%I M4108 N1705#452 2024年4月5日11:07:27

%S 0,1,6,15,28,45,66,91120153190231276325378435496561630703，

%电话：78086194610351122513261431154016531770189120162145，

%电话：227824152556270128503003316033213486365538284005418643714560

%N六边形数：a（N）=N*（2*N-1）。

%C两个完整图的连接边数，每个图的顺序为n，K_n*K_n.-Roberto E.Martinez II_，2002年1月7日

%C熵函数H（x）=（1+x）log（1+x）+（1-x）log（1x）的幂级数展开式具有1/a_i作为x^（2i）的系数（奇数项为零）托马索·托福利（tt（AT）bu.edu），2002年5月6日

%C A016813（4n+1）的部分总和。同样在偏移量=0的情况下，a（n）=（2n+1）（n+1）=A005408*A000027=2n^2+3n+1，即a（0）=1_Jeremy Gardiner_，2002年9月29日

%C序列也给出了半径为n-1的原始毕达哥拉斯三角形的最大半周长。这种三角形有连续的较长边，短边2n-1，斜边a（n）-（n-1）=A001844（n），面积（n-1_Lekraj Beedassy，2003年4月23日

%C 12^（n-1）的除数，即A000005（A001021（n-1_Henry Bottomley，2001年10月22日

%更一般地说，如果p1和p2是两个任意选择的不同素数，那么a（n）是（p1^2*p2）^（n-1）的除数，或者是A054753^（n-1）的任何成员的等量_蚂蚁王，2011年8月29日

%C形状标准表编号（2n-1,1,1）（n>=1）。-_Emeric Deutsch_，2004年5月30日

%C众所周知，对于n>0，A014105（n）[0,3,10,21，…]是2n+1个连续整数中的第一个，因此第一个n+1个此类整数的平方和等于最后一个n的平方和；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2。

%C鲜为人知的是，对于n>1，a（n）[0,1,6,15,28，…]是2n个连续整数中的第一个，因此前n个此类整数的平方和等于最后n-1的平方和加上n^2；例如，15^2+16^2+17^2=19^2+20^2+3^2_Charlie Marion，2006年12月16日

%当n是偶数超完美数A061652时，C a（n）也是一个完美数A000396_Omar E.Pol，2008年9月5日

%C从0开始，在0、6、……方向读取直线，得到序列。。。和从1开始的直线，在方向1，15。。。，在顶点为广义六角形数A000217的方形螺旋中_Omar E.Pol，2009年1月9日

%C设十六进制（n）=六角形数，T（n）=三角形数，则十六进制（n）=T（n”）+3*T（n-1）_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2010年11月10日

%C对于n>=1，1/a（n）=和{k=0..2*n-1}（（-1）^（k+1）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2xn-1+k，k）*H（k）/（k+1。

%C从分成象限的正方形的n种颜色中选择的任何2种颜色的可能不同颜色的数量。-_Paul Cleary_，2010年12月21日

%C A051173中三角形的中心项_Reinhard Zumkeller_2011年4月23日

%C对于n>0，a（n-1）是所有项都在{0，…，n}和max（|w-x|，|x-y|）=|w-y|中的三元组（w，x，y）的数目。-_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2012年6月12日

%C a（n）是以2n为基数的偶数金字塔板中一个多米诺骨牌的位置数_塞萨尔·埃利乌德·洛扎达，2012年9月26日

%C部分金额为A002412_Omar E.Pol_，2013年1月12日

%设三角形T（0,0）=0，T（r，C）=|r^2-C^2|。第（n）行和第（n-1）行中的术语之差之和为a（n）_J.M.Bergot，2013年6月17日

%Ca（n+1）=A128918（2*n+1）。-_Reinhard Zumkeller_，2013年10月13日

%C当T_（i+1，i）=a（i+1）和下三角矩阵T零点的所有其他元素时，T是A176230的无穷小生成器，类似于Pascal矩阵的A132440。-Tom Copeland_，2013年12月11日

%C a（n）是正好有两个1的长度为2n的二进制序列的数目。a（2）=6，因为我们有：{0,0,1,1}，{0,1,0}，}，1,0,1,1}，2,0,1}。带插值零点的普通生成函数是：（x^2+3*x^4）/（1-x^2）^3。-_杰弗里·克里特（Geoffrey Critzer），2014年1月2日

