搜索： a036447-编号：a036443
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A000079号
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| 2的幂：a（n）=2^n。
（原名M1129 N0432）
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+10
3098
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1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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2^0=1是2的唯一奇幂。
n集的子集数。
n有2^（n-1）个组合（有序分区）（参见Riordan示例）。这是优先标记序列的未标记模拟A000670号.
这也是1..n+1的弱单峰置换数，也就是只有一个局部最大值的置换数。例如，a（4）=16:12345、12354、12453、12543、13452、13542、14532和15432及其反转-乔恩·佩里2003年7月27日[证据：见下一行！另见A087783号.]
证明：n必须出现在某处，前面的子集有2^（n-1）个可能的选择。这些必须以递增顺序出现，其余必须以递减顺序跟随n。量化宽松政策-N.J.A.斯隆2003年10月26日
a（n+1）是不是任何数量（不同的）早期术语之和的最小数字。
最完美的数字被称为最小缺陷或轻微缺陷的数字（Singh 1997）。“近完美数”是指几乎完美数（sigma（n）=2n-1）和准完美数（sigma（n）=2n+1）吗？没有已知的准完美或最不丰富或稍过多的数字（Singh 1997）。
帕斯卡三角形第n行中的数字之和；（x+1）^n展开式中x的系数之和。
Collatz猜想（无论最初选择哪个正整数，冰雹序列最终将达到数字1）可以重述为（无论最初选定哪个正整数）。
其中p（n）是n的整数分区的数量，p（i）是n的第i个分区的部分的数量，d（i）是n的第i个分区的不同部分的数量，m（i，j）是n的第i个分区的第j个部分的多重性，其中：a（n）=Sum_{i=1.p（n）}（p（i）！/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！））-托马斯·维德2005年5月18日
n元集上对称和反对称的二元关系数。另外，n元集上对称、反对称和传递的二元关系数。
a（n）是包含n个加法的加法链最短的最大数-大卫·W·威尔逊2006年4月23日
对于n>=1，a（n）等于函数f:{1，2，…，n}->{1，2}的数目，因此对于{1，2中的固定x和{1，2]}中的固定y，我们有f（x）！=y.-亚历山大·詹季奇和米兰扬吉奇2007年3月27日
设P（A）是n元集A的幂集，则A（n）是P（A）的元素对{x，y}的个数，其中x=y-罗斯·拉海耶2008年1月9日
a（n）是用n个台阶跑上楼梯的不同方式的数量，台阶大小为1、2、3。。。和r（r<=n），其中顺序很重要，并且每个步骤的数量或大小没有限制-穆罕默德·阿扎里安2008年5月21日
a（n）是[n+1]上的置换数，使得每个初始段都是整数区间。示例：a（3）计数1234、2134、2314、2341、3214、3241、3421、4321。映射“p->p的上升”是这些置换到[n]子集的双射。置换p的上升是一个位置i，使得p（i）<p（i+1）。所示排列分别映射到123、23、13、12、3、2、1和空集-大卫·卡伦2008年7月25日
a（n）似乎与修改后的一元数的除数相匹配（不包括2、3和5）。检查的范围非常有限，如PARI示例所示-比尔·麦克伊琴2008年10月29日
连续k，使得phi（k）/k=1/2，其中phi是Euler的总方向函数-阿图尔·贾辛斯基2008年11月7日
对于n>=0，a（n）是高度为n的完整二叉树中的叶子数。对于n>0，a-K.V.Iyer公司2009年5月4日
n+1个元素的排列，其中没有元素在其原始位置的右边超过一个位置。例如，三个元素有4个这样的排列：123、132、213和312。四个元素的8个这样的排列是1234、1243、1324、1423、2134、2143、3124和4123-乔格·阿恩特2009年6月24日
这些是2-光滑数，是没有素因子大于2的正整数-迈克尔·波特2009年10月4日
a（n）是最大的数字m，使得从r=m开始达到1所需的{r-（最大除数d<r）}的迭代步数等于n。示例（a（5）=32）：32-16=16；16 - 8 = 8; 8 - 4 = 4; 4-2=2；2 - 1 = 1; 数字32有5个步骤，是最大的步骤。请参见A105017标准,A064097号,A175125型. -雅罗斯拉夫·克里泽克2010年2月15日
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1，a（n）等于n的2色组成数，因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰扬吉奇2011年11月17日
等于A001405号用其右移变量卷积：（1+2x+4x^2+…）=（1+x+2x^2+3x^3+6x^4+10x^5+…）*（1+x+x^2+2x^3+3x^4+6x^5+…）-加里·亚当森2011年11月23日
n+1集合的奇数子集的数目。例如，{1，2，3，4}有2^3个奇数大小的子集，即{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}和{2，3，4}。另外，请注意2^n=Sum_{k=1..floor（（n+1）/2）}C（n+1，2k-1）-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
