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提示
问候整数序列的在线百科全书!)
A024246 三角阵列A(n,k)=(1/k)*SuMi{{i=0…k}(-1)^(k- i)*c(k,i)*i^ n;n>=1, 1 <=k<=n,按行读取。 五十五
1, 1, 1,1, 3, 2,1, 7, 12,6, 1, 15,50, 60, 24,1, 31, 180,390, 360, 120,1, 63, 602,2100, 3360, 2520,720, 1, 127,1932, 10206, 25200,31920, 20160, 5040,31920, 20160, 5040,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,5

评论

设m=n×n矩阵与(i,j)-Th项A(n+1-j,n+1-i),例如,如果n=3,m=〔1 1 1;3 1 0;2 0 0〕。给定序列S=[S(0).s(n-1)],让B=[B(0).B(n-1)]成为其逆二项变换,并让C=[C(0).. C(n-1)]=m ^(-1)*转置(B)。然后S(k)=SuMu{{i=0…n-1 } b(i)*二项式(k,i)=SuMu{{i=0…n-1 } C(i)*k^ i,k=0…n-1。-加里·W·亚当森11月11日2001

加里·W·亚当森,八月09日(2008):(开始)

Julius Worpitzky的1883算法生成伯努利数。举个例子[维基百科]:

B0=1;

B1=1/1~1/2;

B2=1/1~3/2+2/3;

B3=1/1~7/2+12/3~6/4;

B4=1/1~15/2+50/3~60/4+24/5;

B5=1/1~31/2+180/3~390/4+360/5~120/6;

B6=1/1—63/2+602/3—2100/4+3360/5—2520/6+720/7;

注意,在该算法中,伯努利数的奇n和为0,而不是1,而B1=1/2=1/1(1/2)的和。B3=0=(1—7/2+13/3—6/4)=0。B4=- 1/30的求和。(结束)

根据WordpZigy算法给出m=A024246作为一个无限的下三角矩阵,M*〔1/1,1/2,1/3,…〕(即,具有交替符号的调和级数)=开始的伯努利数〔1/1,1/2,1/6,…〕。-加里·W·亚当森3月22日2012

汤姆·科普兰,10月23日2008:(开始)

g(x,t)=1/{ 1+〔1-EXP(x t)〕/t}=1+1×+(2+t)x^ 2/2;+(6 +6T+T ^ 2)X^ 3/3!+…给出行多项式A090582A关于置换子群的F多项式(参见A019538

g(x,t-1)=1+1×+(1+t)x^ 2/2;+(1 +4T+T ^ 2)X^ 3/3!+…给出行多项式A000 829关于置换多项式的H多项式。

g[(t+1)x,- 1/(t+1)]=1+(1+t)x+(1+3t+2 t^ 2)x^ 2/2;+…给出了当前三角形的行多项式。(结束)

Wordpz三角形似乎是这个三角形的合适名称。-约翰内斯·梅杰6月18日2009

如果Pascal三角形被写为下三角矩阵并乘以A024246写为上三角矩阵,乘积是一个矩阵,其中(i,j)第n项是(i,1)^ j,例如,

1,0,0,0,1,1,1,1,1,1, 1

1,1,0- 0*01,1,3,7=1,2,4, 8

1,2,1,0,0,0,2,12,1,3,9,27

1,3,3,1,0,0,0,6,1,4,16,64

因此,从0开始对所有三个矩阵的行和列编号,产品的(i,j)项是(i + 1)^ j - Jack A. Cohen(Prof Comcast(AT)Comcast .net),Aug 03 2010。

Fi1和Fi2三角和都是由序列给出的。A000 0670. 对于这些三角形和的定义参见A180662. Wordpz三角形的镜像是A130850. -约翰内斯·梅杰4月20日2011

设Syn(m)=1 ^ m+2 ^ m+…然后,对于n>=0,我们将Syn(m)表示为二项式系数的线性组合:

Syn(m)=SuMu{{i=1…n+1 } A(i+n*(n+1)/2)*c(m,i)。例如,Sy2(m)=a(4)*c(m,1)+a(5)*c(m,2)+a(6)*c(m,3)=c(m,1)+3*c(m,2)+2*c(m,3)。-弗拉迪米尔谢维列夫12月21日2011

给定集合x=[1…n]和1 <=k<=n,则a(n,k)是x的子集s的大小k的集合t的数目,使得s是空的,或者包含1和x的另一个元素,使得t的任何两个元素都是可比的或不相交的。-米迦勒索摩斯4月20日2013

