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| A087127号 |
| 该表显示了生成三角数的p次幂的顺序和所需的组合公式的系数。第p行（p>=1）包含i=1到2*p-1的（i，p），其中a（i，p）满足和{i=1..n}C（i+1,2）^p=3*C（n+2,3）*和{i=1..2*p-1}a（i、p）*C（n-1，i-1）/（i+2）。 |
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38
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1, 1, 2, 1, 1, 8, 19, 18, 6, 1, 26, 163, 432, 564, 360, 90, 1, 80, 1135, 6354, 18078, 28800, 26100, 12600, 2520, 1, 242, 7291, 77400, 405060, 1210680, 2211570, 2520000, 1751400, 680400, 113400, 1, 728, 45199, 862218, 7667646, 38350080, 118848420
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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表项T（n，k）是用下降阶乘表示2*p次多项式C（x+2.2）^p时的系数：C（x=2,2）^p=Sum_{k=0..2*p}T（p，k）*C（x，k）。因此，求和{i=0..n-1}C（i+2.2）^p=求和{k=0..2*p}T（p，k）*C（n，k+1）。
三角数的p次幂之和也由和{i=0..n-1}C（i+2,2）^p=和{k=2..2*p}给出A122193号当p>=1时，（p，k）*C（n+2，k+1）。（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（1，p）=1，a（2，p）=3^（p-1）-1，a（3，p）=3^（p-1）*[2^（p1）-2]+1。。。，a（2*p-3，p）=[（6*p^4-20*p^3+21*p^2-7*p）*（2*p4）！]/[3*2^。
a（i，p）=和{k=1..[2*i+1+（-1）^（i-1）]/4}[C（i-1，2*k-2）*C（i-2*k+3，i-2*k+1）^
以下备注假定行和列索引从0开始。
T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^（k-i）*C（k，i）*C（i+2,2）^n。等价地，让v_n表示视为无限列向量的序列（1，3^n，6^n，10^n，…），其中1，3，6，10。。。是三角数序列A000217号然后，该表的第n行由矩阵乘积P^（-1）*v_n确定，其中P表示帕斯卡三角形A007318号.参见。1993年12月1日.
T（n+1，k）=C（k+2,2）*T（n，k）+2*C（k+1,2）*1（n，k-1）+C。
设R（n，x）表示第n行多项式。
R（n+1，x）=1/2*（1+x）^2*（d/dx）^2（x^2*R（n，x））。
R（n，x）=和{i>=0}二项式（i+2,2）^n*x^i/（1+x）^（i+1）。
R（n，x）=（1+x）^2 o（1+x）^2 o。。。o（1+x）^2（n因子），其中o表示Dukes和White中定义的幂级数的黑钻石乘积。注意多项式x^2o。。。o x ^2（n因子）是的第n行多项式A122193号.
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例子
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第3行包含1,8,19,18,6，所以求和{i=1..n}C（i+1,2）^3=（n+2）*C（n+1,2 1,1）+（19/5）*碳（n-1,2）+（18/6）*C（n-1,3）+（6/7）*碳。A085438号了解更多详细信息。
表格开始
n=0 |1
n=1 | 1 2 1
n=2 | 1 8 19 18 6
n=3 | 1 26 163 432 564 360 90
n=4 | 1 80 1135 6354 18078 28800 26100 12600 2520
...
第2行：C（i+2,2）^2=C（i，0）+8*C（i、1）+19*C（ii，2）+18*C（i,3）+6*C（i，4）。因此，求和{i=0..n-1}C（i+2,2）^2=C（n，1）+8*C（n、2）+19*C（n，3）+18*C（m，4）+6*C（n,5）。（结束）
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MAPLE公司
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seq（seq（加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i+2，2）^n，i=0..k），k=0..2*n），n=0..8）#彼得·巴拉，2018年3月8日
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数学
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a[i_，p_]：=和[二项式[i-1，2*k-2]*二项式[2-2*k+3，i-2*k+1]^；表[如果[p==1，1，a[i，p]]，{p，1，10}，{i，1，2*p-1}]//压扁(*G.C.格鲁贝尔2017年11月23日*）
a[i_，p_]：=（-1）^i超几何PFQ[ConstantArray[3，p]~Join~{2-i}，ConstantArray[1，p]，1]；表[a[i，p]，{p，0，10}，{i，2，2p+2}]//展平(*乔纳森·伯恩斯2018年3月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（i，p）=和（k=1，（2*i+1+（-1）^（i-1））/4，二项式（i-1，2*k-2）*二项式；对于（p=1,8，对于（i=1,2*p-1，打印1（如果（p==1,1，a（i，p）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年11月23日
（GAP）平面（列表（[0..6]，n->列表（[0.2*n]，k->总和（[0..k]，i->（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i+2，2）^n）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年3月22日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000292号,A024166号,A024166号,A085438号,A085439号,A085440美元,A085441号,A085442号,A087107号,A000332号,A086020号,A086021号,A086022号,A087108号,A000389号,A086023号,A086024号,A087109号,A000579号,A086025号,A086026号,A087110号,A000580型,A086027号,A086028号,A087111美元,A027555号,A086029号,A086030型.
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关键字
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容易的,非n,标签
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