对于n>=1显然是一元字母表上不同有限语言的数量，其最小正则表达式的字母宽度为n（已验证为n=17），请参阅Gruber/Lee/Shallit链接-赫尔曼·格鲁伯2012年5月9日
这是词典学上最早的序列，不包含长度为3的算术级数Daniel E.Frohardt，2013年4月3日
a（n-2）是{1..n}的二分数（即，将分区设置为两个部分），使得1和2不在同一个子集中-乔恩·佩里2013年5月19日
数n，使得第n个分圆多项式的根模为2；数n，使得第n个分圆多项式具有偶数个奇数系数-埃里克·施密特2013年7月31日
现在人们对非幂次-2“几乎完美数字”的了解更多，如Dagal所述-乔纳森·沃斯邮报2013年9月1日
适合于n X n框的对称Ferrers图的数量-格雷厄姆·霍克斯2013年10月18日
编号n，使σ（2n）=2n+σ（n）-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
a（1）。。。，a（floor（n/2））是方阵集（0,1）上的所有永久值，n阶矩阵>=2，行和列和为2-弗拉基米尔·舍维列夫2013年11月26日
以2为基数的扩展正好有一位设置为1的数字，因此以2为基数的数字和等于1-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
a（n）是最大的数字k，使得（k^n-2）/（k-2）是一个整数（对于n>1）；（k^a（n）+1）/（k+1）决不是整数（对于k>1和n>0）-德里克·奥尔2014年5月22日
小数列b（n）=最小数k>0，使得2^k以n个相同数字结尾，由{1，18，39}给出。重复数字分别为{2、4、8}。请注意，这些是2的连续幂（2^1，2^2，2^3），这些是只有一位数字的2（2^k，k>0）的幂。此外，这个序列是有限的。2的幂的n位结尾数，n个或更多数字id为4*5^（n-1）。因此，对于b（4）的存在，只需检查小于等于4*5^3=500的指数。由于b（4）不存在，显然不存在其他数字-德里克·奥尔2014年6月14日
使2^k以n个连续递减的数字结尾的最小数字k>0是由{1，5，25}给出的3个数字序列。连续递减的数字是{2，32，432}。2^k有100个不同的3位数结尾。没有k值可以使2^k以“987”、“876”、“765”、“654”、“543”、“321”或“210”结尾。2^k以'432'结尾的k值由25 mod 100给出。对于k=25+100*x，对于x={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…}，“432”运行之前的数字分别是{4，6，8，0，2，4，8，2，…}。因此，我们看到“432”之前的数字永远不会是5。所以，这个序列是完整的-德里克·奥尔2014年7月3日
a（n）是长度n避开经典意义上的231和321的排列数，它们是递增一元二叉树的宽度第一搜索读取单词。有关更多详细信息，请参阅避免231排列的条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日
这是一个B_2序列：对于i＜j，差值a（j）-a（i）都是不同的。这里2*a（n）<a（n+1）+1，所以a（n-托马斯·奥多夫斯基2014年9月23日
a（n）计算图G（1-顶点；1-循环，1-循环）上的n次行走（闭合）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
a（n-1）计算图G（1-顶点；1-循环，2-循环，3-循环，4-循环，…）上的行走次数（闭合）-大卫·尼尔·麦格拉思，2015年1月1日
b（0）=4；b（n+1）是不在序列中的最小数，使得b（n+1）-Prod_{i=0..n}b（i）除以b（n＋1）-Sum_{i=0..n}b。则b（n）=a（n），对于n>2-德里克·奥尔2015年1月15日
a（n）计算长度为n+2的置换，其第一个元素为2，使得置换正好有一个下降-潘然2015年4月17日
a（0）-a（30）出现在旧巴比伦时期（约公元前1900-1600年）的碑文M 08613（参见CDLI链接）中，错误地出现了a（26）-a（30）-查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月3日
单调映射f:[0..n]->[0..n]的个数，它们是序递增的（i<=f（i））和幂等的（f（f（i。换句话说，第n序数上的单数（视为词缀范畴）。任何单子f通过考虑其单子代数集=不动点{i|f（i）=i}来确定包含n的[0..n]的子集。相反，包含n的[0..n]的任何子集S通过S}中的函数i|->min{j|i<=j，j确定[0..n'上的单体-诺姆·齐尔伯格2016年12月11日
考虑位于一个圆上的n个点。然后，对于n>=2，a（n-2）给出了用不相交弦连接两个相邻点的方法数-安东·扎哈罗夫2016年12月31日
满足本福德定律[Diaconis，1977；Berger-Hill，2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
另外，n个空图中独立顶点集和顶点覆盖的数量-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外，当n>4时，n减半立方体图中的最大团数-埃里克·韦斯特因2017年12月4日
与指数n-1的海藻代数相对应的n组分对数-尼克·梅耶斯，2018年6月25日
模a（n）的乘法整数群是循环的当且仅当n=0，1，2。对于n>=3，它是两个循环群的乘积-宋嘉宁，2018年6月27日
k^n是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（k+i+j-2，j）-二项式的行列式（i+j-2,j），在这种情况下，k=2-托尼·福斯特三世2019年5月12日
a（n-1）是{1,2，…，n}的子集数，其中的元素是集合的大小。例如，对于n=4，a（3）=8，并且子集是{1}、{1,2}、}2,3}、[2,4}、[1,2,3}、[1,3,4]、{2,3,4}、{1,2,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
