搜索： 编号：a028246
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A028246号
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| 三角形数组a（n，k）=（1/k）*和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n；n>=1，1<=k<=n，按行读取。 |
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 7, 12, 6, 1, 15, 50, 60, 24, 1, 31, 180, 390, 360, 120, 1, 63, 602, 2100, 3360, 2520, 720, 1, 127, 1932, 10206, 25200, 31920, 20160, 5040, 1, 255, 6050, 46620, 166824, 317520, 332640, 181440, 40320, 1, 511, 18660, 204630, 1020600, 2739240, 4233600, 3780000, 1814400, 362880
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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设M=n X n矩阵，第（i，j）项为a（n+1-j，n+1-i），例如，如果n=3，M=[1 1 1；3 1 0；2 0 0]。给定序列s=[s（0）..s（n-1）]，设b=[b（0）.b（n-1。则s（k）=和{i=0..n-1}b（i）*二项式（k，i）=和}i=0..n-1}c（i）*k^i，k=0..n-1-加里·亚当森2001年11月11日
Julius Worpitzky的1883算法生成伯努利数。
举例来说[维基百科]：
B0=1；
B1=1/1-1/2；
B2=1/1-3/2+2/3；
B3=1/1-7/2+12/3-6/4；
B4=1/1-15/2+50/3-60/4+24/5；
B5=1/1-31/2+180/3-390/4+360/5-120/6；
B6=1/1-63/2+602/3-2100/4+3360/5-2520/6+720/7；
...
注意，在这个算法中，伯努利数的奇数n和为0，而不是1，B1的和=1/2=（1/1-1/2）。B3=0=（1-7/2+13/3-6/4）=0。B4的总和=-1/30。（结束）
根据Worpitzky的算法并给定M=A028246号作为无穷下三角矩阵，M*[1/1，-1/2，1/3，…]（即带交替符号的调和级数）=从[1/1，1/2，1/6，…]开始的伯努利数-加里·亚当森2012年3月22日
G（x，t）=1/（1+（1-exp（x*t））/t）=1+1 x+（2+t）*x^2/2！+（6+6t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A090582美元，永曲面的f多项式（参见A019538年).
G（x，t-1）=1+1*x+（1+t）*x^2/2！+（1+4t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A008292号，置换面体的h-多项式。
G[（t+1）x，-1/（t+1”）]=1+（1+t）x+（1+3t+2t^2）x^2/2！+。。。给出了当前三角形的行多项式。（结束）
Worpitzky三角形似乎是这个三角形的恰当名称-约翰内斯·梅耶尔2009年6月18日
如果帕斯卡三角形被写成下三角矩阵并乘以A028246号乘积是一个上三角矩阵，其中第（i，j）项是（i+1）^j。例如，
1,0,0,0 1,1,1, 1 1,1, 1, 1
1,1,0,0 * 0,1,3, 7 = 1,2, 4, 8
1,2,1,0 0,0,2,12 1,3, 9,27
1,3,3,1 0,0,0, 6 1,4,16,64
因此，从0开始对所有三个矩阵的行和列进行编号，乘积的（i，j）项为（i+1）^j.-Jack A.Cohen（ProfCohen，at）comcast.net），2010年8月3日
设S_n（m）=1^m+2^m+…+n^m。然后，对于n>=0，我们将S_n（m）表示为二项式系数的线性组合：
S_n（m）=和{i=1..n+1}a（i+n*（n+1）/2）*C（m，i）。例如，S_2（m）=a（4）*C（m，1）+a（5）*C-弗拉基米尔·谢维列夫2011年12月21日
给定集合X=[1.n]和1<=k<=n，则a（n，k）是X的子集S的大小为k的集合T的数目，使得S要么是空的，要么包含1和X的另一个元素，并且使得T的任何两个元素要么是可比的，要么是不相交的-迈克尔·索莫斯2013年4月20日
