搜索： a093561-编号：a093551
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A000384号
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| 六边形数：a（n）=n*（2*n-1）。
（原名M4108 N1705）
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+10
430
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0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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熵函数H（x）=（1+x）log（1+x）+（1-x）log（1-x）的幂级数展开式具有1/a_i作为x^（2i）的系数（奇数项为零）托马索·托福利（tt（AT）bu.edu），2002年5月6日
更一般地说，如果p1和p2是两个任意选择的不同素数，那么a（n）是（p1^2*p2）^（n-1）的除数，或者是A054753号^（n-1）-蚂蚁之王2011年8月29日
众所周知，对于n>0，A014105号（n） [0,3,10,21，…]是2n+1个连续整数中的第一个，使得第一个n+1个这样的整数的平方和等于最后一个n的平方和；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2。
鲜为人知的是，对于n>1，a（n）[0,1,6,15,28，…]是2n个连续整数中的第一个，因此前n个此类整数的平方和等于最后n-1的平方和加上n^2；例如，15^2+16^2+17^2=19^2+20^2+3^2-查理·马里恩2006年12月16日
从0开始，沿0、6、……方向读取行，找到序列。。。和从1开始的直线，在方向1，15。。。，在顶点为广义六边形数的方形螺旋中A000217号. -奥马尔·波尔2009年1月9日
设Hex（n）=六角形数，T（n）=三角形数，则Hex（n）=T（n”）+3*T（n-1）-文森佐·利班迪2010年11月10日
对于n>=1，1/a（n）=和{k=0..2*n-1}（（-1）^（k+1）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2xn-1+k，k）*H（k）/（k+1。
从划分为象限的正方形的n种颜色中选择任意2种颜色的可能不同颜色的数目-保罗·克利里2010年12月21日
对于n>0，a（n-1）是三元组（w，x，y）的数目，所有项都在{0，…，n}中，max（|w-x|，|x-y|）=|w-y|-克拉克·金伯利2012年6月12日
设一个三角形有T（0,0）=0和T（r，c）=|r^2-c^2|。第（n）行和第（n-1）行中的术语之差之和为a（n）-J.M.贝戈2013年6月17日
a（n）是正好有两个1的长度为2n的二元序列的数目。a（2）=6，因为我们有：{0,0,1,1}，{0,1,0}，}，1,0,1,1}，2,0,1}。具有插值零点的普通生成函数为：（x^2+3*x^4）/（1-x^2）^3-杰弗里·克雷策2014年1月2日
对于n>0，a（n）是最大的整数k，使得k^2+n^2是k+n的倍数。更一般地说，对于m>0和n>0来说，使k^（2*m）+n^-德里克·奥尔2014年9月4日
（0,1,4,0,0,0，…）的二项式变换和（0,1，4,4,…）的第二部分和-加里·亚当森2015年10月5日
对于n>=4，a（n）还给出了简单李代数D_n的维数-沃尔夫迪特·朗2015年10月21日
对于n>0，a（n）等于n+11的n部分组成的数量，避开第2、3、4部分-米兰扬吉奇2016年1月7日
同时给出了n-鸡尾酒会图中最小控制集和最大无冗余集的个数-埃里克·韦斯特因2017年6月29日和8月17日
正如Beedassy的公式所示，这个六边形数列是三角形数列的奇数平分。这两个序列都是比喻数字序列。对于A000384号，a（n）可以通过将其三角形数乘以其六边形数得到。例如，让我们使用数字153。153据说是第17个三角形数，但也被认为是第9个六边形数。三角形（17）六边形（9）。17*9=153. 因为六边形数列是三角形数列的子集，所以六边形的数列总是既有三角形数又有六边形数。n*（2*n-1），因为（2*n-1）呈现三角形编号-布鲁斯·尼克尔森2017年11月5日
另外，数字k具有以下性质：在sigma（k）的对称表示中，最小的Dyck路径具有中心谷，最大的Dycl路径具有中心峰，n>=1。因此，所有大于0的六边形数都有中间除数。（参见。A237593型.) -奥马尔·波尔，2018年8月28日
素数n和k=2..n-1的k^a（n-1）modn=1-约瑟夫·舒尼亚2019年2月10日
这些数字k的性质是，sigma（k）对称表示中的最小子部分为1-奥马尔·波尔2021年8月28日
第n个六角形数等于从2*n-1开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和；例如，1、2+4、3+5+7、4+6+8+10等。通常，第n个2k-角数是从（k-2）*n-（k-3）开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和。当k=1和2时，此结果生成正整数，A000027号和方块，A000290型分别是-查理·马里恩2022年3月2日
猜想：对于n>0，min{k，存在{0,1,2，…，A（n）}的子集A，B，使得|A|=|B|=k和A+B={0,12,2，……，2*A（n-迈克尔·朱2022年3月9日
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参考文献
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Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第189页。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第77-78页。（在第77页的积分公式中，余弦参数缺少左括号。）
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第6页。
L.E.Dickson，《数论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第2页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Elena Deza和Michel Deza，数字：书的呈现2011年10月7日至9日，第三届蒙特利尔多伦多数字理论研讨会。
阿尼修斯·曼利乌斯·塞韦里努斯·博伊修斯，去机构算术，第2册，第15节。
乔纳森·博文（Jonathan M.Borwein）、德克·努延斯（Dirk Nuyens）、阿明·斯特劳布（Armin Straub）和詹姆斯·万（James Wan），随机游动积分《拉马努扬日报》，2011年10月，26:109。DOI:10.1007/s11139-011-9325-y。
Jose Manuel Garcia Calcines、Luis Javier Hernandez Paricio和Maria Teresa Rivas Rodriguez，圆柱体和细分的半简单组合，arXiv:2307.13749[math.CO]，2023年。见第32页。
Pakawut Jiradilok和Elchanan Mossel，网格上的高斯广播，arXiv:240.2.11990[cs.IT]，2024。见第27页。
Sameen Ahmed Khan，多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。（2020）第33卷，第2期，265-282。
克拉克·金伯利，互补方程，《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。
Hyun Kwang Kim，关于正则多面体数，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，131（2002），65-75。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
米歇尔·沃尔德施米特，连续分数2015年5月18日至29日：Oujda（Maroc）。
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配方奶粉
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例如：exp（x）*（x+2x^2）-保罗·巴里2003年6月9日
通用格式：x*（1+3*x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中，去掉了最初的零
a（n）=M^n*[1,0,0]的右项，其中M=3X3矩阵[1,0,1,0；1,1,0；1,4,1]。例如：a（5）=45，因为M^5*[1,0,0]=[1,5,45]-加里·亚当森2006年12月24日
从偏移量1开始，=[1,5,4,0,0,0，…]的二项式变换。也，A004736号* [1, 4, 4, 4, ...]. -加里·亚当森2007年10月25日
（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-1）^2=（a（n）+n+1）^2+…+（a（n）+2n-1）^2+n^2；例如，6^2+7^2=9^2+2^2；28^2 + 29^2 + 30^2 + 31^2 = 33^2 + 34^2 + 35^2 + 4^2. -查理·马里恩2007年11月10日