a（n）是自逆（n+1）阶排列的数目，其中231避免。例如，a（3）=8:[1234，1243，1324，1432，2134，2143，3214，4321]-宇春记2021年2月26日
对于任何固定的k>0，a（n）是用长度为1、2、…的平铺来平铺长度为n+1的条带的方法数。。。k、 其中，长度k的平铺可以是黑色或白色，但第一个平铺不能是黑色-格雷格·德累斯顿和Bora Bursal，2023年8月31日
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参考文献
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V.E.Tarakanov，二元矩阵的组合问题，组合分析，MSU，5（1980），4-15。（俄语）
S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。
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链接
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乔纳森·比格利和劳拉·普德威尔，彩色瓷砖和排列《整数序列杂志》，第24卷（2021年），第21.10.4条。
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托比亚斯·博格（Tobias Boege）和托马斯·卡勒（Thomas Kahle），高斯曲面的构造方法，arXiv:1902.11260[math.CO]，2019年。
阿尼修斯·曼利乌斯·塞韦里努斯·博伊修斯，去算术，第1册，第9节。
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朱利奥·塞尔拜（Giulio Cerbai）、安德斯·克莱森（Anders Claesson）和卢卡·费拉里（Luca Ferrari），限制堆栈的堆栈排序，arXiv:1907.08142[cs.DS]，2019年。
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David Eppstein，2048年的变革，arXiv:1804.07396[cs.DM]，2018年。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第18页
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赫尔曼·格鲁伯、乔纳森·李和杰弗里·沙利特，枚举正则表达式及其语言，arXiv:1204.4982v1[cs.FL]，2012年。
P.A.麦克马洪，数字合成理论回忆录，菲尔翻译。伦敦皇家学会，184（1893），835-901。
奥古斯汀·穆纳吉，整数合成与高阶共轭，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.8.5条。
G.Pfeiffer，计算传递关系《整数序列杂志》，第7卷（2004年），第04.3.2条。
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil，k二项式变换和Hankel变换《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.1.1条。
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配方奶粉
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a（n）=2^n。
a（0）=1；a（n）=2*a（n-1）。
G.f.：1/（1-2*x）。
例如：exp（2*x）。
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）。
a（n+1）=a（n）XOR 3*a（n，其中XOR是二进制异或运算符-菲利普·德尔汉姆2005年6月19日
a（n）=箍筋S2（n+1，2）+1-罗斯·拉海耶2008年1月9日
a（n+2）=6a（n+1）-8a（n），n=1，2，3。。。a（1）=1，a（2）=2-尤素·尤拉曼迪2008年8月6日
a（n）=ka（n-1）+（4-2k）a（n-2），对于任意整数k和n>1，其中a（0）=1，a（1）=2-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月5日
a（n）=和{l_1=0..n+1}和{l_2=0..n}。。。求和{l_i=0..n-i}。。。求和{l_n=0..1}增量（l_1，l_2，…，l_i，…，l_n），其中如果有l_i<=l_（i+1）和l_（i+1）！=否则，δ（l_1，l_2，…，l_i，…，l_n）=1-托马斯·维德2009年2月25日
a（0）=1，a（1）=2；a（n）=a（n-1）^2/a（n-2），n>=2-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月22日
如果p[i]=i-1，并且A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。那么，对于n>=1，a（n-1）=det a-米兰扬吉奇，2010年5月2日
如果p[i]=Fibonacci（i-2），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。那么，对于n>=2，a（n-2）=det a-米兰扬吉奇2010年5月8日
往复运动的总和，1/1+1/2+1/4+1/8+…+1/（2^n）+…=2. -穆罕默德·阿扎里安2010年12月29日
a（n）=超几何（[-n]，[]，-1）-彼得·卢什尼2011年11月1日
