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2的幂:a(n)=2^n。 (原名M1129 N0432)
+10 3158
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592
评论
2^0=1是2的唯一奇幂。
n个集合的子集数。
n有2^(n-1)个组合(有序分区)(参见Riordan示例)。这是优先标记序列的未标记模拟A000670号.
这也是1..n+1的弱单峰置换数,也就是只有一个局部最大值的置换数。例如,a(4)=16:12345、12354、12453、12543、13452、13542、14532和15432及其反转-乔恩·佩里2003年7月27日[证据:见下一行!另见A087783号.]
证明:n必须出现在某处,前面的子集有2^(n-1)个可能的选择。这些必须以递增顺序出现,其余必须以递减顺序跟随n。量化宽松政策-N.J.A.斯隆2003年10月26日
a(n+1)是不是任何数量(不同的)早期术语之和的最小数字。
最完美的数字被称为最小缺陷或轻微缺陷的数字(Singh 1997)。“近完美数”是指几乎完美数(sigma(n)=2n-1)和准完美数(sigma(n)=2n+1)吗?没有已知的准完美或最不丰富或稍过多的数字(Singh 1997)。
帕斯卡三角形第n行中的数字之和;(x+1)^n展开式中x的系数之和。
Collatz猜想(无论最初选择哪个正整数,冰雹序列最终将达到数字1)可以重述为(无论最初选定哪个正整数)。
用p(n)作为n的整数分区数,p(i)是n的第i个分区的部分数,d(i)为n的第i个分区的不同部分数,m(i,j(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!))-托马斯·维德2005年5月18日
n元集上对称和反对称的二元关系数。另外,n元集上对称、反对称和传递的二元关系数。
a(n)是包含n个加法的加法链最短的最大数-大卫·W·威尔逊2006年4月23日
对于n>=1,a(n)等于函数f:{1,2,…,n}->{1,2}的个数,使得对于{1,2,…,n}中的固定x和{1,2}中的固定y,我们有f(x)!=y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月27日
设P(A)是n元集A的幂集,则A(n)是P(A)的元素对{x,y}的个数,其中x=y-罗斯·拉海耶2008年1月9日
a(n)是用n个台阶跑上楼梯的不同方式的数量,台阶大小为1、2、3。。。和r(r<=n),其中顺序很重要,并且每个步骤的数量或大小没有限制-穆罕默德·阿扎里安2008年5月21日
a(n)是[n+1]上的置换数,使得每个初始段都是整数区间。例如:a(3)计数1234、2134、2314、2341、3214、3241、3421、4321。映射“p->p的上升”是这些置换到[n]子集的双射。置换p的上升是一个位置i,使得p(i)<p(i+1)。所示排列分别映射到123、23、13、12、3、2、1和空集-大卫·卡伦2008年7月25日
a(n)似乎与修改后的一元数的除数相匹配(不包括2、3和5)。检查的范围非常有限,如PARI示例所示-比尔·麦克阿欣2008年10月29日
连续k,使得phi(k)/k=1/2,其中phi是Euler的总方向函数-阿图尔·贾辛斯基2008年11月7日
对于n>=0,a(n)是高度为n的完整二叉树中的叶子数。对于n>0,a-K.V.Iyer公司2009年5月4日
n+1个元素的排列,其中没有元素在其原始位置的右边超过一个位置。例如,三个元素有4个这样的排列:123、132、213和312。四个元素的8个这样的排列是1234、1243、1324、1423、2134、2143、3124和4123-乔格·阿恩特2009年6月24日
这些是2-光滑数,是没有素因子大于2的正整数-迈克尔·波特,2009年10月4日
a(n)是最大的数字m,使得从r=m开始达到1所需的{r-(最大除数d<r)}的迭代步数等于n。示例(a(5)=32):32-16=16;16 - 8 = 8; 8 - 4 = 4; 4 - 2 = 2; 2 - 1 = 1; 数字32具有5个步骤,并且是最大的这样的数字。请参见A105017标准,A064097号,A175125型. -雅罗斯拉夫·克里泽克2010年2月15日
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1,a(n)等于n的2色组成数,因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
等于A001405号用其右移变量卷积:(1+2x+4x^2+…)=(1+x+2x^2+3x^3+6x^4+10x^5+…)*(1+x+x^2+2x^3+3x^4+6x^5+…)-加里·亚当森2011年11月23日
