搜索： a001047-编号：a001047
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A109325号
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| a=3，b=2:Zs（n，3，2）是3^n-2^n的最大除数(A001047号)对于所有正整数m<n，它是3^m-2^m的相对素数。 |
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+20
5
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1, 5, 19, 13, 211, 7, 2059, 97, 1009, 11, 175099, 61, 1586131, 463, 3571, 6817, 129009091, 577, 1161737179, 4621, 267331, 35839, 94134790219, 5521, 4015426801, 320503, 397760329, 369181, 68629840493971, 7471, 617671248800299, 43112257
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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全因式分解是乘法的；也就是说，因子的构成是由n的初始因子决定的。
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配方奶粉
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例子
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设n为7；那么g（n）：=3^n-2^n的因式分解就是g（7）=A（7）=2059，因为n是素数；设n是3，那么g（3）=A（3）=19的因式分解，因为n是素数；设n为21，则因子分解为g（21）=A（3）*A（7）*A；无论n是复合的还是非复合的，每个n（至少）除了由n的素因子决定的因子之外，还会出现一个新因子，因此它不是纯乘法的。
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MAPLE公司
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f： =程序（a，M）局部n，b，d，t1，t2；
b： =[]；
对于从1到M的n do
t1:=除数（n）；
t2:=mul（a[d]^mobius（n/d），t1中的d）；
b： =[op（b），t2]；
od；
b；
结束；a： =[seq（3^n-2^n，n=1..50）]；
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非n
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经核准的
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1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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数学
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nmax=200；系数列表[系列[产品[1+x^（3^k-2^k），｛k，1，楼层[Log[nmax]/Log[2]]+1｝]，｛x，0，nmax｝]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月24日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a241759=p$tail a001047_list，其中
p _ 0=1
p（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks（m-k）+p ks m
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 18, 18, 19, 20, 21, 21, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 31, 33, 33, 34, 35, 36, 38, 38
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,6
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配方奶粉
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G.f.：产品{k>=1}1/（1-x^（3^k-2^k））-伊利亚·古特科夫斯基2017年1月23日
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例子
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a（18）=#{5+5+1+1+1，5+5+8x1，5+13x1，18x1}=4；
a（19）={19，5+5+5+1+1，5+5+9x1，5+14x1，19x1}=5；
a（20）={19+1，5+5+5+5,5+5+5x1，5+5+10x1，5+15x1，20x1}=6；
a（21）={19+1+1，5+5+5+1，5/5+5+6x1，5+5+11x1，5%16x1，21x1}=6。
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数学
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nmax=100；系数列表[系列[积[1/（1-x^（3^k-2^k）），{k，1，楼层[Log[nmax]/Log[2]]+1}]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年1月24日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a241766=p$tail a001047_list，其中
p _ 0=1
p ks'@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m
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交叉参考
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非n
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2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 67, 68, 69, 72, 73, 74, 75, 76, 77
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a241783 n=a241783_列表！！（n-1）
a241783_list=过滤器（（==0）。a241759）[0..]
