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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A263634型 行读取的不规则三角形:行n给出了第n个对数多项式L_n(x_1,x_2,…)的系数,单项式按标准顺序排序。 14
1, -1, 1, 2, -3, 1, -6, 12, -4, -3, 1, 24, -60, 20, 30, -5, -10, 1, -120, 360, -120, -270, 30, 120, 30, -6, -15, -10, 1, 720, -2520, 840, 2520, -210, -1260, -630, 42, 210, 140, 210, -7, -21, -35, 1 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,4
评论
这里的“标准订单”是指由Maple的“排序”命令生成的订单。
发件人Petros Hadjicostas公司2020年5月27日:(开始)
根据“sort”命令的Maple帮助文件,多个变量中的多项式“按总度数排序,按字典顺序断开关系(这称为分级字典顺序)”
例如,x_1^2*x_3=x_1*x_1*x_3>x_1*x2*x_2=x_1*x_2^2,而x_1^2*x_4=x_1x_1*x1*x_4>x_1x_2*x_3。(结束)
行总和为0(对于n>1)。行中的项数是分区数A000041号.
发件人汤姆·科普兰2015年11月6日:(开始)
对于形式泰勒级数f(x)=1+x[1]x+x[2]x^2!+,该项的划分多项式给出了d[log(f(x))]/dx=L_1(x[1])+L_2(x[1],x[2])x+L_3(…)x^2/2!+,并且对x[n]=t的约化多项式的系数进行了符号化A028246号.
提升算子R=x+d[log(f(d)]/dD=x+L_1(x[1])+L_2[x[1],x[2])d+L_3(x[1],x[2],x[3])d^2/2!+。。。D=D/dx生成一个Appell多项式序列,由P_n(x[1],…,x[n];x)=(x[.]+x)^n=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)x[k]*x^(n-k)=R^n1暗含f.f(t)*e^(x*t)=exp[t P。P_0=x[0]=1。
本影合成逆Appell序列由R=x-d[log(f(d))]/dD生成,例如f.e^(x*t)/f(t)=exp[t IP。对于n>0,IP_0=x[0]=1和x[n]=-1的约化IP_n(x[1],…,x[n];x)多项式的无符号数组为A154921号,其中f(t)=2-e^t.(结束)
发件人汤姆·科普兰2016年9月8日:(开始)
Appell形式允许提升算子R的幂基x^n中的矩阵表示,该提升算子包含该数组的划分多项式L_n(x[1],…,x[n]):
VP_(n+1)=VP_n*R=VP_n*XPS^(-1)*MX*XPS,其中XPS是由Pascal矩阵PS的第n对角线乘以A007318元通过不定x[n],其中x[0]=1是一个的主对角线,即XPS[n,k]=PS[n,k]*x[n-k];矩阵MX是A129185号; 矩阵XPS^(-1)是XPS的逆矩阵,它可以通过将Pascal矩阵的对角线乘以A133314号即XPS^(-1)[n,k]=PS[n,k]*IPT(n-k,x[1],…);VP_n是幂基中的行向量,表示由矩1,x[1],x[2],…,的基本序列形成的Appell多项式P_n(x)。。。,即,本影P_n(x)=(x[.]+x)^n=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*x[k]*x^(n-k)。
则R=XPS^(-1)*MX*XPS是Pascal矩阵PS,其中附加一个一的第一超对角线和其他下对角线乘以该数组的分区多项式,即R[n,k]=PS[n,k]*L_{n+1-k}(x[1],…,x[n+1-k]),第一个一的超对角线上除外。