a（n）=二项式（n+1，2）+3*二项式（n，2）。
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=6-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a（n）=a（n-1）+4*n-3（a（0）=0）-文森佐·利班迪，2010年11月20日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+4-蚂蚁之王2011年8月26日
a（4*a（n）+7*n+1）=a（4*1（n）+7*n）+a（4xn+1）-弗拉基米尔·舍维列夫，2014年1月24日
和{n>=1}（-1）^n/a（n）=log（2）-Pi/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月20日
a（n+1）=三项式（2*n+1，2）=三项式（2xn+1，4*n），对于n>=0，带有三项式不规则三角形A027907号.a（n+1）=（n+1”）*（2*n+1）=（1/Pi）*Integral_{x=0..2}（1/sqrt（4-x^2））*（x^2-1）^（2*n+1）*R（4*n-2，x），其中R多项式系数在A127672号[Comtet，p.77，q=3，n->2*n+1，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写]-沃尔夫迪特·朗2018年4月19日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，1，6}，50](*哈维·P·戴尔2015年9月10日*）
连接[{0}，累加[Range[1，312，4]]](*哈维·P·戴尔，2016年3月26日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[PolygonalNumber[RegularPolygon[6]，n]，{n，0，48}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
系数列表[系列[x*（1+3*x）/（1-x）^3，{x，0100}]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n*（2*n-1）
（PARI）a（n）=二项式（2*n，2）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月6日
（哈斯克尔）
a000384 n=n*（2*n-1）
a000384_list=扫描（+）0 a016813_list
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+4，y+4
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002939号（2倍a（n）：勾股三元组的和（X，Y，Z=Y+1）。
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, 101, 105, 109, 113, 117, 121, 125, 129, 133, 137, 141, 145, 149, 153, 157, 161, 165, 169, 173, 177, 181, 185, 189, 193, 197, 201, 205, 209, 213, 217, 221, 225, 229, 233, 237
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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除了初始项外，Gamma_0（23）的权重空间2n尖点的维数也是形式的。
除了初始项之外，Gamma_0（64）的2n权空间的维数是尖顶新形式。
数字k使得（1+sqrt（k））/2是一个代数整数-阿尔特阿隆索2012年6月4日
数k，使2是满足关系pXOR k=p+k的唯一素数p-布拉德·克拉克2012年7月22日
1, 9, 21, 37, 57, 81, ...
5, 17, 33, 53, 77, 105, ...
13, 29, 49, 73, 101, 133, ...
25, 45, 69, 97, 129, 165, ...
41, 65, 93, 125, 161, 201, ...
61, 89, 121, 157, 197, 241, ...
...
如果前导项是2而不是1，则1/a（n）是1/k形式的最大公差，其中k是一个正整数，因此与（n-1/k）^2和（n+1/k）^ 2最接近的整数是n^2。换句话说，如果区间算术用于平方[n-1/k，n+1/k]，则当且仅当k>=a（n）时，长度为4n/k的结果区间中的每个值四舍五入为n^2-里克·L·谢泼德2014年1月20日
素因子数等于3（模4）的奇数是偶数-丹尼尔·福格斯2014年9月20日
a（n-1），n>=1，也是流形M（S）的复维数，M（S）是秩为2的基本群pi_1（X，X_0）的不可约表示的所有共轭类的集合，其中S={a_1，…，a_{n}，a_{n+1}=oo}，P^1=CU{oo}的子集，X=X（S）=P^1\S，X_0是X中的基点。参见Iwasaki等人的参考文献，提案2.1.4。第150页-沃尔夫迪特·朗2016年4月22日
对于n>3，还包括n-sunlet图中的团数（不一定是最大的）-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
以a（1）=5开始，以2为基数以01结束-约翰基斯2022年5月9日
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参考文献
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K.岩崎、H.Kimura、S.Shimomura和M.Yoshida，《从高斯到潘列维》，维埃格出版社，1991年。第150页。
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链接
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L.B.W.Jolley，级数求和《多佛出版》，1961年，第16页。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014-2015。
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配方奶粉
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总尺寸：（1+3*x）/（1-x）^2-保罗·巴里，2003年2月27日[修正为偏移量0沃尔夫迪特·朗2014年10月3日]
（1+5*x+9*x^2+13*x^3+…）=（1+2*x+3*x^2+…）/（1-3*x+9*x^2-27*x^3+…）-加里·亚当森2003年7月3日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）；a（0）=1，a（1）=5。a（n）=4+a（n-1）-菲利普·德尔汉姆2008年11月3日
当n>0时，a（n）=8*n-2-a（n-1），a（0）=1-文森佐·利班迪，2010年11月20日
恒等式（4*n+1）^2-（4*n ^2+2*n）*（2）^2=1可以写成a（n）^2-A002943号（n） *2^2=1-文森佐·利班迪2009年3月11日至2012年11月25日
例如：（1+4*x）*exp（x）。
Dirichlet g.f.：4*泽塔（-1+s）+泽塔（s）-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月2日
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例子
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初始术语说明：
o（o）
o o（零）
哦哦
o o o o o o o o oo o o o-o o o
o o o o
o o（零）
o（o）
（结束）
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MAPLE公司
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数学
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表[4 n+1，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*）
线性递归[{2，-1}，{5，9}，[0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*）
系数列表[级数[（1+3 x）/（-1+x）^2，{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年11月29日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..250 x 4]中的n:n；
（哈斯克尔）
a016813=（+1）。(* 4)
（PARI）x='x+O（'x^100）；向量（（1+3*x）/（1-x）^2）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月22日
