显示找到的31个结果中的1-10个。
3的幂：a（n）=3^n。
（原名M2807 N1129）
+10
844
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987
评论
与活塞序列E（1,3）、L（1,3。基本上与活塞序列E（3，9）、L（3，九）、P（3，九月）、T（3，九）相同。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
数量（0），s（1）。。。，s（2n+2）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2n+2，s（0）=1，s（2 n+2）=3-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
a（1）＝1，a（n+1）是最小的数，使得在a（n）和a（n+1）之间存在a（n）个偶数。k:1，k，k^2，k^3，k^4，…幂序列的推广。。。在a（n）和a（n+1）之间有一个k-1的（n）倍数-阿马纳特·穆尔蒂2004年11月28日
其中p（n）是n的整数分区数，p（i）是n第i个分区的部分数，d（i）为n第i分区的不同部分数，m（i，j）是n第一个分区的第j部分的重数，和{i=1..p（n，一个有：a（n）=和{i=1..p（n）}（p（i）/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）*2^（p（i）-1）-托马斯·维德2005年5月18日
a（n-1）是组成成分的数量。通常，（k+1）^（n-1）是k级嵌套成分的数量（例如，4^（n-1）是成分组成的成分数量，等等）。元素之间的每个n-1空格可以是k个级别中的一个中断，也可以根本不是中断-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年12月6日
设S是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于每个元素x，P（a）的y，如果x是y的子集，那么a（n）=|S|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
关于Ross La Haye的评论：
参考a（n+1）英寸A028243号如果考虑非空子集，并且x是y的适当子集（End）
如果X_1、X_2。。。，X_n是集合{1，2，…，2*n}划分为大小为2的块，那么，对于n>=1，a（n）等于函数f:{1，2，…，2*n}->{1，2}的数量，使得对于固定的y_1，y_2。。。，在{1,2}中，我们有f（X_i）<>{y_i}，（i=1,2，…，n）-米兰Janjic2007年5月24日
这是对所有正整数k的形式a（n）=[（2^k）-1]^n的所有序列的一般评论。Stanley的“枚举组合数学”的示例1.1.16提供了一个稍有不同的版本。将函数f:[n]的个数中的a（n）代入P（[k]）-{}。a（n）也是函数f:[k]到P（[n]）的个数，使得f（i）对[k]中所有i的广义交集是空集。其中[n]={1，2，…，n}，P（[n]）是[n]的幂集，{}是空集-杰弗里·克雷策2009年2月28日
3^（n+1）=（1，2，2，…）点（1，1，3，9，…，3^n）；例如，3^3=27=（1，2，2，2）点（1，1，3，9）=（1+2+6+18）-加里·亚当森2010年5月17日
a（n）是当存在3*2^i不同类型的i（i=1,2，…）时，n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
对于n>=1，a（n-1）是当存在2^（i-1）不同类型的i，（i=1，2，…）时n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
所讨论的序列（“3的幂”）还描述了第k个磁盘解决[红色；蓝色；蓝色]或[红色；红色；蓝色]预先着色的河内磁塔谜题的移动次数（参见。A183111号-A183125号).
（1+x+x^2）^n的展开系数之和-阿迪·达尼2011年6月21日
a（n）是{0,1,2}中n个元素的组成数；例如，a（2）=9，因为存在9个成分0+0、0+1、1+0、0+2、1+1、2+0、1+2、2+1和2+2。[来自阿迪·达尼2011年6月21日；由编辑修改。]
除了前两项外，这些都是奇数n，因此没有带2的x满足x^（n-1）==1（mod n）-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年7月3日
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1，a（n）等于n的3色组成数，因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
由于前面的注释出现在大量序列中，因此可能需要添加一个证明。
n精确到k个部分的组成数是二项式（n-1，k-1）。
对于n的p色组合，如果相邻部分没有相同的颜色，则第一部分的颜色正好有p个选择，每个附加部分的颜色有p-1个选择（除前一部分颜色以外的任何颜色）。所以，对于k部分的划分，有p（p-1）^（k-1）个有效的着色。
因此，n的p色组分精确到k个部分，使得相邻部分没有相同颜色，这是二项式（n-1，k-1）p（p-1）^（k-1）。
使得没有相邻部分具有相同颜色的n的p色组合物的总数为
和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*p*（p-1）^（k-1）=p^n。
要了解这一点，请注意（（p-1）+1）^（n-1）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）（p-1）^k1^。
（结束）
此外，矩阵的第一个和最小元素[1，sqrt（2）；sqrt，2]^（n+1）-M.F.哈斯勒2011年11月25日
组成一个m（0，n）=m（n，0）=2^n的数组；m（i，j）等于m（i、j）左边的项与m（i和j）上面的项之和，即m。反对角线（n+1）中的项之和=4*a（n）-J.M.贝戈2013年7月10日
定义一个数组，使m（0，k）=2^k和m（n，k）=Sum_{c=0..k-1}m（n、c）+Sum_}r=0..n-1}m（r，k），这是m（n和k）左边的项加上m（n与k）上面的项之和。数组的行n=0包括A000079号，列k=0包括A011782号，行n=1包括A001792号数组的反对角线和为a（n）：1=3^0，1+2=3^1，2+3+4=3^2，4+7+8+8=3^3-J.M.贝戈2013年8月2日
带有零值和o.g.f.x/（1-3*x^2），A（2*k）=0，A（2*k+1）=3^k=A（k），k>=0的序列可以称为六边形数。这是因为代数数rho（6）=2*cos（Pi/6）=sqrt（3）的次数为2，最小多项式C（6，x）=x^2-3（参见A187360型，n=6），是较小对角线与六角形中边的长度比。因此，ρ（6）^n=A（n-1）*1+A（n）*rho（6），在二次数域Q（rho（5））的幂基中。还需要A（-1）=1。另请参阅2010年12月2日的评论和P.Steinbach参考A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年10月2日
数字k，使得西格玛（3k）＝3k+西格玛（k）-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
3的所有幂都是完美数字(A082897号)，因为对于n>0，phi（3^n）=2*3^（n-1），因此Sum_{i=0..n}phi（3^i）=3^n-阿隆索·德尔·阿特2014年4月20日
3^k以n个连续递减数字结尾的最小数字k>0是由{1，13，93}给出的一个3项序列。连续递增的数字是{3,23,123}。3^k有100个不同的三位数结尾。没有k值，因此3^k以“012”、“234”、“345”、“456”、“567”、“678”或“789”结尾。3^k以“123”结尾的k值由93 mod 100给出。对于k=93+100*x，对于x={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…}，“123”运行之前的数字分别是{9，5，1，7，3，9，9，5。因此，我们看到“123”之前的数字永远不会是0。因此没有进一步的条款-德里克·奥尔2014年7月3日
A^n的所有元素，其中A=（1,1,1；1,1,1，1；1,1,1）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年7月23日
