显示1949个结果中的1-10个。
第页12
三
4
5
6
7
8
9
10...195
1, 2, 4, 3, 8, 9, 6, 5, 16, 27, 18, 25, 12, 15, 10, 7, 32, 81, 54, 125, 36, 75, 50, 49, 24, 45, 30, 35, 20, 21, 14, 11, 64, 243, 162, 625, 108, 375, 250, 343, 72, 225, 150, 245, 100, 147, 98, 121, 48, 135, 90, 175, 60, 105, 70, 77, 40, 63, 42, 55, 28, 33, 22, 13, 128
评论
这是正整数的置换。
注意索引：域从0开始，而范围不包括0，因此这既不是非负整数集上的双射，也不是正自然数集上的单射，而是从前者集到后者的双射。
请注意，平分的偶数是如何返回相同的序列的。（对于a（0）=1，取上限1/2）。
（结束）
这个不规则的表可以表示为二叉树。左边的每个孩子都是通过双倍的父级获得的，右边的每个孩子是通过应用A003961号致家长：
1
|
...................2...................
4 3
8......../ \........9 6......../ \........5
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
16 27 18 25 12 15 10 7
32 81 54 125 36 75 50 49 24 45 30 35 20 21 14 11
等。
（结束）
此序列由A228351号通过应用以下过程：1）消除以一结尾的组合，除非第一个组合是以一结尾，2）从每个组件中减去一个单位，3）用Product_{k=1..r}替换每个元组[t1，…，t_r]A000040型（k） ^（t_k）（参见示例）。
除了（1）、（2）和（6、9、16、7），这个置换还有其他循环吗？（结束）
（在上面的问题中，假设起始偏移量将是1而不是0）。
问题：
（结束）
配方奶粉
对于n>=1，a（2n）是偶数，a（2 n+1）是奇数。a（2^k）=2^（k+1），对于所有k>=0。
a（0）=1，a（1）=2，a（2n）=2*a（n），a（2 n+1）=A003961号（a（n））。
作为对平价的更一般的观察，我们有：
（结束）
作为相关排列的组合：
此外，对于所有n>=0，它认为：
（结束）
--
--
--
--
（结束）
（结束）
例子
[1], [2], [1,1], [3], [1,2], [2,1] ... -> [1], [2], [3], [1,2], ... -> [0], [1], [2], [0,1], ... -> 2^0, 2^1, 2^2, 2^0*3^1, ... = 1, 2, 4, 3, ... -洛伦佐·索拉斯（Lorenzo Sauras Altuzarra）2020年11月28日
数学
f[n_]：=反向@地图[Ceiling[（Length@#-1）/2]&，删除案例[Split@Join[Riffle[IntegerDigits[n，2]，0]，{0}]，{k__}/；k==1]]；{1} ~加入~
表[函数[t，素数[t]乘积[Prime[m]^（f[n][m]]），{m，t}]][DigitCount[n，2，1]]，{n，120}](*迈克尔·德弗利格2016年7月25日*）
黄体脂酮素
（方案，记忆Antti Karttunen的IntSeq-library中定义的宏）
;; 基于给定重复周期的版本：
;; 基于Quet原始公式的版本：
（Python）
从sympy导入质数
如果n：
k、 c，m=n，0，1
而k：
c+=1
m*=素数（c）**（s:=（~k&k-1）.bit_length（））
k>>=s+1
返回m*prime（c）
交叉参考
囊性纤维变性。A000040型,A000120号,A000225号,A000788号,A003961号,A007814号,A054429号,A055396号,A064216号,A135523号,A161992号,A163510号,A245605型,A245612型,A246375型,A246378号,A246681型,A161511号,A228351号,A243499型,A243503型,A243504型,A269854型,A280873型,A285727型,A290251型,A293437型,A337909型.
