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| A090582号 |
| T（n，k）=和{j=0..n-k}（-1）^j*二项式（n-k+1，j）*（n-k+1-j）^n。行读取的三角形，T（n、k）表示1<=k<=n。 |
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20
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1, 2, 1, 6, 6, 1, 24, 36, 14, 1, 120, 240, 150, 30, 1, 720, 1800, 1560, 540, 62, 1, 5040, 15120, 16800, 8400, 1806, 126, 1, 40320, 141120, 191520, 126000, 40824, 5796, 254, 1, 362880, 1451520, 2328480, 1905120, 834120, 186480, 18150, 510, 1, 3628800, 16329600, 30240000, 29635200, 16435440, 5103000, 818520, 55980, 1022, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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设Q（m，n）=Sum_（k=0..n-1）（-1）^k*二项式（n，k）*（n-k）^m。然后，Q（m、n）是如果m>=n张卡片是从n张卡片的一副卡片中替换绘制出来的，则每张卡片至少看到一次的概率P（m，n）=Q（m）/n^m的分子，该概率由反对角线读取的二维数组表示，Q（m，m）作为第一行，Q（m,1）作为第一列。
序列以矩阵形式给出，第一行包含案例#draws=size_of_deck。第二行包含#draws=1+size_of_deck。如果“mn”表示从包含n张牌的牌组中抽出m张牌，则矩阵中的位置为：
11 22 33 44 55 66 77 ...
21 32 43 54 65 76 87 ...
31 42 53 64 75 86 97 ...
41 52 63 74 85 .. .. ...
反对偶阅读->：
11, 22, 21, 33, 32, 31, 44, 43, 42, 41, 55, 54, 53, 52, ....
概率由Q（m，n）/n^m给出：
.（m，n）：。。。。。11..22..21..33..32..31..44..43..42..41...55...54..53..52..51
…..问：。。。。。。1...2...1...6...6...1..24..36..14...1..120..240.150..30...1
…n ^m：。。。。。。1...4...1..27...8...1.256..81..16...1.3125.1024.243..32...1
%.成功：.100..50.100..22..75.100…9..44..88.100…4…23..62..94.100
P（n，n）=n/n^n可以近似为sqrt（Pi*（2n+1/3））/e^n（Gosper近似为n！）。
设P[n]是所有n-置换的集合。建立由n个排列组成的P[n]的超集Q[n]，其中指定了一些（可能全部或全部）上升。排列[1]s[2]中的上升。。。s[n]是一对连续的元素s[i]，s[i+1]，使得s[i]<s[i+1]。作为行读取的三角形数组，T（n，k）是Q[n]中具有k个可分辨上升的元素数，n>=1，0<=k<=n-1。行总和为A000670美元例如，f.为y/（1+y-exp（y*x））。例如，T（3,1）=6，因为一次上升有四个3项，因此我们还可以计算1->23和12->3，其中一次上升由“->”指定。（继弗拉乔莱特和塞奇威克之后。）-杰弗里·克雷策2012年11月13日
求和_（k=1..n）Q（n，k）*二项式（x，k）=x^n，这样求和_{k=1..n}Q（n、i）*二项式（x+1，i+1）=Sum_{k=1.x}k^n-大卫·A·科内斯2014年2月17日
有关复曲面变种和欧拉多项式的连接（除以下所述外），请参见中的Dolgachev和Lunts以及Stembridge链接A019538年. -汤姆·科普兰2015年12月31日
来自Hasan、Franco和Hasan的论文：m=1,2,3,4的m-置换自面体是线段、六边形、截断八面体和全截五单元。前三个是众所周知的研究椭圆模型，膜贴片和膜砖模型。m+1环面可以由单个（m+2）-置换面体平铺。还讨论了复曲面Calabi-Yau-Kahler流形的关系-汤姆·科普兰2020年5月14日
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链接
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Kevin Buhr、Michael Press和DMB，在街上收集一副卡片。NG sci.mah中的螺纹。
何塞·L·塞雷塞达，计算整数的幂和和，arXiv:2001.03208[math.NT]，2020年。见第5页三角形表1。
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学2009年，第209页。
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配方奶粉
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T（n，k）=（n-k+1）*Stirling2（n，n-k+1），由第二类Stirling数乘以阶乘生成维克托·阿达姆奇克，2005年10月5日
三角形T（n，k），1<=k<=n，由[1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，…]DELTA[[0，1、0，2，0，3，0，4，0，5，0，6，0，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2006年11月10日
G（x，t）=1/（1+（1-exp（x*t））/t）=1+1*x+（2+t）*x^2/2！+（6+6*t+t^2）*x^3/3！+。。。给出的行多项式A090582号，置换多面体的f多项式（参见A019538年).