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非n
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经核准的
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5, 19, 13, 211, 7, 29, 71, 97, 1009, 11, 23, 331, 61, 53, 29927, 463, 3571, 17, 401, 129009091, 577, 1559, 745181, 4621, 43, 6217, 35839, 47, 2002867877, 5521, 101, 39756701, 79, 4057, 397760329, 369181, 68629840493971, 31, 241, 617671248800299, 3041, 14177
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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格雷厄姆·埃弗勒斯（Graham Everest）、肖恩·史蒂文斯（Shaun Stevens）、邓肯·塔姆塞特（Duncan Tamsett）和汤姆·沃德（Tom Ward），递归序列生成的素数阿默尔。数学。月刊，114（2007年第5期），417-431。
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非n
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4、18、14、64、60、46、210、206、192、146、664、660、646、600、454、2058、2054、2040、1994、1848、1394、6304、6300、6286、6240、6094、5640、4246、19170、19166、19152、19106、18960、18506、17112、12866、58024、58020、58006、57960、57814
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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a（1）=s（2）-s（1）=（3^2-2^2）-（3^1-2^1）=4
a（2）=s（3）-s（1）=19-1=18
a（3）=s（3）-s（2）=19-5=14
a（4）=s（4）-s（1）=65-1=64
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非n
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经核准的
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1, 2, 5, 4, 10, 19, 8, 20, 38, 65, 16, 40, 76, 130, 211, 32, 80, 152, 260, 422, 665, 64, 160, 304, 520, 844, 1330, 2059, 128, 320, 608, 1040, 1688, 2660, 4118, 6305, 256, 640, 1216, 2080, 3376, 5320, 8236, 12610, 19171
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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行总和为A066810号（偏移量2）：（1、7、33、131、473、1611…）
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=2^n*（3*（3/2）^k-2）-阿洛伊斯·海因茨2023年12月20日
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例子
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序列的开头是由行读取的三角形：
1;
2, 5;
4, 10, 19;
8, 20, 38, 65;
16, 40, 76, 130, 211;
32, 80, 152, 260, 422, 665;
...
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数学
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T[n_，k_]：=总和[3^j*2^（n-j），{j，0，k}]；扁平[表[T[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n}]](*Detlef Meya酒店2023年12月20日*）
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交叉参考
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经核准的
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0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295, 8589934591