使用行-列索引在-- 1开始,A(n,k)给出了标准n维单形的第一重心细分中的k维面的数目(应用Bruti和维尔克,引理2.1)。例如,二元单纯形(三角形)的重心细分有1个空面、7个顶点、12个边和6个三角形面,使这个三角形的行4为(1,7,12,6)。囊性纤维变性。A05340. -彼得巴拉7月14日2014

A07909和G.F.S之间的关联,在这个阵列和伯努利多项式和它们的阴阳成分逆。-汤姆·科普兰11月14日2014

e.g.f. G(x,t)=Exp[p(,t)x]=1/t- 1 /[t+(1-t)(1-e^(-xt^ 2))]=(1-t)*x+(-2t+3t^ 2 -t^ 3)*x^ 2/2;+(6t^ 2 -12t^ 3 +7t^ 4 -t^ 5)*x^ 3/3!+…对于具有零个第一元素的移位、反转、有符号多项式,由无穷小发生器G(u,t)d/dU=[(1-u*t)(1 -(1+u)t)] d/dU,即EXP[x*G(u,t)d/dU ] u EVE生成。在U=0生成多项式。A019538和G. Rzadkowski连接以下的连接到伯努利和欧拉数,一个李嘉图微分方程,和孤子解的KdV方程。这个E.F.x中的逆是Ginv(x,t)=(-1/ t^ 2)*{[1-t(1 +x)] /[(1-t)(1-tx)] }[=(2T-t^ 2)/(1-t)^ 2 ] x^ 2/2+[(3t^ 2-3t^ 3 +t^ 4)/(1-t)^ 3)] x^ 3/3+[(4t^ 3-6t^,+4t^ 5-t^ 6)/(1-t)^ ^ ] x^α+…分子签名、移位。A13527(颠倒)A07909)和有理函数是列A07909. 此外,DG(x,t)/dx= g(g(x,t),t)(参见)。A14527(分析G(x,t)增加,Ginv校正和扩展于12月28日2015)汤姆·科普兰11月21日2014

算子r=x+(1+t)+t e^ {-d}/[ 1 +t(1-e^(-d))]=x+(1+t)+t-(t+t^ 2)d+(t+3t^ 2 +2t^ 3)d^ 2/2;-…包含当前三角形的反向行多项式的E.G.F.A123125*A000 7318(行和列偏移1和1)。模糊地,R^ n 1=qyn(x;t)=(q(0;t)+x)^ n,qqm(0;t)=(t+1)^(m+1)-t^(m+1),行多项式。A07909和d= d/dx。换言之,R生成与基序列相关的Apple多项式。A07909. 例如,R 1=qy1(x;t)=qy1(0;t)+qy0 0(0;t)x=(1 +2t)+x,和r^ 2 1=qy2(x;t)=(q(0;t)+x)2=qy2(0:t)+2qy1(0;t)x+qy0(0;t)x^ 0=α+3t+3t^α+(α+2t)x+x^α。在x=0处评估多项式重新生成基序列。R中简单的符号变化,R生成与Apple多项式相关联的A24827. -汤姆·科普兰1月23日2015

有关此数组的自然细化,请参见A263634. -汤姆·科普兰06月11日2015

狼人郎,3月13日2017:(开始)

{S(n,m)}{m>0 }的E.F.E(n,x)为S(n,m)=SuMy{{k=1…m } k^ n,n>=0,(未定义和等于0)为EXP(x)*r(n+1,x),其中指数行多项式r(n,x)=SuMu{{k=1…n} a(n,k)*x^ k/k!例如,例如n=2,A000 0330(Exp(x)*(1×x/1)!+ 3×x ^ 2/2!+ 2×x ^ 3/3!.