一致地,VP_n=(1,0,0,…)*R^n=(1,0,0,…)*XPS^(-1)*MX^n*XPS=(1,0,0,…)*MX^n*XPS=XPS的第n行向量,它是P_n(x)=(x[.]+x)^n与x[0]=1的向量表示。
有关反映矩阵表示的本影表示R=exp[g.*D]*x*exp[h.*D],请参见Copeland链接。
第一类斯特灵分配多项式St1_n(a[1],a[2],…,a[n])A036039号,第二类St2_n(b[1],b[2],…,b[n])的Stling配分多项式A036040型,和改进的Lah多项式Lah_n[c[1],c[2]。。。,c【n】)第页,共页A130561型是各自可分辨不确定性a[1]、b[1]和c[1]中的Appel序列。将其提升运算符的公式与本条目中的公式进行比较,L_n(x[1],x[2],…,x[n])的计算结果为
A) (n-1)!*x[n]=St1_n(a[1],a[2],…,a[n])的a[n]:x[n];
B) x[n]=St2_n(B[1],B[2],…,B[n])的B[n]:x[n];
C) n!*号对于x[n]=Lah_n(c[1],c[2],…,c[n]),c[n]。
相反,来自各自的示例f.s(2016年9月12日添加)
D) x[n]=St1_n(L_1(x[1])/0。。。,L_n(x[1],…,x[n])/(n-1)!);
E) x[n]=St2_n(L_1(x[1])。。。,L_n(x[1],…,x[n]);
F) x[n]=Lah_n(L_1(x[1])/1。。。,L_n(x[1],…,x[n])/n!)。
给定只有Appell序列没有例如f.的闭合形式,就可以使用这种形式来生成提升算子,正如对A134264号.(结束)
对于上述Appell序列,提升算子与递归P_(n+1)(x)=x*P_n(x)+Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*L_(n-k+1)(x[1],…,x[n+k-1])*P_k(x)有关。有关形式累积量(c_n=L_n(x[1],…))和矩(m_n=x[n])的推导和连接,请参阅非交叉分区上的Copeland链接。当x=0时,递归减少为x[n+1]=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*L_(n-k+1)(x[1],…,x[n+k-1])*x[k],x[0]=1。此数组是的不同顺序版本A127671号. -汤姆·科普兰2016年9月13日
当x[n]=x^(n-1)时A130850型获得-汤姆·科普兰2016年11月14日
参见Getzler的第2页,了解在亏格1的稳定曲线的Deligne-Mumford-Knudsen模空间的计算中使用的称为项链的稳定图的关系-汤姆·科普兰2019年11月15日
关于Connes和Moscovici提出的与函数合成相关的组合Faa-di-Bruno-Hopf代数的关系,请参见Figueroa等人-汤姆·科普兰2020年1月17日
发件人汤姆·科普兰2020年5月17日:(开始)
Appell序列的例如f.是f(t)e^(x*t),其中f(0)=1。给定Laguerre-Polya类函数f(t)=e^(-a*t^2+b*t)Product_m(1-t/z_m)e^D^k,其中c_k=Sum_m(1/(z_m)^k),即零的倒数幂的迹。从前面的注释中的R来看,b=L_1(x_1),否则c_k=-L_k(x1,…,x_k)。
Laguerre/Turan/de-Gua不等式(Csordas、Williamson和Skovgaard)表明,每个Appel多项式的所有零点都是实的和简单的,其极值是x轴上的局部极大值和x轴下的局部极小值,并且位于下一个较低阶Appel多项式的零点之上或之下。(结束)
发件人汤姆·科普兰2020年10月15日:(开始)
其中a_n=n!*b_n=(n-1)!*对于n>0,用f(0)=a0=b0=1表示函数
A) 指数生成函数(例如f),或形式泰勒级数:f(x)=e^{A.x}=1+Sum_{n>0}A_n*x^n/n!