（Scala）（0到59）.map（4*_+1）//阿尔特阿隆索，2018年8月8日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A002417号
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| 四维图形数：a（n）=n*二项式（n+2,3）。
（原名M4506 N1907）
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+10
114
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1, 8, 30, 80, 175, 336, 588, 960, 1485, 2200, 3146, 4368, 5915, 7840, 10200, 13056, 16473, 20520, 25270, 30800, 37191, 44528, 52900, 62400, 73125, 85176, 98658, 113680, 130355, 148800, 169136, 191488, 215985, 242760, 271950, 303696, 338143, 375440, 415740
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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a（n）是具有n+2种颜色的2X2六边形阵列的着色数的1/6-R.H.哈丁2002年2月23日
a（n）是非负整数t，u不能写成t*（n+1）+u*（n+2）的所有数字之和（参见Schuh）-楼层van Lamoen2002年10月9日
a（n）是由n行（或以2n-1为底）的正方形组成的阶梯金字塔中包含的矩形（包括正方形）的总数。例如，以2*6-1=11为底的阶梯式方形金字塔具有以下顶点：
……….X.X
……….X.X.X
……X X X X X.X X X
….X.X.X….X.X.X
…X X X X
X.X.X.S.X.X、X.X.、X.X和X.X
a（n）等于（n+2）x（n+2）矩阵特征多项式的系数x^3的-1倍，沿着主对角线有2个，其他地方都有1个（参见下面的Mathematica代码）-约翰·M·坎贝尔2011年5月28日
序列是（1，7，15，13，4，0，0，O，…）的二项式变换-加里·亚当森2015年7月31日
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参考文献
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A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第195页。
刘锦伟，2495题的解答，《休闲数学杂志》2002-3 31（1）79-80。
弗雷德。维拉根·舒赫（Vragen Schuh），《关于贝帕尔德·维杰利金的故事》（Bepaalde vergelijking），Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde，52（1964-1965）193-198。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=n^2*（n+1）*（n+2）/6。
G.f.:x*（1+3*x）/（1-x）^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=C（n+2,2）*n^2/3-保罗·巴里2003年6月26日
a（n）=C（n+3，n）*C（n+1，1）-零入侵拉霍斯2005年4月27日
a（n）=（二项式（n+3，n-1）-二项式-零入侵拉霍斯2006年5月12日
a（n）=5*a（n-1）-10*a（n-2）+10*a（n3）-5*a（-n4）+a（n-5），n>5-韦斯利·伊万·赫特2015年8月1日
G.f.:x*超几何2F1（2,4；1；x）-R.J.马塔尔2015年8月9日
和{n>=1}1/a（n）=Pi^2/2-15/4-杰姆·奥利弗·拉丰2017年7月13日
例如：x*（6+18*x+9*x^2+x^3）*exp（x）/3-G.C.格鲁贝尔2019年7月3日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=（Pi^2+27-48*log（2））/4-阿米拉姆·埃尔达尔，2020年6月28日
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MAPLE公司
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seq（n^2*（n+1）*（n+2）/6，n=1..50）；
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数学
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表[n二项式[n+2，3]，{n，40}]
表[-系数[特征多项式[Array[KroneckerDelta[#1，#2]+1&，{n+2，n+2}]，x]，x^3]，{n，40}](*约翰·M·坎贝尔2011年5月28日*）
线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{1，8，30，80，175}，40](*哈维·P·戴尔2014年1月11日*）
表[n Pochhammer[n，3]/6，{n，40}]（*或*）系数列表[级数[（1+3x）/（1-x）^5，{x，0，40}]，x](*埃里克·韦斯特因，2017年8月14日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n*二项式（n+2,3）：[1..40]]中的n//文森佐·利班迪2015年8月2日
（Sage）[n*（1..40）中n的二项式（n+2,3）]#G.C.格鲁贝尔2019年7月3日
（GAP）列表（[1..40]，n->n^2*（n+1）*（n+2）/6）#G.C.格鲁贝尔2019年7月3日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A002412号
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| 六边形金字塔数字或蔬菜水果商数字。
（原名M4374 N1839）
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+10
87
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0, 1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925, 2360, 2856, 3417, 4047, 4750, 5530, 6391, 7337, 8372, 9500, 10725, 12051, 13482, 15022, 16675, 18445, 20336, 22352, 24497, 26775, 29190, 31746, 34447, 37297, 40300
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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（1，6，9，4，0，0，…）的二项式变换-加里·亚当森2007年10月16日
a（n）是{（m，n）：m，n上正整数m≤n}的最大值（m，n）之和-杰弗里·克雷策2009年10月11日
我们得到了恒等式n*（n*（d*n-d+2）/2）-和（k*（d*k-d+2，k=0..n-1）=n*（n+1）*（2*d*n-2*d+3）/6中d=2的这些数字（参见公式行中的克劳斯·斯特拉斯伯格）-布鲁诺·贝塞利2010年4月21日，2010年11月16日
q^a（n）是q-Catalan数的Hankel变换-保罗·巴里2010年12月15日
对于n>0，此序列的数字根A010888型(A002412号（n） ）形成纯周期27周期{1,7,4,5,5,8,9,3,3,4,1,7,8,2,3,6,6,7,4,12,2,5,6,9,9}。
对于n>0，此序列的单位数字A010879号(A002412号（n） ）形成纯周期20周期{1,7,2,0,5,1,2,5,5,6,2,7,5,0,6,7,0,0}。
（结束）
当轨道基数等于40320时，Aut（Z^7）的轨道数作为轨道的代表整数格点的无穷范数（n+1）的函数-菲利普·谢瓦利埃2015年12月28日
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参考文献
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A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第194页。
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第93页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷第2页。
T.A.Gulliver，整数数组序列，国际数学。《期刊》，第1卷，第4期，第323-3322002页。
