1937年,L.Collatz提出了一个问题,也称为
映射,
问题,Hasse算法,Kakutani问题,Syracuse算法、锡拉丘兹问题、Thwates猜想和乌拉姆问题(Lagarias 1985)。Thwaites(1996)为解决猜想.让
成为整数然后一种形式的Collatz问题问道如果迭代
![对于a(n-1)偶数,an={1/2a(n-1);对于a(n-1)奇数,a3(n-1](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
始终返回1积极的
.(如果消极的包括数字,有四个已知循环(不包括平凡的0循环):(4,2,1)(
,
), (
,
,
,
,
)、和(
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
).)
的成员序列由Collatz制作的有时被称为冰雹数康威证明了原Collatz问题不存在非平凡的长度环
Lagarias(1985)表明不是具有长度的非平凡循环
Conway(1972)也证明了Collatz型问题可以是正式的无法确定的Kurtz和Simon(2007)证明了Collatz问题的一个自然推广是不可判定的;不幸的是,这个证明不能应用于原来的Collatz问题。
Collatz算法经过测试,发现所有数字总是达到1
(Oliveira e Silva 2008),改善了
(瓦尔迪1991年,第129页)和
(Leavens和Vermeulen,1992年)。因为Erdős评论道,解决这个问题的困难在于“数学尚未做好应对此类问题的准备”(Lagarias 1985)。
下表给出了前几个起始值的序列(组织环境信息系统A070165号).
![a_0(零)](/images/equations/CollatzProblem/Inline35.svg) | , , , ... |
1 | 1 |
2 | 2,1 |
三 | 3, 10, 5, 16, 8,4, 2, 1 |
4 | 4, 2, 1 |
5 | 5, 16, 8, 4, 2, 1 |
6 | 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 |
算法达到1所需的步骤数
, 2, ... 是0、1、7、2、5、8、16、3、19、6、14、9、9、,17, 17, 4, 12, 20, 20, 7, ... (组织环境信息系统A006577号;如上图所示)。其中,三倍步骤的数量为0、0、2、0、1、2、,5, 0, 6, ... (组织环境信息系统A006667号)、和数字减半的步骤是0、1、5、2、4、6、11、3、13。。。(组织环境信息系统A006666号).的最小起始值
生成一个Collatz序列,其中包含
, 2, ... 是1、2、3、3、6、7、3、9、3、7、12、7、9、15、,3, 7, 18, 19, ... (组织环境信息系统A070167号).
Collatz问题可以实现为8-登记机(Wolfram 2002,第100页),准-蜂窝式的自动机(克洛尼等。1987,Bruschi 2005),或6色一维具有局部规则但包裹第一位和最后一位数字的准元自动机(泽勒尼)。一般来说,构建真正的局部规则元胞自动机的困难产生于乘数为3时必须进行进位运算,在最坏的情况下,可能会延伸底座的整个长度-
数字表示(因此需要传播信息速度超过CA的光速)。
Terras(19761979)修改了Collatz问题,他问是否迭代
![对于t(n-1)偶数,tn={1/2t(n-1);对于t(n-1)奇数,tn=2(3t(n-l)+1)](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
初始整数值总是返回1
(例如,Lagarias 1985,Cloney等。1987). 这是简单地说一下上面的原始语句,但将二除合并到加法中步骤如果
是奇数,因此压缩了步骤数。下表给出了顺序对于前几个起始值
, 2, ... (组织环境信息系统A070168号).
![t_0](/images/equations/CollatzProblem/Inline46.svg) | , , ... |
1 | 1 |
2 | 2,1 |
三 | 3, 5, 8, 4, 2,1 |
4 | 4, 2, 1 |
5 | 5, 8, 4, 2, 1 |
6 | 6, 3, 5, 8, 4, 2, 1 |
7 | 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 |
如果消极的包括数字,有4个已知循环:(1,2)(
),(
,
,
)、和(
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
). 这是“广义Collatz”的特例问题”
,
,
,
、和
Terras(1976、1979)也证明了整数
有极限渐近密度
,如果
是的数字
这样的话
和
,然后是限制
![F(k)=lim_(x->infty)(N_x(k))/x,](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation3.svg) |
(3)
|
存在。此外,
作为
,所以几乎所有整数有一个有限的停止时间。最后,为所有人
,
![1-F(k)=lim_(x->infty)(N_x(k))/x<=2^(-etak),](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation4.svg) |
(4)
|
哪里
(拉加里亚斯,1985年)。
Collatz问题的推广让
成为正整数和
,...,
是非零 整数。此外让
满足
![r_i=im_i(修改)。](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation5.svg) |
(8)
|
然后
![T(x)=(m_ix-r_i)/d](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation6.svg) |
(9)
|
对于
定义广义Collatz映射。等效形式为
![T(x)=|_(m_ix)/d_|+x_i](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation7.svg) |
(10)
|
对于
哪里
,...,
是整数和
是楼层功能.问题与有关遍历理论和马尔可夫链马修斯得到了下表用于映射
![T_ k(x)={1/2x对于x=0(mod 2);1/2(3x+k)对于x=1(mod 2),](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation8.svg) |
(11)
|
哪里
.
![k个](/images/equations/CollatzProblem/Inline97.svg) | #循环 | 最大值。周期长度 |
0 | 5 | 27 |
1 | 10 | 34 |
2 | 13 | 118 |
三 | 17 | 118 |
4 | 19 | 118 |
5 | 21 | 165 |
6 | 23 | 433 |
Matthews和Watts(1984)提出了以下推测。
1.如果
,然后是所有的轨迹
对于
最终循环。
2.如果
,然后几乎所有的轨迹
对于
是发散的,除了一组特殊的整数
令人满意的
![#{S|-X中的n<=n<X}=o(X)。](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation9.svg) |
(12)
|
3.循环次数是有限的。
4.如果轨迹
对于
不是最终循环的,那么迭代是均匀分布的mod
对于每个
,使用
![lim_(N->infty)1/(N+1)卡{K<=N|T^K(N)=j(modd^alpha)}=d^(-alpha)](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation10.svg) |
(13)
|
对于
.
马修斯认为地图
![T(x)={7x+3,对于x=0(修改3);1/3(7x+2),对于x=1(修改3](/images/equations/CollatzProblem/NumberedEquation11.svg) |
(14)
|
将达到0(mod 3)或将进入其中一个循环
或
,并提供100美元(澳大利亚?)的奖金作为证明。