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| A087111号 |
| 此表显示了生成二项式系数C（n，7）的p次幂序列和所需的组合公式的系数。第p行（p>=1）包含i=1到7*p-6的（i，p），其中a（i，p）满足和{i=1..n}C（i+6,7）^p=8*C（n+7,8）*和{i=1..7*p-6}a（i、p）*C（n-1，i-1）/（i+7）。 |
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11
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1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 63, 1169, 10703, 58821, 214123, 545629, 1004307, 1356194, 1347318, 974862, 500346, 172788, 36036, 3432, 1, 511, 45633, 1589567, 29302889, 333924087, 2577462937, 14287393351, 59159005164, 188008120188
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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表项T（n，k）是用下降阶乘表示7次多项式C（x+7,7）^p时的系数：C（x%7,7）p=Sum_{k=0..7*p}T（p，k）*C（x，k）。由此得出Sum_{i=0..n-1}C（i+7,7）^p=Sum_{k=0..7*p}T（p，k）*C（n，k+1）。（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（i，p）=和{k=1..[2*i+1+（-1）^（i-1）]/4}[C（i-1，2*k-2）*C（i-2*k+8，i-2*k+1）^
以下备注假定行和列索引从0开始。
T（n，k）=和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i+7,7）^n。等价地，让v_n表示视为无限列向量的序列（1，8^n，36^n，120^n，…），其中1，8，36，120。。。是序列二项式（n+7,7）-参见A000580型然后，该表的第n行由矩阵乘积P^（-1）*v_n确定，其中P表示帕斯卡三角形A007318号。
递归：T（n+1，k）=Sum_{i=0..7}C（7，i）*C（k+7-i，7）*T（n，k-i），对于所有n，边界条件T（n）=1，对于k>7*n，T（n、k）=0。
第n行多项式R（n，x）=（1+x）^7o（1+x^7o。。。o（1+x）^7（n因子），其中o表示Dukes和White中定义的幂级数的黑钻石乘积。
R（n+1，x）=1/7*（1+x）^7*（d/dx）^7（x^7*R（n，x））。
R（n，x）=和{i>=0}二项式（i+7,7）^n*x^i/（1+x）^（i+1）。
（结束）
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例子
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第3行包含1,631169，。。。，3432，所以求和{i=1..n}C（i+6,7）^3=8*C（n+7,8）*[a（1,3）/8+a（2,3）*C（n-1,1）/9+a（3,3）*C（n-1,2）/10+…+a（15,3）*C（n-1.14）/22]=8*C。囊性纤维变性。A086030型了解更多详细信息。
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MAPLE公司
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seq（seq（加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i+7，7）^n，i=0..k），k=0..7*n），n=0..4）#彼得·巴拉，2018年3月11日
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数学
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a[i_，p_]：=和[二项式[i-1，2*k-2]*二项式[2-2*k+8，i-2*k+1]^；表[如果[p==1，1，a[i，p]]，{p，1，10}，{i，1，7*p-6}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2017年11月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（i，p）=和（k=1，（2*i+1+（-1）^（i-1））/4，二项式（i-1，2*k-2）*二项式；对于（p=1,8，对于（i=1,7*p-6，打印1（如果（p==1,1，a（i，p）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年11月23日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000292号,A024166号,A087127美元,A024166号,A085438号,A085439号,A085440号,A085441号,A085442号,A087107号,A000332号,A086020美元,A086021号,A086022号,A087108号,A000389号,A086023号,A086024号,A087109号,A000579美元,A086025号,A086026号,A087110号,A000580型,A086027号,A086028号,A027555号,A086029号,A086030型,A087127美元。
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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