搜索： 编号：a001316
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A001316号
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| 古尔德序列：a（n）=Sum_{k=0..n}（二项式（n，k）mod 2）；Pascal三角形第n行中的奇数项数(A007318号); a（n）=2^A000120号（n） ●●●●。
（原名M0297 N0109）
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1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 8, 16, 16, 32, 16, 32, 32, 64, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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也称为连衣裙序列。
这个序列可以更好地称为格拉舍序列，因为詹姆斯·格拉舍证明了奇数二项式系数是由2计数的^A000120号（n） 1899年-埃里克·罗兰2017年3月17日[然而，“古尔德序列”这个名字在文献中根深蒂固-N.J.A.斯隆[以美国数学家亨利·沃兹沃斯·古尔德（生于1928年）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月19日]
所有条款均为2的权力。2^k的第一次出现是在n=2^k-1；例如，16的第一次出现是在n=15-罗伯特·威尔逊v2000年12月6日
中第n行三角形中的1数A070886号. -汉斯·哈弗曼2002年5月26日。等效地，一维细胞自动机第n代中的活细胞数，规则90，从单个活细胞开始-本·布兰曼2009年2月28日。第18条同上-N.J.A.斯隆2014年8月9日。这也是OddRule 003定义的奇规则元胞自动机（参见Ekhad-Sloane-Zeilberger“方形网格上的奇规则细胞自动机”链接）-N.J.A.斯隆，2015年2月25日
还有数k，0<=k<=n，使得（k OR n）=n（逐位逻辑OR）：a（n）=#{k:T（n，k）=n，0<=k<=n}，其中T被定义为A080098型. -莱因哈德·祖姆凯勒2003年1月28日
要构造序列，请从1开始并使用规则：如果k>=0和a（0），a（1），。。。，a（2^k-1）是第一个2^k项，然后下一个2^k项是2*a（0），2*1，。。。，2*a（2^k-1）-Benoit Cloitre公司2003年1月30日
此外，分子（2^k）/k！）Mohammed Bouayoun（Mohammed.Bouayoun（AT）sanef.com），2004年3月3日
帕斯卡三角形中的奇数项形成了Sierpiánski垫圈（分形）-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月20日
态射“1”->“1,2”，“2”->“2,4”，“4”->“4,8”，…，的不动点。。。，“2^k”->“2^k，2^（k+1）”。。。从a（0）=1开始；1 -> 12 -> 1224 -> = 12242448 -> 122424482448488(16) -> ... . -菲利普·德尔汉姆2005年6月18日
a（n）=规则为90的一维细胞自动机第n阶段的1个数Andras Erszegi（Erszegi.Andras（AT）chello.hu），2006年4月1日
对于正n，a（n）等于完全由（1/2）组成的n×n矩阵的永久性的分母-约翰·M·坎贝尔2011年5月26日
这是S（n）={1,2,4,8,16，…}（参见。A000079号). 序列{S（n），n>=0}的游程变换定义为由T（n）=Product_i S（i）给出的序列{T（n。所以T（19）=S（1）*S（2）。T（0）=1（空乘积）-N.J.A.斯隆2014年9月5日
序列的生产矩阵是lim_{k->infinity}M^k，即M的左移向量：
1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 0, 0, 0, 0, ...
0, 1, 0, 0, 0, ...
0, 2, 0, 0, 0, ...
0, 0, 1, 0, 0, ...
0, 0, 2, 0, 0, ...
0, 0, 0, 1, 0, ...
...
结果相当于2003年4月6日的g.f:Product_{k>=0}（1+2*z^（2^k））。（结束）
长度为n的二元回文数，其中第一层（n/2）符号本身是回文（Ji和Wilf 2008）-杰弗里·沙利特2017年6月15日
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参考文献
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Arthur T.Benjamin和Jennifer J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.，2003年，第75页及其后。
史蒂文·芬奇，《数学常数》，剑桥，2003年，第145-151页。
James W.L.Glaisher，《关于二项式定理系数相对于素数模的余数》，《纯粹与应用数学季刊》，第30卷（1899年），第150-156页。
H.W.Gould，指数二项式系数系列。技术代表4，数学。1961年9月，西弗吉尼亚州摩根敦市西佛吉尼亚大学系。
Olivier Martin、Andrew M.Odlyzko和Stephen Wolfram，细胞自动机的代数性质，通信数学。《物理学》，第93卷（1984年），第219-258页。转载于《细胞自动机的理论与应用》，S Wolfram，Ed.，World Scientific，1986年，第51-90页，以及《细胞自然主义与复杂性：Stephen Wolfram的论文集》，Addison-Wesley，1994年，第71-113页
曼弗雷德·施罗德（Manfred R.Schroeder），《分形、混沌、幂律》，W.H.Freeman，纽约，1991年，第383页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Andrew Wuensche，《探索离散动力学》，Luniver出版社，2011年。见图2.3。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学。，第98卷（1992年），第163-197页。
Neil J.Calkin、Eunice Y.S.Chan、Robert M.Corless、David J.Jeffrey和Piers W.Lawrence，分形特征向量，arXiv:2104.01116[math.DS]，2021。
Shalosh B.Ekhad、N.J.A.Sloane和Doron Zeilberger，方形网格上的奇数规则元胞自动机，arXiv:153.04249[math.CO]，2015年。
Kathy Q.Ji和Herbert S.Wilf，极端回文阿默尔。数学。《月刊》，第115卷，第5期（2008年），第447-451页。
托马斯·皮桑斯基和托马斯·塔克，地图重复截断的增长，Atti Sem.Mat.Fis.公司。摩德纳大学，第49卷（2001年），补充，第167-176页。
卢卡斯·斯皮格霍夫（Lukas Spiegelhofer）和迈克尔·沃勒（Michael Wallner），二项式系数的二次幂整除，arXiv:1710.10884[math.NT]，2017年。