I.Siap，F_2+u*F_2上的线性码及其完整的权重枚举器，载于《代码与设计》（俄亥俄州，2000年5月18日），第259-271页。De Gruyter，2002年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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阿卜杜拉·阿塔马卡和A.亚武兹·奥鲁索，关于两类未标记二部图的大小，AKCE国际图形与组合学杂志，弗吉尼亚州。16，第2期（2019年），第222-229页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=n（n+1）（4n-1）/6。
G.f.:x*（1+3*x）/（1-x）^4-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=n^3-和{i=1..n-1}i^2.-克劳斯·斯特拉斯伯格（斯特拉斯（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de）
n个奇诱导三角数的部分和，例如，a（3）=t（1）+t（3）+t（5）=1+6+15=22-乔恩·佩里，2003年7月23日
a（n）=和{i=0..n-1}（n-i）*（n+i）-乔恩·佩里2004年9月26日
a（n）=Sum_{i=0..n}（2i^2+3i+1），对于n>=0（省略前导的0）-威廉·特德斯基2010年8月25日
a（n）=4×a（n-1）-6*a（n-2）+4×a（n-3）-a（n-4），其中a（0）=0，a（1）=1，a（2）=7，a（3）=22-哈维·P·戴尔，2011年7月16日
a（n）=和a*b，其中求和覆盖所有无序分区2*n=a+b-弗拉基米尔·舍维列夫2012年5月11日
a（n）=a（n-1）+n*（2*n-1）。
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+4。
a（n）=二项式（n+2.3）+3*二项式。
和{n>=1}1/a（n）=6*（12*log（2）-2*Pi-1）/5=1.2414。。。
（结束）
a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..n{max（i，j）=求并{i=1.n}i*（2*n-i）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年1月15日
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=6*（1+2*sqrt（2）*Pi-2*（3+sqrt（2））*log（2）+4*sqert（2）*log（2-sqrt））/5-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月4日
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例子
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设n=5，2*n=10。由于10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，a（5）=1*9+2*8+3*7+4*6+5=95-弗拉基米尔·舍维列夫2012年5月11日
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MAPLE公司
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seq（总和（i*（2*k-i），i=1..k），k=0..100）#韦斯利·伊万·赫特2013年9月25日
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数学
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Figurate[ngon_，rank_，dim_]：=二项式[rank+dim-2，dim-1]（（rank-1）*（ngon-2）+dim）/dim；表[图[6，r，3]，{r，0，40}](*罗伯特·威尔逊v2010年8月22日*）
表[n（n+1）（4n-1）/6，{n，0，40}]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，1，7，22}，40](*哈维·P·戴尔2011年7月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）v=矢量（40，i，（i*（i+1）））；s=0；打印1（s“，”）；对于步骤（i=1，40，2，s+=v[i]；打印1（s“，”））
（岩浆）[0..40]]中的[n*（n+1）*（4*n-1）/6:n//文森佐·利班迪2015年11月28日
（GAP）列表（[0..40]，n->n*（n+1）*（4*n-1）/6）#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月18日
（Python）打印（[n*（n+1）*（4*n-1）//6表示范围（40）内的n）]）#迈克尔·布拉尼基2022年3月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A220084型对于形式为n*P（k，n）-（n-1）*P（k，n-1）的数字列表，其中P（k、n）是第n个k角锥体数（参见亚当森公式）。
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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状态
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经核准的
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5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560, 5120, 10240, 20480, 40960, 81920, 163840, 327680, 655360, 1310720, 2621440, 5242880, 10485760, 20971520, 41943040, 83886080, 167772160, 335544320, 671088640, 1342177280, 2684354560, 5368709120, 10737418240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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与活塞序列E（5,10）、L（5,10-）、P（5,10-2）、T（5,10-1）相同。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
在开头加上“2，3”，这个序列通过2^n的负基思序列的第一个大于2^n（对于奇数n）的项给出了项（n+3），从而证明除了2本身之外，2的奇数诱导幂都不是负基思数（参见A188381号). -阿尔特阿隆索2012年2月2日
设b（0）=5，b（n+1）=序列中的最小数，使得b（n+1）-Product_{i=0..n}b（i）除以b（n＋1）-Sum_{i=0..n}b。则b（n+2）=a（n），对于n>0-德里克·奥尔2015年1月15日
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链接
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Petro Kosobutskyy、Anastasiia Yedyharova和Taras Slobodzyan，从牛顿二项式和帕斯卡三角形到科拉茨问题，公司。设计。系统。，西奥。实践（2023）第5卷，第1期，121-127。
埃弗雷特·沙利文，长和弦的线性和弦图，arXiv预印本arXiv:1611.02771[math.CO]，2016。见表1。
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配方奶粉
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a（n）=5*2^n.a（n”）=2*a（n-1）。
G.f.:5/（1-2*x）。
如果m是该序列中大于5的项，则m=5*phi（phi（m））-法里德·菲鲁兹巴赫特2005年8月16日
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数学
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嵌套列表[2#&，5,40](*哈维·P·戴尔2022年3月13日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..40]]中的[5*2^n:n//文森佐·利班迪2011年4月28日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 4, 1, 2, 7, 9, 5, 1, 2, 9, 16, 14, 6, 1, 2, 11, 25, 30, 20, 7, 1, 2, 13, 36, 55, 50, 27, 8, 1, 2, 15, 49, 91, 105, 77, 35, 9, 1, 2, 17, 64, 140, 196, 182, 112, 44, 10, 1, 2, 19, 81, 204, 336, 378, 294, 156, 54, 11, 1, 2, 21, 100, 285