计算长度为n（开放或闭合）的三角形顶点上的所有行走次数，该三角形包含从任何给定顶点开始的每个顶点处的循环-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月3日
a（n）计算图G上的行走次数（闭合）（1-顶点；1-循环，1-循环，1-loop）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
2*a（n-2）计算距离三角形顶点长度（n）的孤立闭合游动的所有置换，该三角形在每个剩余顶点上包含2个循环。此外，C（m，k）=2*（2^m）*B（m+k-2，m）计算包含（m）个循环和（k）个弧的行走的置换-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
使三项式x^（2*n）+x^n+1在GF（2）上不可约的数n。其中只有n=1的三项式是原始的-乔格·阿恩特2016年5月16日
满足Benford定律【Berger-Hill，2011年】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a（n-1）也是n的组成数，如果这些部分可以是从1到n的任意长度，并且可以包含从1到n的任意整数-格雷戈里·西蒙2017年5月26日
同时给出了n阶梯级图nP_2中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外，还包括n-鸡尾酒会图中的团数（不一定是最大的）-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
a（n-1）是n的2-组分数；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月15日
a（n）是n维超立方体任意维（顶点、边、正方形面等）的面数。例如，0维超立方体是一个点，它的唯一面是它自己。一维超立方体是一条直线，它有两个顶点和一条边。二维超立方体是一个方形，它有四个顶点、四条边和一个正方形面-凯文·朗2023年3月14日
a（n）是n个变量直到等价时的析取子句数。析取子句是l_1或…形式的命题公式。。。或l_m，其中l_1。。。，l_m是{x_1，…，x_n，NOT x_1，..，NOT x_n}中n个变量x_1的不同元素。。。x_n，同时不显示x_i和NOT x_i。对于每一个1<=i<=n，析取子句中既不能有x_i也不能有NOT x_i，只有x_i或NOT x_ i，所以这样的子句的数目是3^n。把n个变量的命题公式看作函数{0,1}^n->{0,1{，析取从句对应于一个函数f，使得0的反像的形式是a_1X。。。X A_n，其中A_i对于所有1<=i<=n都是非空的。由于每个A_i有3个选择（{0}、{1}或{0,1}），我们还发现n个变量的析取子句的数目是3^n。
等价地，a（n）是n个变量的连接子句的数量。（结束）
有限子序列a（2）、a（3）、a⑴、a（5）=9、27、81、243是可以用简单多边形的所有内角（均为整数，以度为单位）形成的仅有的两个几何序列之一。另一个序列是A007283号（请参阅此处的注释）-费利克斯·胡贝尔2024年2月15日
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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A.Bostan，格路组合的计算机代数，Séminaire de Combinatoire Ph.Flajolet，2013年3月28日。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳，Weyl偏序集的弱序，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018年。
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[math.CO]，2020年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
亚什·普里和托马斯·沃德，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），第01.2.1号。
Doron Zeilberger，惊人3^n定理及其更惊人的证明[由Xavier G.Viennot和他的爱科尔Bordelaise帮派发现]，arXiv：1208.2258, 2012.
配方奶粉
a（n）=3^n。
a（0）=1；a（n）=3*a（n-1）。
G.f.：1/（1-3*x）。
例如：exp（3*x）。
a（n）=n*和{i+j+k=n，i，j，k>=0}1/（i！*j！*k！）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月1日
a（n）=和{k=0..n}2^k*二项式（n，k），的二项式变换A000079号.
a（n）=2*搅拌S2（n+1,3）+搅拌S2-罗斯·拉海耶2008年6月26日
a（n）=2*箍筋S2（n+1，3）+箍筋S2（n+2，2）=2x（箍筋S2.（n+1,3）+搅拌S2（n+1，2））+1-罗斯·拉海耶2008年6月9日
Sum_｛n＞＝0｝1/a（n）＝3/2-加里·亚当森2008年8月29日
如果p（i）=Fibonacci（2i-2），并且如果A是由A（i，j）=p（j-i+1），（i<=j），A（i、j）=-1，（i=j+1）和A（i和j）=0定义的n阶Hessenberg矩阵，否则，对于n>=1，A（n-1）=det A-米兰Janjic2010年5月8日
2/3 + 3/3^2 + 2/3^3 + 3/3^4 + 2/3^5 + ... = 9/8. [Jolley，系列总结，多佛，1961]
求和{n>0}Mobius（n）/a（n）=0.181995386702633887827…（参见A238271型). -阿隆索·德尔·阿特2012年8月9日。另请参见J.Chem表V中的钠3s轨道能量。物理学。53 (1970) 348.
a（n）=（tan（Pi/3））^（2*n）-伯纳德·肖特2022年5月6日
a（n-1）=二项式（2*n-1，n）+和{k>=1}二项式[2*n，n+3*k）*（-1）^k-格雷格·德累斯顿2022年10月14日
通用公式：和{k>=0}x^k/（1-2*x）^（k+1）-凯文·朗2023年3月14日
例子
G.f.=1+3*x+9*x^2+27*x^3+81*x^4+243*x^5+729*x^6+2187*x^7+。。。
数学
系数列表[级数[1/（1-3 x），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
嵌套列表[3#&，1,30](*哈维·P·戴尔2020年2月20日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
（Maxima）标记列表（3^n，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/
（Scala）val powersOf3:LazyList[BigInt]=LazyList.iterate（1:BigInt）（_*3）
（Python）
a（n）=3^n-2^n。
（原名M3887 N1596）
+10
150
0, 1, 5, 19, 65, 211, 665, 2059, 6305, 19171, 58025, 175099, 527345, 1586131, 4766585, 14316139, 42981185, 129009091, 387158345, 1161737179, 3485735825, 10458256051, 31376865305, 94134790219, 282412759265, 847255055011, 2541798719465, 7625463267259, 22876524019505
评论
从顶行到底行的路径为相邻1且没有相邻0的路径的2 X n二进制数组的数量-R.H.哈丁2002年3月21日
a（n+1）/（n+1-保罗·巴里2005年4月19日
该序列给出了康托产尘序列中直至第i步的各段长度之和。测量单位=第i步段的长度-乔治·巴尔扎罗蒂2006年11月18日
设T是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于P（a）的每个元素x，y，xTy，如果x是y的适当子集，则a（n）=|T|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
p除以a（p）-1得到素数p。
5除以a（2n）。
5^2除以a（2*5n）。
5^3除以a（2*5^2n）。
5^4除以a（2*5^3n）。