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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这是q=2时的高斯二项式系数[n，1]。
S_n上秩-1拟阵的个数。
还有贝纳雷斯神庙问题的解决方案（移动次数最少），即三个具有n个圆盘的金刚石针，通过减小第一个针的尺寸来排序，以相同的顺序放置在第三个针上，一次不移动一个以上的圆盘，也不将一个圆盘放置在较小圆盘的顶部Xavier Acloque，2003年10月18日
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=最小值，使得a（n，a（m）==0（mod（n-m+1）），对于所有m-阿玛纳斯·穆尔西2003年10月23日
[1，1/2，1/3，…]=[1/1，3/2，7/3，…]的二项式变换；（2^n-1）/n，n=1,2,3-加里·亚当森2005年4月28日
二进制表示为111…1的数字。例如，第7项为（2^7）-1=127=1111111（以2为基数）-亚历山大·瓦恩伯格2005年6月8日
对于n>=2，a（n）是非2次幂的最小斐波那契n阶数-里克·L·谢泼德2007年11月19日
设P（A）是n元素集A的幂集。则A（n+1）=P（A）的元素对{x，y}的数量，其中x和y不相交，并且x是y的子集或y是x的子集-罗斯·拉海耶2008年1月10日
2^n-1是深度n的帕斯卡三角形中元素的总和。-布莱恩·刘易斯（bsl04（AT）uark.edu），2008年2月26日
从偏移量1开始=Jacobsthal序列，A001045号，（1，1，3，5，11，21，…）与（1，2，2，…）卷积-加里·亚当森2009年5月23日
如果n是偶数a（n）mod 3=0。这来自同余2^（2k）-1~2*2**2 - 1 ~ 4*4*...*4 - 1 ~ 1*1*...*1-1~0（mod 3）。（请注意，2*2*…*2有偶数个术语。）-华盛顿·邦菲姆2009年10月31日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=2，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年1月26日
这是G.Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0,1；1,2；2）=A（0,1；3，-2；0），在下面给出的W.Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
a（n）=S（n+1，2），第二类斯特林数。请参见下面的示例-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
帕斯卡三角形中a（n）行的条目都是奇数，而a（n。。。，奇怪。
将条形运算定义为对有符号排列的操作，该操作翻转每个条目的符号。那么a（n+1）是长度为2n的有符号置换的数量，它等于它们的反向补足的条，并且避免了模式集{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。（参见Hardt和Troyka参考。）-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月13日
a（n）是数字k，使得映射k->（3k+1）/2==1（mod 2）直到达到（3k+1/2==0（mod 2中）为止的迭代次数等于n（参见Collatz问题）-米歇尔·拉格诺2012年1月18日
对于整数a，b，用a<+>b表示，最小c>=a，使得Hd（a，c）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。则a（n+1）=a（n）<+>1。因此，这个序列是非负整数的汉明类比-弗拉基米尔·谢维列夫2012年2月13日
皮萨诺周期长度：1、1、2、1、4、2、3、1、6、4、10、2、12、3、4、1、8、6、18、4。。。显然地A007733号. -R.J.马塔尔2012年8月10日
从n开始。每个n生成一个子列表{n-1，n-2，…，1}。每个子列表的每个元素也会生成一个子列表。取所有的总和。例如，3->{2,1}和2->{1}，因此a（3）=3+2+1=7-乔恩·佩里2012年9月2日
这是卢卡斯U（P=3，Q=2）序列-R.J.马塔尔2012年10月24日
梅森数>=7都是巴西数，以二为基数。参见链接中的命题1和5.2：“Les nombres brésiliens”-伯纳德·肖特2012年12月26日
H树中第n阶段之后的线段数-奥马尔·波尔2013年2月16日
a（n）是2的最高幂，因此2^a（n）除以（2^n）-伊万·伊纳基耶夫2013年8月17日
在计算机编程中，这些是唯一的无符号数字，例如k&（k+1）=0，其中&是按位AND运算符，数字用二进制表示-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月29日
青蛙问题中交换n只青蛙所需的最少移动次数（例如，参见下面的NRICH1246链接或Britton链接）-N.J.A.斯隆2014年1月4日
a（n）！==4（第5版）；a（n）！==10（11年款）；a（n）！==2、4、5、6（第7版）-卡米娜·苏里亚诺2014年4月6日
在0之后，由整数（1，2，3，4，…）的部分和组成的数组的反对角线和-卢西亚诺·安科拉2015年4月24日
a（n+1）等于长度为n的三元字的数量，避免了01,02-米兰Janjic2015年12月16日
对于偏移量0和另一个初始值0，0，1，3，7，15，…的第n项。。。是序数n的完全扩展von Neumann定义中所需的逗号数。例如，4:={0，1，2，3}:={{}，{}}，}}。此外，对于n>0，a（n）是序数n-1的完全展开的冯·诺依曼定义中所需的符号总数，其中总是使用单个符号（像往常一样）来表示空集，并且忽略空格。例如，a（5）=31，表示序号4的此类符号总数-里克·L·谢泼德2016年5月7日
