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| A087107号 |
| 此表显示了生成四面体数的p次幂序列和所需的组合公式的系数。第p行（p>=1）包含i＝1到3*p-2的a（i，p），其中a（i，p）满足Sum_{i＝1..n}C（i+2,3）^p=4*C（n+3,4）*Sum_{i＝1..3*p-2}a（i，p）*C（n-1，i-1）/（i+3）。 |
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1, 1, 3, 3, 1, 1, 15, 69, 147, 162, 90, 20, 1, 63, 873, 5191, 16620, 31560, 36750, 25830, 10080, 1680, 1, 255, 9489, 130767, 919602, 3832650, 10238000, 18244380, 21990360, 17745000, 9198000, 2772000, 369600, 1, 1023, 97953, 2903071, 40317780
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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让s_n表示序列（1，4^n，10^n，20^n，…）作为无限列向量，其中1，4，10，20。。。是四面体数的序列A000292号。该表的第n行似乎由矩阵乘积P^（-1）s_n决定，其中P表示帕斯卡三角形A007318号. -彼得·巴拉2017年11月26日
上述观察结果是正确的。
表项T（n，k）是用下降阶乘表示3*p次多项式C（x+3,3）^p时的系数：C（x=3,3）p=Sum_{k=0..3*p}T（p，k）*C（x，k）。因此，求和{i=0..n-1}C（i+3,3）^p=求和{k=0..3*p}T（p，k）*C（n，k+1）。
四面体数的p次幂之和也由和{i=0..n-1}C（i+3,3）^p=和{k=3..3*p}给出A299041型当p>=1时，（p，k）*C（n+3，k+1）。（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（i，p）=和{k=1..[2*i+1+（-1）^（i-1）]/4}[C（i-1,2*k-2）*C（i-2*k+4，i-2*k+1）^。
表项的推测公式：T（n，k）=和{j=0..k}（-1）^（k+j）*二项式（k，j）*二项式（j+3,3）^n。
推测，第n行多项式R（n，x）=1/（1+x）*Sum_{i>=0}二项式（i+3,3）^n*（x/（1+x））^n。（完）
上述推测是正确的。
以下备注假定行和列索引从0开始。
T（n+1，k）=C（k+3,3）*T（n，k）+3*C（k+2,3）*1（n，k-1）+3*C。
求和{k=0..3*n}T（n，k）*二项（x，k）=（二项（x+3,3））^n。
R（n+1，x）=1/3*（1+x）^3*（d/dx）^3（x^3*R（n，x））。
R（n，x）=（1+x）^3 o（1+x）^3 o。。。o（1+x）^3（n因子），其中o表示Dukes和White中定义的幂级数的黑钻石乘积。注意多项式x^3o。。。o x ^3（n因子）是的第n行多项式A299041型.（结束）
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例子
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第3行包含1,15,69147162,90,20，因此求和{i=1..n}C（i+2,3）^3=4*C（n+3,4）*[a（1,3）/4+a（2,3）*C（n-1,1）/5+a（3,3）*C（n-1,2）/6+…+a（7,3）*C（n-1.6）/10]=4*C+162*C（n-1,4）/8+90*C（-1,5）/9+20*C（1-1,6）/10]。囊性纤维变性。A086021号了解更多详细信息。
表格开始
n=0 |1
n=1 | 1 3 3 1
n=2|1 15 69 147 162 90 20
n=3 | 1 63 873 5191 16620 31560 36750 25830 10080 1680
...
第2行：C（i+3，3）^2=C（i，0）+15*C（i、1）+69*C（i，2）+147*C（ii，3）+162*C。因此，求和{i=0..n-1}C（i+3,3）^2=C（n，1）+15*C（n、2）+69*C（n，3）+147*C（m，4）+162*C（k，5）+90*C（w，6）+20*C（ns，7）。（结束）
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MAPLE公司
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seq（seq（加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*二项式（i+3，3）^n，i=0..k），k=0..3*n），n=0..8）#彼得·巴拉2018年3月11日
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数学
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a[i_，p_]：=和[二项式[i-1，2*k-2]*二项式[2-2*k+4，i-2*k+1]^；表[If[p==1，1，a[i，p]]，{p，1，10}，{i，1，3*p-2}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2017年11月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（i，p）=和（k=1，（2*i+1+（-1）^（i-1））/4，二项式（i-1，2*k-2）*二项式；对于（p=1,8，对于（i=1,3*p-2，打印1（如果（p==1,1，a（i，p）），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年11月23日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000292号,A024166号,A087127号,A024166号,A085438号,A085439号,A085440号,A085441号,A085442号,A000332号,A086020号,A086021型,A086022号,A087108号,A000389号,A086023号,A086024号,A087109号,A000579号,A086025号,A086026号,A087110号,A000580型,A086027号,A086028号,A087111号,A027555号,A086029号,A086030型.
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关键词
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容易的,非n,标签
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作者
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