搜索： a006002-编号：a006002
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A000578号
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| 立方体：a（n）=n^3。
（原名M4499 N1905）
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+10
1002
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0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 3
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评论
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a（n）是接下来n个奇数的和；即，将奇数分组，使第n组包含如下n个元素：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），（21，23，25，27，29）。。。；然后每组总和=n^3=a（n）。每组的中位数=n^2=平均值。由于前n个奇数的和是n^2，这又证明了第n个部分和=（n（n+1）/2）^2-阿玛纳斯·穆尔西2002年9月14日
也构造了三基色四面体数（顶点结构7）（参见。A100175号=交替顶点）；结构正方形棱镜数（顶点结构7）（参见。A100177号=结构棱镜）；结构化六边形菱形数（顶点结构7）（参见。A100178号=交替顶点；A000447号=结构性钻石）；和结构化三角反菱形数（顶点结构7）（参见。A100188号=结构化防钻石）。囊性纤维变性。A100145号有关结构化多面体数的更多信息James A.Record（James.Record（AT）gmail.com），2004年11月7日
此多面体的Schlaefli符号：{4,3}。
画一个正六边形。在六边形的每一侧构造点，以便这些点将每一侧划分为大小相等的线段（即，每一侧上的中点或每一侧上放置的两个点将每侧划分为大小相同的三个线段，依此类推），对六边形的每一侧进行相同的构造，以便每一侧以相同的方式等分。用与多边形至少一侧平行的线将所有这些点相互连接。结果是六边形的三角形平铺，并创建了许多较小的规则六边形。该等式给出了找到的正六边形的总数，其中n=绘制的点数+1。例如，如果在每一侧绘制一个点，则n=1+1=2，a（n）=2^3=8，因此总共有8个正六边形。如果在每一侧画2个点，则n=2+1=3和a（n）=3^3=27，因此总共有27个正六边形Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年5月2日
丢番图方程的解：（X/Y）^2-X*Y=0的形式为：（n^3，n），其中n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^2k-XY=0的形式为：（m*n^（2k+1），m*n~（2k-1）），其中m>=1，k>=1和n>=1。丢番图方程的解：（m^2）*（X/Y）^（2k+1）-XY=0的形式为：（m*n^（k+1），m*n*k），其中m>=1，k>=1和n>=1-穆罕默德·布哈米达2007年10月4日
除了前两项外，该序列对应于C_{2n}的维纳指数，即2n个顶点上的循环（n>1）-K.V.Iyer公司2009年3月16日
椭圆曲线y^2=x^3-n的扭子群t的阶为t=2的数n-阿图尔·贾辛斯基，2010年6月30日
具有Pisano周期mod k长度的序列为1、2、3、4、5、6、7、8、3、10、11、12、13、14、15、16、17、6、19、20。。。对于k>=1，显然是乘法的，并且从A000027号每九个学期除以三。的立方变量A186646号. -R.J.马塔尔2011年3月10日
单边有n个原子的bcc（体心立方）菱形六面体中的原子数为n^3（T.P.Martin，原子壳层，等式（8））-布里吉特·斯特帕诺夫2011年7月2日
顶点位于（0，0），（t（n-1），t（n）），和（t（n，t（n-1））的三角形面积的两倍，其中t=A000217号是三角形数字-J.M.贝戈2013年6月25日
对于n>2，a（n）=顶点位于点（二项式（n，3）、二项式式（n+2,3））、二项式（n+1,3）、二项式（n+1,3-J.M.贝戈2014年6月14日
螺旋结S（4，k，（1,1，-1））的行列式。a（k）=det（S（4，k，（1,1，-1））-瑞安·斯蒂斯2014年12月14日
我们从整数1、2、3…构造一个数字三角形。。。2*n-1如下。第一列包含所有整数1、2、3。。。2*n-1。接下来的每一列与前一列相同，但没有第一项和最后一项。最后一列只包含n。三角形中所有数字的和是n^3。
以下是n=4的示例，其中1+2*2+3*3+4*4+3*5+2*6+7=64=a（4）：
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
5 5 5
6 6
7
（结束）
对于n>0，a（n）是n+11到n个部分（避开第2部分和第3部分）的组合数-米兰Janjic2016年1月7日
使用最多n种颜色的立方体的不等面着色数，每种颜色至少出现两次-大卫·纳辛2017年2月22日
考虑A={A，b，c}是一个有三个不同成员的集合。A的子集数是8，包括{A，b，c}和空集。这8个子集中的每个子集的数量为27。如果这样的迭代次数是n，那么子集的总数是a（n-1）-格雷戈里·西蒙2018年7月27日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，1990年，第255页；第二。编辑，第269页。Worpitzky的身份（6.37）。
T.Aaron Gulliver，“整数立方体的序列”，《国际数学杂志》，4（2003），第5期，439-445。请参见http://www.m-hikari.com/z2003.html获取有关本期刊的信息。[我扩展了参考，使其更容易找到-N.J.A.斯隆2019年2月18日]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
D.Wells，《你是数学家》，第238-241页，企鹅出版社1995年。
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链接
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N.Brothers、S.Evans、L.Taalman、L.Van Wyk、D.Witchzak和C.Yarnall，螺旋结密苏里州数学杂志。科学。，22 (2010).