使用从-1开始的行和列索引，a（n，k）给出了标准n维单纯形第一次重心细分中的k维面数（应用Brenti和Welker，引理2.1）。例如，2-单纯形（三角形）的重心细分有1个空面、7个顶点、12条边和6个三角形面，将该三角形的第4行表示为（1,7,12,6）。囊性纤维变性。A053440号. -彼得·巴拉2014年7月14日
例如，g（x，t）=exp[P（.，t）x]=1/t-1/[t+（1-t）（1-e^（-xt^2））]=（1-t，*x+（-2t+3t^2-t^3）*x^2/2！+（6t^2-12t^3+7t^4-t^5）*x^3/3！+。。。对于第一个元素为空的移位、反向、有符号多项式，由无穷小生成器g（u，t）d/du=[（1-u*t）（1-（1+u）t）]d/du生成，即exp[x*g（u、t）d/du]ueval。在u＝0时，生成多项式。请参见A019538年下面的G.Rzadkowski链接用于连接伯努利数和欧拉数、Ricatti微分方程和KdV方程的孤子解。这个例子的x中的倒数是Ginv（x，t）=（-1/t^2）*log{[1-t（1+x）]/[（1-t）（1-tx）]}=[1/（1-t。分子有符号，移位A135278号（反转A074909号)，而有理函数是A074909号此外，dG（x，t）/dx=g（g（x、t），t）（参见。A145271号). （增加了分析G（x，t），Ginv于2015年12月28日进行了更正和扩展。）-汤姆·科普兰2014年11月21日
算符R=x+（1+t）+te^{-D}/[1+t（1-e^（-D））]=x+“1+t”+t-（t+t^2）D+（t+3t^2+2t^3）D^2/2！-。。。包含当前三角形的逆行多项式的例如f。，A123125号*A007318号（行和列偏移量分别为1和1）。Umbrally，R^n1=q_n（x；t）=（q.（0；t）+x）^n，其中q_m（0；t）=（t+1）^（m+1）-t^（m+1）A074909号，且D=D/dx。换句话说，R生成与基序列相关联的Appell多项式A074909号例如，R 1=q_1（x；t）=（q（0；t）+x）=q_1（0；t）+q__0（0；吨）x=（1+2t）+x，并且R ^ 2 1=q_2（x；t）=（q。在x=0时计算多项式会重新生成基序列。通过R中的简单符号更改，R生成与A248727号. -汤姆·科普兰2015年1月23日
{S（n，m）}_{m>=0}与S（n、m）=Sum_{k=1..m}k^n，n>=0，（未定义和置为0）的例子f.e（n，x）是exp（x）*R（n+1，x）与指数行多项式R（n，x）=Sum（k）=1..n}a（n，k）*x^k/k！。例如，对于n=2，A000330号：exp（x）*（1*x/1！+3*x^2/2！+2*x^3/3！）。
然后通过拉普拉斯变换发现{S（n，m）}{m>=0}的o.g.f.g（n，x）是g（n、1/p）=p*Sum{k=1..n}a（n+1，k）/（p-1）^（2+k）。
因此G（n，x）=x/（1-x）^（n+2）*Sum_{k=1..n}A008292号（n，k）*x^（k-1）。
例如，n=2:g（2，1/p）=p*（1/（p-1）^2+3/（p-1；因此G（2，x）=x*（1+x）/（1-x）^4。
这也是反向的：从o.g.f.到{S（n，m）}_{m>=0}的e.g.f。（结束）
a（n，k）是一组大小为n的成对不相交非空子集的k元组数-多里安·古约2019年5月21日
a（n-1，k）是部分有序集中长度为k的链的数目，该部分有序集由通过包含排序的n元集的子集构成，使得链的第一项是空集或n元集。
此外，a（n-1，k）是通过集包含排序的n集的不同k级根模糊子集的数目。（结束）
T（n，k）是（n-1）-集上部分变换半群中秩为（k-1）的D类中格林L类的大小-杰弗里·克雷策2023年1月9日
T（n，k）是[n]上具有周期k的强连接二元关系的数目(A367948型)和索引1。参见Ki Hang Kim参考中的定理5.4.25（6）-杰弗里·克雷策2023年12月7日
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参考文献
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Ki Hang Kim，布尔矩阵理论与应用，Marcel Dekker，纽约和巴塞尔（1982）。
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链接
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V.S.Abramovich，自然数的幂和，Kvant，第5期（1973年），22-25。（俄语）
H.Belbachir、M.Rahmani和B.Sury，二项式系数倒数的矩和，J.国际顺序。14 (2011) #11.6.6.