7^2除以a（6*7n）。
13除以a（4n）。
13^2除以a（4*13n）。
19除以a（3n）。
19^2除以a（3*19n）。
23^2除以a（11n）。
23^3除以a（11*23n）。
23^4除以a（11*23^2n）。
29除以a（7n）。
p将a（（p-1）n）除以素数p＞3。
p^（k+1）除以素数p>3的a（p^k*（p-1）*n）。
请注意，对于p=23，p^（k+2）除以a（p^k*（p-1）/2*n）的例外情况。
对于高达600000的素数，再也没有这样的例外了。（结束）
术语的最后数字遵循顺序1、5、9、5-伊诺克·哈加2007年11月26日
对于n>=1，这也是A281890型：当连续的正整数被写成素数的乘积时，“3”出现在第n位，每6^n出现一次a（n）次-彼得·穆恩2017年5月17日
a（n）是包含数字2的长度为n的三元序列的数目。例如，a（2）=5，因为序列是02,20,12,22-恩里克·纳瓦雷特，2021年4月5日
a（n-1）是我们可以形成[n]的两个非空子集的不相交并的方法的数目，使得并包含n。例如，对于n=3，a（2）=5，因为不相交并是{1} U型{3}, {1} U型{2,3}, {2} U型{3}, {2} U型{1,3}和{1,2}U{3}. 囊性纤维变性。A000392号如果我们放弃联合包含n的要求-恩里克·纳瓦雷特2021年8月24日
根据（9^n-4^n）/5的康托尔广场/康托尔灰尘分形的五倍划分，将其配置为复合科赫雪花分形（请参阅链接中的插图）(A016153号). -约翰·埃利亚斯2021年10月13日
成对数（A，B），其中B是{1,2，…，n}的子集，A是B的适当子集-宋佳宁2022年6月18日
对（A，B）的数量，其中B是{1,2，…，n}的非空子集，A是B的非空子集。对于非空的真子集，请参见中的A（n+1）A028243号.（结束）
a（n-1）是每个玩家在nx2游戏中观察到的所有可能的玩家减少的二进制游戏的数量，假设k<n-1玩家的个别策略是固定的，剩下的n-k-1玩家将作为一个整体进行游戏，要么保持现状策略，要么联合采用替代策略-安布罗西奥·瓦伦西亚-罗梅罗，2024年4月11日
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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内森·布利斯（Nathan Bliss）、本·富兰（Ben Fulan）、斯蒂芬·洛维特（Stephen Lovett）和杰夫·索马斯（Jeff Sommars），强可除性、分圆多项式和迭代多项式，美国数学。《月刊》，第120卷，第6期（2013年），第519-536页。
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Germain Kreweras，Bell二维多项式反演及其应用，加拿大皇家科学院。科学。巴黎Ser。A-B，第268卷（1969年），第A577-A579页。
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配方奶粉
G.f.:x/（（1-2*x）*（1-3*x））。
a（n）=5*a（n-1）-6*a（n-2）。
a（n）=3*a（n-1）+2^（n-1-乔恩·佩里2002年8月23日
a（n）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n，k）*2^k-罗斯·拉海耶2005年8月20日
a（n）=Sum_{k=0..2}Stirling1（2，k）*（k+1）^n=c_2^{（-n）}，多柯西数-小松高雄2013年3月28日
a（n+1）=和{k=0..n}2^k*3^（n-k）-J.M.贝戈2018年3月27日
a（n）=（1/2）*和{k=0..n}二项式（n，k）*（2^（n-k）+2^k-2）。
MAPLE公司
seq（3^n-2^n，n=0..40）#乔治·巴尔扎罗蒂2006年11月18日
数学
表[3^n-2^n，{n，0，25}]
线性递归[{5，-6}，{0，1}，25](*哈维·P·戴尔2011年8月18日*）
分子@NestList[(3#+1)/2&, 1/2, 100] (*扎克·塞多夫2011年10月3日*）
黄体脂酮素
（Python）[3**n-2**n表示范围（25）中的n]#罗斯·拉海耶2005年8月19日；已由更正大卫·拉德克利夫2016年6月26日
（鼠尾草）[范围（26）内n的lucas_number1（n，5，6）]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（PARI）{a（n）=3^n-2^n}；
（岩浆）[3^n-2^n:n英寸[0..30]]//文森佐·利班迪2011年7月17日
（哈斯克尔）
a001047 n=a001047_列表！！n个
a001047_list=映射fst$迭代（\（u，v）->（3*u+v，2*v））（0，1）
交叉参考
囊性纤维变性。A000225号,A016189号,A036561号,A097934号,A038876号,A127071号,A127072号,A127073号,A127074号,A002997号,A057468号,A109235号,A281890型,A329064型,A350771.
第二类斯特林数S（n，3）。
（原名M4167 N1734）
+10
73
0, 0, 0, 1, 6, 25, 90, 301, 966, 3025, 9330, 28501, 86526, 261625, 788970, 2375101, 7141686, 21457825, 64439010, 193448101, 580606446, 1742343625, 5228079450, 15686335501, 47063200806, 141197991025, 423610750290, 1270865805301
评论
将n个带标签的球放入k=3个无法区分的盒子中的方法数-托马斯·维德2004年11月30日
让[m]表示前m个正整数。那么a（n）是函数f从[n]到[n+1]的个数，对于所有x满足（i）f（x）>x，对于3个元素满足（ii）f（x）=n+1，对于[n]的其余n-3个元素，满足（iii）f（f（x））=n+1。例如，a（4）=6，因为从{1,2,3,4}到{1,2,2,4,5}正好有6个函数，因此f（x）>x，f（x。函数为f1={（1,5），（2,5），，（3,4），（4,5）}，f2={（4，5）}-丹尼斯·沃尔什2007年2月20日
猜想。设S（1）={1}，对于n>1，设S（n）是S（n-1）中每个元素x的包含x、2x和3x的最小集。那么a（n+2）是S（n）中元素的和。（很容易证明S（n）中的元素数是由A001952号.）请参见A122554号对于以这种方式定义的序列-约翰·莱曼2007年11月21日；修正（由于偏移变化，a（n）为a（n+2））弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年10月2日
设P（A）是一个n元集A的幂集。然后A（n+1）=P（A）的元素对{x，y}的个数，其中x和y是不相交的，x不是y的子集，y不是x的子集。Wieder称这些为“不相交的严格2组合”-罗斯·拉海耶2008年1月11日；已由更正罗斯·拉海耶2008年10月29日
同样，设P（A）是n元集A的幂集。然后A（n+2）=P（A，或2）x和y相交，其中x是y的适当子集，或y是x的适当子集-罗斯·拉海耶2008年1月11日
3*a（n+1）＝p（n+1），其中p（x）是唯一的n阶多项式，使得p（k）＝a（k+1），对于k＝0，1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯2012年4月29日
设m等于n-1个不同素数的乘积。那么a（n）等于通过将m的除数除以另一除数而产生的不同分数>=1。例如，对于m=2*3*5=30，我们有以下6个分数：6/5、3/2、5/3、5/2、10/3、15/2。
在这里，求分数等于将n-1个球（不同的素数）分布到两个没有空箱子的箱子（分子和分母），而第二类斯特林数可以找到空箱子。（n）的另一个定义是a（n）=Sum_{i=2..n-1}Stirling2（i，2）*二项式（n-1，i）。
对于n>0，a（n）=（d（m^2）+1）/2-d（m），其中m等于n-1个不同素数的乘积。a（5）的例子：m=2*3*5*7=210（四个不同素数的乘积），所以a（5）=（d（210^2）+1）/2-d（210）=41-16=25。（结束）
6*a（n）是长度为n的三元字符串的数目，其中包含定义它们的3个符号中的至少一个。例如，对于n=4，字符串是0012的12个排列、0112的12种排列和0122的12种排序-恩里克·纳瓦雷特2021年8月23日