除初始项外，二维细胞自动机第n个生长阶段的x轴的十进制表示，由“规则659”、“规则721”和“规则734”定义，基于用单个on细胞初始化的5细胞von Neumann邻域-罗伯特·普莱斯2017年3月14日
a（n），n>1，是具有n个元素的集上保序部分内射映射的幺半群的最大子半群的个数-詹姆斯米切尔和威尔夫·威尔逊2017年7月21日
给出了完备二部图K_{n-1，n-1}中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
和{k=0..n}p^k是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*p+二项式的行列式（i+j-1，i），在这种情况下p=2（经验观察）-托尼·福斯特三世2019年5月11日
有理数r（n）=a（n+1）/2^（n+1/A000079号（n+1）也作为第n次迭代f^{[n]}（c；x）=2^（n+1 2）*24=21作为溶液。请参阅链接和参考。有关第二个问题（也涉及当前序列），请参阅中的注释A130330型. -沃尔夫迪特·朗2019年10月28日
a（n）是包含n的{1,2，..，n}的所有子集中最小元素的和。例如，a（3）=7；{1,2,3}中包含3的子集是{3}、{1,3}，{2,3}、{1,2,3，最小元素之和为7-恩里克·纳瓦雷特2020年8月21日
a（n-1）是{1,2，..，n}的非空子集的数目，其中没有与集合大小相同的元素。例如，对于n=4，a（3）=7，并且子集是{2}、{3}、}4}、[1,3}和{1,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年11月21日
也是完全图K_n中支配集的数目。
此外，当n>=3时，n-helm图中的最小支配集数。（结束）
猜想：除了a（2）=3之外，数字m使得2^（m+1）-2^j-2^k-1对所有0<=j<k<=m都是复合的-柴华武2021年9月8日
a（n）是n维tic-tac-toe中通过角单元的三行数-本·奥尔林2022年3月15日
当n==1（mod 4）时，a（n）==1（mod 30）；
对于n＝＝3（mod 4），a（n）＝＝7（mod 120）；
（a（n）-1）/30=（a（n+2）-7）/120，对于n奇数；
此外，高度为n-1的完美二叉树中的节点数，或：毕达哥拉斯树构造第n步后的正方形（或三角形）数：从线段开始。在每个步骤中，构造以最近的线段为底的正方形，以及以正方形的对边为斜边的等轴直角三角形（位于每个正方形的“顶部”）。在下一步中，这些三角形的腿将用作方块的底线段-M.F.哈斯勒，2024年3月11日
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参考文献
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P.Bachmann，Niedere Zahlentheorie（19021910），再版于纽约切尔西，1968年，第2卷，第75页。
Ralph P.Grimaldi，《离散和组合数学：应用导论》，第五版，Addison-Wesley，2004年，第134页。
约翰·彼得·赫贝尔（Johann Peter Hebel），《赫拉斯盖伯州第二大道的Gesammelte Werke》：简·克诺普夫（Jan Knopf），弗兰兹·利特曼（Franz Littmann）和汉斯格·施密特·伯格曼（Hansgeorg Schmidt-Bergmann unter Mitarbeit von Ester Stern），沃尔斯泰·弗拉格（Wallstein Verlag），2019年。波段3，S.20-21，Loesung，S.36-37。另请参阅下面的链接。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
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配方奶粉
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G.f.:x/（（1-2*x）*（1-x））。
例如：exp（2*x）-exp（x）。
例如，如果偏移量1:（（exp（x）-1）^2）/2。
a（n）=和{k=0..n-1}2^k-保罗·巴里2003年5月26日
a（n）=a（n-1）+2*a（n-2）+2，a（0）=0，a（1）=1-保罗·巴里2003年6月6日
设b（n）=（-1）^（n-1）*a（n）。那么b（n）=和{i=1..n}i*i*斯特林2（n，i）*（-1）^（i-1）。b（n）的示例：（exp（x）-1）/exp（2x）.-马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年12月19日
a（n+1）=2*a（n）+1，a（0）=0。
a（n）=和{k=1..n}二项式（n，k）。
a（n）=n+和{i=0..n-1}a（i）；a（0）=0-里克·L·谢泼德2004年8月4日
a（n+1）=（n+1”）*和{k=0..n}二项式（n，k）/（k+1）-保罗·巴里2004年8月6日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）-保罗·巴里，2004年8月23日
Stirling_2（n-k，2）从n=k+1开始-阿图尔·贾辛斯基2006年11月18日
a（n）=箍筋S2（n+1,2）-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a（n）=J_n（2），其中J_n是第n个Jordan Totient函数：(A007434号，是J_2）。
