话题
搜索

随机行走——一维

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本

让N个沿着线.让第页是向右迈出一步的概率，q个向左迈出一步的概率，氮1向右走的步数，以及氮气向左走的步数。数量第页,q个,氮1,氮气,和N个与…相关

p+q=1
(1)

和

n_1+n_2=n。
(2)

现在检查准确服用的概率氮1步，共步N个右边。有（N；n1）=（n1+n2；n1采取的方式氮1向右走几步氮气左边，其中（n；m）是一个二项式系数.取特定有序序列的概率氮1和氮气步骤是p（n1）q（n2）因此，

P（n_1）=（（n_1+n_2）！）/（n1！n2！）p^（n1）q^（n 2）=（n！）/（n 1！（n-n 1）！）p^（n_1）q^（n-n_1，
(3)

哪里不！是一个阶乘的。但这只是一个二项式分布，所以意思是步骤数氮1右边是

＜n_ 1＞＝pN时，
（4）

左边的平均步数是

<n_2>=n-<n_1>=n（1-p）=qN。
(5)

类似地方差由给定

σ_（n_1）^2=<n_1^2>-<n_1>^2=Npq，
(6)

和根-平方偏差为

σ_（n_1）=sqrt（Npq）。
(7)
随机行走偏差

现在考虑距离的分布d_N（数字）在给定步数后行驶，

d_N=N_1-N_2=2n_1-N，
(8)

而不是数给定方向上的步骤。以上图表显示d_N（p）对于N=200和三个值p=0.1,p=0.5、和p=0.9分别是。很明显，将步骤加权为一方向或其他因素影响整体趋势，但仍有很多随机散布，如下图所示，图中显示了三次随机漫步都有p=0.5.

随机行走

令人惊讶的是，行走中最可能发生的符号变化数是0，其次是1，然后是2，依此类推。

对于随机行走p=1/2，概率P_N（d）行驶一定距离d日之后N个下表给出了步骤。

步骤-5-4-3-2-1012三45
01
11/201/2
21/402/401/4
三1/803/803/801/8
41/（16）04/(16)06/(16)04/(16)01/(16)
51/(32)05/(32)0(10)/(32)0(10)/(32)05/(32)01/(32)

在该表中，通过添加一半将给定行中的每个单元格转换为其斜下方的两个单元格中的每个。事实上，很简单帕斯卡三角形用介入物填充零，每行乘以1/2的额外因子。这个系数在这个三角形中

P_N（d）=1/（2^N）（N；（d+N）/2）
(9)

（帕普利斯1984年，第291页）。时刻

mu_p=sum_（d=-N，-（N-2），。。。，N） d^pP_N（d）
(10)

的分布签署距离由下式给出

亩=0
(11)
二氧化锰=N个
(12)
μ3=0
(13)
四氧化二锰=N（3N-2），
(14)

所以意思是是mu=0，的偏斜度是γ_1=0、和峰态超越是

γ_2=-2/N。
(15)

之后绝对距离的期望值N个因此，步骤如下所示

<d_N>=总和（d=-N，-（N-2），…）^（N） |d|P_N（d）
(16)
=1/（2^N）sum_（d=-N，-（N-2），…）^（N） （|d|N！）/（（N+d）/2）！（（N-d）/2）！）。
(17)

这个总和可以通过单独考虑案例来象征性地完成N个 即使和N个 古怪的首先，考虑即使 N个以便N=2焦耳.然后

<d_（2J）>=（N！）/（2^N）[总和_（d=-2J，；-2（J-1），…）^（-2）（|d|）/（（2J+d）/2）！（2J-d）/2
(18)
=（N！）/（2^N）[sum_（d=-J，-（J-1），…）^（-1）（|2d|）/（（2J+2d）/2）！（2J-2d）/2
(19)
=（N！）/（2^N）[2sum_（d=1）^（J）（2d）/（（J+d）！（J-d）！）]
(20)
=（N！）/（2^（N-2））总和_（d=1）^（J）d/（（J+d）！（J-d）！）。
(21)

但这个总和可以通过分析计算为

sum_（d=1）^Jd/（（J+d）！（J-d）！）=1/（2伽马（J）伽马（1+J））。
(22)

写作J=无,重新插入并简化

<d_（N偶数）>=2/（sqrt（pi））（伽马（1/2+1/2N））/（伽玛（1/2N））=（（N-1）！）/（（N-2）！！），
(23)

哪里N！！是双阶乘.

现在考虑N个 古怪的，所以N=2J-1.然后

<d_（奇数N）>=<d_（2J-1）>
(24)
=（N！）/（2^N）[总和_（d=-（2J-1），；-（2J+1），…）^（-1）（|d|）/（（2J-1+d）/2）
(25)
=（N！）/（2^（N-1））[sum_（d=1,3，…）^（2J-1）d/（（（2J-1+d）/2）！（（2J-1-d）/2）！）]
(26)
=（N！）/（2^（N-1））[总和_（d=2.4，…）^（2J）（d-1）/（（2J-2+d）/2）！（2J-d）/2！）]
(27)
=（N！）/（2^（N-1））[sum_（d=1）^（J）（2d-1）/（（J+d-1）！（J-d）！）]。
(28)

但这个总和可以通过分析计算为

sum_（d=1）^J（2d-1）/（（J+d-1）！（J-d）！）=1/（[γ（J）]^2）。
(29)

