（P.（x））=1 P_3-汤姆·科普兰2018年11月12日
T（n，k）是n+1的2个成分的数量，允许一些零具有k个零；请参阅霍普金斯和奥夫里参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月16日
参考文献
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，第155页。
H.S.M.Coxeter，《规则多边形》，多佛出版社，纽约（1973年），第122页。
链接
Jhon J.Bravo、Jose L.Herrera和JoséL.Ramírez，广义Pell数的组合解释，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.2.1条。
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020年。
Milan Janjić，限制性三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
Katarzyna Kril和Wojciech Mlotkowski，具有固定下降数和减号的B型置换《组合数学电子杂志》，第26卷（1）（2019年），第1.27页。
配方奶粉
T（n，k）=和{i=0..n}二项式（n，i）*二项式。
从形式主义A133314号，例如f.表示的行多项式A038207号是exp（x*t）*exp（2x）。逆矩阵行多项式的示例f.是exp（x*t）*exp（-2x）。矩阵的p次迭代给出了带有例如f.exp（x*t）*exp（p*2x）的矩阵。结果推广为2被任意数取代-汤姆·科普兰2008年8月18日
求和{k=0..n}T（n，k）*x^k=（2+x）^n-菲利普·德尔汉姆2009年12月15日
T（n，n）=1和T（n、k）=T（n-1，k-1）+2*T（n-1，k）对于k<n-乔恩·佩里2012年10月11日
第n行的示例f由归一化拉盖尔多项式的本影合成给出A021009型因为p（n，x）=L（n，-L（.，-x））/n！=2^n L（n，-x/2）/n！。例如，L（2，x）=2-4*x+x^2，所以p（2，x）=（1/2）*L（2、-L（.，-x））=（1/2）*（2*L（0，-x-汤姆·科普兰2012年10月20日
然后用D作为导数算子，
exp（x*z/（1-2*z））/
=（1 z ^2 z ^3…）H（1 x x ^2/2！x ^3/3！…）^T
=（1 x x ^2/2！x ^3/3！…）H^T（1 z ^2 z ^3…）^T
=Sum_{n>=0}z^n*2^n Lag_n（-x/2）=exp[z*EF（.，x）]，f向量（行）的o.g.fA038207号其中EF（n，x）是第n个f矢量的一个示例f。（Lag_n（x）是非正规化的拉盖尔多项式。）
相反，
exp（z*（2+x））=导出（2D_x）导出（x*z）=导出
=（1 x ^2 x ^3…）H^T（1 z z ^2/2！z ^3/3！…）^T
=（1 z z ^2/2！z ^3/3！…）H（1 x x ^2 x ^3…）^T
OF（n，x）=（2+x）^n是第n个f矢量的o.g.f。
（结束）
G.f.:R（0）/2，其中R（k）=1+1/（1-（2*k+1+（1+y））*x/（（2*k+2+（1++））*x+1/R（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月9日
例如，对于第n次方阵，n=0,1,2，。。。，等于exp（x）*P（n，x），其中P（n、x）是多项式2^n*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*x^k/k！。例如，第三个子对角的f.是exp（x）*（8+24*x+12*x^2+4*x^3/3）=8+32*x+80*x^2/2！+160*x^3/3！+-彼得·巴拉2017年3月5日
T（3*k+2，k）=T（3*k+2、k+1），T（2*k+1，k）=2*T（2*k+1，k+1）-宇春记2020年5月26日
k列的G.f:x^k/（1-2*x）^（k+1）。
例如，对于k列：exp（2*x）*x^k/k！。（结束）
此外，数组A（n，k）也是通过降序反对偶读取的，其中A（n、k）=（-1）^n*Sum_{j=0..n+k}二项式（n+k，j）*hypergeom（[-n，j+1]，[1]，1）-彼得·卢什尼2021年11月9日
例子
三角形以T（0,0）开头：
1;
2, 1;
4, 4, 1;
8, 12, 6, 1;
16, 32, 24, 8, 1;
32, 80, 80, 40, 10, 1;
视为通过降序反对偶读取的数组：
[0] 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... [A000079号]
[1] 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, ... [A001787号]
[2] 1, 6, 24, 80, 240, 672, 1792, 4608, 11520, ... [A001788号]
[3] 1, 8, 40, 160, 560, 1792, 5376, 15360, 42240, ... [A001789号]
[4] 1, 10, 60, 280, 1120, 4032, 13440, 42240, 126720, ... [A003472号]
[5] 1, 12, 84, 448, 2016, 8064, 29568, 101376, 329472, ... [A054849号]
[6] 1, 14, 112, 672, 3360, 14784, 59136, 219648, 768768, ... [A002409号]
[7] 1, 16, 144, 960, 5280, 25344, 109824, 439296, 1647360, ... [A054851号]
