搜索： a034263-编号：a034265
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1, 10, 49, 168, 462, 1092, 2310, 4488, 8151, 14014, 23023, 36400, 55692, 82824, 120156, 170544, 237405, 324786, 437437, 580888, 761530, 986700, 1264770, 1605240, 2018835, 2517606, 3115035, 3826144, 4667608, 5657872, 6817272, 8168160, 9735033, 11544666
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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参考文献
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Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约多佛，1964年，第194-196页。
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链接
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公式
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a（n）=C（n+5,5）*（2n+3）/3。
总尺寸：（1+3*x）/（1-x）^7。
和{n>=0}1/a（n）=2161/28-768*log（2）/7。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=192*Pi/7-624*log（2）/7-657/28。（结束）
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数学
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000332号
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| 二项式系数二项式（n，4）=n*（n-1）*（n-2）*（n-3）/24。
（原M3853 N1578）
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+10
380
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0, 0, 0, 0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, 3876, 4845, 5985, 7315, 8855, 10626, 12650, 14950, 17550, 20475, 23751, 27405, 31465, 35960, 40920, 46376, 52360, 58905, 66045, 73815, 82251, 91390, 101270, 111930, 123410
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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凸n-gon的对角线的交点数，其中不超过两条对角线在内部任何点相交。
从立方烷开始，根据描述活性位点之间反应的反应方案连接氨基酸。请参阅有关化学的超链接-罗伯特·威尔逊v2002年8月2日
对于n>0，a（n）=（-1/8）*（Zagier多项式P_（2n，n）中x的系数）。（PARI/GP使用Zagier多项式来加速交替或正级数。）
基于四维规则凸多面体（称为规则4-单纯形、五弦形、五格形、五顶形或4-超四面体）的数字，使用Schlaefli符号{3,3,3}。a（n）=（（n*（n-1）*（n-2）*（n-3））/4！）Michael J.Welch（mjw1（AT）ntlworld.com），2004年4月1日，R.J.马塔尔2009年7月7日
用直线连接n个顶点可以创建的最大交叉数Cameron Redsell-Montgomerie（credsell（AT）uoguelph.ca），2007年1月30日
如果X是一个n集，Y是X的固定（n-1）子集，那么a（n）等于X与Y相交的4个子集的数目-米兰Janjic2007年8月15日
对于完全由0和1组成的字符串，四个1不相邻的不同排列数。最短的可能字符串是7个字符，其中只有一个解决方案：1010101，对应于a（5）。一个八个字符的字符串有5个解，九个有15个，十个有35个，依此类推，与A000332号. -吉尔·布鲁萨德2008年3月19日
除了4个初始0之外，它等价于四面体数的部分和A000292号.-Jeremy Cahill（jcahill（AT）inbox.com），2009年4月15日
如果忽略前3个零，也就是说，如果观察n>=0的二项式（n+3，4），那么它就变成了α=0的“Matryoshka玩偶”序列：seq（add（add（i，i=α.k），k=α.k。。n） ，n=α。。m） ，m=α。。50). -彼得·卢什尼2009年7月14日
对于n>=1，a（n）是n位数字的数量，其二进制展开包含两次0的运行-弗拉基米尔·舍维列夫2010年7月30日
对于n>0，a（n）是{1,2，..，n}到n-2块的交叉集划分数-彼得·卢什尼2011年4月29日
除了四个初始零之外，所有可能的任意大小的四面体的数目，与原始正四面体具有相同的方向，是在用平行于其边的平面与后者相交并将其边分成n个相等部分时形成的-V.J.波霍拉2012年8月31日
a（n+3）是用n种颜色给正四面体的面（或顶点）着色的不同方法的数量，如果我们将镜像数计算为相同的话。
a（n）=fallfac（n，4）/4！也是秩为4且维数n>=1的反对称张量的独立分量的数目。这里falfac是下降阶乘-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
具有n种可用颜色的正四面体顶点（或面）的手性着色对数。手性颜色成对出现，每一种都是另一种的反射-罗伯特·拉塞尔2020年1月22日
a（n+3）是n阶楼梯中格子矩形（包括正方形）的数量；这是通过堆叠n行连续的单元格正方形来实现的，这些格正方形要么左要么右对齐，由1、2、3……组成。。。，n个正方形，按其长度的递增或递减顺序堆叠。下面是一个楼梯或订单4，其中包含（7）=35个矩形。[参见下面的Teofil Bogdan和Mircea Dan Rus链接，问题3A004320型]