La Haye第一条评论的一种更简单的形式是：A（n+1）是我们可以形成[n]的两个非空子集的不相交并的方法的数量（参见下面的示例）。囊性纤维变性。A001047号对于联合体包含n的要求-恩里克·纳瓦雷特2021年8月24日
作为尼科马科斯三角形行的部分和以及3和2的幂差(A001047号)，每次迭代都对应于Sierpinski三角形（3^n）的两个图形变化，与Nicomachus三角形相互关联，参见链接中的插图。Sierpinski半六边形(A001047号)堆栈并符合2^n-1三角形数字的足迹。3^n Sierpinski三角形减去其2^n底行，也与Nicomachus三角形相关，根据每个Sierpinsk三角形子行-约翰·埃利亚斯2021年10月4日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第835页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第223页。
M.R.内斯特（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。昆士兰大学，澳大利亚布里斯班。[参见A056391号用于第2章的pdf文件]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
配方奶粉
G.f.:x^3/（（1-x）*（1-2*x）x（1-3*x））。
例如：（（exp（x）-1）^3）/3！。
循环次数：a（n+3）=6*a（n+2）-11*a（n+1）+6*a（n），a（3）=1，a（4）=6，a（5）=25-托马斯·维德2004年11月30日
偏移量为0时，这是9*3^n/2-4*2^n+1/2，即3*3^n-2*2^n的部分和=A001047号（n+1）-保罗·巴里2003年6月26日
a（n）=（1+3^（n-1）-2^n）/2，n>0-丹尼斯·沃尔什2007年2月20日
对于n>=3，a（n）=3*a（n-1）+2^（n-2）-1-杰弗里·克雷策2009年3月3日
当n>3时，a（n）=5*a（n-1）-6*a（n-2）+1-文森佐·利班迪2010年11月25日
a（n）=det（|s（i+3，j+2）|，1<=i，j<=n-3），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：x^3+12*x^4/（G（0）-12*x），其中G（k）=x+1+9*（3*x+1）*3^k-8*（2*x+1）*2^k-x*（9*3^k+1-8*2^k）*（81*3^k+1-32*2^k）/G（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年2月1日
对于n>0，a（n+2）=（1-2^（2+n）+3^（1+n））/2-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年10月2日
对于n>0，a（n）=（1/2）*和{k=1..n-1}和{i=1..n-1}C（n-k-1，i）*C（n-1，k）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月22日
a（n）=和{k=0..n-3}2^（k-1）*（3^（n-2-k）-1）-J.M.贝戈2018年2月5日
例子
a（4）=6。让我们表示Z[i]第i个标记元素=“ball”。然后，对于n=4，有六种不同的方法来用标记的元素填充集合=“框”：
集合（集合（Z[3]，Z[4]），集合（Z[1]），集合）、设置（Z[4]）、设置。
G.f.=x ^3+6*x ^4+25*x ^5+90*x ^6+301*x ^7+966*x*8+3025*x ^9+。。。
例如，对于n=3，a（4）=6，因为不相交并集为：{1} U型{2}, {1} U型{3}, {1} U型{2,3}, {2} U型{3}, {2} U型{1,3}和{1,2}U{3}. -恩里克·纳瓦雷特2021年8月24日
数学
StirlingS2[范围[0，30]，3](*哈维·P·戴尔2011年12月29日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=3^（n-1）/2-2^（n-1）+1/2}；
（鼠尾草）[stirling_number2（i，3）代表（0..40）中的i]#零入侵拉霍斯2008年6月26日
（GAP）列表（[0..400]，n->箍筋2（n，3））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月4日
a（n）=2^（n-1）*（1+2^n）。
（原M2849）
+10
67
1, 3, 10, 36, 136, 528, 2080, 8256, 32896, 131328, 524800, 2098176, 8390656, 33558528, 134225920, 536887296, 2147516416, 8590000128, 34359869440, 137439215616, 549756338176, 2199024304128, 8796095119360, 35184376283136, 140737496743936, 562949970198528
评论
设G_n是n>=1的初等阿贝尔群G_n=（C_2）^n：A006516号是数字-1在G_n的字符表中出现的次数A007582号是数字1的倍数。这两个序列一起涵盖了表中的所有值，即。，A006516号（n）+A007582号（n） =2^（2n）。-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年6月1日
循环图C_ 8中两个相邻顶点之间的长度为2n+1的行走次数。示例：a（1）=3，因为在循环ABCDEFGH中，在a和B之间有三条3长度的步行：ABAB、ABCB和AHAB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
设P（A）是一个n元集A的幂集，则A（n）=P（A）的元素对{x，y}的个数，其中x等于y或x不等于y-罗斯·拉海耶2008年1月2日
设P（A）是一个n元集A的幂集，则A（n）=P（A）的元素对{x，y}的个数。这只是我之前对这个序列的评论的一个简单陈述-罗斯·拉海耶2008年1月10日
以2为基数写的a（n+1）：11，1010，100100，10001000，1000010000。。。，即数字1，n乘以0，数字1，n乘以0(A163449号（n） ）-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年7月27日
与相关A102573号：让T（q，r）是多项式2^（q-n）/n乘以sum_{k=0..n}二项式（n，k）*k^q中n^（r+1）的系数，然后A007582号（x） =总和{k=0..x-1}T（x，k）*2^k-约翰·M·坎贝尔2011年11月16日
a（n）给出满足AND（r，s，XOR（r，s））=0的0≤r≤s≤（2^n）-1对的个数-拉马萨米·昌德拉穆利2012年8月30日
考虑具有偶数个位点L的量子自旋1/2链（物理学、凝聚态理论）。哈密顿量的谱可以根据对称性进行分类。如果自旋哈密顿量的唯一对称性是奇偶性，即相对于链中间的反射（例如，参见具有开放边界条件的横场伊辛模型），则p=+1奇偶扇区的维数由n=L/2的a（n）给出-马林·布科夫2016年3月11日
a（n）也是长度为n的单词的总数，在一个由四个字母组成的字母表中，其中一个字母出现了偶数次。参见Lekraj Beedassy，2003年7月22日，评论A006516号（4个字母的奇数），以及Balakrishnan的引用。对于1到11个字母的情况，请参阅交叉参考-沃尔夫迪特·朗2017年7月17日
a（n）是由4个顶点上的n+1个循环副本形成的循环蛇的非同构生成树的数量。循环蛇是一个连通图，它的块切点是一条路，它的所有n个块都同构于循环C_m-克里斯蒂安·巴伦托斯2024年9月5日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Archibald、A.Blecher、A.Knopfmacher、M.E.Mays、，整数合成中的反转和奇偶性，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.4.1条。
米尔恰·梅尔卡，余弦幂和的一个注记《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。
配方奶粉
G.f.：（1-3*x）/（1-2*x）*（1-4*x））。C（1+2^n，2），其中C（n，2）是第n个三角形数A000217号.