扩展
由计算出的更多术语和添加的示例安蒂·卡图恩2014年6月20日
古尔德序列：a（n）=Sum_{k=0..n}（二项式（n，k）mod 2）；帕斯卡三角形第n行的奇数条目数(A007318号); a（n）=2^A000120号（n） ●●●●。（原名M0297 N0109）
+20
197
1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 8, 16, 16, 32, 16, 32, 32, 64, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32
评论
也称为连衣裙序列。
这个序列可能更好地称为格雷舍序列，因为詹姆斯·格雷舍表明奇二项式系数以2计算^A000120号（n） 1899年-埃里克·罗兰2017年3月17日[然而，“古尔德序列”这个名字在文献中根深蒂固-N.J.A.斯隆[以美国数学家亨利·沃兹沃斯·古尔德（生于1928年）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月19日]
所有条款均为2的权力。2^k的第一次出现是在n=2^k-1；例如，16的第一次出现是在n=15-罗伯特·威尔逊v2000年12月6日
中第n行三角形中的1数A070886号. -汉斯·哈弗曼2002年5月26日。等效地，一维细胞自动机第n代中的活细胞数，规则90，从单个活细胞开始-本·布兰曼2009年2月28日。第18条同上-N.J.A.斯隆2014年8月9日。这也是OddRule 003定义的奇规则元胞自动机（参见Ekhad-Sloane-Zeilberger“方形网格上的奇规则细胞自动机”链接）-N.J.A.斯隆2015年2月25日
数字k的数量，0<=k<=n，例如（k OR n）=n（按位逻辑OR）：a（n）=#{k:T（n，k）=n，0<=k<=n}，其中T的定义如A080098型. -莱因哈德·祖姆凯勒2003年1月28日
要构造序列，请从1开始并使用规则：如果k>=0，并且a（0），a（1），。。。，a（2^k-1）是第一个2^k项，然后下一个2^k项是2*a（0），2*1，。。。，2*a（2^k-1）-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日
此外，分子（2^k）/k！）Mohammed Bouayoun（Mohammed.Bouayoun（AT）sanef.com），2004年3月3日
帕斯卡三角形中的奇数项形成了Sierpiánski垫圈（分形）-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月20日
态射“1”->“1,2”，“2”->“2,4”，“4”->“4,8”，…，的不动点。。。，“2^k”->“2^k，2^（k+1）”。。。从a（0）=1开始；1 -> 12 -> 1224 -> = 12242448 -> 122424482448488(16) -> ... . -菲利普·德尔汉姆2005年6月18日
a（n）=规则为90的一维细胞自动机第n阶段的1个数Andras Erszegi（Erszegi.Andras（AT）chello.hu），2006年4月1日
对于正n，a（n）等于完全由（1/2）组成的n×n矩阵的永久性分母-约翰·坎贝尔2011年5月26日
这是S（n）={1,2,4,8,16，…}（参见。A000079号). 序列{S（n），n>=0}的游程变换定义为由T（n）=Product_i S（i）给出的序列{T（n。所以T（19）=S（1）*S（2）。T（0）=1（空乘积）-N.J.A.斯隆2014年9月5日
序列的生产矩阵是lim_{k->infinity}M^k，即M的左移向量：
1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 0, 0, 0, 0, ...
0, 1, 0, 0, 0, ...
0, 2, 0, 0, 0, ...
0, 0, 1, 0, 0, ...
0, 0, 2, 0, 0, ...
0, 0, 0, 1, 0, ...
...
结果相当于2003年4月6日的g.f:Product_{k>=0}（1+2*z^（2^k））。（结束）
长度为n的二元回文数，其中第一层（n/2）符号本身是回文（Ji和Wilf 2008）-杰弗里·沙利特2017年6月15日
参考文献
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链接
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Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学。，第98卷（1992年），第163-197页。
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托马斯·皮桑斯基和托马斯·塔克，映射重复截断中的增长，Atti Sem.Mat.Fis.公司。摩德纳大学，第49卷（2001年），补充，第167-176页。
卢卡斯·斯皮格霍夫（Lukas Spiegelhofer）和迈克尔·沃勒（Michael Wallner），二项式系数的二次幂整除，arXiv:1710.10884[math.NT]，2017年。
斯蒂芬·沃尔夫拉姆，细胞自动机的统计力学，修订版。物理。，第55卷（1983年），第601-644页。
斯蒂芬·沃尔夫拉姆，二项式系数的几何阿默尔。数学。《月刊》，第91卷，第9期（1984年11月），第566-571页。
配方奶粉
a（0）=1；对于n>0，写出n=2^i+j，其中0<=j<2^i；则a（n）=2*a（j）。
G.f.：产品{k>=0}（1+2*z^（2^k））-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月6日
a（n）=和{i=0..2*n}（二项式（2*n，i）模2）*（-1）^i-贝诺伊特·克洛伊特2003年11月16日
a（n）=2^n-2*和{k=0..n}层（二项式（n，k）/2）-保罗·巴里2004年12月24日
a（n）=乘积{k=0..log_2（n）}2^b（n，k），b（n、k）=n的二元展开式中2^k的系数-保罗·D·汉纳
a（n）=n/2+1/2+（1/2）*Sum_{k=0..n}（-（-1）^二项式（n，k））-斯蒂芬·克劳利2007年3月21日
等于[1,2,0,0,0,1,0,0]充气的无限卷积(A000079号-1）倍，即[1,2,0,0,0,1,0,0，0,00,0]*[1,0,2,0,1,0，0，0]*[1,0,0.0,0,2,0,0-0,0]-Mats Granvik公司,加里·亚当森2009年10月2日
a（n）=f（n，1），其中f（x，y）=如果x=0，则y否则为f（地板（x/2），y*（1+xmod 2））-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月21日
a（（2*n+1）*2^p-1）=（2^p）*a（n），p>=0-约翰内斯·梅耶尔，2011年6月5日
a（n）=lcm（n！，2^n）/n-丹尼尔·苏图2017年4月28日
a（0）=1，a（2*n）=a（n），a（2*n+1）=2*a（n）-丹尼尔·帕里斯2024年2月15日
例子
具有三角形的自然结构：
.1,
.2,
.2,4,
.2,4,4,8,
.2,4,4,8,4,8,8,16,
.2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,
.2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,32,64,
....