R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
T.P.Martin，原子壳，物理。报告，273（1996），199-241，等式（8）。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片，数学游戏专栏，2003年12月8日[缓存副本，经许可（仅pdf）]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
肯尼思·罗斯，正方形和立方的第一个数字，数学。Mag.85（2012）36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。
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配方奶粉
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通用格式：x*（1+4*x+x^2）/（1-x）^4-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=lcm（n，（n-1）^2）-（n-1）^2。例如：lcm（1，（1-1）^2）-（1-1）^2=0，lcm（2，（2-1）^2-Mats Granvik公司2007年9月24日
开始（1，8，27，64，125，…），=[1，7，12，6，0，0，…]的二项式变换-加里·亚当森2007年11月21日
a（n）=二项式（n+2,3）+4*二项式。【立方体的Worpitzky恒等式。例如，见Graham等人，方程（6.37）-沃尔夫迪特·朗2019年7月17日]
a（n）=n+6*二项（n+1,3）=二项（n，1）+6*二项式（n+1，3）-罗恩·诺特2019年6月10日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+6-蚂蚁王2013年4月29日
a（k）=det（S（4，k，（1,1，-1）））=k*b（k）^2，其中b（1）=1，b（2）=2，b（k-瑞恩·斯蒂斯2014年12月14日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）-乔恩·塔瓦萨尼2016年2月21日
a（n）=n+和{j=0..n-1}和{k=1..2}二项式（3，k）*j^（3-k）-帕特里克·麦克纳布2016年3月28日
a（n）=n*二项式（n+1，2）+2*二项法（n+1、3）+二项式-托尼·福斯特三世2017年11月14日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=3*zeta（3）/4(A197070型). （结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/（3*Pi）。（结束）
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例子
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对于k=3，b（3）=2b（2）-b（1）=4-1=3，因此det（S（4,3，（1,1，-1））=3*3^2=27。
对于n=3，a（3）=3+（3*0^2+3*0+3*1^2+3*1*1+3*2^2+3*2）=27-帕特里克·麦克纳布2016年3月28日
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MAPLE公司
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isA000578:=进程（r）
局部p；
如果r=0或r=1，则
真；
其他的
ifactors（r）[2]中的p do
如果op（2，p）mod 3<>0，则
返回false；
结束条件：；
结束do：
真；
结束条件：；
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数学
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系数列表[级数[x（1+4x+x^2）/（1-x）^4，{x，0，45}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月5日*）
累加[表[3n^2+3n+1，{n，0，20}]]（*或*）线性递归[{4，-6，4，-1}，{1，8，27，64}，20](*哈维·P·戴尔2018年8月18日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000578=（^3）
a000578_list=0:1:8:zipWith（+）
（映射（+6）a000578_list）
（map（*3）$tail$zipWith（-）（tail a000578_list）a000578-list）
（岩浆）I:=[0,1,8,27]；[n le 4选择I[n]else 4*自我（n-1）-6*自我（n-2）+4*自我（n-3）-自我（n-4）：[1..45]]中的n//文森佐·利班迪，2014年7月5日
（Python）
对于范围内的_（10**2）：
对于范围（3）中的i：
m[i+1]+=m[i]#柴华湖2015年12月15日
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交叉参考
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（1/12）*t*（n^3-n）+n，对于t=2,4,6。。。给予A004006号,A006527号,A006003号,A005900型,A004068号,A000578号,A004126号,A000447号,A004188号,A004466号,A004467号,A007588号,A062025型,A063521号,A063522号,A063523号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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A005449号
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| 第二个五边形数：a（n）=n*（3*n+1）/2。 |
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+10
142