_
|_|_
|_|_|_
|_|_|_|_
|_|_|_|_|
（结束）
a（n+4）是由5个字母组成的有序字母表中长度为n的字符串的数量，其中单词中的字符是按非递减顺序排列的。例如，长度为2的单词数为15:aa、ab、ac、ad、ae、bb、bc、bd、be、cc、cd、ce、dd、de、ee-吉姆·纳斯托斯2021年1月18日
除了零之外，这是Pascal矩阵的第五条对角线A007318号，矩阵表示的唯一非对角（第五）IM=(A132440号)^4/4! 微分算子D^4/4！，当作用于o.g.f.或幂级数的系数的行向量时。
M=e^{IM}是Appell序列p_n（x）=e^}D^4/4！}x^n=e^{b.D}x^n=（b.+x）^n=和{k=0..n}二项式（n，k）b_nx^{n-k}的系数矩阵，其中（b）^n=b_n具有例如f.e^{b.t}=e^}t^4/4A025036号M的第一列用三个零填充。
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。
A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第196页。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第74页，问题8。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第7页。
J.C.P.Miller，编辑，《二项式系数表》。英国皇家学会数学表，第3卷，剑桥大学出版社，1954年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Charles W.Trigg：数学快速。纽约：多佛出版公司，1985年，第53页，#191
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Paul Erdős、Norbert Kaufman、R.H.Koch和Arthur Rosenthal，E750（内部对角线点）阿默尔。数学。《月刊》，54（1947年6月），第344页。
Th.Grüner、A.Kerber、R.Laue和M.Meringer，组合化学数学.
贾煌，部分回文成分，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.4.1条。见第4页。
Hyun Kwang Kim，关于正则多面体数，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，131（2002），65-75。
Tim McDevitt和Kathryn Sutcliffe，对一个旧三角形计数问题的新认识数学老师。第110卷，第6期（2017年2月），第470-474页。
Rajesh Kumar Mohapatra和Tzung-Pei Hong，有限模糊子集的个数与整数序列分析《数学》（2022）第10卷，第7期，第1161页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
肯尼思·罗斯，正方形和立方的第一个数字，数学。Mag.85（2012）36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。
基里尔·沙尔达科夫和弗拉基米尔·布布诺夫，数据传输网络高负载监测系统的随机模型《信息系统模型和方法研究研讨会论文选集》，《欧洲经济研究中心研讨会论文集》，（俄罗斯圣彼得堡，2019年），第29-34页。
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公式
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a（n）=n*（n-1）*（n-2）*（n-3）/24。
G.f.：x^4/（1-x）^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=求和{k=1..n-3}求和{i=1..k}i*（i+1）/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年6月15日
a（4*n+2）=Pyr（n+4，4*n=2），其中多边形金字塔数由Pyr为整数a>2和B>=0定义（a，B）=第B个a-角金字塔数=（（a-2）*B^3+3*B^2-（a-5）*B）/6；对于所有正整数i和五边形数函数P（x）=x*（3*x-1）/2:a（3*i-2）=P（P（i））和a（3*1）=P；1+24*a（n）=（n^2+3*n+1）^2-乔纳森·沃斯邮报2004年11月15日
对于n>3，第一个n-2四面体数之和(A000292号). - 马丁·史蒂文·麦考密克（mathseq（AT）wazer.net），2005年4月6日[更正人：道格·贝尔，2017年6月25日]
开始（1，5，15，35，…），=[1，4，6，4，1，0，0，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年12月28日
求和{n>=4}1/a（n）=4/3，来自极限x->1中（1-x）^3*log（1-x）的泰勒展开式-R.J.马塔尔2009年1月27日
a（n）=5*a（n-1）-10*a（n-2）+10*a（n-3）-5*a（n-4）+a（n-5）；a（0）=0、a（1）=0，a（2）=0；a（3）=0。a（4）=1-哈维·P·戴尔2011年8月22日
a（n）=（二项式（n-1,2）^2-二项式）/6-加里·德特利夫斯2011年11月20日
a（n）=和{k=1..n-2}和{i=1..k}i*（n-k-2）-韦斯利·伊万·赫特2013年9月25日
和{n>=0}a（n）/n！=e/24。和{n>=3}a（n）/（n-3）！=73*e/24。请参见A067764号关于第二个比率-理查德·福伯格2013年12月26日
和{n>=4}（-1）^（n+1）/a（n）=32*log（2）-64/3=A242023型= 0.847376444589... . -理查德·福伯格2014年8月11日
a（n+3）=C（n，1）+3*C。每个术语表示使用n种颜色为四面体着色的方法的数量，这些方法恰好是1、2、3或4种颜色。
G.f.：启动（1，5，14，…），x/（1-x）^5可以写入
作为（x*r（x）*r（x^2）*r其中r（x）=（1+x）^5；
作为（x*r（x）*r（x^3）*r其中r（x）=（1+x+x^2）^5；
