关键词：变更、安排、排列， 哈斯图，布尔代数，阶乘函数， 双因子，组合方案，OEIS
变更方案 根据Donald E.Knuth 18和19世纪的说法 组合学家称之为非空子集的置换数 n个不同对象的{1，…，n}“变体”。 在这个意义上，我们使用 这个术语在这里。 我们的出发点是以下简单的方案，它创建了 变体。 这可能是第一次讨论， 在 de.sci.matmatik软件 2003年6月7日（线程“Variatio delectat”）。 v（x）=如果x<=1，则x其他x+v（x-1）*x 变量方案（k，n）=k^（n+1）*v（n+1/k） 简而言之[Thomas Mautsch]： 变量方案（k，n）=（n*k+1）*（变量方案（k，n-1）+k^n）， VarScheme（k，0）=1。 n>=0-> [k=0]1，1，1 【k=1】1、4、15、64、325、1956、13699、109600、986409 【k=2】1、9、65、511、4743、52525、683657、10256775、174369527 【k=3】1、16、175、2020、27313、440896、8390875、184647364、4616348125 [k=4]1，25，369，5629，100045，2122449，53163625，1542220261，50895431301 [k=5]1、36、671、12736、280581、7376356、229151411、8252263296、338358810761 开始观察到第二行（k=1）是一个经典序列 计算 n个 不同的对象。 我们的目标是研究第三个 行（k=2），我们称之为“双变量”，将它们与“双变量 阶乘'或'半变量'，因为半积分值 n+1/2 在这个序列中起着核心作用。 但是，还要注意这些列。 VarScheme（k，1）是正方形。 此外，数字VarScheme（k，2）也是众所周知的：它们是“菱形” 十二面体数字'n^4-（n-1）^4，在OEIS上以序列A005917列出。 我们还看到，正如托马斯·莫奇所评论的那样 VarScheme（k，n）是k中的一个多项式，可被（n*k+1）整除。 （k>=0） 变量方案（k，0）=（0*k+1）*（0*k ^0+1）=1，1，1，。。 变量方案（k，1）=（1*k+1）*（1*k ^1+1）=1，4，9，16，。。 变量方案（k，2）=（2*k+1）*（2*k ^2+2*k+1）=1，15，65，175，。。 变量方案（k，3）=（3*k+1）*（5*k^3+6*k^2+4*k+1，。。
OEIS-id:A007526 [摘录] （1）名称：n个不同对象的变化 （2）值（n>=0）：0，1，4，15，64，325，1956，13699，109600，986409，。。 （3）ClosedForm:a（n）=总和（k=0..n，n！/k！）-1； （4）递归形式：a（n）=n（a（n-1）+1），a（0）=0。 （5）广义形式：对于x>0 a（x）=exp（1）*积分{t=0..inf}exp（-exp（t/x）+t）dt （6）注释：a（n）=楼层（e*n！-1） （7）egf（x）=x*exp（x）/（1-x） （8）IsSpecialCaseOf：a（n）=可变方案（1，n） （9）组合解释： {1，…，n}的非空子集的置换数。 具有n个或更少项的非空序列数， 每个元素都是{1，…，n}的不同元素。 例如n=3:1,2,3,12,21,13,31,23,32132231213312321
OEIS-id:A128195 （1）名称：对半变更 （2）数值（n>=0）：1、9、65、511、4743、52525、683657、10256775、174369527、， （3）封闭式： a（n）=（2n+1）/ （n！2^n）和（k=0..n，4^k*k！/（2k）！） [戈特弗里德·赫尔姆斯] a（n）=2^n（2n+1）和（k=0..n，伽马（n+1/2）/伽马（k+1/2）） a（n）=2^（n+1）伽马（n+3/2）和（k=0..n，1/伽马（k+1/2）） a（n）=A128196（n）*A005408（n） a（n）=A128196（n+1）-A000079（n+1 （4）递归形式： a（n）=2^（n+1）*v（n+1/2），v（x）=如果x<=1，则x其他x（v（x-1）+1）。 a（n）=（2n+1）*（a（n-1）+2^n），a（0）=1[Wolfgang Thumser] 注：以下常数将在下一个公式中使用。 K=（1-exp（1）*伽马（1/2,1））/伽马（1/2） M=平方（2）（1+经验（1）（伽马（1/2）-伽马（1/2,1））） （5）广义形式：对于x>0 a（x）=2^（x+1）（x+1/2）（经验（1）伽马（x+1/2.1）+K伽马（x+1/2）） （6）渐近公式： a（n）~2^（n+5/2）*伽马（n+3/2） a（n）~（经验（1）+K）*2^（n+1）*（n+1/2）！ a（n）~M（2n+1）（2exp（-1）（n-1/（24*n+19/10*1/n）））^n （7）注释：a（n）和a（n+1）是相对素数。 （8）egf的密度：w'（1-2x）-3w=（8x+6）e^（2x）[Wolfgang Thumser] （9）枫树：a:=n->`如果`（n=0,1，（2*n+1）*（a（n-1）+2^n））； （10） 组合解释： 变量方案（k，n）=（n*k+1）*（变量方案（k，n-1）+k^n）， VarScheme（k，0）=1。 k | n-> [0] 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 [1] 1, 4, 15, 64, 325, 1956, 13699, 109600, 986409 [2] 1, 9, 65, 511, 4743, 52525, 683657, 10256775, 174369527 [3] 1, 16, 175, 2020, 27313, 440896, 8390875, 184647364, 4616348125 [4] 1, 25, 369, 5629, 100045, 2122449, 53163625, 1542220261, 50895431301 [5] 1, 36, 671, 12736, 280581, 7376356, 229151411, 8252263296, 338358810761 a（n）是该方案的第三行，a（n”）=VarScheme（2，n）。 第二行统计 n个 不同对象A007526。 第二列为序列A000290。 第三列为序列A005917。 如果用反对角线扫描这个方阵，就会得到三角形 126062。
OEIS-id:A128196 （1）名称：双重阶乘的加权和。 （2）值（n>=0）：1，3，13，73，527，4775，52589，683785，10257031，。。。 （3）封闭形式： a（n）=（2n）/ （n！2^n）和（k=0..n，4^k k！/（2k）！） a（n）=2^n伽马（n+1/2）和（k=0..n，1/伽马（k+1/2）） a（n）=总和（k=0..n，2^k n！！/k！！） [n！！定义为A001147（n），Gottfried Helms] a（n）=总和（k=0..n，2^（2k-n）（（n+1）！ 加泰罗尼亚语（n））/（（k+1）！ 加泰罗尼亚语（k）） [加泰罗尼亚语（n）A000108] a（n）=求和（k=0..n，2^（2k-n）QuadFact（n）/QuadFact（k）） [四元事实（n）A001813] a（n）=总和（k=0..n，2^（2k-n）（-1）^（n-k）A097388（n）/A097388（k）） a（n）=A001147（n）总和（k=0..n，2^k/A001147（k）） a（n）=A128195（n）/A005408（n） a（n）=A128195（n-1）+A000079（n）（如果n>0） （4）递归形式：a（n）=（2n-1）*a（n-1）+2^n； a（0）=1 [戈特弗里德·赫尔姆斯] 注：以下常数将在下一个公式中使用。 K=（1-exp（1）*伽马（1/2,1））/伽马（1/2） M=平方（2）（1+经验（1）（伽马（1/2）-伽马（1/2,1））） （5）广义形式：对于x>0 a（x）=2^x（exp（1）*伽玛（x+1/2.1）+K*伽马（x+1/2）） （6）渐近公式： a（n）~2^n*（1+（经验（1）+K）*（n-1/2）！） a（n）~M（2exp（-1）（n-1/（24*n+19/10*1/n）））^n （7）注释：a（n）和a（n+1）是相对素数。 （8）枫树：a:=n->`如果`（n=0,1，（2*n-1）*a（n-1）+2^n）； （9）组合解释： a（n）是以下三角形T（n，k）（n，k>=0）中的行之和 1 1, 2 3, 6, 4 15, 30, 20, 8 105, 210, 140, 56, 16 945、1890、1260、504、144、32 10395, 20790, 13860, 5544, 1584, 352, 64 135135, 270270, 180180, 72072, 20592, 4576, 832, 128 第一列为A001147，第二列为A097801。 对角线为A000079，子对角线是A014480。 设G是矩阵（n！！定义为A001147（n），-1！！= 1). (-1)!!/ (-1)!! 1!!/ (-1)!! 1!!/ 1!! 3!!/ （-1）！！ 3!!/ 1!! 3!!/ 三！！ 5!!/ (-1)!! 5!!/ 1!! 5!!/ 三！！ 5!!/ 5!! ..... 设H为对角矩阵diag（1,2,4,8，…）。 那么T=G*H