2^n=和{k=1..层（（n+1）/2）}C（n+1，2k-1）-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
和{n>=1}mobius（n）/a（n）=0.10201133481781036474303639318-R.J.马塔尔2012年8月12日
例如：1+2*x/（U（0）-x），其中U（k）=6*k+1+x^2/（6*k+3+x^2/（6*k+5+x^ 2/U（k+1））；（连分数，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月4日
a（n）=det（|s（i+2，j）|，1<=i，j<=n），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月4日
a（n）=det（|ps（i+1，j）|，1<=i，j<=n），其中ps（n，k）是第一类Legendre-Sterling数(A129467号). -米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.:W（0），其中W（k）=1+2*x*（k+1）/（1-2*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月28日
a（n-1）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}多项式（t1+t2+…+t_n；t1，t2，…，t_n）-米尔恰·梅卡2013年12月6日
构造幂矩阵T（n，j）=[A^*j]*[S^*（j-1）]，其中A（n）=（1,1,1，…）和S（n）=（0,1,0,0，…）（其中*是卷积运算）。则a（n-1）＝Sum_｛j＝1..n｝T（n，j）-大卫·尼尔·麦格拉思，2015年1月1日
和{n>=0}（-1）^n*a（n）/n！=经验（-2）=A092553号.（结束）
通用格式：（r（x）*r（x^2）*r其中r（x）=A090129号（x） =（1+2x+2x^2+4x^3+8x^4+…）-加里·亚当森2016年9月13日
a（n）=n+1+Sum_{k=3..n+1}（2*k-5）*J（n+2-k），其中Jacobsthal数J（n）=A001045号（n） ●●●●-迈克尔·艾伦2022年1月12日
积分{x=0..Pi}cos（x）^n*cos（n*x）dx=Pi/a（n）（见Nahin，第69-70页）-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年5月17日
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例子
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三元集{1,2,3}有2^3=8个子集，即{-，1,2,3,12,13,23,123}。
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MAPLE公司
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isA000079:=进程（n）
局部fs；
fs:=数量[系数集]（n）；
如果n=1，则
真；
elif nops（fs）<>1则
假；
elif op（1，fs）=2，则
真；
其他的
假；
结束条件：；
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数学
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表[2^n，{n，0，50}]
线性递归[{2}，{2}，{0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
系数列表[系列[1/（1-2 x），｛x，0，20｝]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
嵌套列表[2#&，1，40](*哈维·P·戴尔2019年10月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）单峰（n）=局部（x，d，um，umc）；umc=0；对于（c=0，n！-1，x=numtoperm（n，c）；d=0；um=1；对于（j=2，n），如果（x[j]<x[j-1]，d=1）；如果（x[j]>x[j-1]&&d==1，um=0）；如果（um==0，中断））；如果（um==1，打印（x））；umc+=um）；城市管理委员会
（PARI）x=1；对于（n=0，1000，写入（“b000079.txt”，n，“”，x）；x+=x）\\哈里·史密斯2009年4月26日
（哈斯克尔）
a000079=（2^）
a000079_list=迭代（*2）1
（岩浆）[0..40]]中的[2^n:n（*或*）[n le 2选择n其他5*自我（n-1）-6*自我（n-2）:n（在[1..40]]]中）//文森佐·利班迪2014年2月17日
（Scala）（列表填充（20）（2:BigInt））.scanLeft（1:BigIn）（_*_）//阿隆索·德尔·阿特2020年1月16日
（Python）
定义a（n）：返回1
打印（[a（n）代表范围（34）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年7月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000225号,A038754号,A133464号,140730英镑,A037124号,A001787号,A001788号,A001789号,A003472号,A054849号,A002409号,A054851号,A140325号,A140354号,A000041号,152537英镑,A001405号,A007318号,A000120号,A000265号,A000593号,A001227号,A077020型,A077021美元.