B) 普通生成函数(o.g.f.),或形式幂级数:f(x)=1/(1-B.x)=1+Sum{n>0}B_n*x^n
C) 对数生成函数(l.g.f):f(x)=1-log(1-C.x)=1+Sum{n>0}C_n*x^n/n。
对数(f(x))的展开式如所示
一)A127671号A263634型对于例如f:log[e^{a.*x}]=e^{L.(a_1,a_2,…)x}=Sum_{n>0}L_n(a_1,…,a_n)*x^n/n!,对数多项式、累积展开多项式
二)A263916型对于o.g.f.:log[1/(1-b.x)]=log[1-f(b_1,b_2,…)x]=-求和{n>0}f_n(b.1,…,b_n)*x^n/n,Faber多项式。
exp(f(x)-1)的展开式如下所示
三)A036040型对于例如f:exp[e^{a.x}-1]=e^{BELL.(a_1,…)x},BELL/Touchard/指数配分多项式,即第二类Stirling配分多项式
四)A130561型对于一个o.g.f.:exp[b.x/(1--x)]=e^{LAH.(b.,…)x},LAH划分多项式
五)A036039号对于l.g.f.:exp[-log(1-c.x)]=e^{CIP.(c1,…)x},对称群S_n的循环指数多项式,也称为第一类斯特林配分多项式。
由于exp和log是一个组合逆对,因此可以从exp集中提取分区多项式的log集的不确定性,反之亦然。有关这些多项式之间的关系以及连通和不连通图/映射的组合学的讨论,请参阅Novak和LaCroix关于经典矩和累积量的文章以及A036040型.(结束)
忽略符号,这些多项式出现在第343页的方程组(II)中的Schröder和第31页的Stewart译文中-汤姆·科普兰2021年8月25日
参考文献
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第140、156、308页。
链接
彼得·卢什尼,n=1..20时的第n行.
汤姆·科普兰,Appel序列的创建/提升运算符, 2015.
G.Csordas和J.Williamson,Jensen多项式的零点很简单,继续。AMS,49(1)(1975),263-264。
H.Figueroa、J.Gracia-Bondia和J.Varilly,Faa-di-Bruno-Hopf代数,arXiv:0508337[math.CO],2005;见第3页。
E.盖茨勒,模运算的半经典逼近,arXiv:alg-geom/96120051996;见第2页。
J.Novak和M.LaCroix,自由概率三讲,arXiv:1205.2097[math.CO],2012年。
E.Schröder,Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen公司《数学年鉴》第2卷,317-3651870年。
H.Skovgaard,关于Turan型不等式,数学。扫描。2 (1954), 65-73.
G.Stewart,关于求解方程的无穷多算法,1993年,(将Schröder的论文翻译成英文)
配方奶粉
G.f.:对数(1+Sum_{i>=1}x_i*t^i/i!)=和{n>=1}L_n(x_1,x_2,…)*t^n/n!。[Commtet,第140页,等式[5a]-已由更正汤姆·科普兰2016年9月8日]
例子
前几个多项式是:
(1) x[1]。
(2) -x[1]^2+x[2]。
(3) 2*x[1]^3-3*x[1]*x[2]+x[3]。
(4) -6*x[1]^4+12*x[1]^2*x[2]-4*x[1]*x[3]-3*x[2]^2+x[4]。
(5) 24*x[1]^5-60*x[1]^3*x[2]+20*x[1]^2*x[3]+30*x[1]*x[2]^2-5*x[1]*x[4]-10*x[2]*x[3]+x[5]。
(6) -120*x[1]^6+360*x[1]^4*x[2]-120*x[1]^3*x[3]-270*x[1]^2*x[2]^2+30*x[1]^2*x[4]+120*x[1]*x[2]*x[3]+30*x[2]^3-6*x[12]*x[5]-15*x[2]*x[4]-10*x[3]^2+x[6]。
...
[1] 1
[2] -1,1
[3] 2, -3, 1
[4] -6, 12, -4, -3, 1
[5] 24, -60, 20, 30, -5, -10, 1
[6] -120, 360, -120, -270, 30, 120, 30, -6, -15, -10, 1
MAPLE公司
三角形:=proc(numrows)局部E,s,Q;
E:=添加(x[i]*t^i/i!,i=1..numrow);
s:=系列(log(1+E),t,numrows+1);
Q:=k->sort(展开(k!*系数(s,t,k)));
seq(打印(系数(Q(k))),k=1..numrows)结束:
三角形(6);#更新者彼得·卢什尼2020年5月27日
交叉参考
囊性纤维变性。A263916型.
关键词
签名,标签
作者
N.J.A.斯隆2015年10月29日
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月19日02:49。包含370952个序列。(在oeis4上运行。)