作为（x*r（x）*r（x^4）*r其中r（x）=（1+x+x^2+x^3）^5；
…（作为一个推测的无限集）。（结束）
产品{n>=5}（1-1/a（n））=cosh（sqrt（15）*Pi/2）/（100*Pi）-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月21日
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例子
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a（5）=5来自秩4和维数5的反对称张量a的五个独立分量，即a（1,2,3,4）、a（1,2,3,5）、a。请参阅2015年12月10日的评论-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
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MAPLE公司
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A000332号：=n->二项式（n，4）；[seq（二项式（n，4），n=0..100）]；
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数学
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表[二项式[n，4]，{n，0，45}]（*由修正哈维·P·戴尔2011年8月22日*）
表[（n-4）（n-3）（n-2）（n-1）/24，{n，100}](*阿图尔·贾辛斯基2007年12月2日*）
线性递归[{5、-10、10、-5、1}、{0、0、0，1}，45](*哈维·P·戴尔2011年8月22日*）
系数列表[级数[x^4/（1-x）^5，{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年11月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=二项式（n，4）；
（岩浆）[二项式（n，4）:n in[0.50]]//文森佐·利班迪2014年11月23日
（Python）
#从a（3）开始，即计算n*（n+1）*（n+2）*（n+3）/24
x、 y，z，u=1，1，1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y，z，u=x+y+z+u+1，y+z+u+1，z+u+1，u+1
（Python）
打印（[n*（n-1）*（n-2）*（n-3）//24代表范围（50）内的n）]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A006008号（当镜像计算为两个时，用n种颜色给规则四面体的面（或顶点）着色的方法的数量）。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005585号
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| 五维金字塔数：a（n）=n*（n+1）*（n+2）*（n+3）*！。
（原名M4387）
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+10
39
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1, 7, 27, 77, 182, 378, 714, 1254, 2079, 3289, 5005, 7371, 10556, 14756, 20196, 27132, 35853, 46683, 59983, 76153, 95634, 118910, 146510, 179010, 217035, 261261, 312417, 371287, 438712, 515592, 602888, 701624, 812889, 937839, 1077699, 1233765, 1407406
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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p^k将素数p>5和整数k>0除以a（p^k-3）、a（p*k-2）、a。p^k将素数p>5和整数k>0除以a（（p^k-3）/2）-亚历山大·阿达姆楚克，2007年5月8日
如果2集Y和（n-3）集Z是n集X的不相交子集，则（n-5）是与Y和Z相交的X的6个子集的数目-米兰Janjic2007年9月8日
5维平方数，[1,2,0,0,0，…]二项式变换的第四部分和。a（n）=和{i=0..n}二项式（n+4，i+4）*b（i），其中b（iBorislav St.Borisov（b.St.Borisov（AT）abv.bg），2009年3月5日
（1，6，14，16，9，2，0，0，…）的二项式变换-加里·亚当森2015年7月28日
2*a（n）是将4个皇后放置在（n+3）X（n+3）棋盘上，使其对角攻击6次的方法。对于k=4个皇后，只有当所有皇后都在同一对角线上时，才能实现最大可能攻击数p=二项式（k，2）=6。在图论表示中，它们因此形成了相应的完整图-Antal Pinter公司2015年12月27日
调整偏移时，添加A000389号找到系列中的下一个A000389号,A005585号,A051836号,A034263号,A027800型,A051843号,A051877号,A051878号,A051879号,A051880型,A056118美元,A271567型（请参见布鲁诺·贝塞利中的评论A271567型.) -布鲁斯·尼克尔森，2018年6月21日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第797页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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公式
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通用格式：x*（1+x）/（1-x）^6。
a（n）=2*C（n+4,5）-C（n+3,4）-保罗·巴里2003年3月4日
a（n）=C（n+3,5）+C（n+4,5）-保罗·巴里2003年3月17日
a（n）=C（n+2，6）-C（n，6），n>=4-零入侵拉霍斯2006年7月21日