{(n,m)}{m>0 }的o.g.f. G(n,x)由拉普拉斯变换发现为G(n,1/p)=p*Suthi{{k=1,n} A(n+1,k)/(p-1)^(2+k)。

因此G(n,x)=x/(1 -x)^(n+1)*Suthi{{k=1…n}。A000 829(n,k)*x^(k-1)。

例如n=2:G(2, 1/p)=p*(1/(p-1)^ 2+3/(p-1)^ 3+2/(p-1)^ 4)=p^ 2 *(1+p)/(p-1)^ 4;因此g(2,x)=x*(1 +x)/(1-x)^ ^。

这也起作用:从O.G.F.到{S(n,m)}的E.F.{{M>=0 }。(结束)

A(n,k)是一组大小n的成对不相交和非空子集的k个元组的数目。道里安盖约特5月21日2019

链接

Seiichi Manyaman,a(n)n=1…10000的表

V. S. Abramovich自然数幂和,Kv蚁,第5(1973),22-25。(俄语)

P. Bala幂级数的Hadamard积的变形

Paul Barry序列变换流水线上的三个参数,阿西夫:1803.06408(数学,Co),2018。

H. Belbachir,M. Rahmani,B. Sury,二项式系数倒数矩的和J. Int. Seq。14(2011)×11 .6。

Hacene Belbachir和Mourad Rahmani二项式系数倒数的和《整数序列》,第15卷(2012),第122.8页。

F. Brenti和V. Welker重心细分的F向量,ARXIV:数学/0606356V1[数学,CO],数学。Z.,259(4),849- 865,2008。

Patibandla Chanakya,Putla Harsha,自然数幂的广义嵌套求和,阿西夫:1808.08699(数学,NT),2018。见表1。

T. Copeland发电机、反演和矩阵、二项式和积分变换

E. Delucchi、A. Pixton和L. Sabalka。细分单纯复形的面向量ARXIV:1002.3201v3[数学.CO],离散数学,第312卷,第2期,2012年1月,第248至257页。

杜尚,N. Hoang Nghia,A. Tanasa,基于选择/商原理的WorkHopf代数,Lotharingien de Combinatoire 68(2013),文章B68 C。

杜克先生,C. D. White,Web矩阵:结构性质与生成组合恒等式,阿西夫:1603.01589(数学,Co),2016。

Nick Early隐式叶片的蜂窝镶嵌和规范基,阿西夫:1810.03246(数学,Co),2018。

H. Hasse我是一个充满活力的人。[断线]

石美玛切线和割线的两个变量导数多项式族,呃J。20(1)(2013),P11。

A. Riskin和D. Beckwith问题10231阿梅尔。数学月,102(1995),175-176。

G. Rzadkowski再论伯努利数与孤子《非线性数学物理学报》,第17卷,第1, 2010期。

John K. Sikora用WordpZigy数三角形计算多项式生成序列的系数,阿西夫:1806.00887(数学,NT),2018。

G. J. Simmons一个组合锁族的组合问题数学。Mag.,37(1964),127~132(但有错误)。三角形在第129页。

斯隆,变换

Sam Vandervelde重新审视WordpZigy数阿梅尔。数学每月,125:3(2018),1982年-206年。

维基百科伯努利数.

维基百科Barycentric细分

David C. Wood多对数的计算(2014)。

公式

E.g.f.:-log(1-y*(Exp(x)- 1))。-瓦拉德塔约霍维奇9月28日2003

a(n,k)=s2(n,k)*(k-1)!其中S2(n,k)是第二类的斯特灵数(CF)。A000 827也A(n,k)=t(n,k)/k,其中t(n,k)=A019538.

与三角形(1, 0, 2,0, 3, 0,4, 0, 5,0, 6, 0,7,…)δ(1, 1, 2,2, 3, 3,4, 4, 5,5,…)基本相同的三角形,其中δ是定义在A084938但符号不同。

第n行项的和A000 0629(n)加里·W·亚当森5月30日2005

行生成多项式p(n,t)由p(1,t)=t,p(n+1,t)=t(t+1)(d/dt)p(n,t)给出n>=1(见参考文献RISKIN和BEKKY)。-埃米里埃德奇,八月09日2005

哥特弗里德赫尔姆斯,7月12日2006:(开始)

可以从H. Hasse对Zeta函数与伯努利数之间的连接的证明中读取Delta矩阵(参见下面的链接)。

设p=下三角矩阵,具有条目p [行,Cal]=二项式(行,CL)。

设J=单位矩阵的交变符号J[R,R]=(- 1)^ r。

设n(m)=n(m)(r)=(r+1)^ m,n(1)->自然数的列矩阵。

设V=VordelMund矩阵为V [r,c]=(r+1)^ c。

V为N(0)πn(1)n(2)n n(3)。(指数R,C总是在0开始)。

然后δ=p*j*v和b′=n(- 1)′δ,其中b是伯努利数的列矩阵,“意味着转置”,或者对于具有k的δ的适当的列的单个k次伯努利数Byk,

Byk=n(- 1)’*δ[*,k]=n(- 1)’*p*j*n(k)。

用单列代替V并假设无穷维,H. Hasse表明在x= n(- 1)*p*j*n(s)中,其中S可以是任意复数和s*zeta(1-s)=x。

他的定理是:S*zeta(1-s)=SuMu{{N>=0…INF}(n+1)^ 1×delta(n,s),其中δ(n,s)=SuMu{{=0…n}(-1)^ j*二项式(n,j)*(j+1)^ s。