%C对于n>0，a（n）是最大的整数k，使得k^2+n^2是k+n的倍数。更一般地说，对于m>0和n>0来说，使k^（2*m）+n^

%C（0,1,4,0,0,0，…）的二项式变换和（0,1，4,4,4，…）第二部分和_Gary W.Adamson_，2015年10月5日

%对于n>=4，C a（n）也给出了简单李代数D_n的维数_Wolfdieter Lang，2015年10月21日

%C对于n>0，a（n）等于n+11组成n部分的数量，避开第2、3、4部分。-_米兰Janjic_，2016年1月7日

%C也是n-鸡尾酒会图中最小控制集和最大无冗余集的个数_Eric W.Weisstein_，2017年6月29日和8月17日

%正如Beedassy的公式所示，这个六边形数列是三角形数列的奇数平分。这两个序列都是比喻数字序列。对于A000384，可以通过将其三角形数乘以其六边形数来找到a（n）。例如，让我们使用数字153。153据说是第17个三角形数，但也被认为是第9个六边形数。三角形（17）六边形（9）。17*9=153. 因为六边形数列是三角形数列的子集，所以六边形的数列总是既有三角形数又有六边形数。n*（2*n-1），因为（2*n-1）表示三角形数_Bruce J.Nicholson，2017年11月5日

%C也是数k，其性质是在西格玛（k）的对称表示中，最小的Dyck路径具有中心谷，而最大的Dyck路径具有中心峰，n>=1。因此，所有大于0的六边形数都有中间除数。（参见A237593.）-罗马E.Pol_，2018年8月28日

%素数n和k=2.n-1的Ck^a（n-1）mod n=1_Joseph M.Shunia，2019年2月10日

%考虑所有按Z递增排序的毕达哥拉斯三元组（X，Y，Z=Y+1）：a（n+1）给出了相关三角形的半周长；A005408、A046092和A001844给出了X、Y和Z值_拉尔夫·斯坦纳（Ralf Steiner），2020年2月25日

%C相应周长见A002939（n）=2*a（n）_M.F.Hasler，2020年3月9日

%C这些数字k的性质是，sigma（k）对称表示中的最小子部分为1_Omar E.Pol_，2021年8月28日

%C上述推测是正确的。有关证明，请参见A280851。-_Hartmut F.W.Hoft2022年2月2日

%C第n个六角形数等于从2*n-1开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和；例如，1、2+4、3+5+7、4+6+8+10等。通常，第n个2k-角数是从（k-2）*n-（k-3）开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和。当k=1和2时，该结果分别生成正整数A000027和正方形A000290_Charlie Marion，2022年3月2日

%C猜想：对于n>0，min{k，存在{0,1,2，…，A（n）}的子集A，B，使得|A|=|B|=k和A+B={0,1.2，…，2*A（n”）}=2*n.-Michael Chu_，2022年3月9日

%D Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第189页。

%D Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第77-78页。（在第77页的积分公式中，余弦参数缺少左括号。）

%D E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第6页。

%D·L·E·迪克森，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第2页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Daniel Mondot，n表，a（n）表示n=0..100000（T D.Noe的前1000项）

%H C.K.Cook和M.R.Bacon，<a href=“https://www.fq.math.ca/Papers1/52-4/CookBacon4292014.pdf“>一些多边形数求和公式</a>，Fib.Q.，52（2014），336-343。

%H Elena Deza和Michel Deza，<a href=“https://www.fields.utoronto.ca/programs/sciencefic/11-12/Mtl-To-numbertheory/slides/Deza.pdf“>Figurate Numbers:presentation of a book，第三届蒙特利尔多伦多数字理论研讨会，2011年10月7-9日。

%H阿尼修斯·曼利乌斯·塞韦里努斯·博伊修斯，<a href=“https://archive.org/stream/aniciimanliitor01friegoog#page/n114/mode/2up“>《非机构算术》，第2册，第15节。

%H Jonathan M.Borwein、Dirk Nuyens、Armin Straub和James Wan，<a href=“http://www.carmamaths.org/resources/jon/walks.pdf“>随机行走积分，《拉马努扬杂志》，2011年10月，26:109。DOI:10.1007/s11139-011-9325-y。

%H Cesar Ceballos和Viviane Pons，<a href=“https://arxiv.org/abs/2309.14261“>s-弱阶和s-置换面体II：纯区间的组合复数</a>，arXiv:2309.14261[math.CO]，2023。见第41页。

%H Paul Cooijmans，<a href=“http://web.archive.org/web/20050302174449/http://members.chello.nl/p.cooijmans/gliaweb/tests/odds.html“>奇数。

%H Tom Copeland，<a href=“http://tcjpn.wordpress.com/2012/11/29/infinigens-the-pascal-pyramid-and-the-witt-and-virasoro-algebras/“>无穷小生成器、Pascal金字塔、Witt和Virasoro代数</a>

%H Tomislav Došlić和Luka Podrug，<a href=“https://arxiv.org/abs/2304.12121“>甜蜜的分割问题：从巧克力棒到蜂窝状条再到背面</a>，arXiv:2304.12121[math.CO]，2023。