n+1集合的奇数子集的数目。例如,{1、2、3、4}有2^3个奇数大小的子集,即{1}、{2}、}3}、[4]、{1,2,3},{1,2,4}、[1,3,4]和{2,3,4}。另外,请注意2^n=Sum_{k=1..floor((n+1)/2)}C(n+1,2k-1)-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
对于n>=1显然是一元字母表上不同有限语言的数量,其最小正则表达式的字母宽度为n(已验证为n=17),请参阅Gruber/Lee/Shallit链接-赫尔曼·格鲁伯,2012年5月9日
这是词典学上最早的序列,不包含长度为3的算术级数Daniel E.Frohardt,2013年4月3日
a(n-2)是{1..n}的双分区数(即将分区设置为两部分),使得1和2不在同一子集中-乔恩·佩里2013年5月19日
数n,使得第n个分圆多项式具有根mod 2;数n,使得第n个分圆多项式具有偶数个奇数系数-埃里克·施密特2013年7月31日
现在人们对非幂次-2“几乎完美数字”的了解更多,如Dagal所述-乔纳森·沃斯邮报,2013年9月1日
适合于n X n框的对称Ferrers图的数量-格雷厄姆·霍克斯2013年10月18日
编号n,使σ(2n)=2n+σ(n)-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
a(1)。。。,a(floor(n/2))是方阵集(0,1)上的所有永久值,n阶矩阵>=2,行和列和为2-弗拉基米尔·舍维列夫2013年11月26日
以2为基数展开的数字正好有一位设置为1,因此以2为底的数字之和等于1-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
a(n)是最大的数字k,使得(k^n-2)/(k-2)是一个整数(对于n>1);(k^a(n)+1)/(k+1)决不是整数(对于k>1和n>0)-德里克·奥尔2014年5月22日
小数列b(n)=最小数k>0,使得2^k以n个相同数字结尾,由{1,18,39}给出。重复数字分别为{2、4、8}。请注意,这些是2的连续幂(2^1,2^2,2^3),这些是只有一位数字的2(2^k,k>0)的幂。此外,这个序列是有限的。2的幂的n位结尾数,n个或更多数字id为4*5^(n-1)。因此,对于b(4)的存在,只需检查小于等于4*5^3=500的指数。由于b(4)不存在,显然不存在其他数字-德里克·奥尔2014年6月14日
使2^k以n个连续递减的数字结尾的最小数字k>0是由{1,5,25}给出的3个数字序列。连续递减的数字是{2,32,432}。2^k有100个不同的3位数结尾。没有k值可以使2^k以“987”、“876”、“765”、“654”、“543”、“321”或“210”结尾。2^k以'432'结尾的k值由25 mod 100给出。对于k=25+100*x,对于x={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…},紧接在“432”运行之前的数字分别为{4,6,8,0,2,4,6,8,0,2,…}。因此,我们看到“432”之前的数字永远不会是5。所以,这个序列是完整的-德里克·奥尔,2014年7月3日
a(n)是长度n避开经典意义上的231和321的排列数,它们是递增一元二叉树的宽度第一搜索读取单词。有关更多详细信息,请参阅避免231排列的条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日
这是一个B_2序列:对于i<j,差异a(j)-a(i)都是不同的。这里2*a(n)<a(n+1)+1,所以a(n-托马斯·奥多夫斯基2014年9月23日
a(n)计算图G(1-顶点;1-循环,1-循环)上的n次行走(闭合)-大卫·尼尔·麦格拉斯2014年12月11日
a(n-1)计算图G(1-顶点;1-循环,2-循环,3-循环,4-循环,…)上的行走次数(闭合)-大卫·尼尔·麦格拉斯2015年1月1日
b(0)=4;b(n+1)是不在序列中的最小数,使得b(n+1)-Prod_{i=0..n}b(i)除以b(n+1)-Sum_{i=0..n}b。则b(n)=a(n),对于n>2-德里克·奥尔2015年1月15日
a(n)计算长度为n+2的置换,其第一个元素为2,使得置换正好有一个下降-冉·潘2015年4月17日
a(0)-a(30)出现在旧巴比伦时期(约公元前1900-1600年)的碑文M 08613(参见CDLI链接)中,错误地出现了a(26)-a(30)-查尔斯·R·Greathouse IV2015年9月3日
单调映射f:[0..n]->[0..n]的个数,它们是序递增的(i<=f(i))和幂等的(f(f(i。换句话说,第n序数上的单数(视为词缀范畴)。任何单子f通过考虑其单子代数集=不动点{i|f(i)=i}来确定包含n的[0..n]的子集。相反,包含n的[0.n]的任何子集S通过函数i|->min{j|i<=j,j in S}确定[0.n]上的一个monad-诺姆·齐尔伯格2016年12月11日
考虑位于圆上的n个点。然后,对于n>=2,a(n-2)给出了用不相交弦连接两个相邻点的方法数-安东·扎哈罗夫2016年12月31日