例如：exp（3*x）*cosh（x）-保罗·巴里2003年4月7日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，2*k）*3^（n-2*k-保罗·巴里2003年5月8日
a（n）=搅拌S2（2^n+1,2^n）=1+2*搅拌S2-罗斯·拉海耶2008年3月1日
a（n）=搅拌S2（2^n+1,2^n）=1+2*搅拌S2-罗斯·拉海耶2008年4月2日
a（n）=和{k=-floor（n/4）..floor（n/5）}二项式（2*n，n+4*k）/2-米尔恰·梅卡2012年1月28日
G.f.：Q（0）/2，其中Q（k）=1+2^k/（1-2*x/（2*x+2^k/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月10日
a（n）=和{k=1..2^n}k-乔格·阿恩特2013年9月1日
a（n）=（1/3）*和{k=2^n..2^（n+1）}k-J.M.贝戈2015年1月26日
a（n+1）=2*a（n）+4^n-宇春记2017年3月10日
MAPLE公司
seq（二项式（-2^n，2），n=0..23）#零入侵拉霍斯，2008年2月22日
数学
表[二项式[2^n+1，2]，{n，0，23}](*罗伯特·威尔逊v，2004年7月30日*）
线性递归[{6，-8}，{1，3}，30](*哈维·P·戴尔2013年4月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，2^（n-1）*（1+2^n））
（PARI）a（n）=和（k=-n\4，n\4，二项式（2*n+1，n+1+4*k））
（岩浆）[二项式（2^n+1，2）:n in[0..30]]//韦斯利·伊万·赫特2020年7月3日
交叉参考
长度为n且包含m个字母的单词的数量，其中一个出现偶数次，表示m=1..11：A000035号,A011782号,A007051号,A007582号,A081186号,A081187号,A081188号,A081189号,A081190号,A060531号,A081192号. -沃尔夫迪特·朗2017年7月17日
三角形数组a（n，k）=（1/k）*和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n；n>=1，1<=k<=n，按行读取。
+10
63
1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 7, 12, 6, 1, 15, 50, 60, 24, 1, 31, 180, 390, 360, 120, 1, 63, 602, 2100, 3360, 2520, 720, 1, 127, 1932, 10206, 25200, 31920, 20160, 5040, 1, 255, 6050, 46620, 166824, 317520, 332640, 181440, 40320, 1, 511, 18660, 204630, 1020600, 2739240, 4233600, 3780000, 1814400, 362880
评论
设M=n X n矩阵，第（i，j）项为a（n+1-j，n+1-i），例如，如果n=3，M=[1 1 1；3 1 0；2 0 0]。给定序列s=[s（0）..s（n-1）]，设b=[b（0）.b（n-1。则s（k）=和{i=0..n-1}b（i）*二项式（k，i）=和}i=0..n-1}c（i）*k^i，k=0..n-1-加里·亚当森2001年11月11日
Julius Worpitzky的1883算法生成伯努利数。
举个例子【维基百科】：
B0=1；
B1=1/1-1/2；
B2=1/1-3/2+2/3；
B3=1/1-7/2+12/3-6/4；
B4=1/1-15/2+50/3-60/4+24/5；
B5=1/1-31/2+180/3-390/4+360/5-120/6；
B6=1/1-63/2+602/3-2100/4+3360/5-2520/6+720/7；
...
注意，在这个算法中，伯努利数的奇数n和为0，而不是1，B1的和=1/2=（1/1-1/2）。B3=0=（1-7/2+13/3-6/4）=0。B4的总和=-1/30。（结束）
根据Worpitzky的算法并给定M=A028246号作为无穷下三角矩阵，M*[1/1，-1/2，1/3，…]（即带交替符号的调和级数）=从[1/1，1/2，1/6，…]开始的伯努利数-加里·亚当森2012年3月22日
G（x，t）=1/（1+（1-exp（x*t））/t）=1+1 x+（2+t）*x^2/2！+（6+6t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A090582号，永曲面的f多项式（参见A019538年).
G（x，t-1）=1+1*x+（1+t）*x^2/2！+（1+4t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A008292号，置换多面体的h-多项式。
G[（t+1）x，-1/（t+1”）]=1+（1+t）x+（1+3t+2t^2）x^2/2！+。。。给出了当前三角形的行多项式。（结束）
Worpitzky三角形似乎是这个三角形的恰当名称-约翰内斯·梅耶尔2009年6月18日
如果帕斯卡三角形被写成下三角矩阵并乘以A028246号写为上三角矩阵，乘积是第（i，j）项为（i+1）^j的矩阵。例如，
1,0,0,0 1,1,1, 1 1,1, 1, 1
1,1,0,0 * 0,1,3, 7 = 1,2, 4, 8
1,2,1,0 0,0,2,12 1,3, 9,27
1,3,3,1 0,0,0, 6 1,4,16,64
因此，从0开始对所有三个矩阵的行和列进行编号，乘积的（i，j）项为（i+1）^j.-Jack A.Cohen（ProfCohen，at）comcast.net），2010年8月3日
设S_n（m）=1^m+2^m+…+n^m。然后，对于n>=0，我们将S_n（m）表示为二项式系数的线性组合：
S_n（m）=和{i=1..n+1}a（i+n*（n+1）/2）*C（m，i）。例如，S_2（m）=a（4）*C（m，1）+a（5）*C-弗拉基米尔·舍维列夫2011年12月21日
给定集合X=[1.n]和1<=k<=n，则a（n，k）是X的子集S的大小为k的集合T的数目，使得S要么是空的，要么包含1和X的另一个元素，并且使得T的任何两个元素要么是可比的，要么是不相交的-迈克尔·索莫斯2013年4月20日
使用从-1开始的行和列索引，a（n，k）给出了标准n维单纯形第一次重心细分中的k维面数（应用Brenti和Welker，引理2.1）。例如，2-单纯形（三角形）的重心细分有1个空面、7个顶点、12条边和6个三角形面，将该三角形的第4行表示为（1,7,12,6）。囊性纤维变性。A053440号. -彼得·巴拉2014年7月14日
例如，g（x，t）=exp[P（.，t）x]=1/t-1/[t+（1-t）（1-e^（-xt^2））]=（1-t，*x+（-2t+3t^2-t^3）*x^2/2！+（6t^2-12t^3+7t^4-t^5）*x^3/3！+。。。对于第一个元素为空的移位、反向、有符号多项式，由无穷小生成器g（u，t）d/du=[（1-u*t）（1-（1+u）t）]d/du生成，即exp[x*g（u、t）d/du]ueval。在u＝0时，生成多项式。请参见A019538年下面的G.Rzadkowski链接用于连接伯努利数和欧拉数、Ricatti微分方程和KdV方程的孤子解。这个例子的x中的倒数是Ginv（x，t）=（-1/t^2）*log{[1-t（1+x）]/[（1-t）（1-tx）]}=[1/（1-t。分子有符号，移位A135278号（反转A074909号)，而有理函数是A074909号此外，dG（x，t）/dx=g（g（x、t），t）（参见。A145271号). （增加了分析G（x，t），Ginv于2015年12月28日进行了更正和扩展。）-汤姆·科普兰2014年11月21日
运算符R=x+（1+t）+t e^｛-D｝/[1+t（1-e^（-D））]=x+（1+t）+t-（t+t^2）D+（t+3t^2+2t^3）D^2！-。。。包含当前三角形的逆行多项式的例如f。，A123125号*A007318号（行和列偏移量分别为1和1）。Umbrally，R^n1=q_n（x；t）=（q.（0；t）+x）^n，其中q_m（0；t）=（t+1）^（m+1）-t^（m+1）A074909号，且D=D/dx。换句话说，R生成与基序列相关联的Appell多项式A074909号例如，R 1=q_1（x；t）=（q（0；t）+x）=q_1（0；t）+q__0（0；吨）x=（1+2t）+x，并且R ^ 2 1=q_2（x；t）=（q。在x=0时计算多项式会重新生成基序列。通过R中的简单符号更改，R生成与A248727号. -汤姆·科普兰2015年1月23日
{S（n，m）}_{m>=0}与S（n、m）=Sum_{k=1..m}k^n，n>=0，（未定义和置为0）的例子f.e（n，x）是exp（x）*R（n+1，x）与指数行多项式R（n，x）=Sum（k）=1..n}a（n，k）*x^k/k！。例如，对于n=2，A000330号：exp（x）*（1*x/1！+3*x^2/2！+2*x^3/3！）。
然后通过拉普拉斯变换发现{S（n，m）}{m>=0}的o.g.f.g（n，x）是g（n、1/p）=p*Sum{k=1..n}a（n+1，k）/（p-1）^（2+k）。
因此G（n，x）=x/（1-x）^（n+2）*Sum_{k=1..n}A008292号（n，k）*x^（k-1）。
例如，n=2:g（2，1/p）=p*（1/（p-1）^2+3/（p-1；因此G（2，x）=x*（1+x）/（1-x）^4。
这也是反向的：从o.g.f.到{S（n，m）}_{m>=0}的e.g.f。（结束）
a（n，k）是一组大小为n的成对不相交非空子集的k元组数-多里安·古约特2019年5月21日
a（n-1，k）是部分有序集中长度为k的链的数目，该部分有序集由通过包含排序的n元集的子集构成，使得链的第一项是空集或n元集。
此外，a（n-1，k）是按集合包含排序的n个集合的不同k级根模糊子集的数目。（结束）
T（n，k）是（n-1）-集上部分变换半群中秩为（k-1）的D类中格林L类的大小-杰弗里·克雷策2023年1月9日
T（n，k）是[n]上具有周期k的强连接二元关系的数目(邮编：367948)和索引1。参见Ki Hang Kim参考中的定理5.4.25（6）-杰弗里·克雷策2023年12月7日
参考文献
Ki Hang Kim，布尔矩阵理论与应用，Marcel Dekker，纽约和巴塞尔（1982）。
链接
V.S.Abramovich，自然数的幂和，Kvant，第5期（1973年），22-25。（俄语）
H.Belbachir、M.Rahmani和B.Sury，涉及二项式系数倒数矩的和，J.国际顺序。14 (2011) #11.6.6.