a（n）=和{k=1..n}T（k）*T（k+1）/3，其中T（n）=n（n+1）/2是三角形数-亚历山大·阿达姆楚克2007年5月8日
a（n-1）=（1/4）*Sum_{1<=x_1，x_2<=n}|x_1*x_2*det V（x_1、x_2）|=（1/4。的第一个差异A040977号. -彼得·巴拉2007年9月21日
a（n）=C（n+4.4）+2*C（n/4.5）Borislav St.Borisov（b.St.Borisov（AT）abv.bg），2009年3月5日
a（n）=6*a（n-1）-15*a（n-2）+20*a（n-3）-15*a（n-4）+6*a（n-5）-a（n-6），a（1）=1，a（2）=7，a（3）=27，a（4）=77，a（5）=182，a（6）=378-哈维·P·戴尔2011年10月4日
a（n）=（1/6）*Sum_{i=1..n+1}（i*Sum_{k=1..i}（i-1）*k）-韦斯利·伊万·赫特2014年11月19日
例如：x*（2*x^4+35*x^3+180*x^2+300*x+120）*exp（x）/120-罗伯特·伊斯雷尔2014年11月19日
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-3-n）-迈克尔·索莫斯，2018年6月24日
和{n>=1}1/a（n）=40*（16*log（2）-11）/3。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=20*（8*Pi-25）/3。（结束）
a（n）=求和{i=0..n+1}求和{j=i..n+1}i*j*（j-i）/2-达里奥·克拉维乔2023年10月11日
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例子
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G.f.=x+7*x ^2+27*x ^3+77*x ^4+182*x ^5+378*x ^6+714*x ^7+1254*x ^8+-迈克尔·索莫斯，2018年6月24日
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MAPLE公司
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[seq（二项（n+2,6）-二项（n，6），n=4..45）]#零入侵拉霍斯2006年7月21日
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数学
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对于[｛c=5！｝，表[n（n+1）（n+2）（n+3）（2n+3）/c，｛n，40｝]]（*或*）线性递归[｛6，-15，20，-15，6，-1｝，｛1，7，27，77，182，378｝，40](*哈维·P·戴尔2011年10月4日*）
系数列表[级数[（1+x）/（1-x）^6，{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2013年6月9日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I：=[1、7、27、77、182、378]；[n le 6选择I[n]其他6*自我（n-1）-15*自我（n-2）+20*自我（n-3）-15*自身（n-4）+6*自我（-n5）-自我（n-6）：[1..40]]中的n//文森佐·利班迪2013年6月9日
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交叉参考
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a（n）=（（-1）^（n+1））*A053120号（2*n+3,5）/16，（切比雪夫T三角形第六个无符号列的1/16，省略零）。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A034261号
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| 无限方阵f（a，b）=C（a+b，b+1）*（a*b+a+1）/（b+2），a，b>=0，由反对偶读取。等价地，三角形数组T（n，k）=f（k，n-k），0<=k<=n，按行读取。 |
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+10
26
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0、0、1、0、1、3、0、1、5、6、0、1、7、14、10、0、1、9、25、30、15、0、1、11、39、65、55、21、0、1、13、56、119、140、91、28、0、1、15、76、196、294、266、140、36、0、1、17、99、300、546、630、462、204、45、0、1、19、125、435、930、1302、1218、750、285、55
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,6
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评论
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f（h，k）=路径数，包括从（0,0）到（h，k）的步数，以一定顺序使用h单位步数，k+1单位步数向上和1单位步数向下，第一步不向下，没有重复点。
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链接
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公式
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另一个公式：f（h，k）=二项式（h+k，k+1）+和{C（i+j-1，j）*C（h+k-i-j，k-j+1）：i=1，2，…，h-1，j=1，2中，…，k+1}
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例子
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三角形开始：
0;
0, 1;
0, 1, 3;
0, 1, 5, 6;
0, 1, 7, 14, 10;
...