满足本福德定律[Diaconis,1977;Berger-Hill,2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
另外,n个空图中独立顶点集和顶点覆盖的数量-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外,当n>4时,n减半立方体图中的最大团数-埃里克·韦斯特因2017年12月4日
与指数n-1的海藻代数相对应的n组分对数-尼克·迈尔斯,2018年6月25日
模a(n)的乘法整数群是循环的当且仅当n=0,1,2。对于n>=3,它是两个循环群的乘积-宋嘉宁,2018年6月27日
k^n是n X n矩阵M_(i,j)=二项式(k+i+j-2,j)-二项式的行列式(i+j-2,j),在这种情况下,k=2-托尼·福斯特三世2019年5月12日
a(n-1)是{1,2,…,n}的子集数,其中的元素是集合的大小。例如,对于n=4,a(3)=8,并且子集是{1}、{1,2}、}2,3}、[2,4}、[1,2,3}、[1,3,4]、{2,3,4}、{1,2,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
a(n)是具有231-avoiding的自逆(n+1)序置换数。例如,a(3)=8:[1234,1243,1324,1432,2134,2143,3214,4321]-宇春记2021年2月26日
对于任何固定的k>0,a(n)是用长度为1、2、…的平铺来平铺长度为n+1的条带的方法数。。。k、 其中长度k的平铺可以是黑色或白色,但第一个平铺不能是黑色-格雷格·德累斯顿和Bora Bursal,2023年8月31日
参考文献
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链接
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Eric Weistein的《数学世界》,二项式和
Eric Weistein的《数学世界》,二项式变换
Eric Weistein的《数学世界》,清空图形
Eric Weistein的《数学世界》,Erf公司
Eric Weistein的《数学世界》,分数部分
Eric Weistein的《数学世界》,半立方体图
Eric Weistein的《数学世界》,超立方体
Eric Weistein的《数学世界》,独立顶点集
Eric Weistein的《数学世界》,最小缺陷数
Eric Weistein的《数学世界》,最大团数
Eric Weistein的《数学世界》,幂分数部分
Eric Weistein的《数学世界》,顶点覆盖
配方奶粉
a(n)=2^n。
a(0)=1;a(n)=2*a(n-1)。
G.f.:1/(1-2*x)。
例如:exp(2*x)。
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)。
a(n+1)=a(n)XOR 3*a(n,其中XOR是二进制异或运算符-菲利普·德尔汉姆2005年6月19日
a(n)=箍筋S2(n+1,2)+1-罗斯·拉海耶2008年1月9日
a(n+2)=6a(n+1)-8a(n),n=1,2,3。。。a(1)=1,a(2)=2-尤拉门迪2008年8月6日
a(n)=ka(n-1)+(4-2k)a(n-2),对于任意整数k和n>1,其中a(0)=1,a(1)=2-杰姆·奥利弗·拉丰,2008年12月5日
a(n)=和{l_1=0..n+1}和{l_2=0..n}。。。求和{l_i=0..n-i}。。。求和{l_n=0..1}增量(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n),其中如果有l_i<=l_(i+1)和l_(i+1)!=否则,δ(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n)=1-托马斯·维德2009年2月25日
a(0)=1,a(1)=2;a(n)=a(n-1)^2/a(n-2),n>=2-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月22日
如果p[i]=i-1,并且A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i、j]=-1,(i=j+1),否则A[i和j]=0。那么,对于n>=1,a(n-1)=det a-米兰Janjic2010年5月2日
如果p[i]=Fibonacci(i-2),并且如果A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i、j]=-1,(i=j+1),否则A[i和j]=0。那么,对于n>=2,a(n-2)=det a-米兰Janjic2010年5月8日
倒数之和,1/1+1/2+1/4+1/8+…+1/(2^n)+…=2. -穆罕默德·阿扎里安2010年12月29日
a(n)=超几何([-n],[],-1)-彼得·卢什尼2011年11月1日