Hacene Belbachir和Mourad Rahmani，二项式系数倒数的交替和《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.2.8号。
F.Brenti和V.Welker，重心细分的f向量，arXiv:math/0606356v1[math.CO]，数学。Z.，259（4），849-8652008年。
Patibandla Chanakya和Putla Harsha，自然数幂的广义嵌套求和，arXiv:1808.08699[math.NT]，2018年。见表1。
E.Delucchi、A.Pixton和L.Sabarka。细分单形复形的面向量arXiv:1002.3201v3[math.CO]，离散数学，第312卷，第2期，2012年1月，第248-257页。
G.H.E Duchamp、N.Hoang Nghia和A.Tanasa，基于选择/商原理的单词Hopf代数，arXiv:1207.6522[math.CO]，2012-2013年；Séminaire Lotharingien de Combinatoire 68（2013），第B68c条。
盖·卢查德（Guy Louchard）、沃纳·沙钦格（Werner Schachinger）和马克·丹尼尔·沃德（Mark Daniel Ward），几何分布词中不同相邻对的数量：一个概率和组合分析，arXiv:2203.14773[math.PR]，2022。见第5页。
Rajesh Kumar Mohapatra和Tzung-Pei Hong，整数序列分析中有限模糊子集的个数《数学》（2022）第10卷，第7期，第1161页。
A.Riskin和D.Beckwith，问题10231阿默尔。数学。月刊，102（1995），175-176。
配方奶粉
a（n，k）=S2（n，k）*（k-1）！其中S2（n，k）是第二类斯特林数（参见。A008277号). 同时a（n，k）=T（n，k）/k，其中T（n、k）=A019538年.
本质上与三角形[1，0，2，0，3，0，4，0，5，0，6，0，7，…]DELTA[1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，…]相同的三角形，其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号，但符号不同。
对于n>=1，行生成多项式P（n，t）由P（1，t）=t，P（n+1，t）=t（t+1）（d/dt）P（n、t）给出（参见Riskin和Beckwith参考文献）-Emeric Deutsch公司2005年8月9日
可以从H.Hasse关于zeta函数和Bernoulli数之间关系的证明中读取到的Delta矩阵（参见下面的链接）。
设P=具有条目的下三角矩阵P[行，列]=二项式（行，列）。
设J=带交替符号的单位矩阵J[r，r]=（-1）^r。
设N（m）=列矩阵，其中N（m）（r）=（r+1）^m，N（1）-->自然数。
设V=Vandermonde矩阵，其中V[r，c]=（r+1）^c。
V也是N（0）||N（1）||M（2）||L（3）。。。（指数r、c总是从0开始）。
然后，Delta=P*J*V和B'=N（-1）'*Delta，其中B是伯努利数的列矩阵，'表示转置，或者对于单个第k个伯努利数B_k和适当的Delta列，
B_k=N（-1）'*Delta[*，k]=N（-1）'*P*J*N（k）。
H.Hasse使用单柱代替V并假设无限维，结果表明，在x=N（-1）*P*J*N（s）中，s可以是任何复数，s*zeta（1-s）=x。
他的定理是：s*zeta（1-s）=Sum_{n>=0..inf}（n+1）^-1*delta（n，s），其中delta（n，s）=Sum_{j=0..n}（-1）^j*二项式（n，j）*（j+1）^s。
（结束）
a（n，k）=k*a（n-1，k）+（k-1）*a-约翰内斯·梅耶尔2009年6月18日
重新表述上述Meijer递推：设M是在两条对角线和其余零中M（r，r）=M（r、r+1）=r，r>=1的（n+1）X（n+1”）双对角矩阵。三角形的行a（n+1，.）是M^n的行1-加里·亚当森2011年6月24日
例如，A（x，t）=g[（t+1）x，-1/（t+1。。。，公司。x中的倒数是
B（x，t）=-对数（t/（1+t）+1/（1+t）（1+x））=（1/（1+t））x-（1+2t）/（1+t）^2）x^2/2+（（1+3t+3t^2）/（1+t）^3）x^3/3+。。。。分子是的行多项式A074909号，有理函数是re-index Pascal三角形的有符号列（省略初始常数）A007318号.
