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A000254号 第一类无符号Stirling数s(n+1,2):a(n+1)=(n+1)*a(n)+n!。
(原名M2902 N1165)
+0个
172
0, 1, 3, 11, 50, 274, 1764, 13068, 109584, 1026576, 10628640, 120543840, 1486442880, 19802759040, 283465647360, 4339163001600, 70734282393600, 1223405590579200, 22376988058521600, 431565146817638400, 8752948036761600000, 186244810780170240000 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,3
评论
正好有两个循环的n+1元素的排列数。
[n]的所有排列中的循环数。例如:a(3)=11,因为排列(1)(2)(3)、(1)-Emeric Deutsch公司2004年8月12日
的行总和A094310号:在对称群S_n中,每个置换因子成k个独立的圈;a(n)=总和k除以S_n.-哈雷-弗兰德(哈雷(AT)umich.edu),2004年6月28日
最后一列的顶层与高度n的所有装饰性多柱体的总和。装饰性多柱体是一种定向柱形凸面多柱体,其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中达到。例如:a(2)=3,因为高度为2的装饰多面体是垂直和水平多米诺骨牌,其最后一列的标高分别为2和1-Emeric Deutsch公司2006年8月12日
对于所有n>=6的复合物,a(n)可被n整除。a(2*n)可被2*n+1整除-勒罗伊·奎特2007年5月20日
对于n>=2,n-1 X n-1矩阵M(i,j)的行列式=i+2,对于i=j,则为1(i,j=1..n-1)。例如,对于n=3,[(3,1),(1,4)]的行列式。参见第53次普特南考试,1992年,问题B5-弗兰兹·弗拉贝克,2008年1月13日,2008年3月26日
当我们对调和序列中的项求和(无需简化)时,分数的分子。(1 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2; 3/2 + 1/3 = 9/6 + 2/6 = 11/6; 11/6 + 1/4 = 44/24 + 6/24 = 50/24;...). 这个分数的分母是n*A000142号. -埃里克·德斯比亚2009年1月7日
高阶指数积分E(x,m=2,n=1)~exp(-x)/x^2*(1-3/x+11/x^2-50/x^3+274/x^4-1764/x^5+13068/x^6-…)的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号A028421号了解更多信息-约翰内斯·W·梅耶尔2009年10月20日
a(n)是正好包含2个圈的[n+1]的置换数。例如:a(2)=3,因为置换(1)(23)、(12)(3)、(13)(2)是[3]仅有的两个循环的置换汤姆·伍德沃德(Tom Woodward(twoodward(AT)macalester.edu),2009年11月12日
除n=4外,如果n是复合的,则a(n)mod n=0,如果n为素数,则=n-1-加里·德特利夫斯2010年9月11日
a(n)是的倍数A025527号(n) -查尔斯·格里特豪斯四世2012年10月16日
调和数H(n)的分子=Sum_{i=1..n}1/i(未约化时)。请参见A001008号(Wolstenholme数)表示约化分子-拉胡尔·贾阿2015年2月18日
这个序列的斯特林变换是A222058型(n) (调和几何数)-安东·扎哈罗夫,2016年8月7日
a(n)是前n个数的(n-1)-st初等对称函数-安东·扎哈罗夫2016年11月2日
对数(x)的第n次迭代积分是x^n*(n!*log(x)-a(n))/(n!)^2+具有任意系数的n-1次多项式。这可以用递推关系a(n)=(n-1)!+来证明n*a(n-1)-莫森·马苏米(Mohsen Maesumi),2018年10月31日
素数p,使得p^3|a(p-1)是Wolstenholme素数A088164美元. -阿米拉姆·埃尔达尔托马斯·奥多夫斯基2019年8月8日
[n]的所有排列中从左到右的最大值(或最小值)的总数。a(3)=11=3+2+2+1+1:(1)(2)(3),(1)-阿洛伊斯·海因茨,2020年8月1日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第833页。
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高善珍,限制结构排列(筹)。
K.Javorszky,《自然秩序:自然秩序》,2016年,ISBN 978-3-99057-139-2。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
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链接
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J.-L.Baril和S.Kirgizov,置换的纯下降统计量,预印本,2016年。
FindStat-组合统计查找器,置换的循环分解中的循环数.
INRIA算法项目,组合结构百科全书31.
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔,简单的标记网格图案,arXiv:12011.1323[math.CO],2012年。
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔,象限标记网格图案,J.国际顺序。15 (2012), #12.4.7.