Hacene Belbachir和Mourad Rahmani，二项式系数倒数的交替和《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.2.8号。
F.Brenti和V.Welker，重心细分的f向量，arXiv:math/0606356v1[math.CO]，数学。兹，259（4），849-8652008。
巴蒂班德拉·查纳克亚和普特拉·哈沙，自然数幂的广义嵌套求和，arXiv:1808.08699[math.NT]，2018年。见表1。
E.Delucchi、A.Pixton和L.Sabarka。细分单形复形的面向量arXiv:1002.3201v3[math.CO]，《离散数学》，第312卷，第2期，2012年1月，第248-257页。
G.H.E Duchamp、N.Hoang-Nghia和A.Tanasa，基于选择/商原理的单词Hopf代数，arXiv:1207.6522[math.CO]，2012-2013年；Séminaire Lotharingien de Combinatoire 68（2013），第B68c条。
盖·卢查德（Guy Louchard）、沃纳·沙钦格（Werner Schachinger）和马克·丹尼尔·沃德（Mark Daniel Ward），几何分布词中不同相邻对的数量：概率和组合分析，arXiv:2203.14773[math.PR]，2022。见第5页。
Rajesh Kumar Mohapatra和Tzung-Pei Hong，整数序列分析中有限模糊子集的个数《数学》（2022）第10卷，第7期，第1161页。
A.Riskin和D.Beckwith，问题10231阿默尔。数学。月刊，102（1995），175-176。
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配方奶粉
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a（n，k）=S2（n，k）*（k-1）！其中S2（n，k）是第二类斯特林数（参见。A008277号). 同时a（n，k）=T（n，k）/k，其中T（n、k）=A019538年.
本质上与三角形[1，0，2，0，3，0，4，0，5，0，6，0，7，…]DELTA[1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，…]相同的三角形，其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号，但符号不同。
对于n>=1，行生成多项式P（n，t）由P（1，t）=t，P（n+1，t）=t（t+1）（d/dt）P（n、t）给出（参见Riskin和Beckwith参考文献）-Emeric Deutsch公司2005年8月9日
可以从H.Hasse关于zeta函数和Bernoulli数之间关系的证明中读取到的Delta矩阵（参见下面的链接）。
设P=具有条目的下三角矩阵P[行，列]=二项式（行，列）。
设J=带交替符号的单位矩阵J[r，r]=（-1）^r。
设N（m）=列矩阵，N（m，r）=（r+1）^m，N（1）-->自然数。
设V=Vandermonde矩阵，其中V[r，c]=（r+1）^c。
V也是N（0）||N（1）||M（2）||L（3）。。。（指数r、c总是从0开始）。
然后，Delta=P*J*V和B'=N（-1）'*Delta，其中B是伯努利数的列矩阵，'表示转置，或者对于单个第k个伯努利数B_k和适当的Delta列，
B_k=N（-1）'*增量[*，k]=N（-1-）'*P*J*N（k）。
H.Hasse使用单柱代替V并假设无限维，结果表明，在x=N（-1）*P*J*N（s）中，s可以是任何复数，s*zeta（1-s）=x。
他的定理是：s*zeta（1-s）=Sum_{n>=0..inf}（n+1）^-1*delta（n，s），其中delta（n，s）=Sum_{j=0..n}（-1）^j*二项式（n，j）*（j+1）^s。
（结束）
a（n，k）=k*a（n-1，k）+（k-1）*a-约翰内斯·梅耶尔2009年6月18日
重新表述上述Meijer递推：设M是在两条对角线和其余零中M（r，r）=M（r、r+1）=r，r>=1的（n+1）X（n+1”）双对角矩阵。三角形的行a（n+1，.）是M^n的行1-加里·亚当森2011年6月24日
例如，A（x，t）=g[（t+1）x，-1/（t+1。。。，公司。x中的倒数是
B（x，t）=-对数（t/（1+t）+1/（1+t）（1+x））=（1/（1+t））x-（1+2t）/（1+t）^2）x^2/2+（（1+3t+3t^2）/（1+t）^3）x^3/3+。。。。分子是的行多项式A074909号，有理函数是re-index Pascal三角形的有符号列（省略初始常数）A007318号.