%H何塞·曼努埃尔·加西亚·卡西恩斯、路易斯·哈维尔·埃尔南德斯·帕里西奥和玛丽亚·特蕾莎·里瓦斯·罗德里格斯，<a href=“https://arxiv.org/abs/2307.13749“>循环子和子类的半单纯组合学</a>，arXiv:2307.33749[math.CO]，2023。见第32页。

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=340“>组合结构百科全书340</a>

%H米兰Janjic，<a href=“http://www.pmfbl.org/janjic/“>两个枚举函数</a>

%H Pakawut Jiradilok和Elchanan Mossel，<a href=“https://arxiv.org/abs/2402.11990“>网格上的高斯广播，arXiv:240.2.11990[cs.IT]，2024。见第27页。

%H Sameen Ahmed Khan，<a href=“https://doi.org/10.12732/ijam.v33i2.6“>多边形数倒数幂之和</a>，《国际应用数学杂志》（2020）第33卷，第2期，265-282。

%H克拉克·金伯利，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Kimberling/kimberling26.html“>互补方程</a>，《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。

%H Hyun Kwang Kim，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-02-06710-2“>关于正则多面体数，Proc.Amer.Math.Soc.，131（2002），65-75。

%H Peter D.Loly和Ian D.Cameron，<a href=“https://arxiv.org/abs/2008.11020“>Frierson的1907年复合幻方参数化扩展到3^L，L=1，2，3，…阶，信息熵</a>，arXiv:2008.11020[math.HO]，2020。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年

%H Omar E.Pol，<a href=“http://www.polprimos.com/imagenespub/polnum01.jpg“>A000217、A000290、A000326、A000384、A000566、A000567的初始术语说明。

%H Amelia Carolina Sparavigna，<a href=“https://doi.org/10.5281/zenodo.3471358“>Mersenne、Fermat、Cullen、Woodall和其他数字的群胚及其通过整数序列的表示</a>，Politecnico di Torino，Italy（2019），[math.NT]。

%H Amelia Carolina Sparavigna，<a href=“https://doi.org/10.5281/zenodo.3470205“>三角数的群胚和相关整数序列的生成，意大利都灵理工大学（2019）。

%H J.C.Su，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Su/Su.html“>关于两个同时发生的多边形序列的某些属性，JIS 10（2007）07.10.4，示例4.6。

%H Leo Tavares，插图：矩形</a>

%H A.J.Turner和J.F.Miller，<A href=“http://andrewjamesturner.co.uk/files/YDS2014.pdf“>递归笛卡尔遗传规划在著名数学序列中的应用</a>，2014。

%H Michel Waldschmidt，<a href=“http://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/ContinuedFractionsOujda2015.pdf“>连续分数</a>，Ecole de recherche CIMPA-Oujda，Théorie des Nombres et ses Applications，2015年5月18日至29日：Oujda（Maroc）。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CocktailPartyGraph.html“>鸡尾酒会图表</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/DominatingSet.html“>支配集</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Hexagonal数字.html“>六边形编号</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/MaximalIrredundantSet.html“>最大无冗余集</a>

%H Thomas Wieder，<a href=“http://www.math.nthu.edu.tw/~amen/2008/070301.pdf“>n集的某些k组合的数量，应用数学电子笔记，第8卷（2008），第45-52页。

%H<a href=“/index/Pol#polygonal_numbers”>索引与多边形数相关的序列</a>

%双向无限序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（3，-3,1）。

%F a（n）=和{k=1..n}tan^2（（k-1/2）*Pi/（2n））.-_伊格纳西奥·拉罗萨·卡涅斯特罗，2001年4月17日

%例如：exp（x）*（x+2x^2）-Paul Barry，2003年6月9日

%F.G.F.:x*（1+3*x）/（1-x）^3.-_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）在1992年的论文中，去掉了最初的零

%F a（n）=A000217（2*n-1）=A014105（-n）。

%F a（n）=4*A000217（n-1）+n.-Lekraj Beedassy_，2004年6月3日

%F a（n）=M^n*[1,0,0]的右项，其中M=3 X 3矩阵[1,0,1,0；1,1,0；1,4,1]。示例：a（5）=45，因为M^5*[1,0,0]=[1,5,45].-_Gary W.Adamson_，2006年12月24日

%F三角形A131914.-的行和_Gary W.Adamson，2007年7月27日

%F第n行的行和，三角形A134234从（1，6，15，28，…）开始。-_Gary W.Adamson_，2007年10月14日

%F从偏移量1开始，=[1,5,4,0,0,0，…]的二项式变换。此外，A004736*[1，4，4，…].-_Gary W.Adamson_，2007年10月25日