[8] 1, 18, 180, 1320, 7920, 41184, 192192, 823680, 3294720, ... [A140325号]
[9] 1, 20, 220, 1760, 11440, 64064, 320320, 1464320, 6223360, ... [A140354号]
MAPLE公司
对于从0到12的i，做seq（二项式（i，j）*2^（i-j），j=0。。i） 结束do；#以三角形形式生成序列-Emeric Deutsch公司2007年11月4日
矩阵（10，n->2^（n-1））#彼得·卢什尼2022年10月9日
数学
表[系数列表[展开[（y+x+x^2）^n]，y]/。x->1，{n，0，10}]//表格(*杰弗里·克雷策2011年11月20日*）
表[二项式[n，k]2^（n-k），{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*哈维·P·戴尔2020年5月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=polceoff（（x+2）^n，k）}/*迈克尔·索莫斯2000年4月27日*/
（哈斯克尔）
a038207 n=a038207_列表！！n个
a038207_list=concat$迭代（[2,1]*）[1]
实例编号a=>编号[a]，其中
fromInteger k=[来自Integer k]
（p:ps）+（q:qs）=p+q:ps+qs
ps+qs=ps++qs
（p:ps）*qs'@（q:qs）=p*q:ps*qs'+[p]*qs
_ * _ = []
（哈斯克尔）
a038207'n k=a038207 _ tabl！！不！！k
a038207_行n=a038207 _ tabl！！n个
a038207_tabl=迭代f[1]，其中
f行=zipWith（+）（[0]++行）（映射（*2）行++[0]）
（鼠尾草）
M=矩阵（ZZ，dim，dim）
对于范围（dim）内的n：M[n，n]=1
对于n in（1..dim-1）：
对于k in（0..n-1）：
M[n，k]=M[n-1，k-1]+2*M[n-l，k]
返回M
（Magma）/*作为三角形*/[（&+[二项式（n，i）*二项式（i，k）：i in[k..n]]）：k in[0.n]]：n in[0.15]]//文森佐·利班迪2018年11月16日
（GAP）平面（列表（[0..15]，n->List（[0..n]，k->二项式（n，k）*2^（n-k）））#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月21日
交叉参考
囊性纤维变性。A001861号,A008277号,A027465号,A027466号,A038231号,A038243号,A038255号,A039683号,A112857号,A118801号,A132440号,A133156号,A133314号,A167374号,A218272型,A238385型,A323939美元.
1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 9, 9, 1, 1, 16, 36, 16, 1, 1, 25, 100, 100, 25, 1, 1, 36, 225, 400, 225, 36, 1, 1, 49, 441, 1225, 1225, 441, 49, 1, 1, 64, 784, 3136, 4900, 3136, 784, 64, 1, 1, 81, 1296, 7056, 15876, 15876, 7056, 1296, 81, 1, 1, 100, 2025, 14400, 44100, 63504, 44100, 14400, 2025, 100, 1
评论
B型的Narayana数。这个三角形的第n行是B_n型结合面体（一个环面体）的对偶单纯形复数的h向量[Fomin&Reading，p.60]。请参阅A063007号有关B_n型结合面体的相应f矢量，请参见A001263号对于A_n型结合面体的h向量。此三角形阵列的希尔伯特变换为108625英镑（请参见A145905号用于定义此术语）。
设A_n是{e_i-e_j:0<=i，j<=n+1}生成的幺半群的根格。设P（A_n）是由该发电机组的凸壳形成的多面体。然后，该数组的行是P（a_n）的单模三角剖分的h向量[Ardila等人]。A063007号是这些A_n型多边形的相应f向量数组。请参阅A086645号对于C_n型多面体的h-向量数组和A108558号与D_n型多面体相关联的h-向量数组。
（结束）
第n行由多项式P_n（t）=Integral_{s=0..2*Pi}（1+t^2-2*t*cos（s））^n/Pi/2ds的系数组成。例如，当n=3时，我们得到P_3（t；系数为1、9、9、1-西奥多·科洛科尔尼科夫2010年10月26日
设E（y）=Sum_{n>=0}y^n/n^2=贝塞尔J（0，2*sqrt（-y））。那么这个三角形就是关于序列n的广义Riordan数组（E（y），y）^2如Wang和Wang所定义-彼得·巴拉2013年7月24日
让我们表示West的堆叠排序图。T（n，k）是[n+1]的置换pi的数量，其中k个递减，使得s（pi）避免了模式132、231和321。T（n，k）也是[n+1]的置换pi的数量，具有k个下降，使得s（pi）避免了模式132、312和321。
T（n，k）是[n+1]的置换数，具有k个下降，避免了模式1342、3142、3412和3421。（结束）
最小外接矩形的大小为（k+1）*（n+1-k）且包含外接矩形左下角的凸多边形数（有向凸多边形）-Günter Rote公司2019年2月27日
设P是乘积序所定的偏序集[n]X[n]。T（n，k）是P中正好包含k个元素的反链数。囊性纤维变性。A063746号. -杰弗里·克雷策，2020年3月28日
参考文献