此外，三角形开始于：
.1;
.2,2;
.4,2,4,4;
.8,2,4,4,8,4,8,8;
16,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16;
32,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,32;
64,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,...
（结束）
G.f.=1+2*x+2*x^2+4*x^3+2*x^4+4*x*x^5+4*x|6+8*x^7+2*x|8+。。。
MAPLE公司
A001316号：=进程（n）局部k；加法（二项式（n，k）mod 2，k=0..n）；结束；
S： =[1]；S： =[op（S），op（2*S）]；#无限重复！
a:=n->2^加（i，i=转换（n，基数，2））#彼得·卢什尼2009年3月11日
数学
表[Sum[Mod[二项式[n，k]，2]，{k，0，n}]，{n，0，100}]
嵌套[Join[#，2#]&，｛1｝，7](*罗伯特·威尔逊v2006年1月24日，2014年7月27日修订*）
Map[Function[Apply[Plus，Flatten[#1]]]，CellularAutomaton[90，{{1}，0}，100]]（*生成ON单元的计数。N.J.A.斯隆2009年8月10日*）
ArrayPlot[CellularAutomaton[90，{{1}，0}，20]]（*前20代插图-N.J.A.斯隆2014年8月14日*）
表[2^（实际数字[n-1，2][[1]]//总计），{n，1，100}](*加布里埃尔·C·贝纳米2009年12月8日*）
计数[#，_？OddQ]&/@表[二项式[n，k]，{n，0，90}，{k，0，n}](*哈维·P·戴尔2015年9月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，分子（2^n/n！））}；
（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a001316_list=1:zs其中
zs=2：（concat$transporte[zs，map（*2）zs]）
（鼠尾草、蟒蛇）
从functools导入缓存
@高速缓存
如果n<=1：返回n+1
（Python）
返回2**bin（n）[2:].count（“1”）#印地瑞尼Ghosh，2017年2月6日
（方案）（定义(A001316号n） （let loop（（n n）（z 1））（cond（（零？n）z）（（偶数？n）（loop（/n 2）z）））（else（loop）（/（-n 1）2）（*z 2））））；；安蒂·卡图恩2017年5月29日
交叉参考
对于（a，b）的以下值生成函数Product_{k>=0}（1+a*x^（b^k）），请参见：（1,2）A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671美元, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
囊性纤维变性。A051638号,A048967号,A007318号,A094959号,A048896号,A117973号,A008977号,A139541号,A048883号,A102376号,A038573号,A159913号,A000079号,A166548号,A006047号,A089898号,A105321号,A061142号.