a（n）=和{d|2}d^n*mu（2/d）。（结束）
a（n）=det（|s（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-1），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（4^k-2*x*16^k/（2*x*4^k-1/（1-1/（2*4^k-8*x*16^k/（4*x*4^k-1/Q（k+1））））））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月22日
例如：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-（k+1）/Q（k+1；（续分数）。
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1-1/（2^k-2*x*4^k/（2*xx2^k-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年5月23日
a（n）=和{t1+2*t2+…+n*tn=n}n*多项式（t1+t2+…+t_n，t1，t2，…，t_n）/（t1+t1+…+tn）-米尔恰·梅卡2013年12月6日
对于所有k>=3，二项式系数C（n，a（k））与其自身的卷积是C（n、a（k+1））-安东·扎哈罗夫2016年9月5日
a（n）=n+和{j=1..n-1}（n-j）*2^（j-1）。参见2017年6月14日的公式A000918号（n+1）和解释-沃尔夫迪特·朗2017年6月14日
a（n）=和{k=0..n-1}和{i=0..n-1}C（k，i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a（n+m）=a（n）*a（m）+a（n-宇春记2018年7月27日
a（n+m）=a（n+1）*a（m）-2*a（n）*a-塔拉斯·戈伊2018年12月23日
a（n+1）是n X n矩阵M_（i，j）=二项式（i+j-1，j）*2+二项式-托尼·福斯特三世2019年5月11日
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例子
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对于n=3，a（3）=S（4,2）=7，第二类斯特林数，因为有7种方法可以将{a，b，c，d}划分为2个非空子集，即：，
{a} U型{b，c，d}，{b} U型{a，c，d}，{c} U型{a，b，d}，{d} U型{a，b，c}，{a，b}U{c，d}，{a，c}U{b、d}和{a，d}U{b，c}-丹尼斯·沃尔什2011年3月29日
因为a（3）=7，所以有7个4的有符号置换，它们等于它们的反向补足的条，并避免{（-2，-1），（-1，+2），（+2，+1）}。这些是：
(+1,+2,-3,-4),
(+1,+3,-2,-4),
(+1,-3,+2,-4),
（+2，+4，-1，-3），
(+3,+4,-1,-2),
(-3,+1,-4,+2),
(-3,-4,+1,+2). （结束）
G.f.=x+3*x^2+7*x^3+15*x^4+31*x^5+63*x^6+127*x^7+。。。
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MAPLE公司
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A000225号：=n->2^n-1；[seq（2^n-1，n=0..50）]；
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数学
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a[n]：=2^n-1；表[a[n]，{n，0，30}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月30日*）
阵列[2^#-1&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
线性递归[{3，-2}，{1，3}，20](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
系数列表[级数[1/（1-3 x+2 x ^2），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000225=（减去1）。(2 ^)
a000225_list=迭代（（+1）。(* 2)) 0
（PARI）连接（0，Vec（x/（（1-2*x）*（1-x））+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月28日
（SageMath）
定义isMersenne（n）：返回n==总和（[（1-b）<<s用于枚举（（n+1）.bits（））中的（s，b）]）#彼得·卢什尼2019年9月1日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000244号
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| 3的幂：a（n）=3^n。
（原名M2807 N1129）
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+10
820