T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhauser，2015年，第12章。
J.Riordan，《组合分析简介》，多佛出版社，纽约州米诺拉，2002年，第191页，问题15。MR1949650型
P.G.Tait，《关于二阶线性微分方程》，《爱丁堡皇家学会学报》，9（1876），93-98（见第97页）[摘自汤姆·科普兰，2010年9月9日，卷号已于2010年9日更正]
链接
Per Alexandersson、Svante Linusson、Samu Potka和Joakim Uhlin，精制加泰罗尼亚语和纳拉亚纳语循环筛分，arXiv:2010.11157[math.CO]，2020年。
F.Ardila、M.Beck、S.Hosten、J.Pfeifle和K.Seashore，根多面体与根格的生长级数，arXiv:0809.5123[math.CO]，2008年。
E.Barccci、A.Frosini和S.Rinaldi，关于矩形中的直凸多面体，离散。数学。，298 (2005), 62-78.
卡尔·本德（Carl M.Bender）和杰拉尔德·邓恩（Gerald V.Dunne），多项式和算子序，J.数学。物理学。29 (1988), 1727-1731.
Kevin Buchin、Man-Kwon Chiu、Stefan Felsner、Günter Rote和AndréSchulz，给定高度和宽度的凸多边形数，arXiv:1903.01095[math.CO]，2019年。
约翰·康韦和N.J.A.斯隆，低维格。七、协调顺序，程序。R.Soc.伦敦。A（1997）453，2369-2389。
R.Cori和G.Hetyei，计数亏格一划分与置换，arXiv预印本arXiv:1306.4628[math.CO]，2013。
R.Cori和G.Hetyei，如何计算属一划分，FPSAC 2014，芝加哥，离散数学和理论计算机科学（DMTCS），法国南希，2014，333-344。
科林·德芬特，置换类的堆叠排序前象，arXiv:1809.03123[math.CO]，2018年。
谢尔盖·福明和内森·雷丁，根系和广义结合面体，《国际会计准则》/《帕克城》2004年讲义，arXiv:math/00505518[math.CO]，2005年，2008年。[来自彼得·巴拉2008年10月23日]
Yi Wang和Arthur L.B.Yang，Narayana矩阵的全正性，arXiv:170207822【math.CO】，2017年。
配方奶粉
例如：exp（（1+y）*x）*BesselI（0，2*sqrt（y）*x）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年11月17日
总面积：1/sqrt（1-2*x-2*x*y+x^2-2*x^2*y+x2*y^2）；g.f.对于第n行：（1-t）^n P_n[（1+t）/（1-t）]，其中P_n是勒让德多项式-Emeric Deutsch公司2003年11月23日[双变量g.f.的原始版本已经修改，x和y的角色互换，因此现在x对应于n，y对应于k-Petros Hadjicostas公司2017年10月22日]
k列的G.f.为总和{j=0..k}C（k，j）^2*x^（k+j）/（1-x）^（2*k+1）-保罗·巴里，2005年11月15日
k列有g.f.（x^k）*Legendre_P（k，（1+x）/（1-x））/（1-x）^（k+1）=（x^ k）*Sum_{j=0..k}C（k，j）^2*x^j/（1-x）^-保罗·巴里，2005年11月19日
设E是算子D*x*D，其中D表示导数算子D/dx。然后（1/n！^2）*E^n（1/（1-x））=（第n行生成多项式）/（1-x 1）*（k+2）*（k+3））^2*x^k-彼得·巴拉2008年10月23日
G.f.:A（x，y）=和{n>=0}（2*n）/不^2*x^（2*n）*y^n/（1-x-x*y）^（2*n+1）-保罗·D·汉纳2010年10月31日
设E（y）=Sum_{n>=0}y^n/n^2=贝塞尔J（0，2*sqrt（-y））。生成函数：E（y）*E（x*y）=1+（1+x）*y+（1+4*x+x^2）*y^2/2^2+（1+9*x+9*x2+x^3）*y^3/3^2 + .... 请参阅的未签名版本A021009型带有生成函数exp（y）*E（x*y）。
这个数组的n次方具有生成函数E（y）^n*E（x*y）。特别是，矩阵求逆A055133号具有生成函数E（x*y）/E（y）。（结束）
T（n，k）=T（n-1，k）*（n+k）/（n-k）+T（n-1，k-1），T（n，0）=T（n，n）=1-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年10月18日
第n行多项式R（n，x）=[z^n]（1+（1+x）*z+x*z^2）^n。注意1/n*[z^A001263号. -彼得·巴拉2015年6月24日
的二项式变换A105868号如果G（x，t）=1/sqrt（1-2*（1+t）*x+（1-t）^2*x^2）表示该数组的o.G.f.，则1+x*d/dx log。。。是o.g.fA086645号. -彼得·巴拉2015年9月6日
T（n，k）=Sum_{i=0..n}C（n-i，k）*C（n，i）*C（n+i，i）*（-1）^（n-i-k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2018年1月14日
G.f.满足A（x，y）=x*A（x、y）+x*y*A（x，y）+sqrt（1+4*x^2*y*A（x，y）^2）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年10月23日
例子
帕斯卡三角形开始
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
...