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A000244号
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| 3的幂：a（n）=3^n。
（原名M2807 N1129）
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827
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1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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与活塞序列E（1,3）、L（1,3。基本上与活塞序列E（3，9），L（3，九），P（3，九），T（3，九月）相同。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
数量（s（0），s（1）。。。，s（2n+2）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2n+2，s（0）=1，s（2 n+2）=3-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
a（1）=1，a（n+1）是使a（n）和a（n+1）之间有一个（n）偶数的最小数。k:1，k，k^2，k^3，k^4，…幂序列的推广。。。在a（n）和a（n+1）之间有一个k-1的（n）倍数-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月28日
其中p（n）是n的整数分区数，p（i）是n第i个分区的部分数，d（i）为n第i分区的不同部分数，m（i，j）是n第一个分区的第j部分的重数，和{i=1..p（n，一个有：a（n）=和{i=1..p（n）}（p（i）/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）*2^（p（i）-1）-托马斯·维德2005年5月18日
a（n-1）是组成成分的数量。通常，（k+1）^（n-1）是k级嵌套成分的数量（例如，4^（n-1）是成分组成的成分数量，等等）。元素之间的每个n-1空格可以是k个级别中的一个中断，也可以根本不是中断-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年12月6日
设S是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于每个元素x，P（a）的y，如果x是y的子集，那么a（n）=|S|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
关于Ross La Haye的评论：
参考a（n+1）英寸A028243号如果考虑非空子集，并且x是y的适当子集（End）
如果X_1，X_2。。。，X_n是集合{1，2，…，2*n}划分成大小为2的块，然后，对于n>=1，a（n）等于函数f:{1，2,…，2*n}->{1，2}的数目，这样对于固定的y_1，y_2。。。，在{1,2}中，我们有f（X_i）<>{y_i}，（i=1,2，…，n）-米兰扬吉奇2007年5月24日
这是对所有正整数k的形式a（n）=[（2^k）-1]^n的所有序列的一般评论。Stanley的“枚举组合数学”的示例1.1.16提供了一个稍有不同的版本。a（n）在函数f:[n]的个数中变成P（[k]）-{}。a（n）也是函数f:[k]到P（[n]）中的数目，使得f（i）对于[k]中的所有i的广义交集是空集。其中[n]={1，2，…，n}，P（[n]）是[n]的幂集，{}是空集-杰弗里·克雷策2009年2月28日
3^（n+1）=（1，2，2，…）点（1，1，3，9，…，3^n）；例如，3^3=27=（1，2，2）点（1，1，3，9）=（1+2+6+18）-加里·亚当森2010年5月17日
a（n）是当存在3*2^i不同类型的i（i=1,2，…）时，n的广义组成数-米兰扬吉奇2010年9月24日
对于n>=1，a（n-1）是当存在2^（i-1）不同类型的i，（i=1，2，…）时n的广义组成数-米兰扬吉奇2010年9月24日
所讨论的序列（“3的幂”）还描述了第k个磁盘解决[红色；蓝色；蓝色]或[红色；红色；蓝色]预先着色的河内磁塔谜题的移动次数（参见。A183111号-A183125号).
（1+x+x^2）^n的展开系数之和-阿迪·达尼2011年6月21日
a（n）是{0,1,2}中n个元素的组成数；例如，a（2）=9，因为存在9个成分0+0、0+1、1+0、0+2、1+1、2+0、1+2、2+1和2+2。[来自阿迪·达尼2011年6月21日；由编辑修改。]
除了前两项外，这些都是奇数n，使得2<=x<=n-2的x不满足x^（n-1）==1（mod n）-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月3日
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1，a（n）等于n的3色组成数，因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰扬吉奇2011年11月17日
由于前面的注释出现在大量序列中，因此可能需要添加一个证明。
n精确到k个部分的组成数是二项式（n-1，k-1）。
对于n的p色组成，使得没有相邻部分具有相同的颜色，第一部分的颜色正好有p个选择，每个附加部分的颜色（除了前一部分的颜色之外的任何颜色）有p-1个选择。所以，对于k部分的划分，有p（p-1）^（k-1）个有效的着色。
因此，n的p色组分精确到k个部分，使得相邻部分没有相同颜色，这是二项式（n-1，k-1）p（p-1）^（k-1）。
n的p色成分的总数，使得相邻部分没有相同的颜色
和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*p*（p-1）^（k-1）=p^n。
要了解这一点，请注意（（p-1）+1）^（n-1）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）（p-1）^k1^。
（结束）
此外，矩阵的第一个和最小元素[1，sqrt（2）；sqrt，2]^（n+1）-M.F.哈斯勒2011年11月25日
组成一个m（0，n）=m（n，0）=2^n的数组；m（i，j）等于m（i、j）左边的项与m（i和j）上面的项之和，即m。反对角线（n+1）中的项之和=4*a（n）-J.M.贝尔戈2013年7月10日
定义一个数组，使m（0，k）=2^k和m（n，k）=Sum_{c=0..k-1}m（n、c）+Sum_}r=0..n-1}m（r，k），这是m（n和k）左边的项加上m（n与k）上面的项之和。数组的行n=0包括A000079号，列k=0包括A011782号，行n=1包括A001792号数组的反对角线和为a（n）：1=3^0，1+2=3^1，2+3+4=3^2，4+7+8+8=3^3-J.M.贝尔戈2013年8月2日