2^n=和{k=1..层((n+1)/2)}C(n+1,2k-1)-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
和{n>=1}mobius(n)/a(n)=0.10201133481781036474303639318-R.J.马塔尔2012年8月12日
例如:1+2*x/(U(0)-x),其中U(k)=6*k+1+x^2/(6*k+3+x^2/(6*k+5+x^ 2/U(k+1));(连分数,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月4日
a(n)=det(|s(i+2,j)|,1<=i,j<=n),其中s(n,k)是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月4日
a(n)=det(|ps(i+1,j)|,1<=i,j<=n),其中ps(n,k)是第一类Legendre-Sterling数(A129467号). -米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.:W(0),其中W(k)=1+2*x*(k+1)/(1-2*x*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月28日
a(n-1)=Sum_{t_1+2*t_2+…+n*t_n=n}多项式(t_1+t_2+…+t_n;t_1,t_2,…,t_n)-米尔恰·梅卡2013年12月6日
构造幂矩阵T(n,j)=[A^*j]*[S^*(j-1)],其中A(n)=(1,1,1,…)和S(n)=(0,1,0,0,…)(其中*是卷积运算)。那么a(n-1)=和{j=1..n}T(n,j)-大卫·尼尔·麦格拉斯2015年1月1日
和{n>=0}(-1)^n*a(n)/n!=经验(-2)=A092553号.(完)
通用格式:(r(x)*r(x^2)*r其中r(x)=A090129号(x) =(1+2x+2x^2+4x^3+8x^4+…)-加里·亚当森2016年9月13日
a(n)=n+1+Sum_{k=3..n+1}(2*k-5)*J(n+2-k),其中Jacobsthal数J(n)=A001045号(n) ●●●●-迈克尔·艾伦,2022年1月12日
积分{x=0..Pi}cos(x)^n*cos(n*x)dx=Pi/a(n)(见Nahin,第69-70页)-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年5月17日
例子
三元集{1,2,3}有2^3=8个子集,即{-,1,2,3,12,13,23,123}。
MAPLE公司
isA000079:=进程(n)
局部fs;
fs:=数量[系数集](n);
如果n=1,则
真;
elif nops(fs)<>1则
假;
elif op(1,fs)=2,则
真;
其他的
假;
结束if;
数学
表[2^n,{n,0,50}]
线性递归[{2},{2},{0,20}](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
系数列表[级数[1/(1-2x),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
嵌套列表[2#&,1,40](*哈维·P·戴尔2019年10月7日*)
黄体脂酮素
(PARI)单峰(n)=局部(x,d,um,umc);umc=0;对于(c=0,n!-1,x=numtoperm(n,c);d=0;um=1;对于(j=2,n),如果(x[j]<x[j-1],d=1);如果(x[j]>x[j-1]&&d==1,um=0);如果(um==0,中断);如果(um==1,打印(x));umc+=um);城市管理委员会
(PARI)x=1;对于(n=0,1000,写入(“b000079.txt”,n,“”,x);x+=x)\\哈里·史密斯2009年4月26日
(哈斯克尔)
a000079=(2^)
a000079_list=迭代(*2)1
(岩浆)[0..40]]中的[2^n:n//文森佐·利班迪2014年2月17日
(岩浆)[n le 2选择n else 5*自我(n-1)-6*自我(n-2):n in[1..40]]//文森佐·利班迪2014年2月17日
(Scala)(列表填充(20)(2:BigInt)).scanLeft(1:BigIn)(_*_)//阿隆索·德尔·阿特2020年1月16日
(Python)
定义a(n):返回1
打印([a(n)代表范围(34)中的n])#迈克尔·布拉尼基2022年7月28日
交叉参考
囊性纤维变性。A000225号,A038754号,A133464号,A140730型,A037124号,A001787号,A001788号,A001789号,A003472美元,A054849号,A002409号,A054851美元,A140325号,140354美元,A000041号,A152537号,A001405号,A007318号,A000120号,A000265号,A000593号,A001227号,A077020型,A077021号.