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0, 2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, 126, 155, 187, 222, 260, 301, 345, 392, 442, 495, 551, 610, 672, 737, 805, 876, 950, 1027, 1107, 1190, 1276, 1365, 1457, 1552, 1650, 1751, 1855, 1962, 2072, 2185, 2301, 2420, 2542, 2667, 2795, 2926, 3060, 3197, 3337, 3480
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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模形式Delta（q）=q*Product_｛n>=1｝（1-q^n）^24=q*（1+Sum_｛n>=1｝（-1）^n*（q^（n*（3*n-1）/2）+q^（n*（3*n+1）/2））^24=q*（1+Sum_｛n>=1｝A033999号（n） *（q）^A000326号（n） +q^a（n））^24-乔纳森·沃斯邮报2006年3月15日
在0、7、…方向上读取0中的行，从而找到序列。。。以及从2开始的直线，在方向2、15。。。在顶点为广义五边形数的正方形螺旋中A001318号. -奥马尔·波尔2011年9月8日
通过T（n，k）=n*（（k-2）*n+k-4）/2，n>=0，k>=5，给出了n阶k次方数的一般公式-奥马尔·波尔2012年8月4日
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
a（n）是钩和：sum{k=0..n}a（n，k）+sum{r=0..n-1}a（r，n）-R.J.马塔尔2013年6月30日
如果A是满足递归t（n）=3*t（n-1）-2*t（n-2）的序列，初始值为A（0）=1，A（1）=n+2或A（0。（结束）
a（n+1）是大小为（3,3n+2）的Dyck路径数，即从（0,0）到（3,3+2）的NE晶格路径数，这些路径位于连接这些点的线上方-哈里·里奇曼2021年7月13日
[0,2,3,0,0,0，…]的二项式变换，即a（n）=2*二项式（n，1）+3*二项法（n，2）。a（3）=15=[0，2，3，0]点[1，3，3，1]=[0+6+9+0]-加里·亚当森2022年12月17日
a（n）是所有具有最短边长n和中间边长（n+1）的非退化积分边三角形的最长边长之和，n>0-托拉赫·拉什2024年2月4日
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参考文献
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亨利·科恩（Henri Cohen），《计算代数数论课程》（A Course in Computational Algebraic Number Theory），《数学研究生教材》（Graduate Texts in Mathematics）第138卷，施普林格出版社，2000年。
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链接
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A.O.L.Atkin和F.Morain，椭圆曲线与素性证明，数学。公司。，第61卷，第203号（1993年），第29-68页。
利昂哈德·尤勒，分裂状态观察《石油工业科学院新评论》，第5卷，第59-74页。
利昂哈德·尤勒，关于除数和的观察，arXiv:math/0411587[math.HO]，2004-2009年，第8页。
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配方奶粉
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G.f.:x*（2+x）/（1-x）^3。例如：exp（x）*（2*x+3*x^2/2）。a（n）=n*（3*n+1）/2。a（-n）=A000326号（n） ●●●●-迈克尔·索莫斯2003年7月18日
a（n）=和{j=1..n}n+j-零入侵拉霍斯2006年9月12日
a（n）=2*C（3*n，4）/C（3*n，2），n>=1-零入侵拉霍斯2007年1月2日
当n>0时，a（n）=a（n-1）+3*n-1，a（0）=0-文森佐·利班迪，2010年11月18日
a（n）=（12/（n+2）！）*和{j=0..n}（-1）^（n-j）*二项式（n，j）*j^（n+2）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年6月4日
a（n）=n>0时的楼层（n/（1-exp（-2/（3*n）））-理查德·福伯格2013年6月22日
a（n）=和{i=1..n}2*i-1+（i模2）-韦斯利·伊万·赫特2013年10月11日
求和{n>=1}1/a（n）=6-Pi/sqrt（3）-3*log（3）=0.89036376145307522-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月27日
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=2*Pi/sqrt（3）+4*log（2）-6-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月18日
除了2021年5月13日的评论外：相同的方块b^2=24*a（n）+1，我们通过b^2=（a（n+1）-a（n-1））^2=（a（2*n）/n）^2得到。
a（2*n）=n*（a（n+1）-a（n-1）），n>0。
a（2*n+1）=n*（a（n+1）-a（n））。（结束）
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例子
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初始术语说明：
.O型
.O O型
.O O O O
.O O O O
.O O O O O O O O O O O O
.O O O O 0 O O O O O O O
.O O O O 0 O O O O O O O
.O O O O 0 O O O O O O O O-O O O
.O O O O 0 O O O O O O O
.O O O O 0 O O O O O O O
.
. 2 7 15 26 40
.
