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提示
(问候来自百科全书行上的整数序列!)
A029653号 (2,1)-Pascal三角形中的数字(按行)。 57
1,2,1,2,3,1,2,5,4,1,2,7,9,5,1,2,2,11,25,30,20,7,1,2,13,36,55,50,27,8,1,2,15,49,91,105,77,35,9,1,2,2,17,64,140,196,182,112,44,10,1,2,19,81,204,336,378,294,156,54,11,1,2,21,100,285 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

背面A029635号. 行和为A003945号. 对角线和是Fibonacci(n+2)=和{k=0..floor(n/2)}(2n-3k)*C(n-k,n-2k)/(n-k)。-保罗·巴里2005年1月30日

Riordan数组((1+x)/(1-x),x/(1-x))。有符号三角形(-1)^(n-k)T(n,k)或((1-x)/(1+x),x/(1+x))是A055248. 行和为A003945号. 对角线和为F(n+2)。-保罗·巴里2005年2月3日

行总和=A003945号:(1,3,6,12,24,48,96,…)=(1,3,7,15,31,63,127,…)-(0,0,1,3,7,15,31,…);其中(1,3,7,15,…)=A000225. -加里·W·亚当森2007年4月22日

三角形T(n,k),按行读取,由(2,-1,0,0,0,0,0,0,…)DELTA(1,0,0,0,0,0,0,0,…),其中DELTA是中定义的运算符A084938号. -菲利普·德莱厄姆2011年11月17日

A029653号与联合生成A208510号作为多项式系数的数组v(n,x):最初,u(1,x)=v(1,x)=1;当n>1时,u(n,x)=u(n-1,x)+x*v(n-1)x和v(n,x)=u(n-1,x)+x*v(n-1,x)+1。参见Mathematica部分。-克拉克·金伯利2012年2月28日

关于类Pascal三角形的任意左右边界的闭合公式,请参见A228196. -鲍里斯·普提耶夫斯基2013年8月18日

关于广义帕斯卡三角形的闭式公式,请参见A228576号. -鲍里斯·普提耶夫斯基2013年9月4日

n-1>=第n-1行的多项式。更一般地说,对于n>=1,Riordan数组的第n行多项式((1-a*x)/(1-b*x),x/(1-b*x))为(b-a+x)*(b+x)^(n-1)。-彼得·巴拉2018年2月25日

链接

莱因哈德·祖姆凯勒,n=0..125行三角形,展平

穆罕默德·K·阿扎良,包含Lucas或Fibonacci和Lucas数的二项和恒等式《国际当代数学科学杂志》,第7卷,第45期,2012年,第2221-2227页。

P、 巴里,关于Riordan数组定义的一类广义Pascal矩阵的注记《整数序列杂志》,16(2013),#13.5.4。

Hacene Belbachir和Athmane Benmezai,Fibonacci多项式和Lucas多项式的展开:对Prodinger问题的回答2012年第6卷,第15卷。

B、 A.邦达伦科,广义Pascal三角形与金字塔(俄语),FAN,塔什干,1990年,ISBN 5-648-00738-8。菲波纳契协会出版的英文译本,圣克拉拉大学,加利福尼亚州,1993年;见第39页。

H、 和谷,帕斯卡三角形、非邻接数与D维原子轨道,J.数学。化学,第23卷,1998年,169-178。

M、 扬吉奇和B.佩特科维奇,计数函数,arXiv预印本arXiv:1301.4550[math.CO],2013年。-从N、 斯隆2013年2月13日

M、 扬吉奇,B.佩特科维奇,推广二项式系数和其他几类整数的计数函数,国际期刊。2014年第17号第14.3.5条

马克·C·威尔逊,广义Riordan阵列的渐近性。国际算法分析会议。广告第323卷。2005

公式

T(n,k)=C(n-2,k-1)+C(n-2,k)+C(n-1,k-1)+C(n-1,k),除了n=0。

G、 f.:(1+x+y+xy)/(1-y-xy)。-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月17日

T(n,k)=(2n-k)*二项式(n,n-k)/n,n,k>0。-保罗·巴里2005年1月30日

和{k=0..n}T(n,k)*x^k给出A003945号-A003954号对于x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。-菲利普·德莱厄姆2005年7月10日

T(n,k)=C(n-1,k)+C(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2005年7月10日