3的幂:a(n)=3^n。 (原名M2807 N1129)
+10 844
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987
评论
与Pisot序列E(1,3)、L(1,3)、P(1,3)、T(1,3)相同。基本上与活塞序列E(3,9),L(3,九),P(3,九),T(3,九月)相同。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
数量(0),s(1)。。。,s(2n+2)),使得0<s(i)<6和|s(i。。。,2n+2,s(0)=1,s(2 n+2)=3-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
a(1)=1,a(n+1)是使a(n)和a(n+1)之间有一个(n)偶数的最小数。k:1,k,k^2,k^3,k^4,…幂序列的推广。。。在a(n)和a(n+1)之间有一个k-1的(n)倍数-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月28日
其中p(n)是n的整数分区数,p(i)是n第i个分区的部分数,d(i)为n第i分区的不同部分数,m(i,j)是n第一个分区的第j部分的重数,和{i=1..p(n,一个有:a(n)=和{i=1..p(n)}(p(i)/(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!)*2^(p(i)-1)-托马斯·维德2005年5月18日
a(n-1)是组成成分的数量。通常,(k+1)^(n-1)是k级嵌套成分的数量(例如,4^(n-1)是成分组成的成分数量,等等)。元素之间的n-1个空格中的每一个都可以是k个级别中的一个级别的中断,或者根本不是中断-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年12月6日
设S是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P(a)上的二元关系,使得对于每个元素x,P(a)的y,如果x是y的子集,那么a(n)=|S|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
关于Ross La Haye的评论:
参考a(n+1)英寸A028243号如果考虑非空子集,并且x是y的适当子集(End)
如果X_1、X_2。。。,X_n是集合{1,2,…,2*n}划分成大小为2的块,然后,对于n>=1,a(n)等于函数f:{1,2,…,2*n}->{1,2}的数目,这样对于固定的y_1,y_2。。。,在{1,2}中有f(X_i)<>{y_i},(i=1,2,…,n)-米兰Janjic2007年5月24日
这是对所有正整数k的形式a(n)=[(2^k)-1]^n的所有序列的一般评论。Stanley的“枚举组合数学”的示例1.1.16提供了一个稍有不同的版本。a(n)在函数f:[n]的个数中变成P([k])-{}。a(n)也是进入P([n])的函数f:[k]的数量,使得对于[k]中的所有i,f(i)的广义交集是空集。其中[n]={1,2,…,n},P([n])是[n]的幂集,{}是空集-杰弗里·克雷策2009年2月28日
3^(n+1)=(1,2,2,…)点(1,1,3,9,…,3^n);例如,3^3=27=(1,2,2)点(1,1,3,9)=(1+2+6+18)-加里·亚当森2010年5月17日
a(n)是当存在3*2^i不同类型的i(i=1,2,…)时,n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
对于n>=1,a(n-1)是当存在2^(i-1)不同类型的i,(i=1,2,…)时n的广义组成数-米兰Janjic,2010年9月24日
所讨论的序列(“3的幂”)还描述了第k个磁盘解决[红色;蓝色;蓝色]或[红色;红色;蓝色]预先着色的河内磁塔谜题的移动次数(参见。A183111号-A183125号).
(1+x+x^2)^n的展开系数之和-阿迪·达尼2011年6月21日
a(n)是{0,1,2}中n个元素的组成数;例如,a(2)=9,因为存在9个成分0+0、0+1、1+0、0+2、1+1、2+0、1+2、2+1和2+2。[来自阿迪·达尼2011年6月21日;由编辑修改。]
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1,a(n)等于n的3色组成数,因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
由于前面的注释出现在大量序列中,因此可能需要添加一个证明。
n精确到k个部分的组成数是二项式(n-1,k-1)。
对于n的p色组成,使得没有相邻部分具有相同的颜色,第一部分的颜色正好有p个选择,每个附加部分的颜色(除了前一部分的颜色之外的任何颜色)有p-1个选择。所以,对于k部分的划分,有p(p-1)^(k-1)个有效的着色。
因此,n的p色组分精确到k个部分,使得相邻部分没有相同颜色,这是二项式(n-1,k-1)p(p-1)^(k-1)。
n的p色成分的总数,使得相邻部分没有相同的颜色
和{k=1..n}二项式(n-1,k-1)*p*(p-1)^(k-1)=p^n。
要了解这一点,请注意((p-1)+1)^(n-1)=Sum_{k=0..n-1}二项式(n-1,k)(p-1)^k1^。
(结束)
此外,矩阵的第一个和最小元素[1,sqrt(2);sqrt,2]^(n+1)-M.F.哈斯勒2011年11月25日
组成一个m(0,n)=m(n,0)=2^n的数组;m(i,j)等于m(i、j)左边的项与m(i和j)上面的项之和,即m。反对角线(n+1)中的项之和=4*a(n)-J.M.贝戈2013年7月10日
定义一个数组,使m(0,k)=2^k和m(n,k)=Sum_{c=0..k-1}m(n、c)+Sum_}r=0..n-1}m(r,k),这是m(n和k)左边的项加上m(n与k)上面的项之和。数组的行n=0包括A000079号,列k=0包括A011782号,行n=1包括A001792号数组的反对角线和为a(n):1=3^0,1+2=3^1,2+3+4=3^2,4+7+8+8=3^3-J.M.贝戈2013年8月2日