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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Riordan阵列（（1+x）/（1-x），x/（1-x））。有符号三角形（-1）^（n-k）T（n，k）或（（1-x）/（1+x），x/（1+x））是A055248美元。行总和为A003945号对角线和为F（n+2）-保罗·巴里，2005年2月3日
行总和=A003945号: (1, 3, 6, 12, 24, 48, 96, ...) = (1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...) - (0, 0, 1, 3, 7, 15, 31, ...); 其中（1、3、7、15…）=A000225号. -加里·亚当森2007年4月22日
三角形T（n，k），按行读取，由（2，-1,0,0,0，0,0,1,0，0，0…）DELTA（1,0,0.0,0,0-0,0…）给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆，2011年11月17日
A029653号与联合生成A208510型作为多项式v（n，x）的系数数组：最初，u（1，x）=v（1，x）=1；对于n>1，u（n，x）=u（n-1，x）+x*v（n-1）x和v（n，x）=u。请参阅Mathematica部分-克拉克·金伯利，2012年2月28日
当n>=1时，第n行多项式为（2+x）*（1+x）^（n-1）。更一般地，当n>=1时，Riordan数组（（1-a*x）/（1-b*x），x/（1-b*x））的第n行多项式为（b-a+x）*（b+x）^（n-1）-彼得·巴拉2018年2月25日
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链接
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B.A.Bondarenko，广义Pascal三角形和金字塔（俄语），FAN，塔什干，1990，ISBN 5-648-00738-8。加利福尼亚州圣克拉拉市圣克拉拉大学斐波那契协会出版的英文译本，1993年；见第39页。
M.Janjic和B.Petkovic，计数函数，arXiv预印本arXiv:1301.4550[math.CO]，2013.-发件人N.J.A.斯隆2013年2月13日
梁胡伊乐、裴燕妮、王毅，立方格配位数的解析组合，arXiv:2302.11856[math.CO]，2023。见第8页。
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配方奶粉
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T（n，k）=C（n-2，k-1）+C。
通用名称：（1+x+y+xy）/（1-y-xy）-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月17日
T（n，k）=（2n-k）*二项式（n，n-k）/n，n，k>0-保罗·巴里2005年1月30日
T（n，k）=C（n-1，k）+C（n，k）-菲利普·德尔汉姆2005年7月10日
exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（2+5*x+4*x^2/2！+x^3/3！）=2+7*x+16*x^2！+30*x^3/3！+50*x^4/4！+。。。。对于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，同样的属性更为普遍。
设M表示下单位三角形数组，除由序列[1,2,2,2，…]组成的第一列外，主对角线上各有1，主对角下各有1。对于k=0,1,2，。。。将M（k）定义为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0M/具有k×k单位矩阵I_ k作为左上块；特别地，M（0）=M。那么现在的三角形等于无穷乘积M（0，M（1）*M（2）*。。。（这是明确定义的）。请参阅示例部分。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 2 1
2: 2 3 1
3: 2 5 4 1
4: 2 7 9 5 1
5: 2 9 16 14 6 1
6: 2 11 25 30 20 7 1
7:2 13 36 55 50 27 8 1
8: 2 15 49 91 105 77 35 9 1
9: 2 17 64 140 196 182 112 44 10 1
10: 2 19 81 204 336 378 294 156 54 11 1
使用公式部分中定义的数组M（k），无穷乘积M（0）*M（1）*M。。。开始
/1 \/1 \/1 \ /1 \
|2 1 ||0 1 ||0 1 | |2 1 |
|2 1 1 ||0 2 1 ||0 0 1 |... = |2 3 1 |
|2 1 1 1 ||0 2 1 1 ||0 0 2 1 | |2 5 4 1 |
|2 1 1 1 1||0 2 1 1 1 ||0 0 2 1 1| |2 7 9 5 1|
|... ||... ||... | |... |
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MAPLE公司
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如果n=0，则
1;
其他的
二项（n-1，k）+二项（n，k）
fi（菲涅耳）
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数学
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u[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=16；
u[n，x_]：=u[n-1，x]+x*v[n-1、x]；
v[n，x_]：=u[n-1，x]+x*v[n-1，x]+1；
表[展开[u[n，x]]，{n，1，z/2}]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z/2}]
cu=表[系数列表[u[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cu]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z}]
cv=表[系数列表[v[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cv]
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a029653 n k=a029653_tabl！！不！！k个
a029653_row n=a029653 _ tabl！！n个
a029653_tabl=[1]：迭代
（\xs->zipWith（+）（[0]++xs）（xs++[0]））[2]
（Python）
从sympy导入多边形
从sympy.abc导入x
定义u（n，x）：如果n==1，则返回1，否则u（n-1，x）+x*v（n-1、x）
定义v（n，x）：如果n==1，则返回1，否则u（n-1，x）+x*v（n-1、x）+1
定义a（n）：返回多边形（v（n，x），x）.all_coeffs（）[：：-1]
对于范围（1,13）中的n：打印（a（n））#因德拉尼尔·戈什2017年5月27日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000285美元
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| 当n>=2时，a（0）=1，a（1）=4，a（n）=a（n-1）+a（n-2）。
（原M3246 N1309）
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+10
47
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1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254, 411, 665, 1076, 1741, 2817, 4558, 7375, 11933, 19308, 31241, 50549, 81790, 132339, 214129, 346468, 560597, 907065, 1467662, 2374727, 3842389, 6217116, 10059505, 16276621, 26336126, 42612747, 68948873, 111561620, 180510493, 292072113, 472582606
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a（n-1）=Sum_{k=0..天花板（（n-1）/2）}P（4；n-1-k，k），n>=1，其中a（-1）=3。这些是P（4；n，k）（4,1）Pascal三角形中SW-NE对角线上的和A093561号.观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。Pascal（1,3）三角形中的SW-NE对角和A095660号.