用k的二进制展开式中的1的数目的性质对k进行编号（参见A000120号)除以k。
+20
61
1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 21, 24, 32, 34, 36, 40, 42, 48, 55, 60, 64, 66, 68, 69, 72, 80, 81, 84, 92, 96, 108, 110, 115, 116, 120, 126, 128, 130, 132, 136, 138, 144, 155, 156, 160, 162, 168, 172, 180, 184, 185, 192, 204, 205, 212, 216, 220, 222, 228
链接
保罗·戴伦伯格和汤姆·埃德加，连续阶乘基数尼文数《斐波纳契季刊》，第56卷，第2期（2018年），第163-166页。
Jean-Marie De Konink、Nicolas Doyon和Imre Kátai，关于Niven数的计数函数《算术学报》，第106卷，第3期（2003年），第265-275页。
配方奶粉
a（n）似乎渐近于c*n*log（n），其中0.7<c<0.8-贝诺伊特·克洛伊特，2003年1月22日
从启发性的角度来看，c应该是1/（2*log（2）），因为随机d位数字在序列中的概率大约为2/d-罗伯特·伊斯雷尔2014年8月22日
De Koninck等人（2003）证明了不超过x，N_b（x）的基-b Niven数的个数渐近等于（2*log（b）/（b-1）^2）*Sum_{j=1..b-1}gcd（j，b-1）+o（1））*x/log（x）。对于b=2，N_2（N）~（2*log（2）+o（1））*x/log（x）。因此，上述常数c实际上是1/（2*log（2））-阿米拉姆·埃尔达尔2020年8月16日
例子
20在序列中，因为20是以二进制形式写的10100，而1+1=2除以20。
21在序列中，因为21是以二进制形式10101写入的，而1+1+1=3除以21。
22不在序列中，因为22以二进制1+1+1=3写入10110，而二进制1+1+1=3不除22。
MAPLE公司
a： =proc（n）local n2:n2:=convert（n，base，2）：如果n mod add（n2[i]，i=1..nops（n2））=0，则n else fi end:seq（a（n），n=1..300）#Emeric Deutsch公司2007年4月11日
数学
选择[Range[300]、Divisible[#、DigitCount[#、2、1]]]&](*哈维·P·戴尔2016年3月20日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=11000，b=二进制（n））；l=长度（b）；如果（n%总和（i=1，l，分量（b，i））==0，打印1（n，“，”））
（PARI）isok（n）=！（海明威（n）%）\\米歇尔·马库斯2016年2月10日
（哈斯克尔）
a049445 n=a049445_列表！！（n-1）
a049445_list=映射（+1）$elemIndices 0 a199238_list
（Python）
A049445号=[n代表范围（1，10**5）中的n，如果不是n%总和（[int（d）代表bin（n）[2:]]中的d）]#柴华武2014年8月22日
1, 3, 3, 9, 3, 9, 9, 27, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 9, 27, 27, 81, 27, 81, 81, 243, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 9, 27, 27, 81, 27, 81, 81, 243, 9, 27, 27, 81, 27, 81, 81, 243, 27, 81, 81, 243, 81, 243, 243, 729, 3, 9, 9, 27, 9, 27, 27, 81, 9, 27, 27, 81, 27, 81
评论
或者，a（n）=根据规则进化的二维细胞自动机第n阶段的1个（“活”细胞）数量：如果NE+NW+s=1，则为1，否则为0。
这是OddRule 013定义的奇规则元胞自动机（请参阅Ekhad-Sloane-Zeilberger“方形网格上的奇规则细胞自动机”链接）-N.J.A.斯隆2015年2月25日
或者，以S=[1]开头；将S替换为[S，3*S]；无限重复。
态射1->13，3->39，9->9（27）的不动点，…=3^k->3^k 3^（k+1）。。。从a（0）=1开始；1 -> 13 -> 1339 -> = 1339399(27) -> 1339399(27)399(27)9(27)(27)(81) -> ..., . -罗伯特·威尔逊v2006年1月24日
该序列属于表型Punnett平方数学。从X=1开始。每个杂交组合涉及方程式X:3X。因此，第一（单）杂交组合的比率为X=1:3X=3（1）或3；或3:1。当你移动到下一个杂交水平时，用X替换之前的交叉比率。X现在代表2个数字-1:3。因此，第二个（二）杂交组合的比率为X=（1:3）：3X=[3（1）：3（3）]或（3:9）。把它放在一起，得到1:3:3:9。每次你提升杂交水平时，用X替换之前的比率，并使用相同的方程式-X:3X得到它的比率John Michael Feuk，2011年12月10日
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
Shalosh B.Ekhad、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger，方形网格上的奇数规则元胞自动机，arXiv:153.04249[math.CO]，2015年。
Tanya Khovanova，没有巧合，arXiv预印本1410.2193[math.CO]，2014。
T.Pisanski和T.W.Tucker，地图重复截断的增长，收件人：。半实物财务。摩德纳大学，第49卷（2001），167-176。(预印本)
N.J.A.Sloane，《关于细胞自动机中On细胞的数量》，罗格斯大学Doron Zeilberger实验数学研讨会演讲视频，2015年2月5日：第1部分,第2部分
配方奶粉
a（n）=Product_{k=0..log_2（n）}3^b（n，k），其中b（n、k）=n的二进制展开式中2^k的系数（偏移量0）-保罗·D·汉纳
如果n是偶数，则a（n）=3*a（n/2），否则a（n）=a（（n+1）/2）。
G.f.：产品{k>=0}（1+3*x^（2^k））。推广k^A000120号具有生成函数（1+kx）*（1+kx^2）*（1+kx^4）*。。。
a（n+1）=和{i=0..n}（二项式（n，i）mod 2）*和{j=0..i}（二项式（i，j）mod 2中）-贝诺伊特·克洛伊特2003年11月16日
G.f.A.（x）满足：A（x）=（1+3*x）*A（x^2）-伊利亚·古特科夫斯基2019年7月9日
例子
三角形开始：
1;
三；
3,9;
3,9,9,27;
3,9,9,27,9,27,27,81;
3,9,9,27,9,27,27,81,9,27,27,81,27,81,81,243;
3,9,9,27,9,27,27,81,9,27,27,81,27,81,81,243,9,27,27,81,27,81,81,243,27,...