G（x，t-1）=1+1*x+（1+t）*x^2/2！+（1+4*t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A008292号，全自面体的h-多项式。
G[（t+1）x，-1/（t+1”）]=1+（1+t）*x+（1+3*t+2*t^2）*x^2/2！+。。。给出的行多项式A028246号.（结束）
例如，当f.A（x，t）=g（x，t）-1时，x中的成分逆式为
B（x，t）=log（（t+1）-t/（1+x））/t。设h（x，t）=1/（dB/dx）=（1+x）*（1+（1+t）x），则行多项式P（n，t）由（1/n！）*（h（x）*d/dx）^n x给出，在x=0时计算，A=exp（x*h（y，t）*d/dy）y，eval。当y=0，dA/dx=h（A（x，t），t）时。（结束）
k≤0或k＞n产生Q（n，k）=0；Q（1,1）=1；Q（n，k）=k*（Q（n-1，k）+Q（n-1，k-1））-大卫·A·科内斯2014年2月17日
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例子
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对于m=4，n=2，我们从一副两张牌中抽取4次。把卡片称为“a”和“b”——在16种可能的抽奖组合中（每种抽奖组合发生的可能性都相同），只有两种不同时包含a和b：a，a，a和b，b，b。因此，同时看到a和b的概率是14/16。因此Q（m，n）=14。
表格开始：
[1] 1;
[2] 2, 1;
[3] 6、6、1；
[4] 24, 36, 14, 1;
[5] 120, 240, 150, 30, 1;
[6] 720, 1800, 1560, 540, 62, 1;
[7] 5040, 15120, 16800, 8400, 1806, 126, 1;
[8] 40320, 141120, 191520, 126000, 40824, 5796, 254, 1;
[9] 362880, 1451520, 2328480, 1905120, 834120, 186480, 18150, 510, 1.
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->加（（-1）^j*二项式（n-k+1，j）*（n-k+1-j）^n，j=0..n-k）：
#或者：
T:=（n，k）->（n-k+1）*箍筋2（n，n-k+1）：
对于从1到9的n，做序列（T（n，k），k=1..n）od#彼得·卢什尼2021年5月21日
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数学
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在[1]中：=表[表[k！StirlingS2[n，k]，{k，n，1，-1}]，{n，1,6}]（*Victor Adamchik，2005年10月5日*）
nn=6；a=y/（1+y-Exp[y-x]）；范围[0，nn]！系数列表[系列[a，{x，0，nn}]，{x、y}]//网格(*杰弗里·克雷策2012年11月10日*）
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黄体脂酮素
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在Pfoertner链接上给出的FORTRAN程序。
（哈斯克尔）
a090582 n k=a090582_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a090582_row n=a090582 _ tabl！！（n-1）
a090582_tabl=地图背面a019538_tabl
（PARI）a（n）={m=ceil（（-1+sqrt（1+8*n））/2）；k=m+1+二项式（m，2）-n；k*总和（i=1，k，（-1）^（i+k）*i^（m-1）*二项式\\大卫·A·科内斯2014年2月17日
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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