所以现在的三角形开始了
1
1 1
1 4 1
1 9 9 1
1 16 36 16 1
1 25 100 100 25 1
1 36 225 400 225 36 1
1 49 441 1225 1225 441 49 1
...
MAPLE公司
seq（seq（二项式（n，k）^2，k=0..n），n=0..10）；
数学
表[二项式[n，k]^2，{n，0，11}，{k，0，n}]//展平(*阿隆索·德尔·阿特2013年12月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，二项式（n，k）^2）}/*迈克尔·索莫斯2004年5月3日*/
（PARI）{T（n，k）=polceoff（polceof（总和（m=0，n，（2*m）！/m！^2*x^（2*m）*y^m/（1-x-x*y+x*O（x^n）））^（2*m+1）），n，x），k，y）}\\保罗·D·汉纳2010年10月31日
（极大值）create_list（二项式（n，k）^2，n，0，12，k，0，n）\\伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日
（极大值）T（n，k）：=如果n=k，则1，如果k=0，则1其他T（n-1，k）*（n+k）/（n-k）+T（n-1，k-1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年10月18日*/
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n，k）^2:k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2016年12月15日
（GAP）平面（列表（[0..10]，n->List（[0..n]，k->二项式（n，k）^2））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年3月30日
（最大值）
A（x，y）：=1/sqrt（1-2*x-2*x*y+x^2-2*x^2*y+x^2*y^2）；
泰勒（x*A（x，y）+x*y*A（x，y）+sqrt（1+4*x^2*y*A（x，y）^2），x，0，7，y，0,7）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年10月23日*/
对角线上排列有1的排列系数的三角形。此外，n个字母上的排列三角形正好有k+1个圈，并且前k+1个字母在单独的圈中。
+10
50
1, 1, 1, 2, 2, 1, 6, 6, 3, 1, 24, 24, 12, 4, 1, 120, 120, 60, 20, 5, 1, 720, 720, 360, 120, 30, 6, 1, 5040, 5040, 2520, 840, 210, 42, 7, 1, 40320, 40320, 20160, 6720, 1680, 336, 56, 8, 1, 362880, 362880, 181440, 60480, 15120, 3024, 504, 72, 9, 1, 3628800, 3628800
评论
此外，反诊断者读取的Pochhammer序列表（见Rudolph-Liith，2015）-N.J.A.斯隆2016年3月31日
的反面A008279号。行总和为A000522号对角线和为A003470号.逆矩阵的行开始于{1}、{-1,1}、}0、-2,1}，{0,0、-3,1}和{0,0,0，-4,1}。。。有符号下三角矩阵（-1）^（n+k）n/k！将有符号的rencontres数字Sum_{k=0..n}（-1）^（n+k）n作为行和/k！。（请参见A000166号). 它具有矩阵求逆1，1，1 0,2,1 0,0,3,1 0,0,1，。。。
指数Riordan阵列[1/（1-x），x]；k列具有例如f.x^k/（1-x）-保罗·巴里2007年3月27日
T是n的本影延伸*滞后[n，（.）！*滞后[.，x，-1]，0]=（1-D）^（-1）x^n=（-1）^n*n！*滞后（n，x，-1-n）=和{j=0..n}二项式（n，j）*j！*x^（n-j）=和{j=0..n}（n！/j！）x^j。逆运算符为A132013号概括如下：2014年12月13日.