作为方形阵列，
[ 0 0 0 0 0 ...]
[ 1 1 1 1 1 ...]
[ 3 5 7 9 11 ...]
[ 6 14 25 39 56 ...]
[10 30 65 119 196 ...]
[... ... ...]
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MAPLE公司
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A034261号：=proc（n，k）二项式（n，n-k+1）*（k+（k-1）/（k-n-2））；结束；
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数学
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压扁[表[二项式[n，n-k+1]（k+（k-1）/（k-n-2）），{n，0，15}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2013年1月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）f（h，k）=二项式（h+k，k+1）*（k*h+h+1）/（k+2）
（PARI）tabl（nn）=对于（n=0，nn，对于（k=0，n，print1（二项式（n，n-k+1）*（k+（k-1）/（k-n-2）），“，”））；打印（））\\米歇尔·马库斯2015年3月20日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 9, 19, 39, 69, 119, 189, 294, 434, 630, 882, 1218, 1638, 2178, 2838, 3663, 4653, 5863, 7293, 9009, 11011, 13377, 16107, 19292, 22932, 27132, 31892, 37332, 43452, 50388, 58140, 66861, 76551, 87381, 99351, 112651, 127281
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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二面体群D_4作用下，元素和等于4*n的对称非负整数6X6矩阵的个数-弗拉德塔·乔沃维奇2000年5月14日
等于与充气三角序列[1，0，3，0，6，0，10，…]卷积的三角序列-加里·亚当森2009年6月11日
如果有三种1s和三种2s，则n（n>=1）划分为1s和2s的次数。例如：a（2）=9，因为我们有11、11'、11“、1'1'、1'1”、1“1”、2、2'和2“-Emeric Deutsch公司，2009年6月26日
等于与自然数卷积的重复四面体数：（1+x+4x^2+4x^3+…）*（1+2x+3x^2+4x^3+…）=（1+3x+9x^2+19x^3+.…）-加里·亚当森2010年12月22日
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链接
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公式
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a（2*k）=（4*k+5）*二项式（k+4,4）/5=A034263号（k） ；a（2*k+1）=二项式（k+4,4）*（15+4*k）/5=A059599号（k） ，k>=0。
a（n）=（1/3840）*（4*n^5+90*n^4+760*n^3+2970*n^2+5266*n+3285+（-1）^n*（30*n^2+270*n+555））。递归：a（n）=3*a（n-1）-8*a（n-3）+6*a（4-4）+6*a[n-5）-8*a[n-6）+3*a（8-8）-a（n-9）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年4月24日
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MAPLE公司
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G:=1/（（1-x）^3*（1-x^2）^3）：Gser:=系列（G，x=0,42）：seq（系数（Gser，x，n），n=0。。37); #Emeric Deutsch公司，2009年6月26日
#备选方案
（4*n^5+90*n^4+760*n^3+2970*n^2+5266*n+3285+（-1）^n*（30*n^2+270*n+555））/3840；
结束进程：
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数学
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线性递归[{3，0，-8，6，6，-8、0，3，-1}，{1，3，9，19，39，69，119，189，294}，50](*哈维·P·戴尔2022年11月24日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（inits，intersperse）
a038163 n=a038163_列表！！n个
a038163_list=地图
（sum.zipWith（*）（穿插0$tail a000217_list）。反向）$
tail$inits$tail a000217_list，其中
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 1, 4, 5, 1, 4, 9, 6, 1, 4, 13, 15, 7, 1, 4, 17, 28, 22, 8, 1, 4, 21, 45, 50, 30, 9, 1, 4, 25, 66, 95, 80, 39, 10, 1, 4, 29, 91, 161, 175, 119, 49, 11, 1, 4, 33, 120, 252, 336, 294, 168, 60, 12, 1, 4, 37, 153, 372, 588, 630, 462, 228, 72, 13, 1, 4, 41, 190, 525, 960, 1218
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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这是Riordan三角形的一个示例（请参见A093560号评论和A053121号以获取评论和1991年Shapiro等人关于Riordan集团的参考）。因此，行多项式p（n，x）=Sum_{m=0..n}a（n，m）*x^m的o.g.f.是g（z，x）=（1+3*z）/（1-（1+x）*z）。
SW-NE对角线给出A000285号（n-1）=Sum_{k=0..上限（n-1，/2）}a（n-1-k，k），n>=1，n=0值3。观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。
当n>=1时，第n行多项式为（4+x）*（1+x）^（n-1）。更一般地，当n>=1时，Riordan数组（（1-a*x）/（1-b*x），x/（1-b*x））的第n行多项式为（b-a+x）*（b+x）^（n-1）-彼得·巴拉，2018年3月2日