设h（x，t）=1/（dB/dx）=（1+x）（1+t（1+x）），则行多项式P（n，t）=（1/n！）。当y=0，dA/dx=h（A（x，t），t）时，P（1，t）=1+t。（2015年12月29日增加的系列。）（完）
让<n，k>表示欧拉数A173018型（n，k），则T（n，k）=和{j=0..n}<n，j>*二项式（n-j，n-k）-彼得·卢什尼2013年7月12日
矩阵产品A007318号*A131689型.第n行多项式R（n，x）=和{k>=1}k^（n-1）*（x/（1+x））^k，对开区间（-1/2，inf）中的x有效。囊性纤维变性A038719号.R（n，-1/2）=（-1）^（n-1）*（2^n-1）*Bernoulli（n）/n-彼得·巴拉2014年7月14日
第n行多项式R（n，x）=（1+x）o（1+x）o。。。o（1+x）（n个因子），其中o表示Dukes和White的黑菱形乘法运算符。请参阅Bala链路中的示例E11-彼得·巴拉2018年1月12日
Sum_{i=0..k}二项式（k，i）*a（n，i）=（k+1）^n。
（结束）
行生成多项式R（n，x）=Sum{i=1..n}a（n，i）*x^i满足初值R（1，x）=x的n>=1的递归方程R（n+1，x）+Sum{k=0.n-1}二项式（n-1，k）*R（k+1，x-沃纳·舒尔特2021年6月17日
例子
三角形a（n，k）开始于：
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1: 1
2: 1 1
3: 1 3 2
4: 1 7 12 6
5: 1 15 50 60 24
6: 1 31 180 390 360 120
7: 1 63 602 2100 3360 2520 720
8: 1 127 1932 10206 25200 31920 20160 5040
9: 1 255 6050 46620 166824 317520 332640 181440 40320
-----------------------------------------------------
三角形的第5行是{1,15,50,60,24}，即{1,15,15,10,1}乘以{0！，1！，2！，3！，4！}。
此外，对于幂和，我们有
S_0（n）=C（n，1）；
S_1（n）=C（n，1）+C（n，2）；
S_2（n）=C（n，1）+3*C（n、2）+2*C（n,3）；
S_3（n）=C（n，1）+7*C；
S_4（n）=C（n，1）+15*C；等。
（结束）
对于X=[1,2,3]，集合T是{{}}、{{}、}、1,2}}，{{}、{1,3}}和{}，1,2,3}-迈克尔·索莫斯2013年4月20日
MAPLE公司
a:=（n，k）->加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n，i=0..k）/k；
seq（打印（seq（a（n，k），k=1..n）），n=1..10）；
T:=（n，k）->加（eulerin1（n，j）*二项式（n-j，n-k），j=0..n）：
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..n）），n=0..9）#彼得·卢什尼2013年7月12日
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>n，0，n！*polceoff（（x/log（1+x+x^2*O（x^n）））^（n+1），n-k））}/*迈克尔·索莫斯2002年10月2日*/
（PARI）{T（n，k）=斯特林（n，k，2）*（k-1）！}\\G.C.格鲁贝尔2019年5月31日
（鼠尾草）
x=多基因（ZZ，‘x’）
A=[]
对于范围（0，n，1）中的m：
A.附加（（-x）^m）
对于范围（m，0，-1）中的j：
A[j-1]=j*（A[j-1]-A[j]）
返回列表（A[0]）
（Sage）[[stirling_number2（n，k）*factorial（k-1）for k in（1..n）]for n in（1..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年5月30日
（岩浆）[[StirlingSecond（n，k）*阶乘（k-1）：k in[1..n]]：n in[1..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年5月30日
（GAP）平面（列表（[1..10]，n->列表（[1.n]，k->斯特林2（n，k）*阶乘（k-1）））#G.C.格鲁贝尔2019年5月30日
（Python）#假设偏移量（n，k）=（0，0）。
定义T（n，k）：
如果k>n：返回0
如果k==0：返回1
返回k*T（n-1，k-1）+（k+1）*T（n-1，k）
对于范围（9）中的n：
打印（[T（n，k）表示范围（n+1）中的k）]#彼得·卢什尼2022年4月26日
交叉参考
囊性纤维变性。A007318号,A008292号,A046802号,A074909号,A090582号,A123125号,A130850型,A135278号,A141618号,A145271号,A163626号,A248727号,A263634型.
作者
N.J.A.斯隆道格·麦肯齐（Doug McKenzie）（mckfam4（AT）aol.com）
按行读取的三角形：逻辑函数以y表示的n阶导数，其中y=1/（1+exp（-x））。
+10
34
1, 1, -1, 1, -3, 2, 1, -7, 12, -6, 1, -15, 50, -60, 24, 1, -31, 180, -390, 360, -120, 1, -63, 602, -2100, 3360, -2520, 720, 1, -127, 1932, -10206, 25200, -31920, 20160, -5040, 1, -255, 6050, -46620, 166824, -317520, 332640, -181440, 40320, 1, -511, 18660
评论
三角形T（n，k），按行读取，由（1,0,2,0,3,0,4,5,0,6,0,7,0,8,0,9，…）DELTA（-1，-1，-2，-2，-3，-4，-4，-5，-6，-6，…）给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年11月5日
“Stirling-Bernoulli变换”映射序列b_0、b_1、b_2。。。序列c0，c1，c2。。。，其中，如果B有o.g.f.B（x），c有例如f.exp（x）*B（1-exp（x））。更明确地说，c_n=Sum_{k=0..n}A163626号（n，k）*b_-菲利普·德尔汉姆2015年5月26日
这是将单项式多项式（-x）^n表示为基多项式{二项式（x+n，n）}n>=0的线性组合的连接常数三角形，即（-x。囊性纤维变性。1945年1月. -彼得·巴拉，2019年6月6日
n>0的行总和为零-谢尔·卡潘2024年5月14日
应用于序列的Akiyama-Tanigawa算法产生的结果与应用于相同序列的Stirling-Bernoulli变换的结果相同。见菲利普·德勒姆2015年5月26日的评论-谢尔·卡潘，2024年5月16日
配方奶粉
T（n，k）=（k+1）*T（n-1，k）-k*T（n-1，k-1），T（0,0）=1，如果k>n或如果k<0，T（n、k）=0-菲利普·德尔汉姆2015年5月29日
T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^j*二项式（k，j）*（j+1）^n-彼得·卢什尼2017年9月21日
设W_n（x）是该序列的行多项式，F_n（x）是A278075型则W_n（1-x）=F_n（x）。对于{W，F}中的U，积分_{x=0..1}U_n（x）=Bernoulli（n，1）-彼得·卢什尼2021年8月10日
例子
y=1/（1+exp（-x））
y^（0）=y
y^（1）=y-y^2
y^（2）=y-3*y^2+2*y^3
y^（3）=y-7*y^2+12*y^3-6*y^4
三角形开始：
否0 1 2 3 4 5 6
----------------------------------------
0: 1
1: 1 -1
2: 1 -3 2
3: 1 -7 12 -6
4: 1 -15 50 -60 24
5: 1 -31 180 -390 360 -120
6: 1 -63 602 -2100 3360 -2520 720
7: 1 -127 ... - 重新格式化者菲利普·德尔汉姆2015年5月26日
基本常数的变化：x^4=1-15*二项式（x+1，1）+50*二项制（x+2,2）-60*二项法（x+3,3）+24*二项论（x+4,4）-彼得·巴拉，2019年6月6日
MAPLE公司
A163626号：=（n，k）->加（（-1）^j*二项式（k，j）*（j+1）^n，j=0..k）：
数学
导数[0][y][x]=y[x]；导数[1][y][x]=y[x]*（1-y[x]）；
导数[n_][y][x]：=导数[n][y][x]=D[导数[n-1][y][x]，x]；
row[n_]：=系数表[导数[n][y][x]，y[x]]//静止；
表[行[n]，｛n，0，9｝]//压扁
（*或*）表[（-1）^k*k！*StirlingS2[n+1，k+1]，{n，0，9}，{k，0，n}]//压扁
黄体脂酮素
（Python）
从sympy.core.cache导入缓存
@纪念物
def T（n，k）：如果n==0，则返回1，如果k>n或k<0，则返回0，否则返回0（k+1）*T（n-1，k）-k*T（n-1，k-1）
对于范围（51）中的n：打印（[T（n，k）对于范围（n+1）中的k）]）#印地瑞尼Ghosh2017年9月11日
交叉参考
k=0-10列给出：A000012号,A000225号,A028243号,A028244美元,A028245号,A032180美元,A228909号,228910英镑,A228911型,A228912号,A228913号.