b=T*a可以用a（n）和b（n）或其o.g.f.的a（x）和b（x）来表征。
1） b（n）=n！滞后[n，（.）！*滞后[.，a（.），-1]，0]，本影，
2） b（n）=（-1）^n n！滞后（n，a（.），-1-n）
3） b（n）=和{j=0..n}（n！/j！）a（j）
4） B（x）=（1-xDx）^（-1）A（x），形式上
5） B（x）=和{j=0,1，…}（xDx）^j A（x）
6） B（x）=和{j=0,1，…}x^j*D^j*x^j A（x）
7） B（x）=和{j=0,1，…}j！*x^j*L（j，-：xD:，0）A（x）其中Lag（n，x，m）是m阶Laguerre多项式，D是导数w.r.t.x和（：xD：）^j=x^j*D^j.截断j=n项的算子级数可得到b（0）到b（n）的o.g.f。
c=（0！，1！，2！，3！，4！，…）是在列表分区转换和中描述的相关操作下与T关联的序列A133314号因此T（n，k）=二项式（n，k）*c（n-k）。倒数序列为d=（1，-1,0,0,0，…）。（结束）
该数组是广义Pascal三角形P（a，b）的特殊情况P（1,1），这是一个下单位三角形矩阵，如下所示：
n\k |0…………..1………..2……..3…….4
----------------------------------------------------------
0..|1.....................................................
1..|a…………..1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
2..|a（a+b）。。。。。。。。。。。。。。。2a。。。。。。。。。。。。。。1................
3..|a（a+b）（a+2b）。。。。。。。。。3a（a+b）。。。。。。。。。3a。。。。。。。。1......
4..|a（a+b）（a+2b）（a+3b）。。。4a（a+b）（a+2b）。。。6a（a+b）。。。4a。。。。1
...
该数组的项A（n，k）满足递归A（n、k）=（A+b*（n-k-1））*A（n-1，k）+A（n-1，k-1），当A=1，b=0时，它简化为Pascal公式。
当b<>0时，数组P（a，b）具有例如f.exp（x*y）/（1-b*y）^（a/b）=1+（a+x）*y+（a*（a+b）+2a*x+x^2）*y^2/2！+（a*（a+b）*（a+2b）+3a*（a+b）*x+3a*x^2+x^3）*y^3/3！+。。。；数组P（a，0）有例如f.exp（（x+a）*y）。
我们有矩阵恒等式P（a，b）*P（a'，b）=P（a+a'，b）；P（a，b）^-1=P（-a，b）。
[Echi]证明了P（a，b）的行项的二项式展开式的一种类似形式。通过定义F（x，y）**G。
通过设置F^（1）=F（x，y）和F^。那么（x+a*y）^（n）=x^n+C（n，1）*a*x^（n-1）*y+C（n，2）*a*（a+b）*x^（n-2）*y^2+…+C（n，n）*a*（a+b）*（a+2b）**（a+（n-1）b）*y^n.（结束）
设G（m，k，p）=（-p）^k*乘积{j=0..k-1}（j-m-1/p）和T（n，k，p）=G（n-1，n-k，p=A112292号（n，k）和T（n，k，3）=A136214号. -彼得·卢什尼，2009年6月1日，2019年6月18日修订
高阶指数积分E（x，m，n）定义于A163931号讨论E（x，m=1，n）~（exp（-x）/x）*（1-n/x+（n^2+n）/x^2-（2*n+3*n^2+n^3）/x^3+（6*n+11*n^2+6*n^3+n^4）看见A130534型E（x，m=1，n）的渐近展开导致n>=1到上面给出的三角形的左手列。三角形A165674号由E（x，m=2，n）的渐近展开生成-约翰内斯·梅耶尔2009年10月7日
T（n，k）=n/k！=具有精确k+1圈和元素1,2，…，的[n+1]置换数，。。。，k+1在单独的循环中。请参阅下面的链接和示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月24日
T（n，k）是保留{1,2，…，n}的某个大小k子集固定的n个置换数。和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）=A000166号（n） （混乱）-杰弗里·克雷策2011年12月11日
此外，T（n，k）是在n X（n-k）棋盘上安排n-k辆非攻击车的方式数-安德烈·扎博洛茨基2016年12月16日