一般来说，对于以1开头的斐波那契数列b，我们有a（n）=（2^（-1-n）*（（1-sqrt（5））^n*（1+sqert（5）-2b）+。在这种情况下，我们得到b=4-赫伯特·科辛巴2011年12月18日
Pisano周期长度：1，3，8，6，20，24，16，12，24，60，5，24，28，48，40，24，36，24，18，60-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）=通过将两条悬垂边连接到路径树P_{n-1}的一个端点（n>=2），从路径树P_{n-1neneneep获得的树的独立顶点子集（即Merrifield-Simons索引）的数量。示例：如果n=3，则我们有边为ab、ac、ad的星型树；它有9个独立的顶点子集：empty、a、b、c、d、bc、cd、bd、bcd。
对于n>=2，数字a（n-1）是D_n型具有独立参数的交换Hecke代数的维数。参见链接“具有独立参数的Hecke代数”中的定理1.4和推论1.5-贾煌2019年1月20日
对于n>=1，a（n）是蝌蚪图T_{3，n-1}的边覆盖数，其中T_{3,0}被解释为循环C_3。示例：如果n=2，我们有一个桥连接C_3和P_1，这是一个带吊坠的三角形，该图有5个边覆盖。一般来说，由于图的路径部分，T{3，n-1}的边覆盖数满足与斐波那契数列相同的递归性，并且它从4,5开始-费亚尔·阿莱昂特2023年8月27日
Eswarathasan（1978）将这些数字称为“伪Fibonacci数”，并证明了1、4和9是这个序列中唯一的正方形。如果递归扩展到负指数，则只有一个平方，a（-9）=81。Eswarathasan（1979）证明，没有一个术语（即使是负指数）是平方的两倍-阿米拉姆·埃尔达尔2024年3月9日
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参考文献
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理查德·梅里菲尔德（Richard E.Merrifield）和霍华德·西蒙斯（Howard E.Simmons），《化学拓扑方法》（Topological Methods in Chemistry），威利出版社，纽约，1989年。第131页。
乔·罗伯茨，《整数的诱惑》，《数学》。美国协会，1992年，第224页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Ben Adenbaum、Jennifer Elder、Pamela E.Harris和J.Carlos Martínez Mori，有限Coxeter群弱Bruhat阶的布尔区间，arXiv：2403.07989[数学.CO]，2024年。见第2、10页。
贾煌，具有独立参数的Hecke代数，arXiv预印本arXiv:1405.1636[math.RT]，2014；《代数组合数学杂志》43（2016）521-551。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
何塞·拉米雷斯（JoséL.Ramírez）、古斯塔沃·鲁比亚诺（Gustavo N.Rubiano）和罗德里戈·德卡斯特罗（Rodrigo de Castro），斐波那契词分形和斐波那奇雪花的推广，arXiv预印本arXiv:12122.1368[cs.DM]，2012。
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配方奶粉
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G.f.：（1+3*x）/（1-x-x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=2*斐波那契（n）+斐波那奇（n+2）-零入侵拉霍斯2007年10月5日
a（n）=（（1+平方（5））^n-（1-sqrt（5）^n）/（2^n*sqrt。偏移量1。a（3）=5.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年1月14日
a（n）=3*斐波那契（n+2）-2*斐波纳契（n+1）-加里·德特利夫斯2010年12月21日
a（n）=斐波那契（n）+卢卡斯（n+1），请参见Mathematica字段。（结束）
a（n）=（9*F（n）+F（n-3））/2-J.M.贝戈2017年7月15日
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例子
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G.f.=1+4*x+5*x^2+9*x^3+14*x^4+23*x^5+37*x^6+60*x^7+。。。
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MAPLE公司
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与（组合）：a:=n->2*fibonacci（n）+fibonaci（n+2）：seq（a（n），n=0..34）；
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数学
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线性递归[{1，1}，{1，4}，40]（*或*）表[（3*LucasL[n]-Fibonacci[n]）/2，{n，40}](*哈维·P·戴尔2011年7月18日*）
a[n_]：=斐波那契[n]+LucasL[n+1]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月28日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000285 n=a000285_列表！！n个
a000285_list=1:4:zipWith（+）a000285-list（尾部a000285 _list）
（最大值）a[0]：1$a[1]：4$a[n]：=a[n-1]+a[n-2]$makelist（a[n]n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年10月25日*/
（PARI）Vec（（1+3*x）/（1-x-x^2）+O（x^40））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
（岩浆）a0:=1；a1：=4；[广义斐波那契数（a0，a1，n）：[0..30]]中的n//布鲁诺·贝塞利2013年2月12日
（Sage）f=斐波那契；[f（n+2）+2*f（n）用于（0..40）中的n]#G.C.格鲁贝尔2019年11月8日
（间隙）F:=斐波那契；；列表（[0..40]，n->F（n+2）+2*F（n））//G.C.格鲁贝尔2019年11月8日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A228196型
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| 一个类似帕斯卡三角形的三角形，但n^2位于左边界，2^n位于右边界，而不是1。 |
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+10
32
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0, 1, 2, 4, 3, 4, 9, 7, 7, 8, 16, 16, 14, 15, 16, 25, 32, 30, 29, 31, 32, 36, 57, 62, 59, 60, 63, 64, 49, 93, 119, 121, 119, 123, 127, 128, 64, 142, 212, 240, 240, 242, 250, 255, 256, 81, 206, 354, 452, 480, 482, 492, 505, 511, 512, 100, 287, 560, 806, 932, 962, 974, 997, 1016, 1023, 1024
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1、3
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评论
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第三行是（n^4-n^2+24*n+24）/12。
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链接
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配方奶粉
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T（n，0）=n ^2，n>0；T（0，k）=2^k；T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k），对于n，k>0。【由G.C.Greubel更正，2019年11月12日】
一般情况下的闭式公式。设L（m）和R（m）分别是类帕斯卡三角形的左边界和右边界。我们用C（n，k）表示二项式（n，k）。
根据反对偶表T（n，k）=和{m1=1..n}R（m1）*C（n+k-m1-1，n-m1）+和{m2=1..k}L（m2）*C；n、 k>=0。