对A000522的评论 序列A000522统计 包含n个元素的集合。 1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700,... a（n）是以下三角形a（n，k）中的行之和（n，k>=0） [A094587，也可参见A008279“置换系数”三角形， 一次n个事物k的排列数。] 1 1, 1 2, 2, 1 6, 6, 3, 1 24, 24, 12, 4, 1 120、120、60、20、5、1 720, 720, 360, 120, 30, 6, 1 5040, 5040, 2520, 840, 210, 42, 7, 1 将列乘以1、2、4、8、16，。。。 我们分别发现 以下三角形B（n，k）（n，k>=0）对应于 上述三角形T（n，k）（A128196）。 事实上 通信只不过是一个形式替换n！-> 不！！。 1 1, 2 2, 4, 4 6, 12, 12, 8 24、48、48、32、16 120, 240, 240, 160, 80, 32 720, 1440, 1440, 960, 480, 192, 64 5040, 10080, 10080, 6720, 3360, 1344, 448, 128 看看这个三角形中的行的总和，我们会发现序列 1, 3, 10, 38, 168, 872, 5296, 37200, 297856,... 在OEIS的帮助下，我们可以将该序列识别为A010842。 Ross La Haye将此序列描述为行走的总次数 在n阶布尔代数的Hasse图中 A000522的二项式变换。 此外，我们被Ross La Haye路由到序列A090802 它以H（n，k）=B（n，n-k）的形式显示三角形B。 H（n，k）是 n阶布尔代数。
安排方案 此处使用的术语“安排”与使用的含义类似 当我们说序列A000522计算 具有n个元素的集合的排列。 以下简单方案与 变化并创建排列的变化。 ArrScheme（k，n）=变量方案（k，n-1）+k^n，ArrSchema（k，0）=1。 VarScheme（k，n）=（n*k+1）*（VarSchema（k，n-1）+k^n），VarScheem（k，0）=1。 n>=0-> [k=0]1，1，1 【k=1】1、2、5、16、65、326、1957、13700 【A000522】 [克=2]1、3、13、73、527、4775、52589、683785 【A128196】 [克=3]1，4，25，202，2101，27556，441625，8393062 [k=4]1、5、41、433、5885、101069、2126545、53180009 [k=5]1、6、61、796、13361、283706、7391981、229229536 [k=6]1、7、85、1321、26395、667651、20743837、767801905 [k=7]1、8、113、2038、47237、1386680、50038129、2152463090 我们观察到第二行（k=1）是经典的序列计数 具有n个元素A000522和第三行（k=2）的集合的排列 是我们在上面详细讨论过的序列A128196。 如果我们用反对偶扫描这个方阵，它将被写为 1, 1、1， 1, 2, 1, 1、3、5、1， 1, 4, 13, 16, 1, 1, 5, 25, 73, 65, 1, 1, 6, 41, 202, 527, 326, 1, 1, 7, 61, 433, 2101, 4775, 1957, 1, 在该表中，安排方案列为A128198 变更方案对应项列为A126062。
阶乘（k，n）与变异（k，n）之间的关系 和排列（k，n）。 广义阶乘函数与 变异序列的推广 安排是这里考虑的最重要的关系。 让我们在一个系统的框架内对其进行审查。 首先定义函数阶乘（n，k）。 fk（k，n）=（k*n）/ （n*（k-1））* k ^n） f1（n）=（1*n）/ （（n*0）* 1 ^n） f2（n）=（2*n）/ （（n*1）* 2 ^n） 注意，f1（n）=fk（1，n）=n！ f2（n）=fk（2，n）=n！！ 给n！！ 表示序列A001147（n>=0）=1,1,3,15105945，。。。 现在我们可以用一种统一的方式来说明 调查： var1（n）=（1*n+1）*总和（k=0..n，1^k*f1（n）/f1（k）） var2（n）=（2*n+1）*总和（k=0..n，2^k*f2（n）/f2（k）） 这两个身份的形式对应描述于 简单介绍一下我们的发现。 序列（变量1（n））~A007526=1,4,15,643251956，。。。 序列（变量2（n））=A128195=1,9,6551147435252，。。。 此外，在不考虑因子（k*n+1）的情况下，我们发现了一个推广 具有n个元素的集合的排列数。 arr1（n）=总和（k=0..n，1^k*f1（n）/f1（k）） arr2（n）=总和（k=0..n，2^k*f2（n）/f2（k）） 这一次，可以在OEIS上找到以下通信： 序列（arr1（n））=A000522=1,2,5,16,653261957，。。。 序列（arr2（n））=A128196=1,3,13,735274775，。。。 令人惊讶的是，这种联系似乎还没有被研究过 之前。 序列A128195和A128196已发布 2007年2月25日在OEIS举行。