写作J=（N+1）/2,重新插入并简化

<d_（奇数N）>=（N！）/（2^（N-1）[伽马（1/2+1/2N）]^2）
(30)
=2/（sqrt（pi））（伽玛（1/2N+1））/（伽玛（1/2N+1/2））
（31）
=（N！！）/（N-1）！！）。
（32）

两者都是即使和古怪的解决方案可以用J型作为

<d_J>=2/（平方（pi））（伽马（J+1/2））/（伽玛（J））=（（2J-1）！）/（（2J-2）！！），
(33)

或明确表示N个作为

<d_N>=2^（1-n）[n/2]（n；[n/2）
(34)
={（（N-1）！！）/（（N-2）。
(35)

的前几个值<d_N>对于N=0, 1, ... 因此是0、1、1、3/2、3/2，15/8、15/8，35/16，35/16, ... （组织环境信息系统A086116号和A060818型;Abramowitz和Stegun 1972，Prévost 1933，Hughes 1995），其中条款每对都由生成函数

（1-x）^（-3/2）=1+3/2x+（15）/8x^2+（35）/（16）x^3+（315）/（128）x^4+。。。。
(36)

这些数字也出现在头尾相连分布.

现在，检查<d_N>。的渐近展开伽马射线功能比例为

（伽马射线（J+1/2））/（伽马（J））=平方（J）（1-1/（8J）+1/（128J^2）+…）
(37)

（格雷厄姆等。1994），因此插入以下表达式<d_N>给出了渐近级数

<d_N>=平方（（2N）/pi）（1∓1/（4N）+1/（32N^2）+/-5/（128N^3）-（21）/（2048N^4），
(38)

上面的标志被视为N个 即使和底部标志N个 古怪的因此，对于大型N个,

<d_N>～sqrt（（2N）/pi），
(39)

Grünbaum（1960）、Mosteller也展示了这一点等。（1961年，第14页），和科尼格等。(1999).

Tóth（2000）已经证明，在具有单位步长的一维简单对称随机行走中，最多访问的站点不超过三个。

另请参见

二项分布,加泰罗尼亚数字,头-负-尾分发,第页-好的道路,Pólya的随机行走常数,随机行走——二维,随机行走——三维,自我回避步行,维纳过程

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Abramowitz，M.和Stegun，I.A.（编辑）。《数学函数与公式、图表和数学表格手册》，第9版。纽约：多佛，第7981972页。Chandrasekhar，S.“随机物理学和天文学问题。"现代物理学评论。 15, 1-89,1943年重印挑选出来的噪声与随机过程论文（编辑N.Wax）。纽约：多佛，第3-91页，1954年。Erdős，P.和Révész，P.“关于随机漫步的最爱。"数学。结构——计算。数学--数学。模型。（索非亚） 2, 152-157, 1984.Erdős、P.和Révész，P.《随机行走的问题和结果》数学统计学与概率论，B卷：统计推断与方法。第六届帕诺数理统计学术讨论会会议记录Tatzmannsdorf，1986年9月14日至20日（编辑P.Bauer，F.Koneczny，和W.Wertz），荷兰多德雷赫特：雷德尔，第59-65页，1987年。伐木机，W.Ch.3英寸安概率论及其应用导论，第1卷，第3版，修订版。印刷。纽约：威利出版社，1968年。Gardner，M.“随机行走和赌博。“第6章英寸数学马戏团：更多的谜题、游戏、悖论和其他数学娱乐。华盛顿特区：数学。美国协会。，第66-74页，1992年。格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和Patashnik，O。中问题9.60的答案混凝土数学：计算机科学基金会，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1994Grünbaum，B.“投影常数”事务处理。阿米尔。数学。Soc公司。 95, 451-465, 1960.Hersh，R.和Griego，R.J。“布朗运动和势理论。”科学。阿米尔。 220第67-74页，1969Hughes，B.D.等式（7.282）英寸随机行走与随机环境，第1卷：随机行走。纽约：牛津大学出版社，第513页，1995年。Kac，M.“随机行走和布朗运动理论。"阿默尔。数学。每月 54, 369-391, 1947.重印于挑选出来的噪声与随机过程论文（编辑N.Wax）。纽约：多佛，第295-317页，1954年。König，H。；舒特，C。；和Tomczak-Jaegermann，N.“对称空间的投影常数和钦钦不等式的变体”J.reine angew。数学。 511, 1-42, 1999.Mosteller，F。；洛克，R.E.K。；和G.B.托马斯。概率和统计。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1961年。帕普利斯，A.“随机行走”概率，随机变量和随机过程，第二版。纽约：McGraw-Hill，第290-291页，1984年。普雷沃斯特，G。功能表Sphériques。巴黎：戈蒂尔·维拉斯，第156-157页，1933年。雷维斯，第页。随机在随机和非随机环境中行走。新加坡：《世界科学》，1990年。斯隆，N.J.A.序列A060818型和A086116号在“在线整数百科全书”中序列。"Tóth，B.“不超过三个最受欢迎的网站用于简单随机漫游。“2000年4月26日。http://arxiv.org/abs/math.PR/0004164.托特，B.和Werner，W.，“简单随机行走的最受欢迎边缘”组合。，探针。，计算。 6, 359-369, 1997.Trott，M.“数学指南附加材料：不同步长的随机行走。"http://www.mathematicaguidebooks.org/addressions.shtml#N_1_01.

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“随机行走——一维。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RandomWalk1-Dimensional.html

主题分类