Chanchal Kumar和Amit Roy,整数序列与单项式理想,arXiv:2003.10098[math.CO],2020年。
米尔恰·梅尔卡,完全对称函数和初等对称函数的一些实验《匈牙利数学周期》,69(2014),182-189。
小约翰·A·罗乔维奇。,调和数:见解、近似和应用《教育电子表格》(eJSiE),8(2)(2015),第4条。
N.A.Rosenberg,遗传标记对祖先推断的信息性,《美国人类遗传学杂志》73(2003),1402-1422。
M.D.Schmidt,广义j因子函数、多项式及其应用,J.国际顺序。13(2010),#10.6.7,第4.3.2节。
J.Ser,工厂会计1933年,巴黎,戈瑟·维拉斯[当地副本]。
J.Ser,工厂会计.(某些选定页面的注释扫描)
配方奶粉
设P(n,X)=(X+1)*(X+2)*(X+3)**(X+n);则a(n)是X的系数;或a(n)=P'(n,0)-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月9日
求和{k>0}a(k)*x^k/k^2=经验(x)*(总和{k>0}(-1)^(k+1)*x^k/(k*k!))-迈克尔·索莫斯2004年3月24日;已由更正沃伦·史密斯2006年2月12日
a(n)是x^(n+2)在(-log(1-x))^2中的系数,乘以(n+2)/2
a(n)=n!*求和{i=1..n}1/i=n!*H(n),式中=A001008号(n)/A002805号(n) 是第n次谐波数。
a(n)~2^(1/2)*Pi^(1/2)*log(n)*n^(1/1)*e^-n*n^n.-乔·基恩(jgk(AT)jgk.org),2002年6月6日
例如:log(1-x)/(x-1)。(=(log(1-x))^2/2,如果偏移量为1)-迈克尔·索莫斯2004年2月5日
具有递推的D-有限:如果n>1,a(n)=a(n-1)*(2*n-1)-a(n-2)*(n-1)^2-迈克尔·索莫斯2004年3月24日
a(n)=A081358号(n)+A092691号(n) -Emeric Deutsch公司2004年8月12日
a(n)=n*和{k=1..n}(-1)^(k+1)*二项式(n,k)/k-弗拉德塔·约沃维奇2005年1月29日
p^2将a(p-1)除以素数p>3。a(n)=(求和{i=1..n}1/i)/产品{i=1.n}1/i-亚历山大·阿达姆楚克2006年7月11日
a(n)=3*A001710号(n) +2个*A001711号(n-3)对于n>2;例如,11=3*3+2*1,50=3*12+2*7,274=3*60+2*47-加里·德特利夫斯2010年5月24日
a(n)=A138772号(n+1)-A159324号(n) -加里·德特利夫斯2010年7月5日
a(n)=A121633号(n)+A002672号(n) -加里·德特利夫斯2010年7月18日
a(n+1)=和{i=1..层((n-1)/2)}n/((n-i)*i)+总和{i=天花板(n/2)..地板(n/2/(2*(n-i)*i)-山珍高2010年9月14日
发件人加里·德特利夫斯2010年9月11日:(开始)
a(n)=(a(n-1)*(n^2-2*n+1)+(n+1)!)/(n-1)对于n>2。
除n=2外,如果n是复合的,则(a(n+1)^2-a(n)^2)mod n^2=0,如果n为素数,则4*n。
似乎,除了n=2,(a(n+1)^3-a(n)^2)mod n=0(如果n是复合的)和n-2(如果n是素的)。
除n=2外,如果n是复合的,则(a(n)^2+a(n+1)^2)mod n=0,如果n为素数,则mod n=2。(结束)
a(n)=积分{x=0..oo}(x^n-n!)*log(x)*exp(-x)dx-格鲁·罗兰2011年3月28日
a(n)=3*n/2+2*(n-2)*n>=2时,求和{k=0..n-3}二项式(k+2,2)/(n-2-k)-加里·德特利夫斯2011年9月2日
a(n)/(n-1)!=ml(n)=n*ml(n-1)/(n-1。ml的G.f:x*(1-log(1-x))/(1-x)^2-保罗·魏森霍恩2011年11月18日
a(n)=det(|S(i+2,j+1)|,1<=i,j<=n-2),其中S(n,k)是第二类斯特林数-米尔恰·梅尔卡2013年4月6日
例如:x/(1-x)*E(0)/2,其中E(k)=2+E(k+1)*x*(k+1/(k+2)-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2013年6月1日[编辑:迈克尔·索莫斯2013年11月28日]
0=a(n)*(a(n+4)-6*a(n+3)+7*a(n+2)-a(n+1))-a-迈克尔·索莫斯2013年11月28日
对于计算序列的简单方法,乘以n!通过(1-x^n)/(1-x)dx的0到1的积分-拉胡尔·贾阿2015年2月18日
发件人伊利亚·古特科夫斯基2016年8月7日:(开始)
的二项式逆变换A073596号.
