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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A001037号 GF(2)上n次不可约多项式的个数;翻身时不允许有2种颜色珠子的n珠项链数量,原始周期为n;长度为n的二进制Lyndon单词数。
(原名M0116 N0046 N0287)
227
1, 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161, 2182, 4080, 7710, 14532, 27594, 52377, 99858, 190557, 364722, 698870, 1342176, 2580795, 4971008, 9586395, 18512790, 35790267, 69273666, 134215680, 260300986, 505286415, 981706806, 1908866960, 3714566310, 7233615333, 14096302710, 27487764474 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2

评论

自由李代数的维数-参见A059966号基本上是相同的序列。

该序列还表示有向图中长度L在x^2下的圈数N,所见模为梅森素数M_q=2^q-1。这个数字不依赖于q,L是q-1的任何除数。参见Shallit和Vasiga论文的定理5和推论3:N=和(eulerphi(d)/阶(d,2)),其中d是2^(q-1)-1的除数,使得阶(d、2)=L-托尼·雷克斯2005年11月17日

除了a(0)=1之外,Bau-Sen Du的[1985/2007]表1第6页将此序列作为第7列(最右边)。表中的其他列包括(但未标识为)A006206号-A006208号. -乔纳森·沃斯邮报2007年6月18日

“二进制Lyndon单词数”是指:数字的不等模旋转(循环置换)且周期不小于n的二进制字符串数。这提供了以下链接:A103314号,因为这些字符串对应于U_m(单位的第m个根)的不等零和子集,通过将U_n(n|m)与0或更多U_d(n| d,d|m)的并集乘以某个exp幂(i2Pi/n)使它们相互不相交而获得。(但并非U_m的所有零和子集都是这种形式。)-M.F.哈斯勒2007年1月14日

此外,阈值布尔自动机网络的周期n的动态循环数,该网络是n的倍数大小的准最小正电路,并且是并行更新的Mathilde Noual(Mathilde.Noual(AT)ens-lyon.fr),2009年2月25日

此外,单位区间上帐篷映射f(x):=2min{x,1-x}的迭代中周期为(最小)n的周期点的数目-彼得罗·马杰2009年9月22日

与完全断开双曲迭代函数系统相关的移位动力系统中最小周期n的不同循环数(参见Barnsley链接)-米歇尔·马库斯2013年10月6日

发件人Jean-Christophe Hervé2014年10月26日:(开始)

对于n>0,a(n)也是与Kolakoski序列相关的变换的大小为n的轨道数A000002号(对于周期n为2^n个周期点的任何映射都是如此)。Kolakoski变换根据其运行长度的顺序改变1和2的序列。Kolakoski序列是这个变换的两个不动点之一,另一个是没有初始项的同一序列。A025142号A025143号是大小为2的轨道的周期点。A027375号(n) =n*a(n)给出了最小周期n的周期点数。

对于n>1,该序列等于A059966号和至A060477号,对于n=1,a(1)=A059966号(1)+1 =A060477号(1)-1; 这是因为所有3个序列的第n项都等于(1/n)*sum{d|n}mu(n/d)*(2^d+e),其中e分别为-1/0/1。A059966号/这个序列/A060477号,当n=1时,sum{d|n}mu(n/d)等于1,当n>1时,sum等于0。(结束)

警告:A000031号A001037号很容易混淆,因为它们有相似的公式。

发件人Petros Hadjicostas公司2020年7月14日:(开始)

继Kam Cheong Au(2020)之后,设d(w,N)为重量w的Q-span和有色多重zeta值(CMZV)的水平N的维数。这里Q是有理数。

Deligne的界表示当N>=3时,d(w,N)<=d(w,N),其中1+Sum_{w>=1}d(w、N)*t^w=(1-a*t+b*t^2)^(-1),其中a=phi(N)/2+omega=A001221号(N) 是N的不同素数)。

对于N=3,a=φ(3)/2+ω(3)=2/2+1=2和b=ω(三)-1=0。由此得出D(w,N=3)=A000079号(w) =2^w(重量)。

出于某种原因,金昌凹(2020)假设Deligne的界限很紧,即d(w,N)=d(w,N)。他为N>=3设置了求和{w>=1}c(w,N)*t^w=log(1+Sum{w>=1}d(w,N*t^w)=log。

对于N=3,我们得到c(w,N=3)=A000079号(w) w=2^w/w。

他定义d*(w,N)=Sum_{k|w}(mu(k)/k)*c(w/k,N)为“重量w和水平N的基本常数的数目”。(使用术语A113788号,我们也许可以称d*(w,N)为权重w和级别N的不可约彩色多重zeta值的数量。)