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参考文献
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Kurt Hawlitschek、Johann Faulhaber 1580-1635、Veroeffentlichung der Stadtbibliothek Ulm、Band 18、Ulm，德国，1995年，第2.1.4章。菲格利特·扎伦（Figurierte Zahlen）。
Ivo Schneider，Johannes Faulhaber 1580-1635，Birkhäuser，巴塞尔，波士顿，柏林，1993年，第5章，第109-122页。
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链接
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公式
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对于0<=m<=n，a（n，m）=F（4；n-m，m），否则为0，其中F（4；0，0）=1，如果n>=1，F（4；n，0）=4；如果m>=1，F（4；n，m）=（4*n+m）*二项式（n+m-1，m-1）/m。
递归：如果m>n，a（0，0）=1，a（n，m）=0；如果n>=1，a（n，0）=4；a（n，m）=a（n-1，m）+a（n-1，m-1）。
G.f.行m（无前导零）：（1+3*x）/（1-x）^（m+1），m>=0。
T（n，k）=C（n，k）+3*C（n-1，k）-菲利普·德尔汉姆2005年8月28日
exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（4+9*x+6*x^2/2！+x^3/3！）=4+13*x+28*x^2！+50*x^3/3！+80*x^4/4！+。。。。对于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，同样的性质更为普遍-彼得·巴拉2014年12月22日
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例子
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三角形开始
[1];
[4, 1];
[4, 5, 1];
[4, 9, 6, 1];
...
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a093561 n k=a093561_tab！！不！！k个
a093561_row n=a093551_tab！！n个
a093561_tabl=[1]：迭代
（\row->zipWith（+）（[0]++行）（行++[0]））[4，1]
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交叉参考
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比较行总和：A020714号（n-1），n>=1，1表示n=0，交替行和为1表示n=0.，3表示n=2，否则为0。
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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5, 32, 113, 299, 664, 1309, 2366, 4002, 6423, 9878, 14663, 21125, 29666, 40747, 54892, 72692, 94809, 121980, 155021, 194831, 242396, 298793, 365194, 442870, 533195, 637650, 757827, 895433, 1052294, 1230359, 1431704, 1658536, 1913197
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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链接
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公式
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行总和是2的幂。
a（n）=+6*a（n-1）-15*a。通用格式：x*（5+2*x-4*x^2+x^3）/（x-1）^6。a（n）=n*（n+1）*（4*n^3+51*n^2+159*n+86）/120。[来自R.J.马塔尔2010年6月26日]
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例子
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数组开始
1
2
4
7 1
11 5
16 14 2
22 30 12
29 55 39 5
37 91 95 32 1
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A241765型
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| a（n）=n*（n+1）*（n+2）*（3*n+17）/24。 |
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+10
11
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0, 5, 23, 65, 145, 280, 490, 798, 1230, 1815, 2585, 3575, 4823, 6370, 8260, 10540, 13260, 16473, 20235, 24605, 29645, 35420, 41998, 49450, 57850, 67275, 77805, 89523, 102515, 116870, 132680, 150040, 169048, 189805, 212415, 236985, 263625, 292448
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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k=0，A001296号: 0, 1, 7, 25, 65, 140, 266, 462, ...
k=1，A000914号: 0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, ...
k=2，A050534号: 0, 3, 15, 45, 105, 210, 378, 630, ... （删除两个0）
k=3，A215862型: 0, 4, 19, 55, 125, 245, 434, 714, ...
k=4，a（n）:0，5，23，65，145，280，490，798。。。
k=5，A239568号: 0, 6, 27, 75, 165, 315, 546, 882, ...
反对角线和（不含0）给出A034263号: 1, 9, 39, 119, 294, ...