%F（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-1）^2=（a（n）+n+1）^2+…+（a（n）+2n-1）^2+n^2；例如，6^2+7^2=9^2+2^2；28^2 + 29^2 + 30^2 + 31^2 = 33^2 + 34^2 + 35^2 + 4^2. - _Charlie Marion，2007年11月10日

%F a（n）=二项式（n+1，2）+3*二项式。

%F a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=6_Jaume Oliver Lafont_，2008年12月2日

%F a（n）=a（n-1）+4*n-3（其中a（0）=0）。-_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2010年11月20日

%F a（n）=A007606（A000290（n））_Reinhard Zumkeller，2011年2月12日

%F a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+4.-_蚂蚁王，2011年8月26日

%F a（n+1）=A045896（2*n）_Reinhard Zumkeller_2011年12月12日

%F a（2^n）=2^（2n+1）-2^n.-Ivan n.Ianakiev，2013年4月13日

%F a（n）=二项式（2*n，2）_Gary Detlefs，2013年7月28日

%F a（4*a（n）+7*n+1）=a_Vladimir Shevelev，2014年1月24日

%F和{n>=1}1/a（n）=2*log（2）=1.38629436111989…=A016627.-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2016年4月27日

%F和{n>=1}（-1）^n/a（n）=log（2）-Pi/2.-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年4月20日

%F a（n+1）=三项式（2*n+1，2）=三项式（2*n+1，4*n），对于n>=0，带有三项式不规则三角形A027907。a（n+1）=（n+1）*（2*n+1）=（1/Pi）*积分{x=0..2}（1/sqrt（4-x ^2））*（x ^2-1）^（2*n+1）*R（4*n-2，x），具有A127672中给出的R多项式系数。[Comtet，p.77，q=3，n->2*n+1，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写]_Wolfdieter Lang，2018年4月19日

%F和{n>=1}1/（a（n））^2=2*Pi^2/3-8*log（2）=1.0345588…=10*A182448-A257872.-_R.J.Mathar，2019年9月12日

%F a（n）=（A005408（n-1）+A046092（n-1_Ralf Steiner_，2020年2月27日

%F产品{n>=2}（1-1/a（n））=2/3.-_Amiram Eldar，2021年1月21日

%F a（n）=楼层（总和{k=（n-1）^2..n^2}平方（k）），对于n>=1.-_Amrit Awasthi，2021年6月13日

%F a（n+1）=A084265（2*n），n>=0.-_Hartmut F.W.Hoft_，2022年2月2日

%F a（n）=A000290（n）+A002378（n-1）_Charles Kusniec_，2022年9月11日

%p A000384:=n->n*（2*n-1）；序列（A000384（k），k=0..100）；#_韦斯利·伊万·赫特，2013年9月27日

%t表[n*（2 n-1），{n，0，100}]（*_Wesley Ivan Hurt_，2013年9月27日*）

%t线性递归[｛3，-3，1｝，｛0，1，6｝，50]（*_Harvey P.Dale_，2015年9月10日*）

%t加入[｛0｝，累加[范围[1312，4]]]（*_Harvey P.Dale_，2016年3月26日*）

%t（*对于Mathematica 10.4+*）表[多边形数[RegularPolygon[6]，n]，{n，0，48}]（*_Arkadiusz Wesolowski_，2016年8月27日*）

%t多边形编号[6，范围[0，20]]（*_Eric W.Weisstein_，2017年8月17日*）

%t系数列表[系列[x*（1+3*x）/（1-x）^3，{x，0，100}]，x]（*_Stefano Spezia_，2018年9月2日*）

%o（PARI）a（n）=n*（2*n-1）

%o（PARI）a（n）=二项式（2*n，2）\\ Altug Alkan，2015年10月6日

%o（哈斯克尔）

%o a000384 n=n*（2*n-1）

%o a000384_list=扫描（+）0 a016813_list

%o——Reinhard Zumkeller，2012年12月16日

%o（Python）#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。

%o定义aList（）：

%o x，y=1，1

%o产量0

%o为True时：

%o产量x

%o x，y=x+y+4，y+4

%o A000384=列表（）

%o打印（[next（A000384）for i in range（49）]）#_Peter Luschny_，2019年8月4日

%Y参见A000217、A014105、A127672、A027907、A005408、A046092、A001844。

%Y a（n）=A093561（n+1，2），（4，1）-Pascal列。

%当n>0时，Y a（n）=A100345（n，n-1）。

%Y参考A002939（两倍a（n）：勾股三元组之和（X，Y，Z=Y+1）。

%Y参考A280851。

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E部分编辑人：Joerg Arndt_，2010年3月11日