1937年，L.Collatz提出了一个问题，也称为
映射，
问题，Hasse算法，Kakutani问题，Syracuse算法、锡拉丘兹问题、Thwates猜想和乌拉姆问题（Lagarias 1985）。Thwaites（1996）为解决猜想.让
成为整数然后一种形式的Collatz问题问道如果迭代
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(1)
|
始终返回1积极的 
.（如果消极的包括数字，有四个已知循环（不包括平凡的0循环）：（4，2，1）(
,
), (
,
,
,
,
)、和(
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
).)
的成员序列由Collatz制作的有时被称为冰雹数康威证明了原Collatz问题不存在非平凡的长度环
Lagarias（1985）表明不是具有长度的非平凡循环
Conway（1972）也证明了Collatz型问题可以是正式的无法确定的Kurtz和Simon（2007）证明了Collatz问题的一个自然推广是不可判定的；不幸的是，这个证明不能应用于原来的Collatz问题。
Collatz算法经过测试，发现所有数字总是达到1
（Oliveira e Silva 2008），改善了
（瓦尔迪1991年，第129页）和
（Leavens和Vermeulen，1992年）。因为解决这个问题的困难，埃尔德斯评论道：“数学尚未做好应对此类问题的准备”（Lagarias 1985）。
下表给出了前几个起始值的序列（组织环境信息系统A070165号).
 |  , , , ... |
| 1 | 1 |
| 2 | 2,1 |
| 三 | 3, 10, 5, 16, 8,4, 2, 1 |
| 4 | 4, 2, 1 |
| 5 | 5, 16, 8, 4, 2, 1 |
| 6 | 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 |
算法达到1所需的步骤数
, 2, ...是0、1、7、2、5、8、16、3、19、6、14、9、9、，17, 17, 4, 12, 20, 20, 7, ...（OEIS）A006577号;如上图所示）。其中，三倍步骤的数量为0、0、2、0、1、2、，5, 0, 6, ...（OEIS）A006667号)、和数字减半的步骤是0、1、5、2、4、6、11、3、13、。..（OEIS）A006666号).的最小起始值
生成一个Collatz序列，其中包含
, 2, .……是1、2、3、3、6、7、3、9、3、7、12、7、9、15，3, 7, 18, 19, ...（OEIS）A070167号).
Collatz问题可以实现为8-登记机（Wolfram 2002，第100页），准-蜂窝式的自动机（克洛尼等。1987，Bruschi 2005），或6色一维具有局部规则但将第一个和最后一个数字包裹起来的准细胞自动机（泽勒尼）。一般来说，构建真正的局部规则元胞自动机的困难产生于乘数为3时必须进行进位运算，在最坏的情况下，可能会延伸底座的整个长度-
数字的表示（因此需要传播信息比CA的光速更快）。
Terras（19761979）修改了Collatz问题，他问是否迭代
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(2)
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初始整数值总是返回1
（例如，Lagarias 1985，Cloney等。1987).这是简单地说一下上面的原始语句，但将二除合并到加法中步骤如果
是奇数，因此压缩了步骤数。下表给出了顺序对于前几个起始值
, 2, ...（OEIS）A070168美元).
 |  , , ... |
| 1 | 1 |
| 2 | 2,1 |
| 三 | 3, 5, 8, 4, 2,1 |
| 4 | 4, 2, 1 |
| 5 | 5, 8, 4, 2, 1 |
| 6 | 6, 3, 5, 8, 4, 2, 1 |
| 7 | 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 |
如果消极的包括数字，有4个已知循环：（1，2）(
),(
,
,
)、和(
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
).这是“广义Collatz”的特例问题”
,
,
,
、和
Terras（1976、1979）也证明了整数 
有极限渐近密度
，如果
是的数字
这样的话
和
，然后是限制
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(3)
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存在。此外，
作为
,所以几乎所有整数有一个有限的停止时间。最后，对所有人来说
,
 |
(4)
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哪里
（拉加里亚斯，1985年）。
Collatz问题的推广
成为正整数和
,...,
是非零 整数。此外让
满足
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(8)
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然后
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(9)
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对于
定义广义Collatz映射。等效形式为
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(10)
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对于
哪里
,...,
是整数和
是楼层功能.该问题与遍历理论和马尔可夫链马修斯得到了下表用于映射
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(11)
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哪里
.
 | #循环 | 最大值。周期长度 |
| 0 | 5 | 27 |
| 1 | 10 | 34 |
| 2 | 13 | 118 |
| 三 | 17 | 118 |
| 4 | 19 | 118 |
| 5 | 21 | 165 |
| 6 | 23 | 433 |
Matthews和Watts（1984）提出了以下推测。
1.如果
,然后是所有的轨迹
对于
最终循环。
2.如果
,然后几乎所有的轨迹
对于
是发散的，除了一组例外的整数 
令人满意的
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(12)
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3.循环次数是有限的。
4.如果轨迹
对于
不是最终循环的，那么迭代是均匀分布的mod
对于每个
，使用
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(13)
|
对于
.
马修斯认为地图
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(14)
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将达到0（mod 3）或将进入其中一个循环
或
，并提供100美元（澳大利亚？）奖金作为证明。