这个三角形的无穷小生成器是广义指数Riordan数组[-log（1-x），x]，它等于A238363型. -彼得·巴拉2017年2月13日
如果A（0）=1/（1-x），并且A（n）=d/dx（A（n-1）），则A（n）=n/（1-x）^（n+1）=和{k>=0}（n+k）/k*x^k=和{k>=0}T（n+k，k）*x^k-迈克尔·索莫斯2021年9月19日
链接
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
E.Deutsch、L.Ferrari和S.Rinaldi，生产矩阵《数学进展》，34（2005），第101-122页。
H.W.Gould，编辑J.Quaintance，组合恒等式2010年5月（等式10.35，第49页）。
配方奶粉
T（n，k）=n/k！如果n>=k>=0，则为0。
T（n，k）=和{i=k.n}|S1（n+1，i+1）*S2（i，k）|*（-1）^i，其中S1，S2为斯特林数。
T（n，k）=（n-k）*T（n-1，k）+T（n-1，k-1）。例如：exp（x*y）/（1-y）=1+（1+x）*y+（2+2*x+x^2）*y^2/2！+（6+6*x+3*x^2+x^3）*y^3/3！+-彼得·巴拉2008年7月10日
右栏k的o.g.f.是Gf（z；k）=（k-1）/（1-z）^k，k=>1。
设f（x）=（1/x）*exp（-x）。第n行多项式为R（n，x）=（-x）^n/f（x）*（d/dx）^n（f（x）。囊性纤维变性。A132159号. -彼得·巴拉2011年10月28日
这个下三角矩阵的填充移位版本，除了对角线位置的一个外，第一列和第一行都有零，由积分（t=0到t=无穷大）exp[-t（I-P）]=1/（I-P）=I+P^2+P^3+给出。。。其中P是无穷小生成矩阵182234英镑和I为单位矩阵。非添加版本由P代替132440英镑. -汤姆·科普兰2012年10月25日
行多项式R（n，x）形成了Sheffer多项式序列，其相关的delta算子等于d/dx。因此d/dx（R（n，x））=n*R（n-1，x）。Sheffer恒等式是R（n，x+y）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*y^（n-k）*R（k，x）。
设P（n，x）=Product_{k=0..n-1}（x+k）表示递增阶乘多项式序列，约定P（0，x）=1。那么这就是用基P（n，x）表示基多项式P（n、x+1）时的连接常数三角形。例如，第3行是（6，6，3，1），所以P（3，x+1）=（x+1）*（x+2）*。（结束）
发件人汤姆·科普兰2014年4月21日、26日和8月13日：（开始）
例如f.是exp（x*y）/（1-y），因此行多项式与降算子d/dx和升算子x+1/（1-d）形成Appell序列。
当L（n，m，x）=m阶拉盖尔多项式时，行多项式为（-1）^n*n*L（n，-1-n，x）=（-1）^n*（-1！/（-1-n）！）*K（-n，-1-n+1，x）=n！*K（-n，-n，x），其中K是Kummer的合流超几何函数（当s趋于零时，n+s的极限）。
操作上，（-1）^n*n*L（n，-1-n，-：xD:）=（-1）^n*x^（n+1）*：Dx:^n*x^（-1-n）=（-1-1）^n*x*：xD:^n*x ^（-1）=（-1）^n*n*二项式（xD-1，n）=n*K（-n，-n，-：xD:）其中：AB:^n=任意两个运算符的A^n*B^n。囊性纤维变性。235706元和A132159号.
有符号M的第n行的系数为d[（-：xD:）^n]/d（：Dx:）=f[d/d（-：xD:）]（-：x d:）*n，其中f（y）=y/（y-1），：Dx:^n=n！L（n，0，-：xD:）和（-：xD：）^n=n！L（n，0，：Dx:）。M的系数为[D/（1-D）]x^n。（完）
例如f.和{n>=0}P_n（b1，b2，..，bn；t）x^n/n！=的行多项式的系数e^（P.（..；t）x）=e^[xt）/（1-b.x）=（1+b1x+b2x^2+b3x^3+…）e^[xt）=1+（b1+t）x+（2b2+2b1t+t^2）x^2/2！+（6 b3+6 b2 t+3 b1 t^2+t^3）x^3/3！+，降算子L=d/dt，即LP_n（..；t）=n*P_（n-1）（..；t），升算子R=t+d[log（1+b1 d+b2 d^2+…）]/dD=t-和{n>=1}F（n，b1，..，bn）d^（n-12016年2月.
P_n（b1，..，bn；t）=CIP_n，（t-F（1，b1），-F（2，b1，b2）-F（n，b1，..，bn）），循环指数多项式A036039号.