等于A097806号*A007318型也就是说,成对算子*帕斯卡三角形是无限下三角矩阵。-加里·W·亚当森2007年4月22日

彼得·巴拉2014年12月27日:(开始)

exp(x)*e.g.f.for row n=e.g.f.for row n=3.我们有exp(x)*(2+5*x+4*x^2/2!+x^3/3!)=2+7*x+16*x^2/2!+30*x^3/3!+50*x^4/4!+ .... 对于形式为(f(x),x/(1-x))的Riordan数组,同样的属性更为普遍。

设M表示下单位三角形数组,主对角线上有1,主对角线下的其他地方都是1,除了由序列[1,2,2,2,….]组成的第一列。对于k=0,1,2,。。。定义M(k)为下单位三角形块阵列

/我知道0\

\0 M/以k×k单位矩阵I_k作为左上分块;特别是M(0)=M。那么现在的三角形等于无穷积M(0)*M(1)*M(2)*。。。(这是明确界定的)。请参见示例部分。(结束)

例子

三角形T(n,k)开始于:

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

0:1个

1: 2 1个

2: 2 3 1

3: 2 5 4 1

4: 2 7 9 5 1

5: 2 9 16 14 6 1

6: 2 11 25 30 20 7 1

7: 2 13 36 55 50 27 8 1

8: 2 15 49 91 105 77 35 9 1

9: 2 17 64 140 196 182 112 44 10 1

10: 2 19 81 204 336 378 294 156 54 11 1

... 已重新格式化。-狼牙2015年1月9日

对于公式部分定义的数组M(k),无穷乘积M(0)*M(1)*M(2)*。。。开始

/1\/1\/1\/1\

|2 1 | | 0 1 | | 0 1 | | 2 1|

|2 1 1 | | 0 2 1 | 0 0 1 |。。。=| 2 3 1|

|2 1 1 1 | | 0 2 1 1 | 0 0 2 1 | 2 5 4 1|

|2 1 1 1 1 | | 0 2 1 1 1 | 0 0 2 1 1 | 2 7 9 5 1|

|...      ||...       ||...      |      |...      |

-彼得·巴拉2014年12月27日

枫木

A029653号:=过程(n,k)

如果n=0,则

1个;

其他的

二项式(n-1,k)+二项式(n,k)

金融机构

结束过程:#R、 J.马萨2013年6月30日

数学

u[1,x_9]:=1;v[1,x_9]:=1;z=16;

u[n_u,x_u]:=u[n-1,x]+x*v[n-1,x];

v[n_x,x]:=u[n-1,x]+x*v[n-1,x]+1;

表[Expand[u[n,x]],{n,1,z/2}]

表[展开[v[n,x]],{n,1,z/2}]

cu=表[系数列表[u[n,x],x],{n,1,z}];

表格

展平[%](*A208510号*)

{n,展开[x,n]

cv=表[CoefficientList[v[n,x],x],{n,1,z}];

表格

展平[%](*A029653号*)

(*克拉克·金伯利2012年2月28日*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

a029653 n k=a029653表格!!n!!k

a029653行n=a029653表!!n

表1=29A

(\xs->zipWith(+)([0]++xs)(xs++[0]))[2,1]

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年12月16日

(蟒蛇)

来自sympy import Poly

从sympy.abc import x

def u(n,x):如果n==1,则返回1;否则u(n-1,x)+x*v(n-1,x)

def v(n,x):如果n==1,则返回1;否则u(n-1,x)+x*v(n-1,x)+1

def a(n):返回Poly(v(n,x),x).all_coeffs()[::-1]

对于范围(1,13)中的n:打印(a(n))#印度教2017年5月27日

交叉引用

(d,1)帕斯卡三角形:A007318型(d=1),A093560(3) 你说,A093561号(4) 你说,A093562号(5) 你说,A093563号(6) 你说,A093564号(7) 你说,A093565号(8) 你说,A093644号(9) 你说,A093645号(10) 一。

囊性纤维变性。A003945号,A208510号,A228196,A228576号.

囊性纤维变性。A078812号,A106195.

上下文顺序:A065158 邮编:A181842 A209564号*A067763号 甲263683 A087730型

相邻序列:A029650型 A029651号 A029652号*A029654号 A029655号 A029656号

关键字

,

作者

穆罕默德·阿扎克

扩展

更多条款来自詹姆斯A.塞勒斯

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年10月26日11:29。包含338027个序列。(运行在oeis4上。)