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链接
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公式
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G.f.：x*（5-2*x）/（1-x）^5。
a（n）=5*a（n-1）-10*a（n-2）+10*a（n3）-5*a（-n4）+a（n-5）。
a（n）=和{j=0..n+2}（-1）^（n-j）*二项式（-j，-n-2）*S1（j，n），S1斯特林循环数A132393号. -彼得·卢什尼2016年4月10日
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例子
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a（7）=4*0+5*1+6*3+7*6+8*10+9*15+10*21+11*28=798。
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MAPLE公司
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数学
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表[n（n+1）（n+2）（3n+17）/24，{n，0，40}]（*或*）线性递归[{5，-10，10，-5，1}，{0，5，23，65，145}，40]
系数列表[系列[x（5-2x）/（1-x）^5，{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年5月9日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[n*（n+1）*（n+2）*（3*n+17）/24代表n in（0..40）]
（最大值）makelist（coeff（taylor（x*（5-2*x）/（1-x）^5，x，0，n），x，n）、n，0，40）；
（岩浆）/*根据第一条评论：*/k:=4；A000217号：=函数；[&+[（i+k）*A000217号（i） [0..n]]中的：i：[0..40]]中有：n；
（PARI）a（n）=n*（n+1）*（n+2）*（3*n+17）/24\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年10月7日
（PARI）x='x+O（'x^99）；concat（0，Vec（x*（5-2*x）/（1-x）^5））\\阿尔图·阿尔坎2016年4月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A254142型
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| a（n）=（9*n+10）*二项式（n+9,9）/10。 |
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+10
10
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1, 19, 154, 814, 3289, 11011, 32032, 83512, 199342, 442442, 923780, 1830764, 3468374, 6317234, 11113784, 18958808, 31461815, 50930165, 80613390, 125014890, 190285095, 284712285, 419329560, 608658960, 871616460, 1232604516, 1722822024, 2381824984
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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如果n的形式是8*k+2*（-1）^k-1或8*k+2*（-1）^k-2，那么a（n）是奇数。
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（11，-55165，-330462，-462330，-165,55，-11,1）。
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公式
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通用名称：（1+8*x）/（1-x）^11。
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MAPLE公司
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seq（（9*n+10）*二项式（n+9,9）/10，n=0..30）#G.C.格鲁贝尔2019年8月28日
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数学
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表[（9n+10）二项式[n+9，9]/10，{n，0，30}]
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黄体脂酮素
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（PARI）向量（30，n，n-；（9*n+10）*二项式（n+9，9）/10）
（Sage）[（9*n+10）*二项式（n+9,9）/10代表（0..30）中的n]
（岩浆）[（9*n+10）*二项式（n+9,9）/10:n in[0..30]]；
（GAP）列表（[0..30]，n->（9*n+10）*二项式（n+9，9）/10）#G.C.格鲁贝尔，2019年8月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 64, 731, 4553, 20155, 71272, 214653, 572743, 1389702, 3122752, 6585183, 13162741, 25131718, 46115029, 81722067, 140429357, 234772177, 382932581, 610826859, 954815625, 1465182669, 2210554686, 3283463257, 4807283267, 6944818576, 9908846494, 13974977743, 19497238421, 26926835328
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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A109820号可以分解为30个序列。这30个相关序列可以从划分数字9的30种方法中推断出来：9 81 72 63 54。。。完整清单见《数学函数手册》（1964）第831页。例如，考虑对数字三进行划分的三种方式：3、21和111；在每个分区前面加上一个值，得到44、332和2222。然后使用这些“关联”分区来派生关联序列。44 =>A000330号, 332 =>A006011号和2222=>A034263美元将这三个序列相加得出A089574号.
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（12，-66220，-495792，-924792，-495220，-66,12，-1）。
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公式
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通用编号1+64*x-x^2*（-731+4219*x-13765*x^2+30910*x^3-49804*x^4+58458*x^5-50237*x^6+31394*x^7-13931*x^8+4171*x^9-757*x^10+63*x^11）/（x-1）^12-R.J.马塔尔，2018年8月28日
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例子
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a（1）=1，因为n=16的唯一关联分区4444不能被置换。
a（2）=64，因为当n=17时，相关分区可以按3+4+12+9+20+10+6的方式排列。
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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