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| A027907号 |
| 三项系数T（n，k）（n>=0，0<=k<=2*n）的三角形，按行读取：第n行通过展开（1+x+x^2）^n获得。 |
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155
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 6, 7, 6, 3, 1, 1, 4, 10, 16, 19, 16, 10, 4, 1, 1, 5, 15, 30, 45, 51, 45, 30, 15, 5, 1, 1, 6, 21, 50, 90, 126, 141, 126, 90, 50, 21, 6, 1, 1, 7, 28, 77, 161, 266, 357, 393, 357, 266, 161, 77, 28, 7, 1, 1, 8, 36, 112, 266
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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当行以中点为中心时，每个项都是其正上方三个项的总和（假设前一行中未定义的项为零）-N.J.A.斯隆2021年12月23日
还有具有n+1个叶子的有序树的数量，都位于三级和n+k+3个边。例如：T（3,5）=3，因为我们有三棵有序树，有4片叶子，都在第三级和11条边上：根r有三个子；其中一个孩子有两条长度为2的路径挂起（即3种可能性），而另两个孩子中的每一个孩子都有一条长度为二的路径挂着。对角线和是tribonacci数；更精确地说：求和{i=0..floor（2*n/3）}T（n-i，i）=A000073号（n+2）-Emeric Deutsch公司，2004年1月3日
三项式系数T（n，i）是用X*（X-1）^i项分解的P_2XP_n的色多项式系数的绝对值。示例：P_2 X P_2的色多项式为：X*（X-1）-2*X*（X-1）^2+X*（x1）^3，因此T（1,0）=1，T（1,1）=2，T（1.1）=1Thomas J.Pfaff（tpfaff（AT）ithaca.edu），2006年10月2日
T（n，k）是k个未标记的对象可以以不同的方式分布在n个标记的瓮中，每个瓮中最多可以放置2个对象-N-E.法西2008年3月16日
T（n，k）是k组成n部分p的数量，每个部分0<=p<=2。每个部分加1，作为推论，T（n，k）是n+k到n个部分p的组成数，其中1<=p<=3。例如，T（2,3）=2，因为5=3+2=2+3-斯特芬·埃格尔，2011年6月10日
使用步骤（1,0）、（1,1）和（1,2）从（0,0）到（n，k）的晶格路径数-乔格·阿恩特2011年7月5日
使用步骤（2,0）、（1,1）、（0,2）从（0,0）到（2*n-k，k）的晶格路径数-沃纳·舒尔特2017年1月25日
T（n，k）是对整数求和的不同方法的数目-1、0和1n次，以获得n-k，其中T（n、0）=T（n；2*n+1）=1-威廉·博伊尔斯2017年4月23日
T（n-1，k-1）是n的2个成分的数量，0有k个部分；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月15日
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参考文献
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B.A.Bondarenko，《广义帕斯卡三角和金字塔（俄语）》，FAN，塔什干，1990年，ISBN 5-648-00738-8。加利福尼亚州圣克拉拉市圣克拉拉大学斐波那契协会出版的英文译本，1993年；见第17页。
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L.Kleinrock，《序列的均匀排列》，喷气推进实验室空间计划摘要，第37-64-III卷，1970年4月30日，第32-43页。
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链接
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乔治·安德鲁斯（George E.Andrews）和亚历山大·贝尔科维奇（Alexander Berkovich），Bailey引理和N=2超信息不变性的三项相似，arXiv:q-alg/97020081997；数学物理通信192.2（1998）：245-260。参见第248页。
Armen G.Bagdasaryan和Ovidiu Bagdassar，关于广义算术三角形的一些结果《离散数学电子笔记》（2018）第67卷，第71-77页。
哈塞内·贝尔巴赫尔和乌萨马·伊奎鲁法，二项式系数与广义加泰罗尼亚数的组合解释，《第一届代数、图和有序集国际会议论文集》（ALGOS 2020），hal-02918958[math.cs]，47-54。
亚历山大·贝尔科维奇（Alexander Berkovich）和阿里·恩库（Ali K.Uncu），含q-三项系数的初等多项式恒等式，arXiv:11810.06497[math.NT]，2018年。
理查德·博林格（Richard C.Bollinger），可靠性和运行《数学杂志》，57（1）（1984），34-37。
B.A.Bondarenko，《广义帕斯卡三角和金字塔（俄语）》，FAN，塔什干，1990年，ISBN 5-648-00738-8。英语翻译由加利福尼亚州圣克拉拉圣克拉拉大学斐波纳契协会出版，1993年；见第17页。
Eduardo H.M.Brietzke，安德鲁斯一个恒等式的推广，斐波纳契夸脱。44(2) (2006), 166-171.