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1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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与活塞序列E（1,3）、L（1,3。基本上与活塞序列E（3，9），L（3，九），P（3，九），T（3，九月）相同。请参见A008776号有关活塞序列的定义。
数量（0），s（1）。。。，s（2n+2）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2n+2，s（0）=1，s（2 n+2）=3-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
a（1）=1，a（n+1）是使a（n）和a（n+1）之间有一个（n）偶数的最小数。k:1，k，k^2，k^3，k^4，…幂序列的推广。。。在a（n）和a（n+1）之间有一个k-1的（n）倍数-阿玛纳斯·穆尔西2004年11月28日
其中p（n）是n的整数分区数，p（i）是n第i个分区的部分数，d（i）为n第i分区的不同部分数，m（i，j）是n第一个分区的第j部分的重数，和{i=1..p（n，一个有：a（n）=和{i=1..p（n）}（p（i）/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）*2^（p（i）-1）-托马斯·维德2005年5月18日
a（n-1）是组成成分的数量。通常，（k+1）^（n-1）是k级嵌套成分的数量（例如，4^（n-1）是成分组成的成分数量，等等）。元素之间的每个n-1空格可以是k个级别中的一个中断，也可以根本不是中断-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年12月6日
设S是一个具有n=|a|个元素的集a的幂集P（a）上的二元关系，使得对于每个元素x，P（a）的y，如果x是y的子集，那么a（n）=|S|-罗斯·拉海耶2006年12月22日
关于Ross La Haye的评论：
参a（n+1）inA028243号如果考虑非空子集，并且x是y的适当子集。（End）
如果X_1、X_2。。。，X_n是集合{1，2，…，2*n}划分为大小为2的块，然后，对于n>=1，a（n）等于函数f:{1，2,…，2*n}->{1，2}的数目，这样对于固定的y_1，y_2。。。，在{1,2}中，我们有f（X_i）<>{y_i}，（i=1,2，…，n）-米兰Janjic2007年5月24日
这是对所有正整数k的形式a（n）=[（2^k）-1]^n的所有序列的一般评论。Stanley的“枚举组合数学”的示例1.1.16提供了一个稍有不同的版本。a（n）在函数f:[n]的个数中变成P（[k]）-{}。a（n）也是函数f:[k]到P（[n]）的个数，使得f（i）对[k]中所有i的广义交集是空集。其中[n]={1，2，…，n}，P（[n]）是[n]的幂集，{}是空集-杰弗里·克雷策2009年2月28日
3^（n+1）=（1，2，2，…）点（1，1，3，9，…，3^n）；例如，3^3=27=（1，2，2）点（1，1，3，9）=（1+2+6+18）-加里·亚当森2010年5月17日
a（n）是当存在3*2^i不同类型的i（i=1,2，…）时，n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
对于n>=1，a（n-1）是当存在2^（i-1）不同类型的i，（i=1，2，…）时n的广义组成数-米兰Janjic2010年9月24日
所讨论的序列（“3的幂”）还描述了第k个磁盘解决[红色；蓝色；蓝色]或[红色；红色；蓝色]预先着色的河内磁塔谜题的移动次数（参见。A183111号-A183125号).
（1+x+x^2）^n的展开系数之和-阿迪·达尼2011年6月21日
a（n）是{0,1,2}中n个元素的组成数；例如，a（2）=9，因为存在9个成分0+0、0+1、1+0、0+2、1+1、2+0、1+2、2+1和2+2。[来自阿迪·达尼2011年6月21日；由编辑修改。]
除了前两项外，这些都是奇数n，这样带2的x不满足x^（n-1）==1（mod n）-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基，2011年7月3日
每个自然数都由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=1，a（n）等于n的3色组成数，因此相邻部分都没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月17日
由于前面的注释出现在大量序列中，因此可能值得添加一个证明。
n组成恰好为k个部分的数量是二项式的（n-1，k-1）。
对于n的p色组成，使得没有相邻部分具有相同的颜色，第一部分的颜色正好有p个选择，每个附加部分的颜色（除了前一部分的颜色之外的任何颜色）有p-1个选择。所以，对于k部分的划分，有p（p-1）^（k-1）个有效的着色。
因此，n的p色组分精确到k个部分，使得相邻部分没有相同颜色，这是二项式（n-1，k-1）p（p-1）^（k-1）。
n的p色成分的总数，使得相邻部分没有相同的颜色
和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*p*（p-1）^（k-1）=p^n。
要了解这一点，请注意（（p-1）+1）^（n-1）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）（p-1）^k1^。
（结束）
此外，矩阵的第一个和最小元素[1，sqrt（2）；sqrt，2]^（n+1）-M.F.哈斯勒2011年11月25日
组成一个m（0，n）=m（n，0）=2^n的数组；m（i，j）等于m（i、j）左边的项与m（i和j）上面的项之和，即m。反对角线（n+1）中的项之和=4*a（n）-J.M.贝戈2013年7月10日