作为线性序列a（n）=和{m1=1..i}R（m1）*C（i+j-m1-1，i-m1）+和{m2=1..j}L（m2）*C；n> 0。
一些特殊情况。如果L（m）={b，b，b…}b*A000012号，则第二个和的形式为b*C（n+k-1，j）。如果L（m）是{0，b，2b，…}b*A001477号，则第二个和的形式为b*C（n+k，n-1）。类似地，对于R（m）和第一个和。
对于这个序列，L（m）=m^2，R（m）=2^m。
由反对偶T（n，k）=和{m1=1..n}（2^m1）*C（n+k-m1-1，n-m1）+和{m2=1..k}（m2^2）*C；n、 k>=0。
作为线性序列a（n）=和{m1=1..i}（2^m1）*C（i+j-m1-1，i-m1）+和{m2=1..j}（m2^2）*C，其中i=n-t*（t+1）/2-1，j=（t*t+3*t+4）/2-n-1，t=floor（（-1+sqrt（8*n-7））/2）。
作为按行读取的三角形数组，T（n，k）=和{i=1..n-k}i^2*C（n-1-i，n-k-i）+和{i=1..k}2^i*C（n-1-i，k-i）；n、 k>=0-格雷格·德累斯顿2022年8月6日
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例子
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序列的开头是按行读取的三角形数组：
0;
1, 2;
4, 3, 4;
9, 7, 7, 8;
16, 16, 14, 15, 16;
25, 32, 30, 29, 31, 32;
36, 57, 62, 59, 60, 63, 64;
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MAPLE公司
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T： =proc（n，k）选项记忆；
如果k=0，则n^2
elif k=n，然后2^k
其他T（n-1，k-1）+T（n-1，k）
fi（菲涅耳）
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..10）#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
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数学
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T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==0，n^2，如果[k==n，2^k，T[n-1，k-1]+T[n-1，k]]；表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔，2019年11月12日*）
扁平[表[Sum[i^2二项式[n-1-i，n-k-i]，{i，1，n-k}]+Sum[2^i二项式[n-1-i、k-i]、{i、1、k}]、{n、0、10}、{k、0、n}]](*格雷格·德累斯顿，2022年8月6日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
定义函数（n）：
q=n**2
返回q
定义函数（n）：
q=2**n
返回q
对于范围（19871）内的n：
t=int（（数学.sqrt（8*n-7）-1）/2）
i=n-t*（t+1）/2-1
j=（t*t+3*t+4）/2-n-1
总和1=0
总和2=0
对于范围（1，i+1）中的m1：
sum1=求和1+函数R（m1）*二项式（i+j-m1-1，i-m1）
对于范围（1，j+1）中的m2：
sum2=sum2+funcL（m2）*二项式（i+j-m2-1，j-m2）
总和=总和1+总和2
（PARI）T（n，k）=如果（k==0，n^2，如果（k==n，2^k，T（n-1，k-1）+T（n-1，k））\\G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：
如果（k==0）：返回n^2
elif（k==n）：返回2^n
else：返回T（n-1，k-1）+T（n-1，k）
[T（n，k）代表k in（0..n）]代表n in（0..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
（间隙）
T： =函数（n，k）
如果k=0，则返回n^2；
elif k=n，然后返回2^n；
否则返回T（n-1，k-1）+T（n-1，k）；
fi；
结束；
平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->T（n，k）））#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
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交叉参考
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我们用（L（n），R（n））表示Pascal-like三角形，其中L（n。A007318元(1,1),A008949号（1,2^n），A029600型(2,3),A029618号(3,2),A029635号(1,2),A029653号(2,1),A037027号（斐波那契（n），1），A051601号（n，n）n>=0，A051597号（n，n）n>0，A051666号（n^2，n^2），A071919号(1,0),A074829号（斐波那契（n），斐波那奇（n）），A074909号（1，n），A093560号(3,1),A093561号(4,1),A093562号(5,1),A093563号(6,1),A093564号(7,1),A093565号(8,1),A093644号(9,1),A093645美元(10,1),A095660美元（1,3）中，A095666号(1,4),A096940号(1,5),A096956号(1,6),A106516号（3^n，1），A108561号（1，（-1）^n），A132200个(4,4),A134636号（2n+1,2n+1），A137688号（2^n，2^n），A160760型（3^（n-1），1），A164844号（1,10^n），A164847号（100^n，1），A164855号（101*100^n，1），A164866号（101^n，1），A172171号（1，9），A172185号(9,11),A172283号(-9,11),A177954号（整数（n/2），1），A193820号（1,2^n），A214292型（n，-n），A227074号（4^n，4^n），A227075号（3^n，3^n），A227076号（5^n，5^n），A227550型（n！，n！），A228053号（-1）^n，（-1），A228074号（斐波那契（n），n）。
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 3, 1, 3, 4, 1, 3, 7, 5, 1, 3, 10, 12, 6, 1, 3, 13, 22, 18, 7, 1, 3, 16, 35, 40, 25, 8, 1, 3, 19, 51, 75, 65, 33, 9, 1, 3, 22, 70, 126, 140, 98, 42, 10, 1, 3, 25, 92, 196, 266, 238, 140, 52, 11, 1, 3, 28, 117, 288, 462, 504, 378, 192, 63, 12, 1, 3, 31, 145, 405, 750, 966, 882, 570, 255, 75, 13, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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这是Riordan三角形的一个示例（请参见A053121号注释和1991年Shapiro等人关于Riordan群的参考），第m列的o.g.f.为g（x）*（x*f（x））^m型，f（0）=1。因此，行多项式p（n，x）：=和{m=0..n}a（n，m）*x^m的o.g.f.是g（z，x）=g（z）/（1-x*z*f（z））。这里：g（x）=（1+2*x）/（1-x），f（x）=1/（1-x），因此g（z，x）=“1+2*z”/（1-（1+x）*z）。
西南-东北对角线给出了卢卡斯数A000032号：L（n）=和{k=0..天花板（（n-1）/2）}a（n-1-k，k），n>=1，L（0）=2。观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。
三角形T（n，k），按行读取，由[3，-2,0,0,0.5,0,0，…]DELTA[1,0,0.0,0,0.8，…]给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆，2009年9月17日
有符号下三角矩阵（-1）^（n-1）*a（n，m）是Riordan矩阵的逆矩阵A106516号; 即Riordan（（1-2*x）/（1+x），x/（1+x））。
请参阅彼得·巴拉2014年12月23日的评论A106516号对于（g（x），x/（1-x））类型的一般Riordan三角形：exp（x）*r（n，x）=d。
类似地，对于（g（x），x/（1+x））类型的一般Riordan三角形：exp（x）*r（n，-x）=d（n，x）。（结束）