带有零值和o.g.f.x/(1-3*x^2),A(2*k)=0,A(2*k+1)=3^k=A(k),k>=0的序列可以称为六边形数。这是因为代数数rho(6)=2*cos(Pi/6)=sqrt(3)的2次,最小多项式C(6,x)=x^2-3(参见A187360型,n=6),是六边形中较小对角线和边的长度比。因此,ρ(6)^n=A(n-1)*1+A(n)*rho(6),在二次数域Q(rho(5))的幂基中。还需要A(-1)=1。另请参阅2010年12月2日的评论和P.Steinbach参考A049310美元. -Wolfdieter Lang公司2013年10月2日
对k进行编号,使σ(3k)=3k+σ(k)-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
3的所有幂都是完美数字(A082897号),因为当n>0时,φ(3^n)=2*3^(n-1),因此求和{i=0..n}φ(3|i)=3^n-阿隆索·德尔·阿特2014年4月20日
3^k以n个连续递减数字结尾的最小数字k>0是由{1,13,93}给出的一个3项序列。连续递增的数字是{3,23,123}。3^k有100个不同的3位数字结尾。没有k值可以使3^k以“012”、“234”、“345”、“456”、“567”、“678”或“789”结尾。3^k以“123”结尾的k值由93 mod 100给出。对于k=93+100*x,对于x={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…},“123”运行之前的数字分别是{9,5,1,7,3,9,9,5。因此,我们看到“123”之前的数字永远不会是0。所以没有其他条件了-德里克·奥尔,2014年7月3日
A^n的所有元素,其中A=(1,1,1;1,1,1,1;1,1,1)-大卫·尼尔·麦格拉斯2014年7月23日
计算长度为n(开放或闭合)的三角形顶点上的所有行走次数,该三角形包含从任何给定顶点开始的每个顶点处的循环-大卫·尼尔·麦格拉斯,2014年10月3日
a(n)计算图G上的行走次数(闭合)(1-顶点;1-循环,1-循环,1-loop)-大卫·尼尔·麦格拉斯2014年12月11日
2*a(n-2)计算距离三角形顶点长度(n)的孤立闭合游动的所有置换,该三角形在每个剩余顶点上包含2个循环。此外,C(m,k)=2*(2^m)*B(m+k-2,m)计算包含(m)个循环和(k)个弧的行走的置换-大卫·尼尔·麦格拉斯2014年12月11日
使三项式x^(2*n)+x^n+1在GF(2)上不可约的数n。其中只有n=1的三项式是原始的-乔格·阿恩特,2016年5月16日
满足Benford定律【Berger-Hill,2011年】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a(n-1)也是n的组成数,如果这些部分可以是从1到n的任意长度,并且可以包含从1到n的任意整数-格雷戈里·西蒙,2017年5月26日
同时给出了n阶梯级图nP_2中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外,还包括n-鸡尾酒会图中的团数(不一定是最大的)-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
a(n-1)是n的2-分量的数目;参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯,2020年8月15日
a(n)是n维超立方体的任何维度(顶点、边、正方形面等)的面的数量。例如,0维超立方体是一个点,它的唯一面是它自己。一维超立方体是一条直线,它有两个顶点和一条边。二维超立方体是一个正方形,它有四个顶点、四条边和一个正方面-凯文·朗2023年3月14日
a(n)是n个变量直到等价时的析取子句数。析取子句是l_1或…形式的命题公式。。。或l_m,其中l_1。。。,l_m是{x_1,…,x_n,NOT x_1,..,NOT x_n}中n个变量x_1的不同元素。。。x_n,同时不显示x_i和NOT x_i。对于每一个1<=i<=n,析取子句中既不能有x_i也不能有NOT x_i,只有x_i或NOT x_ i,所以这样的子句的数目是3^n。把n个变量的命题公式看作函数{0,1}^n->{0,1{,析取从句对应于一个函数f,使得0的反像的形式是a_1X。。。X A_n,其中A_i对于所有1<=i<=n都是非空的。由于每个A_i有3个选择({0}、{1}或{0,1}),我们还发现n个变量的析取子句的数目是3^n。
等价地,a(n)是n个变量的连接子句的数量。(结束)
有限子序列a(2),a(3),a(4),a(5)=9,27,81243是仅有的两个可以用简单多边形的所有内角(所有整数,以度为单位)形成的几何序列之一。另一个序列是A007283号(请参阅此处的注释)-费利克斯·胡贝尔2024年2月15日
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
T.Banchoff,计算高维立方体的面《超越第三维度:几何、计算机图形和更高维度》,科学美国图书馆,1996年。
A.博斯坦,格路组合的计算机代数S.éminaire de Combinatoire Ph.Flajolet,2013年3月28日。
Brian Hopkins和Stéphane Ouvry,多成分组合学,arXiv:2008.04937[math.CO],2020年。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
亚什·普里和托马斯·沃德,周期轨道的算法和增长,J.整数序列。,第4卷(2001年),第01.2.1号。
Eric Weistein的《数学世界》,独立顶点集
Eric Weistein的《数学世界》,阶梯横档图
Eric Weistein的《数学世界》,顶点覆盖
Doron Zeilberger,惊人3^n定理及其更惊人的证明[由Xavier G.Viennot和他的爱科尔Bordelaise帮派发现],arXiv:1208.2258, 2012.