利用g.f's理论的标准技术,我们可以证明和{w>=1}d*(w,N)*t^w=和{s>=1}(mu(s)/s)和{k>=1}c(k,N)*(t^s)^k=-Sum{s>=1}(μ(s)/s*log(1-a*t^s+b*t^(2*s)))。

对于N=3,我们看到a=2和b=0,因此d*(w,N=3)=a(w)=Sum_{k|w}(mu(k)/k)*2^(w/k)/。见锦昌澳(2020年)第6页的表1。(结束)

参考文献

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链接

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F.Ruskey,本原多项式和不可约多项式

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埃里克·魏斯坦的数学世界,不可约多项式

埃里克·魏斯坦的数学世界,林登·沃德

维基百科,林登语

与Lyndon单词相关的序列索引项

“核心”序列的索引项

配方奶粉

对于n>=1:

a(n)=(1/n)*和{d|n}亩(n/d)*2^d。

A000031号(n) =Sum_{d|n}a(d)。

2^n=Sum_{d|n}d*a(d)。

a(n)=A027375号(n) /编号。

a(n)=A000048号(n)+A051841号(n) ●●●●。

对于n>1,a(n)=A059966号(n)=A060477号(n) ●●●●。

G.f.:1-求和{n>=1}莫比乌斯(n)*log(1-2*x^n)/n,其中莫比乌s(n)=A008683号(n) ●●●●-保罗·D·汉纳2010年10月13日

发件人理查德·奥尔勒顿2021年5月10日:(开始)

对于n>=1:

a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}mu(gcd(n,k))*2^(n/gcd(n,k))/phi(n/gcd(n、k))。

a(n)=(1/n)*Sum_{k=1..n}mu(n/gcd(n,k))*2^gcd(n,k)/phi(n/gcd(n、k))。(结束)

a(n)~2^n/n-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年8月11日

例子

二进制字符串(Lyndon单词,cf。A102659号):

a(0)=1=#{“”},

a(1)=2={“0”,“1”},

a(2)=1={“01”},

a(3)=2={“001”,“011”},

a(4)=3=#{“0001”,“0011”,”0111“},

a(5)=6=#{“00001”,“00011”,“00101”,”00111“,”01011“,“01111”}。

MAPLE公司

带有(数字理论):A001037号:=proc(n)局部a,d;如果n=0,则返回(1);否则a:=0:对于除数(n)中的d,做a:=a+mobius(n/d)*2^d;od:返回(a/n);fi;结束;

数学

f[n_]:=块[{d=除数@n},加号@@(MoebiusMu[n/d]*2^d/n)];数组[f,32]

黄体脂酮素

(PARI)A001037号(n) =如果(n>1,sumdiv(n,d,moebius(d)*2^(n/d))/n,n+1)\\编辑人M.F.哈斯勒2016年1月11日

(PARI){a(n)=polcoeff(1-和(k=1,n,moebius(k)/k*log(1-2*x^k+x*O(x^n)),n)}\\保罗·D·汉纳2010年10月13日

(PARI)a(n)=如果(n>1),我的;对于步骤(i=2^n+1,2^(n+1),2,s+=polisirreducible(Mod(1,2)*Pol(binary(i)));s、 n+1)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月26日

(哈斯克尔)

a001037 0=1

a001037 n=(总和$map(\d->(a000079 d)*a008683(n`div`d))$

a027750_行n)`div`n

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年2月1日

(Python)

从sympy导入除数,mobius

定义a(n):如果n>1,则返回和(mobius(d)*2**(n//d)for d in divisors(n))/n#因德拉尼尔·戈什2017年4月26日

交叉参考

第2列,共列A074650型.

的行总和A051168号,它给出了具有固定数量的零和一的Lyndon单词的数量。

Euler变换是A000079号.

请参见A058943号A102569号初始条款。另请参见A058947号,A011260型,A059966号.

GF(2)、GF(3)、GF(4)、GF-(5)和GF(7)上的不可约:A058943号,A058944号,A058948号,A058945号,A058946号.GF(2),GF(3),GF-(4),GF_(5),GF~(7)上的本原不可约:A058947号,A058949号,A058952号,A058950型,A058951号.

囊性纤维变性。A000031号(n-珠项链,但可能有周期划分n),A014580型,A046211号,A046209号,A006206号-A006208号,A038063型,A060477号,A103314号.

囊性纤维变性。A027750型,A008683号,A254040型.

另请参见A102659号查找二进制Lyndon单词本身的列表。

囊性纤维变性。A000010号,A008683号.

上下文中的序列:A277629型 A277631型 A277633型*A122086号 A082594号 A051850型

相邻序列:A001034号 A001035号 A001036号*A001038号 A001039号 A001040号

关键词

非n,核心,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

修订人N.J.A.斯隆2012年6月10日

状态

经核准的

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