n元集的2元相交族的个数；随机选择{1..n}上的两个幂集子集时的双向交互次数。
+10
30
0, 2, 15, 80, 375, 1652, 7035, 29360, 120975, 494252, 2007555, 8120840, 32753175, 131818052, 529680075, 2125927520, 8525298975, 34165897052, 136857560595, 548011897400, 2193792030375, 8780400395252, 35137296305115, 140596265198480
评论
设P（A）是一个n元集A的幂集。然后A（n）=P（A）的元素对{x，y}的个数，其中0）x和y相交，但x不是y的子集，y不是x的子集，或者1）x和y相交，并且x是y的适当子集，或者y是x的适当子集-罗斯·拉海耶2008年1月10日
图论公式。设P（A）是一个n元集A的幂集。然后A（n）=P（A）的相交图G的边数。G的顶点是P（A）的元素，G的边是P（A）的元素{x，y}对，使得x和y相交（和x<>y）-罗斯·拉海耶2017年12月23日
配方奶粉
a（n）=（1/2）*（4^n-3^n-2^n+1）。
a（n）=3*箍筋2（n+1,4）+2*箍筋1（n+1.3）-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a（n）=10*a（n-1）-35*a（n-2）+50*a（n3）-24*a（-n4）；a（0）=0，a（1）=2，a（2）=15，a（3）=80。
总尺寸：x^2*（2-5*x）/（1-10*x+35*x^2-50*x^3+24*x^4）。（结束）
例如：exp（x）*（exp（x）-1）^2*（exps（x）+1）/2-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年6月26日
数学
线性递归[{10，-35，50，-24}，{0，2，15，80}，40]（*或*）与[{c=1/2！}，表[c（4^n-3^n-2^n+1），{n，40}]](*哈维·P·戴尔，2011年5月11日*）
黄体脂酮素
（鼠尾草）[（4^n-2^n）/2-（3^n-1）/2代表范围（1，24）内的n]#零入侵拉霍斯，2009年6月5日
1, 2, 6, 20, 66, 212, 666, 2060, 6306, 19172, 58026, 175100, 527346, 1586132, 4766586, 14316140, 42981186, 129009092, 387158346, 1161737180, 3485735826, 10458256052, 31376865306, 94134790220, 282412759266, 847255055012
评论
设P（A）是n元集A的幂集，则A（n）=P（A的元素对{x，y}的个数，其中0）x和y相交，x是y的适当子集，y是x的适当子集或1）x=y-罗斯·拉海耶2008年1月10日
设P（A）是n元集A的幂集，R是P（A-罗斯·拉海耶2009年3月19日
链接
M.H.Albert、M.D.Atkinson和V.Vatter，几何网格类的膨胀：三个案例研究，arXiv:12090425[math.CO]，2012年。
配方奶粉
G.f.：（1-4*x+5*x^2）/（（1-x）*（1-2*x）x（1-3*x））。
例如：exp（3*x）-exp（2*x）+exp（x）。
a（n）=2*箍筋S2（n+1,3）+箍筋S2（n+1,1,2）+1-罗斯·拉海耶2008年1月10日
例子
此外，n个顶点上的无向集系统的数量，其中，如果覆盖顶点的任何置换都不改变集系统，则该集系统是无向的。例如，a（0）=1到a（3）=20非手性集合系统是：
0 0 0 0
{1} {1} {1}
{2} {2}
{12} {3}
{1}{2} {12}
{1}{2}{12} {13}
{23}
{123}
{1}{2}
{1}{3}
{2}{3}
{1}{2}{3}
{1}{2}{12}
{1}{3}{13}
{2}{3}{23}
{12}{13}{23}
{1}{2}{3}{123}
{12}{13}{23}{123}
{1}{2}{3}{12}{13}{23}
{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}
（结束）
数学
线性递归[{6，-11，6}，{1，2，6}，30](*G.C.格鲁贝尔2019年2月13日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[0..30]]中的[3^n-2^n+1:n//G.C.格鲁贝尔2019年2月13日
（鼠尾草）[3^n-2^n+1代表范围（30）内的n]#G.C.格鲁贝尔2019年2月13日
（GAP）列表（[0..30]，n->3^n-2^n+1）#G.C.格鲁贝尔2019年2月13日
0, 2, 10, 38, 130, 422, 1330, 4118, 12610, 38342, 116050, 350198, 1054690, 3172262, 9533170, 28632278, 85962370, 258018182, 774316690, 2323474358, 6971471650, 20916512102, 62753730610, 188269580438, 564825518530, 1694510110022, 5083597438930, 15250926534518, 45753048039010
评论
设V是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于P（a）的每个元素x，y，xVy，如果x是y的适当子集，或者y是x的适当子集。那么a（n）=|V|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
似乎a（n）是1，..，的置换数p，。。，（n+2）使得max[p（i+1）-p（i）]为2。例如，对于n=1，置换（1,3,2）和（2,1,3）以及其他任何置换都没有所需的属性，因此a（1）=2。这种方法给出的值与列出的所有术语一致。[约翰·莱曼2011年11月9日]
在terdragon曲线中，a（n-1）是扩展级n中封闭单元三角形的数量-凯文·莱德2020年10月20日
配方奶粉
a（n）=2*（3^n-2^n）。
a（n）=5*a（n-1）-6*a（n-2）。G.f.：2*x/（（2*x-1）*（3*x-1））。[科林·巴克2012年12月10日]
a（n）=sum{i=1..n}二项式（n，i）*2^（n-i+1）-韦斯利·伊万·赫特2014年2月10日
数学
表[-（（-1+k）^（1-k+n）*（-1+k）！）+k^（-k+n”）*k！/.k->3，{n，3，36}]
表[2（3^n-2^n），｛n，0，30｝](*韦斯利·伊万·赫特2014年2月10日*）
系数列表[序列[2x/（（2x-1）（3x-1）），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年2月12日*）
线性递归[{5，-6}，{0，2}，30](*哈维·P·戴尔2015年9月22日*）
0, 0, 3, 21, 105, 465, 1953, 8001, 32385, 130305, 522753, 2094081, 8382465, 33542145, 134193153, 536821761, 2147385345, 8589737985, 34359345153, 137438167041, 549754241025, 2199020109825, 8796086730753, 35184359505921
评论
设P（A）是n元集A的幂集，则A（n，或2）x和y相交，其中x是y的适当子集，或y是x的适当子集。
Or：完美深度n二叉树的节点与完美深度（n-1）二叉树节点之间的连接数-亚历克斯·拉图什尼亚克2013年6月2日
a（n）是2^n阶Walsh矩阵的正行和正列中的正项数。它也是一般线性群GL（n，2）中最小非平凡共轭类的大小。请参阅链接“3位沃尔什置换…”-蒂尔曼·彼得斯克2022年9月15日
配方奶粉
a（n）=（1/2）*（4^n-3*2^n+2）=3*（箍筋2（n+1，4）+箍筋2））。
a（n）=箍筋2（2^n-1,2^n-2）。
总尺寸：3*x^2/（1-x）/（1-2*x）/-科林·巴克2012年2月22日
a（n）=7*a（n-1）-14*a（n-2）+8*a（n3）-韦斯利·伊万·赫特2021年5月17日
例如：exp（x）*（exp（x）-1）^2*（exps（x）+2）/2-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年4月6日
例子
a（2）=3，因为对于P（a）={{}，{1}，}，，{1,2}}，我们有情况0{{1}，{2}，情况2{{1{，{1,2]}。本例中P（A）的0{x，y}属于情况1。
MAPLE公司
seq（（2^n-1）*（2^（n-1）-1），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年11月30日
数学
表[二项式[2^n-1，2]，{n，0，30}](*文森佐·利班迪2015年11月30日*）
黄体脂酮素
（Python）
打印（[（2**n-1）*（2**（n-1）-1）对于范围（23）中的n）]）
（PARI）a（n）=二项式（2^n-1，2）\\米歇尔·马库斯2015年11月30日
（岩浆）[二项式（2^n-1，2）:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2015年11月30日
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