努尔·埃丁·法西，重新审视多项式三角形，arXiv:1202.0228[math.CO]，2012年。
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贝里特·尼尔森-吉文斯，三角针织披肩，J.数学。艺术（2023）。
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[数学.CO]，2020年。
S.Kak，中庸与美学物理学，arXiv:physics/0411195[physics.hist-ph]，2004年。
L.Kleinrock，序列的一致置换《喷气推进实验室空间项目摘要》，第37-64-III卷，1970年4月30日，第32-43页。[带注释的扫描副本]
杰克·拉姆齐，关于算术三角形《长岛的脉搏》，1965年6月[提及天线阵列设计的应用。注释扫描。]
L.W.Shapiro、S.Getu、W.-J.Woan和L.C.Woodson，Riordan集团，离散应用数学。，34 (1991), 229-239.
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配方奶粉
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镀锌：1/（1-z*（1+w+w^2））。
T（n，k）=和{r=0..floor（k/3）}（-1）^r*二项式（n，r）*二项法（k-3*r+n-1，n-1））。
递归：T（0,0）=1；T（n，k）=T（n-1，k-2）+T（n-1，k-1）+T
对于i>=0，T（i，0）=T（i、2*i）=1，对于i>=1，T（i，1）=T。
T（n，k）=和{i=0..floor（k/2）}二项式（n，2*i+n-k）*二项式-拉尔夫·斯蒂芬2005年1月26日
T（n，k）=Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*二项式（j，k-j）-保罗·巴里2005年5月21日
T（n，k）=Sum_{j=0..n}二项式（k-j，j）*二项式（n，k-j）-保罗·巴里2005年11月4日
来自Loic Turban（Turban（AT）lpm.u-nancey.fr），2006年8月31日：（开始）
T（n，k）=Sum_{j=0..n}（-1）^j*二项式（n，j）*二项式（2*n-2*j，k-j）；（G.E.Andrews（1990））通过展开（（1+x）^2-x）^n获得。
T（n，k）=Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*二项式（n-j，k-2*j）；通过展开（（1+x）+x^2）^n获得。
T（n，k）=（-1）^k*Sum_{j=0..n}（-3）^j*二项式（n，j）*Binominal（2*n-2*j，k-j）；通过展开（（1-x）^2+3*x）^n获得。
T（n，k）=（1/2）^k*Sum_{j=0..n}3^j*二项式（n，j）*二项式（2*n-2*j，k-2*j）；通过展开（（1+x/2）^2+（3/4）*x^2）^n获得。
T（n，k）=（2^k/4^n）*Sum_{j=0..n}3^j*二项式（n，j）*二项式（2*n-2*j，k）；通过使用T（n，k）=T（2*n-k）展开（（1/2+x）^2+3/4）^n得到。（结束）
设A（x）为展平序列的g.f.，则：
通用公式：A（x）=和{n>=0}x^（n^2）*（1+x+x^2）^n。
通用公式：A（x）=和{n>=0}x^n*（1+x+x^2）^n*产品{k=1..n}。
通用公式：A（x）=1/（1-x*（1+x+x^2）/（1+x*（1-x^2 x^7*（1-x^8）*（1+x+x^2）/（1-…）））），一个连分数。
（结束）
三角形：G.f.=Sum_{n>=0}（1+x+x^2）^n*x^（n^2）*y^n-丹尼尔·福格斯2015年3月16日
T（n+1，n）/（n+1）=A001006号（n） （莫茨金），对于n>=0。
如果k<n其他H（n，2*n-k），则T（n，k）=H（n）=二项式（n，k）*超几何（[（1-k）/2，-k/2]，[n-k+1]，4））。
T（n，k）=GegenbauerC（m，-n，-1/2），其中m=k，如果k<n其他2*n-k（结束）
T（n，k）=（-1）^k*C（2*n，k-罗伯特·S·迈尔，2023年6月13日
T（n，n）=Sum_{k=0..2*n}（-1）^k*（T（n、k））^2和T（2*n，2*n）=Sum_{k=0..2*n}-沃纳·舒尔特2016年11月8日