配方奶粉
a(n)=3^n。
a(0)=1;a(n)=3*a(n-1)。
G.f.:1/(1-3*x)。
例如:exp(3*x)。
a(n)=n*和{i+j+k=n,i,j,k>=0}1/(i!*j!*k!)-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月1日
a(n)=和{k=0..n}2^k*二项式(n,k),的二项式变换A000079号.
a(n)=2*搅拌S2(n+1,3)+搅拌S2-罗斯·拉海耶2008年6月26日
a(n)=2*斯特林S2(n+1,3)+斯特林S2(n+2,2)=2*(斯特林S2(n+1,3)+斯特林S2(n+1,2))+1-罗斯·拉海耶2008年6月9日
和{n>=0}1/a(n)=3/2-加里·亚当森,2008年8月29日
如果p(i)=Fibonacci(2i-2),并且如果A是由A(i,j)=p(j-i+1),(i<=j),A(i、j)=-1,(i=j+1)和A(i和j)=0定义的n阶Hessenberg矩阵,否则,对于n>=1,A(n-1)=det A-米兰Janjic2010年5月8日
2/3 + 3/3^2 + 2/3^3 + 3/3^4 + 2/3^5 + ... = 9/8. [Jolley,系列总结,多佛,1961]
求和{n>0}Mobius(n)/a(n)=0.181995386702633887827…(参见A238271型). -阿隆索·德尔·阿特2012年8月9日。另请参见J.Chem表V中的钠3s轨道能量。物理学。53 (1970) 348.
a(n)=(tan(Pi/3))^(2*n)-伯纳德·肖特2022年5月6日
a(n-1)=二项式(2*n-1,n)+和{k>=1}二项式[2*n,n+3*k)*(-1)^k-格雷格·德累斯顿2022年10月14日
通用公式:和{k>=0}x^k/(1-2*x)^(k+1)-凯文·朗2023年3月14日
例子
G.f.=1+3*x+9*x^2+27*x^3+81*x^4+243*x^5+729*x^6+2187*x^7+。。。
数学
系数列表[系列[1/(1-3 x),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*)
嵌套列表[3#&,1,30](*哈维·P·戴尔2020年2月20日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
(Maxima)标记列表(3^n,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/
(Scala)val powersOf3:LazyList[BigInt]=LazyList.iterate(1:BigInt)(_*3)
(Python)
1, 2, 4, 8, 61, 23, 46, 821, 652, 215, 4201, 8402, 6904, 2918, 48361, 86723, 63556, 270131, 441262, 882425, 6758401, 2517902, 4034914, 8068838, 61277761, 23445533, 46880176, 827712431, 654534862, 219078635, 4281473701, 8463847412
链接
N.J.A.斯隆,激励数序列(谈话视频),2021年3月5日。
MAPLE公司
a: =n->(s->解析(cat(s[-i]$i=1.length(s)))(“”||(2^n)):
数学
表[FromDigits[Reverse[IntegerDigits[2^n]],{n,0,35}](*文森佐·利班迪2020年1月22日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
(PARI)rev(n)=subst(Polrev(数字(n)),'x,10)
(岩浆)[塞钦特(反转(Intseq(2^n))):n in[0..35]]//文森佐·利班迪2020年1月22日
(Python)
返回int(str(2**n)[::-1])#柴华武2021年2月19日
1, 2, 4, 8, 61, 221, 244, 884, 8671, 24371, 24784, 86594, 881371, 2472671, 2435494, 8890784, 86518771, 245730371, 247064194, 883821494, 8892467671, 24353948771, 24579870784, 86514795194, 883095920371, 2470481916671, 2433383690494
数学
NestList[FromDigits[Reverse[Integer Digits[2#]]&,1,27]
NestList[IntegerReverse[2#]&,1,30](*需要Mathematica版本10或更高版本*)(*哈维·P·戴尔2017年6月18日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a036447 n=a036447_列表!!n个
扩展
更多来自Larry Reeves(larryr(AT)acm.org)的条款,2000年3月31日
1, 3, 9, 72, 612, 6381, 34191, 375201, 3065211, 3365919, 75779001, 300733722, 661102209, 7266033891, 37610189712, 631965038211, 3364115985981, 34975974329001, 300789229729401, 302881986763209, 726982069546809
数学
a[n_]:=a[n]=如果[n==1,1,IntegerReverse[3a[n-1]];
1, 3, 9, 72, 18, 342, 927, 7812, 1656, 38691, 94095, 741771, 144135, 3234951, 9692874, 70984341, 12764034, 361041921, 984024783, 7641622611, 1044876843, 30235306401, 90695018313, 72887134149, 184635924282, 344906882748, 9238285681452, 7894847955267