设h（x，t）=1/（dB/dx）=（1+x）（1+t（1+x）），则行多项式P（n，t）=（1/n！）。当y=0，dA/dx=h（A（x，t），t）时，P（1，t）=1+t。（系列于2015年12月29日添加）（结束）
设<n，k>表示欧拉数A173018型（n，k），则T（n，k）=和{j=0..n}<n，j>*二项式（n-j，n-k）-彼得·卢什尼2013年7月12日
矩阵乘积A007318号*A131689型.第n行多项式R（n，x）=和{k>=1}k^（n-1）*（x/（1+x））^k，对开区间（-1/2，inf）中的x有效。囊性纤维变性A038719号.R（n，-1/2）=（-1）^（n-1）*（2^n-1）*Bernoulli（n）/n-彼得·巴拉2014年7月14日
第n行多项式R（n，x）=（1+x）o（1+x）o。。。o（1+x）（n个因子），其中o表示Dukes和White的黑钻石乘法运算符。请参阅Bala链路中的示例E11-彼得·巴拉2018年1月12日
Sum_{i=0..k}二项式（k，i）*a（n，i）=（k+1）^n。
（结束）
行生成多项式R（n，x）=Sum{i=1..n}a（n，i）*x^i满足初值R（1，x）=x的n>=1的递归方程R（n+1，x）+Sum{k=0.n-1}二项式（n-1，k）*R（k+1，x-沃纳·舒尔特，2021年6月17日
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例子
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三角形a（n，k）开始于：
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1: 1
2: 1 1
3: 1 3 2
4：1 7 12 6
5: 1 15 50 60 24
6: 1 31 180 390 360 120
7: 1 63 602 2100 3360 2520 720
8: 1 127 1932 10206 25200 31920 20160 5040
9: 1 255 6050 46620 166824 317520 332640 181440 40320
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三角形的第5行是{1,15,50,60,24}，即{1,15,15,10,1}乘以{0！，1！，2！，3！，4！}。
此外，对于幂和，我们有
S_0（n）=C（n，1）；
S_1（n）=C（n，1）+C（n、2）；
S_2（n）=C（n，1）+3*C（n、2）+2*C（n,3）；
S_3（n）=C（n，1）+7*C；
S_4（n）=C（n，1）+15*C；等。
（结束）
对于X=[1,2,3]，集合T是{{}}、{{}、}、1,2}}，{{}、{1,3}}和{}，1,2,3}-迈克尔·索莫斯2013年4月20日
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MAPLE公司
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a:=（n，k）->加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n，i=0..k）/k；
seq（打印（seq（a（n，k），k=1..n）），n=1..10）；
T:=（n，k）->加（eulerin1（n，j）*二项式（n-j，n-k），j=0..n）：
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..n）），n=0..9）#彼得·卢什尼2013年7月12日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>n，0，n！*polceoff（（x/log（1+x+x^2*O（x^n）））^（n+1），n-k））}/*迈克尔·索莫斯2002年10月2日*/
（PARI）{T（n，k）=斯特林（n，k，2）*（k-1）！}\\G.C.格鲁贝尔2019年5月31日
（鼠尾草）
x=多基因（ZZ，‘x’）
A=[]
对于范围（0，n，1）中的m：
A.附加（（-x）^m）
对于范围（m，0，-1）内的j：
A[j-1]=j*（A[j-1-A[j]）
返回列表（A[0]）
（Sage）[[stirling_number2（n，k）*factorial（k-1）for k in（1..n）]for n in（1..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年5月30日
（岩浆）[[StirlingSecond（n，k）*阶乘（k-1）：k in[1..n]]：n in[1..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年5月30日
（GAP）平面（列表（[1..10]，n->列表（[1.n]，k->斯特林2（n，k）*阶乘（k-1）））#G.C.格鲁贝尔2019年5月30日
（Python）#假设偏移量（n，k）=（0，0）。
定义T（n，k）：
如果k>n：返回0
如果k==0：返回1
返回k*T（n-1，k-1）+（k+1）*T（n-1，k）
对于范围（9）中的n：
打印（[T（n，k）表示范围（n+1）中的k）]#彼得·卢什尼，2022年4月26日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007318号,A008292号,A046802美元,A074909号,A090582号,A123125号,A130850型,A135278号,A141618号,A145271号,A163626号,A248727号,A263634型.
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关键词
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作者
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扩展
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李果于2006年12月16日更正了定义
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