求和{k=0..n-1}T（n，2*k）=（3^n-1）/2-托尼·福斯特三世2020年10月6日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n \k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0: 1
1: 1 1 1
2: 1 2 3 2 1
3: 1 3 6 7 6 3 1
4:1 4 10 16 19 16 10 4 1
5:1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1
6: 1 6 21 50 90 126 141 126 90 50 21 6 1
级联行：
G.f.=1+（x^2+x+1）*x+（x^2+x+1）^2*x^4+（x^2+x+1）^3*x^9+。。。
=1+（x+x ^2+x ^3）+（x ^4+2*x ^5+3*x ^6+2*x ^7+x ^8）+
（x^9+3*x^10+6*x^11+7*x^12+6*x ^13+3*x ^14+x^15）+。
作为一个中心三角形，它开始于：
...........1...........
........1..1..1........
.....1..2..3..2..1.....
..1..3..6..7..6..3..1..
......
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MAPLE公司
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A027907号：=进程（n，k）展开（（1+x+x^2）^n）；系数日（%，x=0，k）；结束进程：
T:=（n，k）->简化（GegenbauerC（`if`（k<n，k，2*n-k），-n，-1/2））；
对于从0到8的n，做序列（T（n，k），k=0..2*n）od#彼得·卢什尼2016年5月8日
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数学
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表[系数列表[系列[（总和[x^i，{i，0，2}]）^n，{x，0，2 n}]，x]，{n，0，10}]//网格(*杰弗里·克雷策2010年3月31日*）
表[Sum[二项式[n，i]二项式[n-i，k-2i]，{i，0，n}]，{n，0，10}，{k，0，2n}](*阿迪·达尼，2011年5月7日*）
T[n_，k_]：=如果[n<0，0，系数[（1+x+x^2）^n，x，k]]；(*迈克尔·索莫斯2016年11月8日*）
扁平[DeleteCase[#，0]&/@CellularAutomaton[{Total[#]&，{}，1}，{{1}、0}，8]](*乔戈斯·卡洛格罗普洛斯2021年11月9日*）
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程序
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<0，0，polceoff（（1+x+x^2）^n，k/*迈克尔·索莫斯2003年6月27日*/
（极大值）三项式（n，k）：=系数（展开（（1+x+x^2）^n），x，k）；
create_list（三项式（n，k），n，0，8，k，0，2*n）\\伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月15日
（Maxima）create_list（超球面（k，-n，-1/2），n，0，6，k，0，2*n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月18日*/
（哈斯克尔）
a027907 n k=a027907_tabf！！不！！k
a027907_row n=a027907 _ tabf！！n个
a027907_tabf=[1]：迭代f[1，1，1]，其中
f行=zipWith3（（+）.）。(+))
（第++[0,0]行）（[0]++行++[0]）（[0,0]++行）
a027907_list=凹面a027907_tabf
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,美好的,容易的
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作者
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状态
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已批准
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