MAPLE公司
a: =n->(s->解析(cat(s[-i]$i=1..长度))(“”||(3^n)):
数学
表[FromDigits[Reverse[IntegerDigits[3]]],{n,0,26}](*阿隆索·德尔·阿特,2014年4月4日*)
黄体脂酮素
(Python)
返回int(str(3**n)[::-1])#柴华武,2021年2月19日
a(0)=1;此后a(n)=3×a(n-1),数字重新排列成非递减顺序。
+10 15
1, 3, 9, 27, 18, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135
配方奶粉
通用格式:(-117*x^6-18*x^5-9*x^4-24*x^3-8*x^2-3*x-1)/(x^2-1)-柴华武2018年11月20日
数学
A321542list[nmax_]:=PadRight[{1,3,9,27,18},nmax+1,{135,45}];A321542列表[100](*保罗·沙萨,2023年8月10日*)
1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 128, 256, 125, 124, 248, 469, 1289, 13468, 23678, 35566, 11237, 122446, 224588, 145678, 122579, 134449, 368888, 11266777, 23334455, 1466788, 112234778, 234455668, 12356789, 112344778, 1234446788, 2244667999
评论
前导零被丢弃(例如,2^23=8388608->0368888变为368888)。
MAPLE公司
a: =n->解析(cat(sort(convert(2^n,base,10))[]):
数学
表[FromDigits[Sort[IntegerDigits[2^n]]],{n,0,40}](*哈维·P·戴尔2013年8月20日*)
黄体脂酮素
(Magma)[Seqint(反转(排序(Intseq(2^n)))):n在[0..35]]中//文森佐·利班迪2020年1月22日
(Python)
return int(“”.join(已排序(str(2**n)))#柴华武2021年2月19日
1, 2, 4, 8, 61, 32, 64, 821, 652, 521, 4210, 8420, 9640, 9821, 86431, 87632, 66553, 732110, 644221, 885422, 8765410, 9752210, 9444310, 8888630, 77766211, 55443332, 88766410, 877432211, 866554432, 987653210, 8774432110, 8876444321
MAPLE公司
a: =n->parse(cat(sort(convert(2^n,base,10),`>`)[]):
数学
FromDigits[Reverse[Sort[IntegerDigits[#]]]和/@(2^范围[0,40])(*哈维·P·戴尔2020年3月6日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[Seqint(Sort(Intseq(2^n))):[0.31]]中的n//马吕斯·A·伯蒂2019年10月6日
(Python)
return int(“”.join(已排序(str(2**n),reverse=True))#柴华武2021年2月19日
a(n)是2*a(n-1),a(1)=1的最大变位。
+10 14
1, 2, 4, 8, 61, 221, 442, 884, 8761, 75221, 544210, 8842100, 87642100, 875422100, 8754421000, 88754210000, 877542100000, 8755421000000, 87542110000000, 875422100000000, 8754421000000000, 88754210000000000, 877542100000000000, 8755421000000000000
配方奶粉
通用编号:x*(99990000000*x^18+8667900000*x^17-333322100000*x ^16-135332000*x ^15+6579000*x ^14+8577900*x×^13+354357900*x^12+212157900*x ^11+60455790*x*^10+7924779*x ^9+3991239*x^8+1999116*x ^7+999558*x ^6-221*x ^5-61*x ^4-8*x^3-4*x^2-2*x-1)/(10*x-1)*(1+10*x)*(100*x^2+10*x+1)*(100*x^2-10*x/1))。
当n>=20时,a(n)=10^6*a(n-6)。(结束)
数学
s={1,2,4,8};a=8;Do[b=FromDigits[Reverse[Sort[IntegerDigits[2*a]]];附加到[s,a=b],{20}];秒
NestList[FromDigits[ReverseSort[IntegerDigits[2#]]]&,1,30](*需要Mathematica版本11或更高版本*)(*哈维·P·戴尔2019年5月17日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[1..30]]中的n eq 1选择1 else Seqint(排序(Intseq(2*Self(n-1))):n//布鲁诺·贝塞利2015年10月19日
(哈斯克尔)
a263451 n=a263451_list!!(n-1)
a263451_list=迭代(a004186.(*2))1
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