具有散布零和o.g.f.x/（1-3*x^2），A（2*k）=0，A（2*k+1）=3^k=A（k），k>=0的序列可以称为六边形数。这是因为代数数rho（6）=2*cos（Pi/6）=sqrt（3）的次数为2，最小多项式C（6，x）=x^2-3（参见A187360型，n=6），是较小对角线与六角形中边的长度比。因此，ρ（6）^n=A（n-1）*1+A（n）*rho（6），在二次数域Q（rho（5））的幂基中。还需要A（-1）=1。另请参阅2010年12月2日的评论和P.Steinbach参考A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年10月2日
对k进行编号，使σ（3k）=3k+σ（k）-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
3的所有幂都是完美数字(A082897号)，因为当n>0时，φ（3^n）=2*3^（n-1），因此求和{i=0..n}φ（3|i）=3^n-阿隆索·德尔·阿特2014年4月20日
3^k以n个连续递减数字结尾的最小数字k>0是由{1，13，93}给出的一个3项序列。连续递增的数字是{3,23,123}。3^k有100个不同的3位数字结尾。没有k值可以使3^k以“012”、“234”、“345”、“456”、“567”、“678”或“789”结尾。3^k以“123”结尾的k值由93 mod 100给出。对于k=93+100*x，对于x={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…}，“123”运行之前的数字分别是{9，5，1，7，3，9，9，5。因此，我们看到“123”之前的数字永远不会是0。所以没有其他条件了-德里克·奥尔2014年7月3日
A^n的所有元素，其中A=（1,1,1；1,1,1，1；1,1,1）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年7月23日
计算长度为n（开放或闭合）的三角形顶点上的所有行走次数，该三角形包含从任何给定顶点开始的每个顶点处的循环-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月3日
a（n）计算图G上的行走次数（闭合）（1-顶点；1-循环，1-循环，1-loop）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
2*a（n-2）计算距离三角形顶点长度（n）的孤立闭合游动的所有置换，该三角形在每个剩余顶点上包含2个循环。此外，C（m，k）=2*（2^m）*B（m+k-2，m）计算包含（m）个循环和（k）个弧的走线的排列-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
使三项式x^（2*n）+x^n+1在GF（2）上不可约的数n。其中只有n=1的三项式是原始的-乔格·阿恩特2016年5月16日
满足Benford定律【Berger-Hill，2011年】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a（n-1）也是n的组成数，如果部分可以是从1到n的任何长度的游程，并且可以包含从1到n的任何整数-格雷戈里·西蒙2017年5月26日
同时给出了n阶梯级图nP_2中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外，还包括n-鸡尾酒会图中的团数（不一定是最大的）-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
a（n-1）是n的2-组分数；参见Hopkins&Ouvry参考资料-布莱恩·霍普金斯2020年8月15日
a（n）是n维超立方体任意维（顶点、边、正方形面等）的面数。例如，0维超立方体是一个点，它的唯一面是它自己。一维超立方体是一条直线，它有两个顶点和一条边。二维超立方体是一个方形，它有四个顶点、四条边和一个正方形面-凯文·朗2023年3月14日
a（n）是n个变量直到等价时的析取子句数。析取子句是l_1或…形式的命题公式。。。或l_m，其中l_1。。。，l_m是{x_1，…，x_n，NOT x_1，..，NOT x_n}中n个变量x_1的不同元素。。。x_n，同时不显示x_i和NOT x_i。对于每一个1<=i<=n，析取子句中既不能有x_i也不能有NOT x_i，只有x_i或NOT x_ i，所以这样的子句的数目是3^n。把n个变量的命题公式看作函数{0,1}^n->{0,1{，析取从句对应于一个函数f，使得0的反像的形式是a_1X。。。X A_n，其中A_i对于所有1<=i<=n都是非空的。由于每个A_i有3个选择（{0}、{1}或{0,1}），我们还发现n个变量的析取子句的数目是3^n。
等价地，a（n）是n个变量的连接子句的数量。（结束）
有限子序列a（2）、a（3）、a⑴、a（5）=9、27、81、243是可以用简单多边形的所有内角（均为整数，以度为单位）形成的仅有的两个几何序列之一。另一个序列是的子序列A007283号（请参阅此处的注释）-费利克斯·胡贝尔2024年2月15日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Doron Zeilberger，《神奇3^n定理及其更神奇的证明》（由Xavier G.Viennot及其爱科尔·博德莱塞帮派发现），arXiv:1208.22582012。
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链接
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T.Banchoff，计算高维立方体的面《超越第三维度：几何、计算机图形和更高维度》，科学美国图书馆，1996年。
A.Bostan，格路径组合数学的计算机代数S.éminaire de Combinatoire Ph.Flajolet，2013年3月28日。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳，Weyl偏序集的弱序，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018年。
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
亚什·普里和托马斯·沃德，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
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配方奶粉
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a（n）=3^n。
a（0）=1；a（n）=3*a（n-1）。
G.f.：1/（1-3*x）。
例如：exp（3*x）。
a（n）=n*和{i+j+k=n，i，j，k>=0}1/（i！*j！*k！）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月1日
a（n）=和{k=0..n}2^k*二项式（n，k），的二项式变换A000079号.