（结束）
提升算子R=x+1/（1-D）=x+1+D+D^2+。。。作用于o.g.f.（形式幂级数）的矩阵形式是下面产生矩阵M的转置。线性项x是转置后的对角线。其他转置对角线来自D^m x ^n=n！/（n-m）！x ^（n-m）。那么P（n，x）=（1，x，x^2，..）M^n（1,0,0，..）^T是R P（n-1，x）=P（n、x）的矩阵表示-汤姆·科普兰2016年8月17日
行多项式具有例如f.e^（xt）/（1-t）=exp（t*q.（x）），本影。对于p_n（x）A132013号，q_n（x）=v_n（p.（u.（x））），本影，其中u_n（x）=（-1）^n v_n。其矩阵形式为[T]=[q]=[v]*[p]*[u]。相反，p_n（x）=u_n（q.（v.（x）））-汤姆·科普兰2016年11月10日
根据Appell序列形式，1/（1-b.D）t^n=P_n（b1，b2，…，bn；t），2015年11月18日公式中提到的广义行多项式，与2007年的评论一致-汤姆·科普兰2016年11月22日
G.f.：总和=1}（n*x）^（n-1）/（1+（n-t）*x）^n=1+（1+t）*x+（2+2*t+t^2）*x^2+。。。。
第n行多项式R（n，t）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*（x+k）^k*（x+k-t）^。（结束）
行多项式的Rodrigues型公式：R（n，x）=-exp（x）*Int（exp（-x）*x^n，x。递归：R（n，x）=x^n+n*R（n-1，x），对于n>=1，R（0，x）=1。d/dx（R（n，x））=R（n、x）-x^n，对于n>=0（与彼得·巴拉2013年8月28日）-沃尔夫迪特·朗2019年12月23日
例子
行开始于｛1｝、｛1，1｝、｛2，2，1｝、｛6、6、3、1｝、。。。
对于n=3和k=1，T（3,1）=6，因为{1,2,3,4}正好有6个置换，有2个循环，1和2在单独的循环中。排列为（1）（2 3 4）、（1）、（2 4 3）、（13）（2 4）、“1 4”（2 3）、“（1 3 4）（2）”和“1 4 3”（2）-丹尼斯·沃尔什2011年1月24日
三角形开始：
1,
1, 1,
2, 2, 1,
6, 6, 3, 1,
24, 24, 12, 4, 1,
120, 120, 60, 20, 5, 1,
720, 720, 360, 120, 30, 6, 1,
5040, 5040, 2520, 840, 210, 42, 7, 1
生产矩阵为：
1, 1,
1, 1, 1,
2, 2, 1, 1,
6, 6, 3, 1, 1,
24, 24, 12, 4, 1, 1,
120, 120, 60, 20, 5, 1, 1,
720, 720, 360, 120, 30, 6, 1, 1,
5040, 5040, 2520, 840, 210, 42, 7, 1, 1,
40320, 40320, 20160, 6720, 1680, 336, 56, 8, 1, 1
这是指数Riordan数组A094587号，或[1/（1-x），x]，具有1的额外超对角线。
反转开始：
1,
-1, 1,
0, -2, 1,
0, 0, -3, 1,
0, 0, 0, -4, 1,
0, 0, 0, 0, -5, 1,
0, 0, 0, 0, 0, -6, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, -7, 1
MAPLE公司
T:=进程（n，m）：n/米！结束：seq（seq（T（n，m），m=0..n），n=0..9）#约翰内斯·梅耶尔，2009年10月7日，2012年11月25日修订
T:=proc（n，k）选项记忆；如果n=0且k=0，则1 elif k<0或k>n，则0其他abs（（n+k）*T（n-1，k）-T（n-1、k-1））fi结束：#彼得·卢什尼，2021年12月30日
数学
扁平[表[表[n！/k！，{k，0，n}]，{n，0，10}]](*杰弗里·克雷策2011年12月11日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a094587 n k=a094587_tabl！！不！！k
a094587_row n=a094587 _ tabl！！n个
a094587_tabl=映射fst$iterate f（[1]，1）
其中f（行，i）=（映射（*i）行++[1]，i+1）
（鼠尾草）
定义A094587号_行（n）：return（阶乘（n）*exp（x）.taylor（x，0，n））.list（）
交叉参考
囊性纤维变性。A000670号,A008279号,A021009型,A048994号,A132013号,2014年12月13日,A132159号,A132440号,A133314号,182234英镑,A235706型,A238385型.