或者
1;
3,3;
9,3,9,9;
27,3,9,9,27,9,27,27;
81,3,9,9,27,9,27,27,81,9,27,27,81,27,81,81;
243,3,9,9,27,9,27,27,81,9,27,27,81,27,81,81,243,9,27,27,81,27,81,81,243,27...
（结束）
数学
嵌套[Join[#，3#]&，{1}，6](*罗伯特·威尔逊v2006年1月24日，2014年7月27日修订*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=n=二进制（n）；3^总和（i=1，#n，n[i]）
（哈斯克尔）
a048883=a000244。a000120号--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月14日
交叉参考
对于（a，b）的以下值生成函数Product_{k>=0}（1+a*x^（b^k）），请参见：（1,2）A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695美元, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674美元.
1, 1, 2, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 2, 4, 4
评论
a（n），n>=1:1-（（sin x）/x）^2的Maclaurin级数的分子，A117972号（n） ，n>=2:1-（sinx）/x）^2的Maclaurin级数的分母，Montgomery对相关猜想中的相关函数-丹尼尔·福格斯2011年10月16日
此外，还包括按标准顺序排列的第（n+1）个成分的粗化次数。标准顺序的第k个成分（分级反向放射学，A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，在0前面加上前缀，取第一个差分，然后再次反转，即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。有关标准成分的序列，请参阅链接。例如，（2,1,1）的a（10）=4粗化为：（2,1,1,1），（2,2），（3,1），（4）。
此外，n+1出现的次数A357134飞机例如，11出现在位置11、20、33和1024处，因此a（10）=4。
（结束）
链接
Neil J.Calkin、Eunice Y.S.Chan、Robert M.Corless、David J.Jeffrey和Piers W.Lawrence，分形特征向量，arXiv:2104.01116[math.DS]，2021。
配方奶粉
似乎a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（2*（n+1），k）mod 2.-克里斯托弗·勒纳德（c.Lenard（AT）bendigo.latrobe.edu.au），2001年8月20日
a（0）=1；a（2*n）=2*a（2xn-1）；a（2*n+1）=a（n）。
a（n）=（1/2）*A001316号（n+1）-Mohammed Bouayoun（bouyao（AT）wanadoo.fr），2004年3月26日
似乎a（n）=和{k=0..2n}层（二项式（2n+2，k+1）/2）（-1）^k=2^n-和{k=0..n+1}层-保罗·巴里2004年12月24日
a（n）=分子（b（n）），其中sin（x）^2/x=Sum_{n>0}b（n，n）*（-1）^nx^（2*n-1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年2月6日
a（n）=分子（2^n/（n+1）！）-文森佐·利班迪2014年4月12日
例子
如果写成三角形：
1;
1,2;
1,2,2,4;
1,2,2,4,2,4,4,8;
1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16;
1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32;
...,
（结束）
MAPLE公司
a:=n->2^（加（i，i=转换（n+1，基数，2））-1）：seq（a（n），n=0..97）#彼得·卢什尼2009年5月1日
数学
NestList[Flatten[#1/.a_Integer->{a，2a}]&，{1}，4]//扁平(*罗伯特·威尔逊v2012年8月1日*）