渐近 设l（n）=伽马（1/2）+经验（1）（伽马（n+1/2.1） /伽马（n+1/2）-伽马（1/2,1）/伽马（1/2））。 L=极限（n=无穷大，L（n）） =exp（1）+（1-exp（1）*伽玛（1/2.1））/伽玛（1/2） =表层（[1]，[1/2]，1）/伽马（1/2） = 2.8548878358509945178976165784229199... 由于A128195（n）=2^（n+1）伽马（n+3/2）和（k=0..n，1/伽马（k+1/2）） 并且l（n）=总和（k=0..n，1/Gamma（k+1/2）），我们有渐近关系 A128195约（n）~L*2^（n+1）*Gamma（n+3/2） A128195（20）=66354194462262066931070375 A128195约（20）~66354194462262066933269596 因此，A128195近似值（20）给出了近20个有效的十进制数字！ 同样，我们有 A128196大约（n）~2^n*（1+L*（n-1/2）！） A128196（20）=1618394986884440656855375 A128196约（20）~1618394986884440657957590 同样，基于一个非常简单的公式，这是一个非常好的近似值。 然而，如果想要避免计算阶乘函数 基于上述内容，还有另一个渐近近似值 近似和阶乘的渐近近似。 这个近似值可以作为luschny*（n） 近似 . 设M=sqrt（2）*（1+exp（1）*（伽马（1/2）-伽马（1/2,1）） = 7.1561425702442093683438 然后 A128196初始值（n）=M（2exp（-1）（n-1/（24*n+19/10*1/n））^n 例如A128196（20）=.16183949868*10^25 A128196临时（20）~.16183949871*10^25 但自A128195（n）=（2n+1）A128196（n A128195（n）的渐近近似。 A128195症状（n）=M（2n+1）（2exp（-1）（n-1/（24*n+19/10*1/n））^n 例如A128195（20）=.66354194462*10^26 A128195临时（20）~.66354194475*10^26
附录 考虑一个圆中n个和弦的排列 十字路口。 这是这些的开始 分区 共n个！！。 事情很快就会变得很难计算。 在这里，前10种情况， 与6+1/2例 A067311号 . 1 = 1, 三 = 2+1, 15 = 5+6+3+1, 105 =14+28+28+20+10+4+1， 945 = 42+120+180+195+165+117+70+35+15+5+1, 10395 = 132+495+990+1430+1650+1617+1386+1056+726+451+252+126+56+21+6+1, 135135 = 429+2002+5005+9009+13013+16016+17381+16991+15197+12558+9646 +6916+4641+2912+1703+924+462+210+84+28+7+1, 2027025 = 1430+8008+24024+51688+89180+131040+169988+199264+214578 +214760+201460+178248+149464+119168+90540+65640+45438+30024+18908 +11320+6420+3432+1716+792+330+120+36+8+1, 34459425 = 4862+31824+111384+278460+556920+946764+1419432+1922904 +2394450+2775080+3021444+3112632+3051024+2858040+2567340+2217480 +1845486+1482264+1150220+862920+626076+439263+297891+195075+123165 +74817+43605+24293+12870+6435+3003+1287+495+165+45+9+1, 654729075 = 16796+125970+503880+1434120+3255840+6267492+10620240 +16240440+22810260+29809670+36604944+42558480+47132160+49961640 +50891880+49974237+47432550+43609845+38908580+33735735+28459530 +23380830+18719370+14612805+11125260+8261523+5983290+4224935 +2907190+1947880+1269466+803605+493240+292885+167770+92359+48620 +24310+11440+5005+2002+715+220+55+10+1. 另请参见： John Riordan，“和弦交叉点的分布 圆上2n点对”。计算数学， 第29卷，第129期（1975年1月），第215-222页
