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Collatz问题


1937年,L.Collatz提出了一个问题,也称为3倍+1映射,3n+1问题,Hasse算法,Kakutani问题,Syracuse算法、锡拉丘兹问题、Thwates猜想和乌拉姆问题(Lagarias 1985)。Thwaites(1996)为解决猜想.a_0(零)成为整数然后一种形式的Collatz问题问道如果迭代

 对于a(n-1)偶数,an={1/2a(n-1);对于a(n-1)奇数,a3(n-1
(1)

始终返回1积极的 a_0(零).(如果消极的包括数字,有四个已知循环(不包括平凡的0循环):(4,2,1)(-2,-1), (-5,-14,-7,-20,-10)、和(-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122个,-61,-182,-91,-272,-136,-68,-34))

的成员序列由Collatz制作的有时被称为冰雹数康威证明了原Collatz问题不存在非平凡的长度环<400Lagarias(1985)表明不是具有长度的非平凡循环<275000Conway(1972)也证明了Collatz型问题可以是正式的无法确定的Kurtz和Simon(2007)证明了Collatz问题的一个自然推广是不可判定的;不幸的是,这个证明不能应用于原来的Collatz问题。

Collatz算法经过测试,发现所有数字总是达到1<=19·2^(58)约5.48×10^(18)(Oliveira e Silva 2008),改善了10^(15)(瓦尔迪1991年,第129页)和5.6×10^(13)(Leavens和Vermeulen,1992年)。因为Erdős评论道,解决这个问题的困难在于“数学尚未做好应对此类问题的准备”(Lagarias 1985)。

下表给出了前几个起始值的序列(组织环境信息系统A070165号).

a_0(零)a_0(零),a_1,a_2型, ...
11
22,1
3, 10, 5, 16, 8,4, 2, 1
44、2、1
55, 16, 8, 4, 2, 1
66, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
CollatzSteps公司

算法达到1所需的步骤数a_0=1, 2, ... 是0、1、7、2、5、8、16、3、19、6、14、9、9、,17, 17, 4, 12, 20, 20, 7, ... (组织环境信息系统A006577号;如上图所示)。其中,三倍步骤的数量为0、0、2、0、1、2、,5, 0, 6, ... (OEIS)A006667号)、和数字减半的步骤是0、1、5、2、4、6、11、3、13。。。(组织环境信息系统A006666号).的最小起始值a_0(零)生成一个Collatz序列,其中包含n=1, 2, ... 是1、2、3、3、6、7、3、9、3、7、12、7、9、15、,3, 7, 18, 19, ... (组织环境信息系统A070167号).

Collatz问题可以实现为8-登记机(Wolfram 2002,第100页),准-蜂窝式的自动机(克洛尼等。1987,Bruschi 2005),或6色一维具有局部规则但将第一个和最后一个数字包裹起来的准细胞自动机(泽勒尼)。一般来说,构建真正的局部规则元胞自动机的困难产生于乘数为3时必须进行进位运算,在最坏的情况下,可能会延伸底座的整个长度-b数字的表示(因此需要传播信息速度超过CA的光速)。

Terras(19761979)修改了Collatz问题,他问是否迭代

 对于t(n-1)偶数,tn={1/2t(n-1);对于t(n-1)奇数,tn=2(3t(n-l)+1)
(2)

初始整数值总是返回1t_0(例如,Lagarias 1985,《克隆人》等。1987). 这是简单地说一下上面的原始语句,但将二除合并到加法中步骤如果t(n-1)是奇数,因此压缩了步骤数。下表给出了顺序对于前几个起始值t0=1, 2, ... (OEIS)A070168号).

t_0第1天,第2天, ...
11
22,1
3, 5, 8, 4, 2,1
44, 2, 1
55, 8, 4, 2, 1
66, 3, 5, 8, 4, 2, 1
77, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1

如果消极的包括数字,有4个已知循环:(1,2)(-1),(-5,-7,-10)、和(-17,-25,-37,-55,-82,-41,-61,-91,-136,-68,-34). 这是“广义Collatz”的特例问题”d=2,m_0=1,m_1=3,r_0=0、和r_1=-1Terras(1976、1979)也证明了整数 S_k={n:n的停止时间<=k}极限渐近密度F(k),如果N_x(k)是的数字n个这样的话n≤xσ(n)<=k,然后是限制

 F(k)=lim_(x->infty)(N_x(k))/x,
(3)

存在。此外,F(k)->1作为k->输入,所以几乎所有整数有一个有限的停止时间。最后,为所有人k> =1,

 1-F(k)=lim_(x->infty)(N_x(k))/x<=2^(-etak),
(4)

哪里

高(x)=-xlgx-(1-x)lg(1-x
(5)
θ=1/(lg3)
(6)
埃塔=1-H(θ)=0.05004。。。
(7)

(拉加里亚斯,1985年)。

Collatz问题的推广d> =2成为正整数0万,...,m(d-1)非零 整数。此外Z中的r_i满足

 r_i=im_i(修改)。
(8)

然后

 T(x)=(m_ix-r_i)/d
(9)

对于x=i(mod d)定义广义Collatz映射。等效形式为

 T(x)=|_(m_ix)/d_|+x_i
(10)

对于x=i(mod d)哪里X_0,...,X _(d-1)整数|_第页_|楼层功能.该问题与遍历理论马尔可夫链马修斯得到了下表用于映射

 T_k(x)={1/2x,对于x=0(mod 2);1/2(3x+k),对于x=1(mod 2中),
(11)