定义一个数组，使m（0，k）=2^k和m（n，k）=Sum_{c=0..k-1}m（n、c）+Sum_}r=0..n-1}m（r，k），这是m（n和k）左边的项加上m（n与k）上面的项之和。阵列的n＝0行包括A000079号，列k=0包括A011782号，行n=1包括A001792号数组的反对角线和为a（n）：1=3^0，1+2=3^1，2+3+4=3^2，4+7+8+8=3^3-J.M.贝戈2013年8月2日
带有零值和o.g.f.x/（1-3*x^2），A（2*k）=0，A（2*k+1）=3^k=A（k），k>=0的序列可以称为六边形数。这是因为代数数rho（6）=2*cos（Pi/6）=sqrt（3）的次数为2，最小多项式C（6，x）=x^2-3（参见A187360型，n=6），是较小对角线与六角形中边的长度比。因此，ρ（6）^n=A（n-1）*1+A（n）*rho（6），在二次数域Q（rho（5））的幂基中。还需要A（-1）=1。另请参阅2010年12月2日的评论和P.Steinbach参考A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年10月2日
对k进行编号，使σ（3k）=3k+σ（k）-贾汉格·科尔迪2013年11月23日
3的所有幂都是完美数字(A082897号)，因为对于n>0，phi（3^n）=2*3^（n-1），因此Sum_{i=0..n}phi（3^i）=3^n-阿隆索·德尔·阿特2014年4月20日
最小数k>0，使得3^k以n个连续递减的数字结束，是由{1，13，93}给出的三项序列。连续递增的数字是{3,23123}。3^k有100个不同的3位数字结尾。没有k值可以使3^k以“012”、“234”、“345”、“456”、“567”、“678”或“789”结尾。3^k以“123”结尾的k值由93 mod 100给出。对于k=93+100*x，对于x={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…}，“123”运行之前的数字分别是{9，5，1，7，3，9，9，5。因此，我们看到“123”之前的数字永远不会是0。所以没有其他条件了-德里克·奥尔2014年7月3日
A^n的所有元素，其中A=（1,1,1；1,1,1，1；1,1,1）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年7月23日
计算长度为n（开放或闭合）的三角形顶点上的所有行走次数，该三角形包含从任何给定顶点开始的每个顶点处的循环-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月3日
a（n）计算图G上的行走次数（闭合）（1-顶点；1-循环，1-循环，1-loop）-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
2*a（n-2）计算距离三角形顶点长度（n）的孤立闭合游动的所有置换，该三角形在每个剩余顶点上包含2个循环。此外，C（m，k）=2*（2^m）*B（m+k-2，m）计算包含（m）个循环和（k）个弧的行走的置换-大卫·尼尔·麦格拉思2014年12月11日
使三项式x^（2*n）+x^n+1在GF（2）上不可约的数n。其中只有n=1的三项式是原始的-乔格·阿恩特2016年5月16日
满足Benford定律【Berger-Hill，2011年】-N.J.A.斯隆2017年2月8日
a（n-1）也是n的组成数，如果这些部分可以是从1到n的任意长度，并且可以包含从1到n的任意整数-格雷戈里·西蒙2017年5月26日
同时给出了n阶梯级图nP_2中独立顶点集和顶点覆盖的个数-埃里克·韦斯特因2017年9月21日
此外，还包括n-鸡尾酒会图中的团数（不一定是最大的）-埃里克·韦斯特因2017年11月29日
a（n-1）是n的2-组分数；参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月15日
a（n）是n维超立方体任意维（顶点、边、正方形面等）的面数。例如，0维超立方体是一个点，它的唯一面是它自己。一维超立方体是一条直线，它有两个顶点和一条边。二维超立方体是一个正方形，它有四个顶点、四条边和一个正方面-凯文·朗2023年3月14日
a（n）是n个变量直到等价时的析取子句数。析取子句是l_1或…形式的命题公式。。。或l_m，其中l_1。。。，l_m是{x_1，…，x_n，NOT x_1，..，NOT x_n}中n个变量x_1的不同元素。。。x_n，同时不显示x_i和NOT x_i。对于每一个1<=i<=n，析取子句中既不能有x_i也不能有NOT x_i，只有x_i或NOT x_ i，所以这样的子句的数目是3^n。把n个变量的命题公式看作函数{0,1}^n->{0,1{，析取从句对应于一个函数f，使得0的反像的形式是a_1X。。。X A_n，其中A_i对于所有1<=i<=n都是非空的。由于每个A_i有3个选择（{0}、{1}或{0,1}），我们还发现n个变量的析取子句的数量是3^n。
等价地，a（n）是n个变量的连接子句的数量。（结束）
有限子序列a（2），a（3），a（4），a（5）=9，27，81243是仅有的两个可以用简单多边形的所有内角（所有整数，以度为单位）形成的几何序列之一。另一个序列是A007283号（请参阅此处的注释）-费利克斯·胡贝尔2024年2月15日
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a（n）=3^n。
a（0）=1；a（n）=3*a（n-1）。
G.f.：1/（1-3*x）。
例如：exp（3*x）。
a（n）=和{k=0..n}2^k*二项式（n，k），的二项式变换A000079号.