(结束)

第k行(k>=1)包含i=1到k的一个(i,k),其中a(i,k)满足Suthi{{i=1…n} C(i,1)^ k=2*c(n+1, 2)*SuMi{{i=1…k} a(i,k)*c(n-1,i-1)/(i+1)。第3行包含1, 3, 2,因此SuMi{{=1…n} C(i,1)^ 3=2*C(n+1, 2)*[a(1, 3)/2 +a(2, 3)*c(n-1,1)/3 +a(3, 3)*c(n-1,γ)/y]=[(n+*)*n] * [α+(*)*c(n-1,α)+(α)*c(n-1,γ)] =(n^α+n)*(n-α+[c(n-1,y] + y]),=c(n+^)^ ^。例如A000 0537更多细节(1 ^ 3+2 ^ 3+3 ^ 3+4 ^ 3+5 ^ 3+…)-安德鲁·拉博西亚雷9月22日2003

a(n,k)=k*a(n-1,k)+(k-1)*a(n-1,k-1),具有a(n,1)=1和a(n,n)=(n-1)!-约翰内斯·梅杰6月18日2009

将Mejer-Read以上的重新表述:M为M(r,r)=m(r,r+1)=r,r>=1的两个对角线和其余零点的(n+1)x(n+1)双对角矩阵。三角形的行A(n+1,1)是m ^ n的行1。加里·W·亚当森6月24日2011

汤姆·科普兰,10月11日2011:(开始)

用E.F.a(x,t)=g[(t+1)x,- 1 /(t+1)] -1(从2008评论)=-1+1/[ 1 -(1 +t)(1-E^(-x))]=(1+t)x+(1+3t+2t^ 2)x^ 2/2!+,…x中的逆是

B(x,t)=log(t/(1+t)+1/((1+t)(1+x))=(1/(1+t))x-((1 +2t)/(1+t)2)x^ 2/2 +((1+3t+3t^ 2)/(1 +t)^)x^+…分子是行多项式。A07909,Rational索引Pascal triangle(省略初始常数)签名列的有理函数是A000 7318.

设H(x,t)=1(dB/dx)=(1+x)(1+t(1+x)),然后行多项式p(n,t)=(1/n!)(H(x,t)*d/dx)^ n x,在x=0,a=EXP(x*h(y,t)*d/dy)y,EVA。在y=0,dA/dx= h(a(x,t),t),p(1,t)=1+t(级数增加12月29日2015)(结束)

表示欧拉数A173018(n,k),然后t(n,k)=SuMu{{j=0…n} n,j> *二项式(N-J,N-K)。-彼得卢斯尼7月12日2013

矩阵乘积A000 7318*A131689A. 第n行多项式r(n,x)=SuMu{{K>=1 } k^(n-1)*(x/(1+x))^ k,对于开区间(x,1/2,INF)中的x是有效的。囊性纤维变性A038 719. r(n,1/2)=(- 1)^(n-1)*(2 ^ n-1)*伯努利(n)/n。彼得巴拉7月14日2014

A(n,k)=A141618(n,k)/c(n,k-1)。-汤姆·科普兰10月25日2014

对于行多项式,A024246(n,x)=(n,x)=A019538(n-1,x)*(1±x)。-汤姆·科普兰12月28日2015

A24827=A000 7318*(颠倒)A024246=A000 7318*A130850=A000 7318*A123125*A000 7318=A046802*A000 7318. -汤姆·科普兰11月14日2016

n次多项式r(n,x)=(1+x)o(1+x)o…O(1 +x)(n因子),其中O表示Dukes和White的黑钻石乘法算子。参见Bala链接中的示例E11。-彼得巴拉1月12日2018

道里安盖约特,5月21日2019:(开始)

SuMi{{i=0…k}二项式(k,i)*a(n,i)=(k+1)^ n。

SuMu{{K=0…n} A(n,k)=2 *A000 0670(n)。

(结束)

例子

三角形A(n,k)开始:

NK 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9

1:1

2:1、1

3:1、3、2

4:1、7、12、6

5:1、15、50、60、24

6:1、31、180、390、360、120

7:1、63、602、2100、3360、2520、720

8:1、127、1932、10206、25200、31920、20160 5040

9:1、255、6050、46620、166824、317520、332640 181440 40320

[重新格式化]狼人郎3月26日2015

--------------------------------

三角形的行5是{1,15,50,60,24},{1,15,25,10,1}倍{ 0!,1!,2!,3!,4!}。

弗拉迪米尔谢维列夫,12月22日2011:(开始)

此外,对于幂和,我们有

S0 0(n)=C(n,1);

Se1(n)=C(n,1)+c(n,2);

Se2(n)=C(n,1)+3×C(n,2)+2×c(n,3);

Se3(n)=C(n,1)+7×C(n,2)+12×c(n,3)+6×c(n,4);

Sy4(n)=C(n,1)+15×C(n,2)+50×c(n,3)+60×c(n,4)+24×c(n,5)等;

(结束)

对于x= [1,2,3],集合T是{{},{},{1,2}},{{},{1,3}},{{},{1,2,3}},{{},{1,2,},{1,2,3}},{{},{1,3},{1,2,3}},因此A(3,1)=1,A(3,2)=3,A(3,3)=2。-米迦勒索摩斯4月20日2013

枫树

A=(n,k)->加法((1)^(k i)*二项式(k,i)*i^ n,i=0…k)/k;

SEQ(打印(SEQ(a(n,k),k=1…n)),n=1…10);

=(n,k)->加法(EuleRiang1(n,j)*二项式(nj,n- k),j=0…n):

SEQ(打印(SEQ(t(n,k),k=0…n)),n=0…9);彼得卢斯尼7月12日2013

Mathematica

[n],k]=和[(1)^(k i)二项式[k,i] *i^ n,{i,0,k}] /k;平坦[表[a,n,k],{n,10 },{k,n}] ](*)让弗兰,五月02日2011 *)

黄体脂酮素

(PARI){t(n,k)=f(k<0)k>n,0,n!* PoCoFEF((x/log(1+x+x^ 2×O(x^ n)))^(n+1),n- k)n};/*米迦勒索摩斯,10月02日2002

(PARI){t(n,k)=斯特灵(n,k,2)*(k-1)!};格鲁贝尔5月31日2019

(圣人)

DEFA163626行(n):

var(′x)

a=

对于m的范围(0,n,1):

A.append((-x)^ m)

j的范围(m,0,- 1):

a[j- 1 ]=j*(a[j- 1 ] -a[j])

返回系数列表(A〔0〕,X)

因为我在(1。7):印刷A163626第(1)行彼得卢斯尼1月25日2012

(SAGE)[〔n(n,k)*阶乘(k-1),k(1…n)〕中n(1…10)〕格鲁贝尔5月30日2019

[岩浆] [ [斯特林第二(n,k)*阶乘(k-1):k在[1…n] ]:n在[ 1…10 ] ]中;格鲁贝尔5月30日2019

(GAP)平坦(列表(1…10),n->列表([1…n],k->斯特林2(n,k)*阶乘(k-1)))格鲁贝尔5月30日2019

交叉裁判

落下1柱A05340. 也见A000 827.

没有分母中的K(在定义中),我们得到A019538. 也见斯特灵数三角形A000 827.

囊性纤维变性。A0812127A070107A08108A08109A08110A08111A084938 A075 263.

行和给出A000 0629(n-1)n>=1。

A027A000 2445. -加里·W·亚当森,八月09日2008

出现在A161739(RSEG2三角形),A161742A161743. -约翰内斯·梅杰6月18日2009

二项式变换是A038 719. 囊性纤维变性。A05340A131689A.

囊性纤维变性。A000 7318A000 829A046802A07909A090582AA123125A130850A13527A141618A14527A163626A24827A263634.

语境中的顺序:A306226 A186370 A163626*A082038 A14774 A196842

相邻序列:A024243 A024244 A024245*A024247 A028 248 A028 249

关键词

诺恩容易塔布

作者

斯隆,Doug McKenzie(McKFAM4(AT)AOL .com)

扩展

Li Guo修正案,12月16日2006

链接中的键入约翰内斯·梅杰10月17日2009

标题修正错误约翰内斯·梅杰9月24日2010

被编辑哈斯勒10月29日2014

地位

经核准的

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