a（n）=2*搅拌S2（n+1,3）+搅拌S2-罗斯·拉海耶2008年6月26日
a（n）=2*箍筋S2（n+1，3）+箍筋S2（n+2，2）=2x（箍筋S2.（n+1,3）+搅拌S2（n+1，2））+1-罗斯·拉海耶2008年6月9日
和{n>=0}1/a（n）=3/2-加里·亚当森2008年8月29日
如果p（i）=Fibonacci（2i-2），并且如果A是由A（i，j）=p（j-i+1），（i<=j），A（i、j）=-1，（i=j+1）和A（i和j）=0定义的n阶Hessenberg矩阵，否则，对于n>=1，A（n-1）=det A-米兰扬吉奇2010年5月8日
2/3 + 3/3^2 + 2/3^3 + 3/3^4 + 2/3^5 + ... = 9/8. [Jolley，系列总结，多佛，1961]
求和{n>0}Mobius（n）/a（n）=0.181995386702633887827…（参见A238271型). -阿隆索·德尔·阿特2012年8月9日。另请参见J.Chem表V中的钠3s轨道能量。物理学。53（1970）348页。
a（n）=（tan（Pi/3））^（2*n）-伯纳德·肖特2022年5月6日
a（n-1）=二项式（2*n-1，n）+和{k>=1}二项式[2*n，n+3*k）*（-1）^k-格雷格·德累斯顿2022年10月14日
通用公式：和{k>=0}x^k/（1-2*x）^（k+1）-凯文·朗2023年3月14日
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例子
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G.f.=1+3*x+9*x^2+27*x^3+81*x^4+243*x^5+729*x^6+2187*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[1/（1-3 x），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
嵌套列表[3#&，1,30](*哈维·P·戴尔2020年2月20日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
（Maxima）标记列表（3^n，n，0，30）/*马丁·艾特尔2012年11月5日*/
（Scala）val powersOf3:LazyList[BigInt]=LazyList.iterate（1:BigInt）（_*3）
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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经核准的
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1, 2, 4, 8, 61, 23, 46, 821, 652, 215, 4201, 8402, 6904, 2918, 48361, 86723, 63556, 270131, 441262, 882425, 6758401, 2517902, 4034914, 8068838, 61277761, 23445533, 46880176, 827712431, 654534862, 219078635, 4281473701, 8463847412
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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N.J.A.斯隆，激励数序列（谈话视频），2021年3月5日。
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配方奶粉
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MAPLE公司
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a： =n->（s->解析（cat（s[-i]$i=1..长度））（“”||（2^n））：
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数学
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表[FromDigits[Reverse[IntegerDigits[2^n]]，{n，0，35}](*文森佐·利班迪2020年1月22日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
（PARI）rev（n）=subst（Polrev（数字（n）），'x，10）
（岩浆）[塞钦特（反转（Intseq（2^n）））：n in[0..35]]//文森佐·利班迪2020年1月22日
（Python）
返回int（str（2**n）[：：-1]）#柴华武2021年2月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 9, 72, 612, 6381, 34191, 375201, 3065211, 3365919, 75779001, 300733722, 661102209, 7266033891, 37610189712, 631965038211, 3364115985981, 34975974329001, 300789229729401, 302881986763209, 726982069546809
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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链接
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数学
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a[n_]：=a[n]=如果[n==1，1，IntegerReverse[3a[n-1]]；
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 9, 72, 18, 342, 927, 7812, 1656, 38691, 94095, 741771, 144135, 3234951, 9692874, 70984341, 12764034, 361041921, 984024783, 7641622611, 1044876843, 30235306401, 90695018313, 72887134149, 184635924282, 344906882748, 9238285681452, 7894847955267
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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配方奶粉
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例子
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a（5）=342，因为3^5=243。
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MAPLE公司
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a： =n->（s->解析（cat（s[-i]$i=1..长度））（“”||（3^n））：
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数学
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表[FromDigits[Reverse[IntegerDigits[3]]]，{n，0，26}](*阿隆索·德尔·阿特2014年4月4日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
返回int（str（3**n）[：：-1]）#柴华武2021年2月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A057615号
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| ATS：先加后排序（即，加倍前一项，然后排序数字）。 |
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+10
17
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1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 29, 58, 116, 223, 446, 289, 578, 1156, 1223, 2446, 2489, 4789, 5789, 11578, 12356, 12247, 24449, 48889, 77789, 155578, 111356, 122227, 244445, 48889, 77789, 155578, 111356, 122227, 244445, 48889, 77789, 155578, 111356
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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从a（1）=1序列循环开始，从a（25）=48889，77789，155578，111356，122227，244445，48889…开始。。。等。
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配方奶粉
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总尺寸：x*（-21996*x^29-10990*x^28-99000*x^27-144000*x^26-72000*x^25-44100*x^24-21960*x*^23-9801*x^22-11133*x^21-10422*x^20-5211*x^19-4500*x^18-2043*x^17-2223*x^16-1107*x^15-1098*x^14-549*x^13-243*x^12-423*x^11-207*x^10-108*x^9-54*x^8-27*x^7-45*x^6-23*x^5-16*x^4-8*x^3-4*x^2-2*x-1）/（x^6-1）. -柴华武2018年11月20日
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例子