a（n+1）=n*a（n）+a（n-1），其中a（0）=0，a（1）=1。
（原名M2863 N1151）
+10
44
0, 1, 1, 3, 10, 43, 225, 1393, 9976, 81201, 740785, 7489051, 83120346, 1004933203, 13147251985, 185066460993, 2789144166880, 44811373131073, 764582487395121, 13807296146243251, 263103209266016890, 5275871481466581051, 111056404320064218961, 2448516766522879398193
评论
如果省略初始0和1，则1、2、3、4、5…的CONTINUANT变换。。。
a（n+1）是C（n）=[n，n-1，…，3,2,1]给出的连分式的分子，例如，[1]=1，[2,1]=3，[3,2,2]=10/3，[4,3,2,4]=43/10等。A001053号. -阿玛纳斯·穆尔西2001年5月2日
沿着这些线，a（n）是连分数[n，n-1，…3,2,1]的分母，是连分数[1,2,3，…，n-1]的分子-格雷格·德累斯顿2020年2月20日
对于n>=2，a（n）等于（n-1）X（n-1”）三对角矩阵的永久值，其中1沿着上对角线和次对角线，1到n沿着主对角线是连续整数（参见下面的Mathematica程序）-约翰·坎贝尔2011年7月8日
一般来说，递推式a（n+1）=n*a（n）+a（n-1）的解为a（n）=贝塞尔I（n，-2）*（2*a（0）*贝塞尔K（1,2）-2*a（1）*贝塞尔K（0,2））+（2*a（0）*贝塞尔I（1,2）+2*a（1）*贝塞尔I（0,2））*贝塞尔K（n，2），渐近解为a（n）~（a（0）*贝塞尔I（1,2）+a（1）*贝塞尔I（0,2））*（n-1）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月5日
猜测：2*n*a（n）是（n×2）棋盘上一辆车在长度为n的对一线结束的开放巡回赛次数-米哈伊尔·库尔科夫2019年11月19日
参考文献
《阿基米德问题驱动》，尤里卡，22（1959），15。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
C.罐头，一类马尔可夫链的平稳分布《应用数学》，第4卷第5期，2013年，第769-773页。doi:10.4236/am.2013.45105。见表1。
托米斯拉夫·多斯利奇和R.沙拉夫迪尼，侯赛亚拼接、桥和项链指数《碳纳米材料中的距离、对称性和拓扑》，2016年，第147-156页。《碳材料：化学和物理丛书》（CMCP，第9卷），doi:10.1007/978-3-319-31584-3_10。
配方奶粉
（无符号）拉盖尔三角形的广义Fibonacci序列A021009型.a（n+1）=和{k=0..层（n/2），C（n-k，k）（n-k）！/k！}-保罗·巴里2004年5月10日
对于Z中的所有n，a（-n）=a（n）-迈克尔·索莫斯2005年9月25日
例如：-I*Pi*（BesselY（1，2*I）*BesselI（0，2*sqrt（1-x））-I*Bessel（1，2）*BesselY（0，2*I*sqrt（1-x）））。这样的计算是与加里·德特利夫斯在微分和将x=0后，必须使用简化。见Abramowitz-Stegun手册，第360、9.1.16页和第375、9.63页-沃尔夫迪特·朗，2010年5月19日
a（n）=2*（贝塞尔I（0,2）*贝塞尔K（n，2）-贝塞尔I-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月5日
a（n）=（n-1）*n>=2时的超几何（[1-n/2/1/2/n/2]，[1，1-n，1-n]，4）-彼得·卢什尼2014年9月10日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（-a（n+2））+a（n+1）*-迈克尔·索莫斯2014年9月13日
例子
G.f.=x+x ^2+3*x ^3+10*x ^4+43*x ^5+225*x ^6+1393 x ^7+9976*x ^8+。。。
MAPLE公司
如果n<=1，则
n；
其他的
（n-1）*进程名（n-1，n-2）；
结束条件：；
数学
表[永久[数组[KroneckerDelta[#1，#2]*（#1）+Kronecker Delta[#1，#2-1]+KronenckerDelta[1，#2+1]&，{n-1，n-1}]]，{n，2，30}](*约翰·坎贝尔，2011年7月8日*）
联接[{0}，递归表[{a[0]==1，a[1]==1；a[n]==na[n-1]+a[n-2]}，a[n]，{n，30}]](*哈维·P·戴尔，2011年8月14日*）
完全简化[表[2]（-BesselI[n，-2]BesselK[0，2]+BesselI[0，2]BesselK[n，2]），{n，0，20}]](*瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月5日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=contfracpnqn（向量（abs（n），i，i））[1,2]}/*迈克尔·索莫斯2005年9月25日*/
（哈斯克尔）
a001040 n=a001040_list！！n个
a001040_list=0:1:zipWith（+）
a001040_list（zipWith（*）[1..]$tail a001040-list）
（鼠尾草）
如果n<2：返回n
返回阶乘（n-1）*超几何（[1-n/2，-n/2+1/2]，[1，1-n，1-n]，4）
（岩浆）a:=[1,1]；[0]cat[n le 2在[1..23]]中选择[n]else（n-1）*Self（n-1，n-2）：n//马吕斯·A·伯蒂2019年11月19日
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