斯蒂芬·沃尔夫拉姆，细胞自动机的统计力学，修订版。物理。，第55卷（1983年），第601-644页。
斯蒂芬·沃尔夫拉姆，二项式系数的几何阿默尔。数学。《月刊》，第91卷，第9期（1984年11月），第566-571页。
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配方奶粉
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a（0）=1；对于n>0，写出n=2^i+j，其中0<=j<2^i；则a（n）=2*a（j）。
G.f.：产品{k>=0}（1+2*z^（2^k））-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月6日
a（n）=2^n-2*和{k=0..n}层（二项式（n，k）/2）-保罗·巴里2004年12月24日
a（n）=乘积{k=0..log_2（n）}2^b（n，k），b（n、k）=n的二元展开式中2^k的系数-保罗·D·汉娜
a（n）=n/2+1/2+（1/2）*和{k=0..n}（-（-1）^二项式（n，k））-斯蒂芬·克劳利2007年3月21日
等于[1,2,0,0,0,1,0,0]充气的无限卷积(A000079号-1）倍，即[1,2,0,0,0,1,0,0，0,00,0]*[1,0,2,0,1,0，0，0]*[1,0,0.0,0,2,0,0-0,0]-Mats Granvik公司,加里·亚当森2009年10月2日
a（n）=f（n，1），其中f（x，y）=如果x=0，则y否则为f（地板（x/2），y*（1+xmod 2））-莱因哈德·祖姆凯勒2009年11月21日
a（（2*n+1）*2^p-1）=（2^p）*a（n），p>=0-约翰内斯·梅耶尔，2011年6月5日
a（n）=lcm（n！，2^n）/n-丹尼尔·苏图2017年4月28日
a（0）=1，a（2*n）=a（n），a（2*n+1）=2*a（n）-丹尼尔·帕里斯2024年2月15日
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例子
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具有三角形的自然结构：
.1,
.2,
.2,4,
.2,4,4,8,
.2,4,4,8,4,8,8,16,
.2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,
.2,4,4,8,4,8,16,4,8,16,8,16,16,32,4,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,32,64,
....
此外，三角形开始于：
.1;
.2,2;
.4,2,4,4;
.8,2,4,4,8,4,8,8；
16,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16;
32,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,32;
64,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,...
（结束）
G.f.=1+2*x+2*x^2+4*x^3+2*x^4+4*x*x^5+4*x|6+8*x^7+2*x|8+。。。
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MAPLE公司
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A001316号：=进程（n）局部k；加法（二项式（n，k）mod 2，k=0..n）；结束；
S： =[1]；S： =[op（S），op（2*S）]；#无限重复！
a:=n->2^加（i，i=转换（n，基数，2））#彼得·卢什尼2009年3月11日
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数学
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表[Sum[Mod[二项式[n，k]，2]，{k，0，n}]，{n，0，100}]
嵌套[Join[#，2#]&，{1}，7](*罗伯特·威尔逊v2006年1月24日，2014年7月27日修订*）
Map[Function[Apply[Plus，Flatten[#1]]]，CellularAutomaton[90，{{1}，0}，100]]（*生成ON单元的计数。N.J.A.斯隆2009年8月10日*）
ArrayPlot[CellularAutomaton[90，{{1}，0}，20]]（*前20代插图-N.J.A.斯隆2014年8月14日*）
表[2^（实际数字[n-1，2][[1]]//总计），{n，1，100}](*加布里埃尔·C·贝纳米2009年12月8日*）
计数[#，_？OddQ]&/@表[二项式[n，k]，{n，0，90}，{k，0，n}](*哈维·P·戴尔2015年9月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，分子（2^n/n！））}；
（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
a001316_list=1:zs，其中
zs=2：（concat$transporte[zs，map（*2）zs]）
（鼠尾草、蟒蛇）
从functools导入缓存
@高速缓存
如果n<=1：返回n+1
（Python）
返回2**bin（n）[2:].count（“1”）#因德拉尼尔·戈什，2017年2月6日
（方案）（定义(A001316号n） （let loop（（n n）（z 1））（cond（（零？n）z）（（偶数？n）（loop（/n 2）z）））（else（loop）（/（-n 1）2）（*z 2））））；；安蒂·卡图恩2017年5月29日
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交叉参考
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关于为（a，b）的以下值生成函数Product_｛k>=0｝（1+a*x^（b^k）），请参见：（1,2）A000012号和A000027号, (1,3)A039966号和A005836号, (1,4)A151666号和A000695号, (1,5)A151667号和A033042号, (2,2)A001316号, (2,3)A151668号, (2,4)A151669美元, (2,5)A151670号，（3,2）A048883美元, (3,3)A117940型, (3,4)A151665号, (3,5)A151671号, (4,2)A102376号, (4,3)A151672号, (4,4)A151673号, (4,5)A151674号.
囊性纤维变性。A051638号,A048967号,A007318号,A094959号,A048896号,A117973号,A008977号,A139541号,A048883美元,A102376号,A038573号,A159913号,A000079号,A166548号,A006047号,A089898号,A105321号,A061142号.
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关键词
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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