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a（8）=29，因为a（7）=46，46+46=92，92排序为29。
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数学
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NestList[FromDigits[Sort[IntegerDigits[2#]]&，1，40](*哈维·P·戴尔2011年10月3日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
从itertools导入累加
定义at（anm1，_）：返回int（“”.join（排序后的（str（2*anm1）））
打印（列表（累积（[1]*40，ats））#迈克尔·布拉尼基2021年7月17日
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交叉参考
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关键词
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基础,容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A321542型
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| a（0）=1；此后a（n）＝3×a（n-1），数字重新排列成非递减顺序。 |
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+10
15
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1, 3, 9, 27, 18, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135, 45, 135
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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对于n>=5，在45和135之间交替。
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链接
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配方奶粉
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通用格式：（-117*x^6-18*x^5-9*x^4-24*x^3-8*x^2-3*x-1）/（x^2-1）-柴华武2018年11月20日
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数学
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A321542list[nmax_]：=PadRight[{1，3，9，27，18}，nmax+1，{135，45}]；A321542列表[100](*保罗·沙萨2023年8月10日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 128, 256, 125, 124, 248, 469, 1289, 13468, 23678, 35566, 11237, 122446, 224588, 145678, 122579, 134449, 368888, 11266777, 23334455, 1466788, 112234778, 234455668, 12356789, 112344778, 1234446788, 2244667999
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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前导零被丢弃（例如，2^23=8388608->0368888变为368888）。
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链接
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MAPLE公司
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a： =n->解析（cat（sort（convert（2^n，base，10））[]）：
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数学
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表[FromDigits[Sort[IntegerDigits[2^n]]]，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2013年8月20日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[塞钦特（反向（排序（Intseq（2^n））））：[0..35]]中的n//文森佐·利班迪2020年1月22日
（Python）
return int（“”.join（已排序（str（2**n）））#柴华武2021年2月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1、2、4、8、61、32、64、821、652、521、4210、8420、9640、9821、86431、87632、66553、732110、644221、885422、8765410、9752210、9444310、8888630、77766211、55443332、88766410、877432211、866554432、98763210、877443210、8876444321
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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MAPLE公司
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a： =n->parse（cat（sort（convert（2^n，base，10），`>`）[]）：
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数学
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FromDigits[Reverse[Sort[IntegerDigits[#]]]和/@（2^范围[0，40]）(*哈维·P·戴尔2020年3月6日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[Seqint（Sort（Intseq（2^n）））：[0.31]]中的n//马吕斯·A·伯蒂，2019年10月6日
（Python）
return int（“”.join（已排序（str（2**n），reverse=True））#柴华武2021年2月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1、2、4、8、61、221、442、884、8761、75221、544210、8842100、87642100、875422100、8754421000、88754210000、877542100000、8755421000000、87542110000000、875422100000000、8754421000000000、88754210000000000、877542100000000000、8755421000000000000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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对于大n，a（n）/a（n-1）~10。
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链接
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配方奶粉
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通用编号：x*（99990000000*x^18+8667900000*x^17-333322100000*x ^16-135332000*x ^15+6579000*x ^14+8577900*x×^13+354357900*x^12+212157900*x ^11+60455790*x*^10+7924779*x ^9+3991239*x^8+1999116*x ^7+999558*x ^6-221*x ^5-61*x ^4-8*x^3-4*x^2-2*x-1）/（10*x-1）*（1+10*x）*（100*x^2+10*x+1）*（100*x^2-10*x/1））。
当n>=20时，a（n）=10^6*a（n-6）。（结束）
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数学
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s={1,2,4,8}；a=8；Do[b=FromDigits[Reverse[Sort[IntegerDigits[2*a]]]；附加到[s，a=b]，{20}]；秒
NestList[FromDigits[ReverseSort[IntegerDigits[2#]]]&，1，30]（*需要Mathematica版本11或更高版本*）(*哈维·P·戴尔2019年5月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..30]]中的n eq 1选择1 else Seqint（排序（Intseq（2*Self（n-1）））：n//布鲁诺·贝塞利2015年10月19日
（哈斯克尔）
a263451 n=a263451_list！！（n-1）
a263451_list=迭代（a004186.（*2））1
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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经核准的
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