当n>=1时，第n行多项式为（3+x）*（1+x）^（n-1）。更一般地，当n>=1时，Riordan数组（（1-a*x）/（1-b*x），x/（1-b*x））的第n行多项式为（b-a+x）*（b+x）^（n-1）-彼得·巴拉，2018年3月2日
二项式（n-2，k）+2*二项式式（n-3，k）也是避免123和132与k个双下降的排列数，即w[i]>w[i+1]>w[2]的位置-劳拉·普德威尔2018年12月19日
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参考文献
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Kurt Hawlitschek、Johann Faulhaber 1580-1635、Veroeffentlichung der Stadtbibliothek Ulm、Band 18、Ulm，德国，1995年，第2.1.4章。菲格利特·扎伦（Figurierte Zahlen）。
Ivo Schneider，Johannes Faulhaber 1580-1635，Birkhäuser，巴塞尔，波士顿，柏林，1993年，第5章，第109-122页。
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链接
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M.Bukata、R.Kulwicki、N.Lewandowski、L.Pudwell、J.Roth和T.Wheeland，避免模式置换的统计分布，arXiv预印本arXiv:1812.07112[math.CO]，2018。
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配方奶粉
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a（n，m）=F（3；n-m，m），对于0<=m<=n，否则为0，如果n>=1，F（3，n，0）=1，如果F（3；0，0）=3，如果m>=1：=（3*n+m）*二项式（n+m-1，m-1）/m。
G.f.列m（无前导零）：（1+2*x）/（1-x）^（m+1），m>=0。
递归：如果m>n，a（0，0）=1，a（n，m）=0；如果n>=1，a（n，0）=3；a（n，m）=a（n-1，m）+a（n-1，m-1）。
T（n，k）=C（n，k）+2*C（n-1，k）-菲利普·德尔汉姆2005年8月28日
exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（3+7*x+5*x^2/2！+x^3/3！）=3+10*x+22*x^2！+40*x^3/3！+65*x^4/4！+。。。。对于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，同样的属性更为普遍-彼得·巴拉2014年12月22日
G.f.：（-1-2*x）/（-1+x+x*y）-R.J.马塔尔，2015年8月11日
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例子
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三角形开始
1,
3, 1,
3、4、1，
3, 7, 5, 1,
3, 10, 12, 6, 1,
3, 13, 22, 18, 7, 1,
3, 16, 35, 40, 25, 8, 1,
3, 19, 51, 75, 65, 33, 9, 1,
3, 22, 70, 126, 140, 98, 42, 10, 1,
3、25、92、196、266、238、140、52、11、1、，
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a093560 n k=a093560_tabl！！不！！k个
a093560_row n=a093560 _ tabl！！n个
a093560_tabl=[1]：迭代
（\row->zipWith（+）（[0]++行）（行++[0]））[3，1]
（GAP）级联（[1]，平面（列表（[1..11]，n->列表（[0..n]，k->二项式（n，k）+2*二项式）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年12月20日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A034263号
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| a（n）=二项式（n+4.4）*（4*n+5）/5。 |
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+10
16
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1, 9, 39, 119, 294, 630, 1218, 2178, 3663, 5863, 9009, 13377, 19292, 27132, 37332, 50388, 66861, 87381, 112651, 143451, 180642, 225170, 278070, 340470, 413595, 498771, 597429, 711109, 841464, 990264, 1159400, 1350888, 1566873, 1809633, 2081583, 2385279
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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基于六边形金字塔数字的5维形式本·克里奇（mathroxmysox（AT）yahoo.com），2005年11月17日
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参考文献
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Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约多佛，1964年，第194-196页。
Herbert John Ryser，组合数学，《Carus数学专著》，第14期，John Wiley and Sons出版社，1963年，第1-8页。
S.J.Cyvin和I.Gutman，苯系烃中的Kekulé结构，《化学讲义》，第46期，施普林格，纽约，1988年（第167-169页，表10.5/II/4）。
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：（1+3*x）/（1-x）^6。
a（n）=（n+1）*（n+2）*（n+3）*（n+4）*（4*n+5）/120-Emeric Deutsch公司和Ben Creech（mathroxmysox（AT）yahoo.com），2005年11月17日，更正人埃里克·罗兰2017年8月15日
和{n>=0}1/a（n）=28300/231-1280*Pi/77-7680*log（2）/77-阿米拉姆·埃尔达尔2022年2月15日
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例子
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MAPLE公司
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a： =n->（n+1）*（n+2）*（n+3）*（n+4）*（4*n+5）/120:seq（a（n），n=0..35）#Emeric Deutsch公司2005年11月18日
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数学
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a[n]：=（1+n）（2+n）；数组[a，36，0]（*或*）
线性递归[{6，-15，20，-15、6，-1}，{1，9，39，119，294，630}，36]（*或*）
系数列表[级数[（1+3*x）/（1-x）^6，{x，0，35}]，x](*罗伯特·威尔逊v2015年2月26日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（n+1）*（n+2）*（n+3）*（n+4）*（4*n+5）/120\\查尔斯·格里特豪斯四世，2015年9月24日，更正人阿尔图·阿尔坎2017年8月15日
（岩浆）[（4*n+5）*二项式（n+4,4）/5:n in[0..35]]//G.C.格鲁贝尔2019年8月28日
（Sage）[（4*n+5）*二项式（n+4,4）/5代表（0..35）中的n]#G.C.格鲁贝尔2019年8月28日
（GAP）列表（[0..35]，n->（4*n+5）*二项式（n+4,4）/5）#G.C.格鲁贝尔2019年8月28日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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扩展
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