哪里k=T_(5^k).

k个#循环最大值。周期长度
0527
11034
213118
17118
419118
521165
623433

Matthews和Watts(1984)提出了以下推测。

1.如果|m_0…m_(d-1)|<d^d,然后是所有的轨迹{T^K(n)}对于Z中的n最终循环。

2.如果|m_0…m_(d-1)|>d^d,然后几乎所有的轨迹{T^K(n)}对于Z中的n是发散的,除了一组例外的整数 n个令人满意的

 #{S|-X中的n<=n<X}=o(X)。
(12)

3.循环次数是有限的。

4.如果轨迹{T^K(n)}对于Z中的n不是最终循环的,那么迭代是均匀分布的modd^阿尔法对于每个α>=1,使用

 lim_(N->infty)1/(N+1)卡{K<=N|T^K(N)=j(modd^alpha)}=d^(-alpha)
(13)

对于0<=j<=d ^α-1.

马修斯认为地图

 T(x)={7x+3,对于x=0(mod 3);1/3(7x+2),对于x=1(mod 2);1/3
(14)

将达到0(mod 3)或将进入其中一个循环(-1)(-2,-4),并提供100美元(澳大利亚?)奖金作为证明。


另请参见

冰雹数,摇摆者顺序,Wolfram序列

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Applegate,D.和Lagarias,J.C。3倍+1问题1。树搜索方法。"数学。计算。 64, 411-426, 1995.苹果糖,D.和Lagarias,J.C。3倍+1问题2。克拉西科夫不等式。"数学。计算。 64,427-438, 1995.Bruschi,M.“两个细胞自动机3倍+1地图。"http://arxiv.org/abs/nlin/0502061/.2005年2月26日。Burckel,S.“与同余函数。"理论。公司。科学。 123, 397-406, 1994.克洛尼,T。;Goles,E。;和Vichniac,G.Y。3倍+1问题:准元胞自动机。"复杂系统。 1,1987年第349-360页。康威,J.H。“不可预测的迭代。”程序。1972年数字Th.Conf。科罗拉多州博尔德科罗拉多大学,第49-52页,1972Crandall,R.“关于”3倍+1“问题。"数学。计算。 32,1281-1292中,1978De Mol,L.“标签系统和类Collatz功能”理论。计算。科学。 390, 92-101, 2008.Everett,C.“迭代数论函数的f(2n)=n,f(2n+1)=f(3n+2)."高级数学。 25, 42-45, 1977.家伙,R.K.公司。“Collatz序列”中的§E16未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第215-218页,1994S.A.库尔茨。和Simon,J.“广义Collatz问题。“输入理论计算模型及其应用:第四届国际会议论文集(TAMC 2007)于2007年5月22日至25日在上海举行(编辑J.-Y.Cai,S.B.Cooper,和H.Zhu)。柏林:施普林格出版社,第542-553页,2007年。拉加里亚斯,J.C.公司。3倍+1问题及其推广。"阿默尔。数学。每月 92, 3-23,1985利文斯,G.T。和M.Vermeulen”3x+1个搜索程序。"计算。数学。申请。 24,79-99, 1992.Margenstern,M.和Matiyasevich,Y.“二项式表示3倍+1问题。"《阿里斯学报》。 91, 367-378, 1999.马修斯,K.R.公司。“广义3x+1个映射。"http://www.numbertheory.org/pdfs/survey.pdf.马修斯,K.R.公司。“A广义3倍+1猜想。“[证明奖励100美元。]http://www.numbertheory.org/gnubc/challenge网站.马修斯,K.R.公司。和Watts,A.M。“哈塞斯概括法的推广雪城算法。"《阿里斯学报》。 43, 167-175, 1984.奥利维拉e Silva,T.“最大行程和停车时间记录3倍+1问题:计算结果。"数学。计算。 68, 371-384, 1999.Oliveira e Silva,T.“计算验证3倍+1猜想。”2008年9月19日。网址:http://www.ieeta.pt/~tos/3x+1.html.施罗佩尔,R。;Gosper,R.W。;Henneman,W。;和Banks,R.M.Beeler第133项。;高斯珀,R.W。;和Schroeppel,R。哈克姆。马萨诸塞州剑桥:麻省理工学院人工智能实验室,备忘录AIM-239,第64页,1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/flows.html#item133.斯隆,N.J。答:。序列A006577号/M4323,A006666号/M3733,A006667号/M0019,A070165号,A070166号,A070167号,A070168号,在“整数序列在线百科全书”中特拉斯,R.“关于正整数的停止时间问题。”《阿里斯学报》。 30,241-252, 1976.Terras,R.“论密度的存在”《阿里斯学报》。 35, 101-102, 1979.Thwaites,B.“两个猜想,或如何赢得1100英镑。”数学。加兹。 80, 35-36, 1996.瓦尔迪,I.“3倍+1问题。“第7章英寸计算数学娱乐。加利福尼亚州红木城:Addison Wesley,第129-137页,1991G.J.Wirsching。“优步达斯3n+1个问题。"元素。数学。 55, 142-155, 2000.沃尔夫拉姆,美国。A类新型科学。伊利诺伊州香槟市:Wolfram Media,pp100,122、和904,2002Zeleny,E.“作为元胞自动机的Collatz问题”http://demonstrations.wolfram.com/CollatzProblemAsACellularAutomaton/.

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Collatz问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html网址

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