表[分子[2^n/（n+1）！]，{n，0，200}](*文森佐·利班迪2014年4月12日*）
分母[Table[BernoulliB[2*n]/（Zeta[2*n]/Pi^（2*n）），｛n，1100｝]](*特里·格兰特2017年5月29日*）
表[分母[（（2n）！/2^（2n+1）））（-1）^n]，{n，1，100}]/4(*特里·格兰特2017年5月29日*）
2^整数指数[CatalanNumber[Range[0，100]]，2](*哈维·P·戴尔2018年4月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<1，1，如果（n%2，a（n/2-1/2），2*a（n-1））
（PARI）a（n）=1<<（汉明重量（n+1）-1）\\凯文·莱德2022年2月19日
（哈斯克尔）
a048896 n=a048896_列表！！n个
a048896_list=f[1]其中f（x:xs）=x:f（xs++[x，2*x]）
（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a048896=a000079。a000120号
a048896_list=1:concat（转置
[zipWith（-）（map（*2）a048896_list）a0488 96_lists，
地图（*2）a048896_list]）
（岩浆）[分子（2^n/阶乘（n+1））：[0..100]]中的n//文森佐·利班迪2014年4月12日
1, 4, 4, 16, 4, 16, 16, 64, 4, 16, 16, 64, 16, 64, 64, 256, 4, 16, 16, 64, 16, 64, 64, 256, 16, 64, 64, 256, 64, 256, 256, 1024, 4, 16, 16, 64, 16, 64, 64, 256, 16, 64, 64, 256, 64, 256, 256, 1024, 16, 64, 64, 256, 64, 256, 256, 1024, 64, 256, 256, 1024, 256, 1024, 1024
评论
考虑一个简单的细胞自动机，一个由二元细胞c（i，j）组成的网格，其中网格的下一个状态是通过对每个细胞应用以下规则来计算的：c（i、j）=（c（i+1，j-1）+c（i+1,j+1）+c，然后，电网后续状态的合计值将成为该序列中的项Andras Erszegi（Erszegi.Andras（AT）chello.hu），2006年3月31日。请参阅初始状态的链接-N.J.A.斯隆2015年2月12日
这是OddRule 033定义的奇规则元胞自动机（参见Ekhad-Sloane-Zeilberger“方形网格上的奇规则细胞自动机”链接）-N.J.A.斯隆2015年2月25日
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
Shalosh B.Ekhad、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger，方形网格上的奇数规则元胞自动机，arXiv:1503.04249[数学.CO]，2015年。
N.J.A.Sloane，《关于细胞自动机中On细胞的数量》，罗格斯大学Doron Zeilberger实验数学研讨会演讲视频，2015年2月5日：第1部分,第2部分
配方奶粉
G.f.：产品{k>=0}1+4x^（2^k）。
a（n）=乘积{k=0..log_2（n）}4^b（n，k），b（n、k）=n的二元展开中2^k的系数。
a（n）=和{k=0..n}（C（n，k）模2）*3^A000120号（n-k）。（结束）
a（n）=和{k=0..n}（C（n，k）模2）*和{j=0..k}（C（k，j）模2-保罗·巴里2005年4月1日
G.f.A（x）满足0=f（A（x），A（x^2），A（x^4）），其中f（u，v，w）=w*（u^2-2*u*v+5*v^2）-4*v^3-迈克尔·索莫斯2008年5月29日
例子
1+4*x+4*x^2+16*x^3+4*x^4+16*x^5+16**x^6+64*x^7+4*x*^8+。。。
三角形开始：
1;
4;
4,16;
4,16,16,64;
4,16,16,64,16,64,64,256;
4,16,16,64,16,64,64,256,16,64,64,256,64,256,256,1024;
4,16,16,64,16,64,64,256,16,64,64,256,64,256,256,1024,16,64,64,256,64,256,...
