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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A007931号 只包含1和2的数。按字典顺序,长度为n的非空二进制字符串。 64
1、2、11、12、21、22、111、112、121、122、211、212、221、222、1111、1112、1121、1122、1211、1212、1221、1222、2111、2112、2112、2212、2221、11111、11112、11122、11211、11212、11221、11222、12111、12112、12121、12122 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

用并元系统书写的数字[Smullyan,Stillwell]。-N、 斯隆2019年2月13日

{1,2-所有单词的二进制前缀都是空的。

长度k的最小二进制字是a(2^k-1)。

有关逻辑二进制序列,请参阅Mathematica程序,使用(0,1)代替(1,2);序列以0,1,00,01,10开头。-克拉克·金伯利2012年2月9日

A007953号(a(n))=A014701号(n+1);A007954号(a(n))=A0486年(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年10月26日

a(n)是以2为底的n,其中不允许有0,但允许有2。使用的两个不同的数字是1,2,而不是0,1。要从允许零的“规范”基数2序列中获取此序列,只需将任何0替换为2,然后从左侧的一组数字中减去一:(10-->2;100-->12;110-->22;1000-->112;1010-->122)。-罗宾加西亚2014年1月31日

有关仅由两个不同数字组成的数字,另请参阅A007088号(数字0和1),A032810(数字2和3),A032834号(数字3和4),A256290(数字4和5),A256291号(数字5和6),甲56292(数字6和7),A256340(数字7和8),A256341号(数字8和9),以及A032804型-A032816号(在其他基础上)。中列出了以10为底的正好有两个不同(但未指定)数字的数字A031955号,用于其他基地A031948号-A031954号. -M、 哈斯勒2015年4月4日

数字{0,1}而不是{1,2}的变量是通过按顺序删除所有初始数字来获得的A007088号(以2为基数的数字)。-M、 哈斯勒2020年11月3日

参考文献

J、 ——P.Allouche和J.Shallit,《自动序列》,剑桥大学出版社,2003年,第2页。-从N、 斯隆2012年7月26日

K、 阿塔纳索夫,关于第97、98和99个Smarandache问题,数论和离散数学笔记,索菲亚,保加利亚,第5卷(1999),第3期,89-93。

R、 斯穆利安:《形式系统理论》,普林斯顿大学,1961年。

John Stillwell,逆向数学,普林斯顿,2018年。见第90页。

链接

希罗尼穆斯·菲舍尔,n=1..10000的n,a(n)表(T.D.Noe最长期限为2^10-2,由Sean A.Irvine更正,2019年4月18日)

K、 阿塔那索夫,关于Smarandache的一些问题,美国研究出版社,1999年,第16-21页。

埃米斯,《西南纯粹与应用数学杂志》镜像网站

R、 R.福斯伦德,现有位置数字系统的逻辑替代方案《西南纯数学与应用数学杂志》,第1卷,1995年。

R、 R.福斯伦德,正整数页

詹姆斯·E·福斯特,没有零符号的数字系统,数学杂志,第21卷,第一期。1947年,第41-39页。

F、 斯玛兰达奇,只有问题,没有解决办法!.

10个自动序列的索引项.

公式

为了得到a(n),将n+1写在基数2中,去掉首字母1,将1加到所有剩余的数字上:例如,基数2中的十一(11)是1011;去掉首字母1,将1加到剩余的数字上:a(10)=122。-克拉克·金伯利2003年3月11日

相反地,给定a(n),得到n:从所有数字中减去1,前缀加上首字母1,将这个二进制数转换为以10为底的10,减去1。E、 g,a(6)=22->11->111->7->6。-N、 斯隆2012年7月9日

a(n)=A053645号(n+1)+A002275号(A000523号(n) )=a(n-2^b(n))+10^b(n),其中b(n)=A059939号(n) =楼层(log2(n+1)-1)。-亨利·巴特利2001年2月14日

希罗尼穆斯·菲舍尔,2012年6月6日和2012年6月8日:(开始)

这些公式设计成只使用数字1和2来计算以10为基数的数字。

a(n)=和{j=0..m-1}(1+b(j)mod 2)*10^j,其中m=楼层(log2(n+1)),b(j)=楼层((n+1-2^m)/(2^j))。

特殊值:

a(k*(2^n-1))=k*(10^n-1)/9,k=1,2。

a(3*2^n-2)=(11*10^n-2)/9=10^n+2*(10^n-1)/9。

a(2^n-2)=2*(10^(n-1)-1)/9,n>1。

不平等:

a(n)<=(10^log_2(n+1)-1)/9,等式适用于n=2^k-1,k>0。

a(n)>(2/10)*(10^log_2(n+1)-1)/9。

下限和上限:

lim inf a(n)/10^log_2(n)=1/45,对于n-->无穷大。

lim sup a(n)/10^log_2(n)=1/9,对于n-->无穷大。

G、 f.:G(x)=(1/(x(1-x))*和{j=0..infinity}10^j*x^(2*2^j)*(1+2 x^2^j)/(1+x^2^j)。

另外:g(x)=(1/(1-x))*(h_2,0)(x)+h(2,1)(x)-2*h_2(2,2)(x)),其中h_2,k)(x)=和{j>=0}10^j*x^(2^(j+1)-1)*x^(k*2^j)/(1-x^2^(j+1))。