a(n)~sqrt(2*Pi*n)*n^n*(log(n)+gamma)/exp(nA001620号.(结束)
a(n)=((-1)^(n+1)/2*(n+1”)*Sum_{k=1..n}k*Bernoulli(k-1)*Stirling1(n,k)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年11月20日
a(n)=(n)!*(digamma(n+1)+gamma),其中gamma是Euler-Marcheroni常数A001620号. -佩德罗·卡塞雷斯,2018年3月10日
发件人安迪·尼科尔,2021年10月21日:(开始)
伽马射线'(x)=a(x-1)-(x-1)*gamma,其中gamma'(x)是gamma函数在正整数处的导数,gamma是Euler-Mascheroni常数。例如。:
伽马'(1)=-伽马,伽马',
伽马'(22)=186244810780170240000-51090942171709440000*伽马。(结束)
发件人彼得·巴拉,2022年2月3日:(开始)
以下都是推测:
例如:对于非零m,(1/m)*Sum_{n>=1}(-1)^(n+1)*(1/n)*二项式(m*n,n)*x^n/(1-x)^11*x^3/3!+50*x^4/4!+。。。。
对于非零m,a(n)=(1/m)*n*求和{k=1..n}(-1)^(k+1)*(1/k)*二项式(m*k,k)*二项式(n+(m-1)*k,n-k)。
a(n)^2=(1/2)*n^2*Sum_{k=1..n}(-1)^(k+1)*(1/k+2)*二项式(n,k)*二项式(n+k,k)。(结束)
发件人梅利卡·特布尼,2022年6月20日:(开始)
a(n)=-求和{k=0..n}k*A021009型(n,k+1)。
a(n)=和{k=0..n}k*A094587号(n,k+1)。(结束)
a(n)=n!*1/(1-1 ^2/(3-2 ^2/-彼得·巴拉2024年3月16日
例子
(1x)^-1*(-log(1-x))=x+3/2*x^2+11/6*x^3+25/12*x^4+。。。
G.f.=x+x^2+5*x^3+14*x^4+94*x^5+444*x^6+3828*x^7+25584*x^8+。。。
MAPLE公司
A000254号:=proc(n)选项记忆;如果n<=1,则n其他n*A000254号(n-1)+(n-1!;fi;结束:seq(A000254号(n) ,n=0..21);
a:=n->加(n!/k,k=1..n):序列(a(n),n=0..21)#泽因瓦利·拉霍斯2008年1月22日
数学
表[(PolyGamma[m]+EulerGamma)(m-1)!,{m,1,24}](*沃特·梅森*)
表[n!*谐波数[n],{n,0,19}](*罗伯特·威尔逊v2005年5月21日*)
表[Sum[1/i,{i,1,n}]/乘积[1/i、{i、1、n}],{n,1,30}](*亚历山大·阿达姆楚克2006年7月11日*)
Abs[StirlingS1[范围[20],2]](*哈维·P·戴尔2011年8月16日*)
表[Gamma'[n+1]/。欧拉伽玛->0,{n,0,30}](*李涵2024年2月14日*)
黄体脂酮素
(MuPAD)A000254号:=进程(n)开始n*A000254号(n-1)+事实(n-1,end_proc):A000254号(1) := 1:
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,(n+1)!/2*和(k=1,n,1/k/(n+1-k))}/*迈克尔·索莫斯2004年2月5日*/
(Sage)[范围(1,22)中i的stirling_number1(i,2)]#泽因瓦利·拉霍斯2008年6月27日
(最大值)
a(n):=(-1)^(n+1)/2*(n+1”)*和(k*bern(k-1)*stirling1(n,k),k,1,n)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年11月20日*/
(岩浆)a:=[];对于[1..22]中的n,做一个:=一只猫[Abs(StirlingFirst(n,2))];结束;a//马吕斯·A·伯蒂2020年1月1日
交叉参考
带有标志:A081048美元.
三角形中的第1列A008969号.
的行总和A136662号.
关键词
非n,容易的,美好的,改变
作者
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经核准的
第页1

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