（结束）
MAPLE公司
seq（4^转换（转换（n，base，2），`+`），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2017年4月30日
数学
表[4^DigitCount[n，2，1]，{n，0，100}](*印地瑞尼Ghosh2017年4月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，4^子集（Pol（二进制（n），x，1））}/*迈克尔·索莫斯2008年5月29日*/
（哈斯克尔）
（Python）
定义a（n）：返回4**bin（n）[2:].count（“1”）#印地瑞尼Ghosh2017年4月30日
（Python 3.10+）
交叉参考
对于（a，b）的以下值生成函数Prod_{k>=0}（1+a*x^（b^k）），请参见：（1,2）A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669号, (2,5)A151670号, (3,2)A048883号, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
0, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 7, 1, 3, 3, 7, 3, 7, 7, 15, 1, 3, 3, 7, 3, 7, 7, 15, 3, 7, 7, 15, 7, 15, 15, 31, 1, 3, 3, 7, 3, 7, 7, 15, 3, 7, 7, 15, 7, 15, 15, 31, 3, 7, 7, 15, 7, 15, 15, 31, 7, 15, 15, 31, 15, 31, 31, 63, 1, 3, 3, 7, 3, 7, 7, 15, 3, 7, 7, 15, 7, 15, 15, 31, 3, 7, 7, 15, 7, 15, 15, 31
评论
二进制展开中与n具有相同数目1的最小数。
态射的不动点0->01，1->13，3->37，…=k->k，2k+1。。。从a（0）=0开始；1 -> 01 -> 0113 -> 01131337 -> 011313371337377(15) -> ..., . -罗伯特·威尔逊v2006年1月24日
作为无限字符串，以“1”开头的每行2^n个项：（1；1,3；1,3,3,7；1,3,1,7,3,7,7,5,7,7，7,15,7,15,15,15，…）
a（n）也是第n代细胞自动机开启的细胞数A267700型在方形网格上的90度扇形区域中。
a（n）也是第n代结构中添加的Y牙签数量A267700型在三角形网格上的120度扇区中。（结束）
配方奶粉
a（n）=f（n，1），f（x，y）=如果x=0，则y-1其他f（楼层（x/2），y*（1+x mod 2））-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月21日
a（n）=（n mod 2+1）*a（楼层（n/2））+n mod 2-莱因哈德·祖姆凯勒2012年10月10日
通用公式：-1/（1-x）+产品{k>=0}（1+2*x^（2^k））-伊利亚·古特科夫斯基2019年8月20日
G.f.A（x）=x+x^2*A（x”）+（1+2*x）*（1-x^2）*A（x^2”）-迈克尔·索莫斯，2023年7月24日
例子
9=1001->0011->3，因此a（9）=3。
按行读取三角形：
1;
1, 3;
1, 3, 3, 7;
1, 3, 3, 7, 3, 7, 7, 15;
1, 3, 3, 7, 3, 7, 7, 15, 3, 7, 7, 15, 7, 15, 15, 31;
...
G.f.=x+x ^2+3*x ^3+x ^4+3*x ^5+3**x ^6+7*x ^7+x ^8+3*x^9+3*x^10+7*x^11+-迈克尔·索莫斯，2023年7月24日
MAPLE公司
seq（2^转换（转换（n，base，2），`+`）-1，n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2016年1月24日
数学
数组[2^Count[IntegerDigits[#，2]，1]-1&，100]
嵌套[扁平[#/.a_Integer->{a，2a+1}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v2006年1月24日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=2^subst（Pol（binary（n）），x，1）-1}；
（PARI）a（n）=2^体重（n）-1\\米歇尔·马库斯2016年1月24日
（哈斯克尔）
a038573 0=0
a038573 n=（m+1）*（a038573n’）+m，其中（n'，m）=divMod n 2
（Python 3.10+）
0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3
评论
当n=2^k-1，k=0,1，…时，a（n）=0，。。。
似乎是二进制左转的数量（迭代次数A006257号)达到形式2^k-1的固定点。右旋模拟为A063250型这意味着，对于n>=0，a（n）=f（n）递归定义为0，对于n=0，否则定义为f（（1-n）（1-p）（1-s）-（1-n-p-s））/2）+p（s+1）/2，其中p=n mod 2和s=-符号（n）（f（n<0）是A000120号（-n））-马克·勒布伦2001年7月11日
设f（0）=01，f（1）=12，f（2）=23，f（3）=34，f（4）=45，等等。。。也可以是f（f（…f（0）…））收敛到A000120号. -菲利普·德尔汉姆2003年8月14日
C（n，k）是行读取的该序列第n组术语中k的出现次数：{0}；{0, 1}; {0, 1, 1, 2}; {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3}; {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4 }; ... -菲利普·德尔汉姆2004年1月1日
2^a（n）是（sinx）^2的麦克劳林级数中的分子-雅各布·西勒2009年11月11日
配方奶粉
a（2*n）=a（n-1）+1，a（2xn+1）=a（n）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月10日
通用公式：（1/（x-x^2））*（x^2/（1-x）-和{k>=1}x^（2^k）/（1-x^-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月13日
例子
序列可以用以下形式书写（不规则三角形）：
0,
0,1,
0,1,1,2,
0,1,1,2,1,2,2,3,
0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,
0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,
...