a（n）=2*斯特林S2（n+1,3）+斯特林S2（n+2,2）=2*（斯特林S2（n+1,3）+斯特林S2（n+1,2））+1-罗斯·拉海耶2008年6月26日
a（n）=2*箍筋S2（n+1，3）+箍筋S2（n+2，2）=2x（箍筋S2.（n+1,3）+搅拌S2（n+1，2））+1-罗斯·拉海耶2008年6月9日
和{n>=0}1/a（n）=3/2-加里·亚当森2008年8月29日
如果p（i）=Fibonacci（2i-2），并且如果A是由A（i，j）=p（j-i+1），（i<=j），A（i、j）=-1，（i=j+1）和A（i和j）=0定义的n阶Hessenberg矩阵，否则，对于n>=1，A（n-1）=det A-米兰Janjic2010年5月8日
2/3 + 3/3^2 + 2/3^3 + 3/3^4 + 2/3^5 + ... = 9/8. [Jolley，系列总结，多佛，1961]
求和{n>0}Mobius（n）/a（n）=0.181995386702633887827…（参见A238271型)-阿隆索·德尔·阿特2012年8月9日。另请参见J.Chem表V中的钠3s轨道能量。物理。53 (1970) 348.
a（n）=（tan（Pi/3））^（2*n）-伯纳德·肖特2022年5月6日
a（n-1）=二项式（2*n-1，n）+和{k>=1}二项式[2*n，n+3*k）*（-1）^k-格雷格·德累斯顿2022年10月14日
通用公式：和{k>=0}x^k/（1-2*x）^（k+1）-凯文·朗2023年3月14日
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例子
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G.f.=1+3*x+9*x^2+27*x^3+81*x^4+243*x^5+729*x^6+2187*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数学
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系数列表[级数[1/（1-3 x），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
嵌套列表[3#&，1,30](*哈维·P·戴尔2020年2月20日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
（Maxima）制造商列表（3^n，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/
（Scala）val powersOf3:LazyList[BigInt]=LazyList.iterate（1:BigInt）（_*3）
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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经核准的
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2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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一些较大的条目可能只对应于可能的素数。
与2381和2833项相关的1137位和1352位数值已通过Primo认证为素数-里克·L·谢泼德2002年11月12日
用Primo证明了3^k-2^k为素数k=36133853392952977417-大卫-哈里森，2011年6月8日
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链接
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数学
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平行图[If[PrimeQ[3^#-2^#]，#，Nothing]&，Prime@Range@941](*罗伯特·威尔逊v2017年6月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）选择（p->ispseudoprime（3^n-2^n），素数（100））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年2月11日
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,美好的,更多
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作者
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扩展
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a（20）=90217由奥基斯2001年2月23日
术语a（21）=122219，a（22）=173191，a（23）=256199由奥基斯2003年至2005年。相应的小数位数为58314、82634、122238。
a（24）=336353由奥基斯2007年10月15日。它对应于一个可能的素数，小数位数为160482。
a（25）=485977由奥基斯2009年9月6日；它对应于一个231870位数的可能素数-奥基斯2009年9月8日
a（26）=591827由奥基斯2009年8月25日；它对应一个282374位的可能素数。
a（27）=1059503由奥基斯，2012年4月12日；它对应于一个505512位数的可能素数-奥基斯2012年4月14日
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