另外:g(x)=(1/(1-x))和{j>=0}(1-3(x^2^j)^2+2(x^2^j)^3)*x^2^j*f_j(x)/(1-x^2^j),其中f_j(x)=10^j*x^(2^j-1)/(1-(x^2^j)^2)。f_j服从递推f_0(x)=1/(1-x^2),f_(j+1)(x)=10x*f_j(x^2)。(结束)

例子

在OEI中,正数不能以0开头,否则该序列将被写为:0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,0000,0001,0010,0011,0100,0101,0111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111,00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111,01000,01001,01010,01011。。。

希罗尼穆斯·菲舍尔2012年6月6日:(开始)

a(10)=122。

a(100)=211212。

a(10^3)=2222212112。

a(10^4)=11222111211111。

a(10^5)=211122121211112。

a(10^6)=22212111112111112。

a(10^7)=112211112122121111112。

a(10^8)=12222212122111112111112。

a(10^9)=22122122122122112121121121111112。(结束)

枫木

#生成序列的Maple程序:

a: =过程(n)局部m,r,d;m,r:=n,0;

当m>0时,d:=irem(m,2,'m');

如果d=0,则d:=2;m:=m-1 fi;

r:=d,r

od;解析(cat(r))/10

结束:

顺序(a(n),n=1..100)#海因茨2016年8月26日

#Maple程序来反转这个序列:给定a(n),它返回n-N、 斯隆2012年7月9日

反转7931:=过程(u)

局部t1、t2、i;

t1:=转换(u,基,10);

[序号(t1[i]-1,i=1..nops(t1))];

[操作(%),1];

t2:=换算(%,基数,2,10);

加(t2[i]*10^(i-1),i=1..nops(t2))-1;

结束;

数学

f[n_u]:=FromDigits[Rest@IntegerDigits[n+1,2]+1];数组[f,42](*罗伯特·G·威尔逊五世2006年9月14日*)

(*下一步,A007931号使用(0,1)代替(1,2)*)

d[nü]:=FromDigits[Rest@IntegerDigits[n+1,2]+1];数组[FromCharacterCode[ToCharacterCode[ToString[d[#]]]-1]&,100](*彼得·J·C·摩西,应克拉克·金伯利2012年2月9日*)

展平[表格[FromDigits/@Tuples[{1,2},n],{n,5}]](*哈维·P·戴尔2014年9月13日*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

a007931 n=f(n+1)式中

f x=如果x<2,则为0(10*f x')+m+1

式中(x’,m)=divMod x 2

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年10月26日

(同等)适用({A007931号(n) =fromdigits([d+1 | d<-binary(n+1)[^1]])},[1..44])\\M、 哈斯勒,2020年11月3日,替换2015年3月26日起的旧代码

(PARI)/*反函数*/apply({A007931号_inv(N)=fromdigits([d-1 | d<-数字(N)],2)+2<<logint(N,10)-1},[1,2,11,12,21,22,111])\\M、 哈斯勒2020年11月9日

(岩浆)[n:n in[1..100000]|集合(Intseq(n))子集{1,2}]//文琴佐·利班迪2016年8月19日

交叉引用

囊性纤维变性。A007932号(数字1-3),A059893号,A045670号,A052382型(数字1-9),A059939号,A059941号,A059943号,A032924号,A084544号,A084545号,A046034号(素数2,3,5,7),A089581号,A084984年(没有质数);A001742号,A001743号,A001744号:循环;A202267号(数字0、1和素数),A202268号(数字1,4,6,8,9),A014261号(奇数位),A014263号(偶数)。

囊性纤维变性。A007088号(数字0和1),A032810(数字2和3),A032834号(数字3和4),A256290(数字4和5),A256291号(数字5和6),甲56292(数字6和7),A256340(数字7和8),A256341号(数字8和9),以及A032804型-A032816号(在其他基础上)。

上下文顺序:A038115型 A089604号 A038114*A136407号 142A215年 A136999

相邻序列:A007928号 A007929号 A007930型*A007932号 A007933号 A007934号

关键字

,基础,美好的,容易的

作者

R、 穆勒

扩展

添加的一些交叉引用希罗尼穆斯·菲舍尔2012年6月6日

编辑M、 哈斯勒2015年3月26日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2021年1月25日07:24。包含340416个序列。(运行在oeis4上。)