（结束）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n++；n/=2^赋值（n，2）；子集（Pol（二进制（n）），x，1）-1）}/*迈克尔·索莫斯2007年8月23日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，赋值（（2*n）！/n！/（n+1）！，2））}/*迈克尔·索莫斯2007年8月23日*/
（PARI）a（n）=重量（n+1）-1\\米歇尔·马库斯2022年11月15日
（哈斯克尔）
a048881 n=a048881_list！！n个
a048881_list=c[0]其中c（x:xs）=x:c（xs++[x，x+1]）
（Python 3.10+）
定义A048881号（n） ：return（n+1）.bit_count（）-1#柴华武2022年11月15日
a（n）=n+wt（n），其中wt（n）=A000120号（n） =n的二进制重量。
+20
39
0, 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10, 9, 11, 12, 14, 14, 16, 17, 19, 17, 19, 20, 22, 22, 24, 25, 27, 26, 28, 29, 31, 31, 33, 34, 36, 33, 35, 36, 38, 38, 40, 41, 43, 42, 44, 45, 47, 47, 49, 50, 52, 50, 52, 53, 55, 55, 57, 58, 60, 59, 61, 62, 64, 64, 66, 67, 69, 65, 67, 68, 70, 70, 72, 73, 75
链接
Max A.Alekseyev和N.J.A.Sloane，关于Kaprekar的连接数，arXiv:2112.143652021；组合数学与数论杂志12:3（2022），115-155。
配方奶粉
通用公式：（1/（1-x））*和{k>=0}（2^k+1）*x^-伊利亚·古特科夫斯基，2017年7月23日
黄体脂酮素
（哈斯克尔）a092391 n=n+a000120号n个--莱因哈德·祖姆凯勒2012年5月13日
（Python）
定义a（n）：返回n+bin（n）.count（“1”）
打印（[a（n）代表范围（72）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年5月26日
1, 1, 2, 2, 8, 8, 16, 16, 128, 128, 256, 256, 1024, 1024, 2048, 2048, 32768, 32768, 65536, 65536, 262144, 262144, 524288, 524288, 4194304, 4194304, 8388608, 8388608, 33554432, 33554432, 67108864, 67108864, 2147483648, 2147483648, 4294967296
评论
a（n）是对称群S_n的Sylow 2-子群的大小。
也是2的最大幂，是n的一个因子！（除a（3）外）最大完美幂，它是n！的一个因子！。
e（n，n）的分母（见枫叶线）。
链接
V.H.Moll，积分的评价：个人故事，通知Amer。数学。《社会学杂志》，49（3）（2002），311-317。
配方奶粉
a（n）=2^（楼层（n/2）+楼层（n/4）+楼板（n/8）+地板（n/16）+…）。
a（n）=分母（L（n）），有理L（n）：=二项式（2*n，n）/2^n。L（n”）是勒让德多项式P_n（x）的主导系数。
L（n）=（2*n-1）/n！，使用双阶乘（2*n-1）=A001147号（n） ，n>=0。
a（n）=（n！XOR floor（n！/2））XOR（n！-1 XOR flower（（n！-1-）/2））-加里·德特利夫斯2014年6月13日
a（n）=分母（加泰罗尼亚语（n-1）/2^（n-1-文森佐·利班迪，2014年9月1日
a（2*n）=a（2xn+1）=2^n*a（n）-罗伯特·伊斯雷尔，2014年9月1日
例子
G.f.=1+x+2*x ^2+2*x^3+8*x ^4+8*x^5+16*x ^6+16*x^7+128*x ^8+。。。
e（n，n）序列开始于1，1，3/2，5/2，35/8，63/8，231/16，429/16，6435/128，12155/128，46189/256。
MAPLE公司
e:=进程（l，m）局部k；加上（2^（k-2*m）*二项式（2*m-2*k，m-k）*二项式（m+k，m）*二项式（k，l），k=l.m）；结束；
HammingWeight:=n->添加（转换（n，基数，2））：
seq（2^（n-火腿重量（n）），n=0..34）#彼得·卢什尼2024年3月23日
数学
表[GCD[w！，2^w]，{w，100}]
（*第二个程序，效率更高*）
数组[2^（#-数字计数[#，2，1]）&，35，0](*迈克尔·德弗利格2024年3月23日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=分母（polcoeff（pollegendre（n），n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2^sum（k=1，n，n\2^k））}；
（PARI）{用于（n=0200，s=0；d=2；while（n>=d，s+=n\d；d*=2）；写入（“b060818.txt”，n，“”，2^s）；）}\\哈里·史密斯2009年7月12日
（鼠尾草）
（岩浆）[1]猫[分母（加泰罗尼亚语（n）/2^n）：n in[0..50]]//文森佐·利班迪，2014年9月1日
（Python 3.10+）
作者
艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年4月29日
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