（结束）
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MAPLE公司
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数学
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表[n（3n+1）/2，{n，0，100}](*扎克·塞多夫2012年1月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（3*n+1）/2}/*迈克尔·索莫斯2003年7月18日*/
（岩浆）[0..40]]中的[n*（3*n+1）/2:n//文森佐·利班迪，2011年5月2日
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交叉参考
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参考中列出的形式n*（n*k-k+4））/2的编号A226488型（此序列是k=3的情况）。
参见中列出的n*（（2*k+1）*n+1）/2形式的数字A022289号（此序列是k=1的情况）。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A002411号
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| 五角锥体数：a（n）=n^2*（n+1）/2。
（原名M4116 N1709）
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+10
137
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0, 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6348, 7200, 8125, 9126, 10206, 11368, 12615, 13950, 15376, 16896, 18513, 20230, 22050, 23976, 26011, 28158, 30420, 32800, 35301, 37926, 40678
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 3
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评论
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a（n）=n^2（n+1）/2是n+1颜色直线上三个点的着色数的一半-R.H.哈丁，2002年2月23日
a（n）=（n+6）位二进制序列的个数，精确到71个，其中没有一个是孤立的。如果1的直接邻居为0，则表示1是孤立的-大卫·卡伦2004年7月15日
同样作为a（n）=（1/6）*（3*n^3+3*n*2），n>0：结构三角棱镜数（Cf。A100177年-结构棱镜；A100145号有关结构化数字的更多信息）James A.Record（James.Record（AT）gmail.com），2004年11月7日
如果Y是n个集合X的3个子集，那么对于n>=5，a（n-4）是X的5个子集的数量，其中至少有两个元素与Y相同-米兰Janjic2007年11月23日
a（n-1），n>=2，是总共n个可区分框（n-2个框保持为空）中m＝2中n个相同对象的方式数-沃尔夫迪特·朗2007年11月13日
a（n+1）是（n+1”）和（3n+1）的卷积-保罗·巴里2008年9月18日
如果字符串及其反转被认为是相同的，则n个符号组成的字母表中的3个字符的字符串数。
a（n-1）：=n_1（n），n>=1，是三维空间中一般位置上n个平面的边数。请参阅下面的注释A000125号用于总布置。对阿诺德问题的评论，1990-11年，见阿诺德参考，第506页-沃尔夫迪特·朗2011年5月27日
对于n>0，此序列的单位数字A010879号(A002411号（n） ）形成纯周期的20次循环{1,6,8,0,5,6,6,8,1,0,6,3,0,0,6，8,0}。
（结束）
a（n）是使用最多n种颜色对具有3个节点的路径图进行着色的不等方法的数量。注意，这里没有对相邻节点的颜色的限制，如上面的注释所示R.H.哈丁（2002年2月23日）。此外，这里的结构被计算为图形同构，如上面的注释所示，“一条线上的三个点”被认为嵌入到平面中-杰弗里·克雷策2013年3月20日
拉丁方塔：取一个n阶拉丁方，符号从1到n，用高度为x的塔替换每个符号x，然后使用的单位立方体总数为a（n）-阿伦·吉里达尔2015年3月29日
这是b（n，k）=n*（（k-2）*n-（k-4））/2的k=n+4的情况，这是第n个k边数。因此，这是中数组的第三个上对角线A139600个. -卢西亚诺·安科拉2015年4月11日
对于n>0，a（n）是n+7到n个部分的组成数，避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
对于n>0，a（2n+1）是非同构5C_m-snake的数量，其中m=2n+1或m=2n（对于n>=2）。kC_n-snake是一个连通图，其中k>=2个块与循环C_n同构，块切点图是一条路-克里斯蒂安·巴伦托斯2019年5月15日
对于n>=1，a（n-1）是可以通过n X n晶格中的连接点绘制的0°和45°倾斜正方形的数量-保罗·沙萨2021年4月13日
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参考文献
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V.I.Arnold（编辑），《Arnold的问题》，斯普林格出版社，2004年，《关于1990-11年问题的评论》（第75页），第503-510页。编号N_1。
克里斯蒂安·巴伦特斯（Christian Barrientos），《循环蛇优雅的标签》，《阿尔斯·库姆》（Ars Combin），第60卷（2001年），第85-96页。
Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第194页。
S.J.Cyvin和I.Gutman，苯系烃中的Kekulé结构，化学讲义，第46期，纽约斯普林格，1988年（见第166页，表10.4/I/5）。
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第93页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第2页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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索马亚·巴拉蒂、贝塔·贝尼、阿巴斯·贾法扎德和丹尼尔·雅库比，混合限制斯特林数，arXiv:1812.02955[math.CO]，2018年。
Phylis Chinn和Silvia Heubach，与不带2的组成相关的整数序列，J.整数序列。，第6卷（2003年），第03.2.3条。
Robert Coquereaux和Jean-Bernard Zuber，按属计算分区。二、。结果概要，arXiv:2305.01100[math.CO]，2023。见第17页。
C.克里希纳马查基，操作员（xD）^n，J.印度数学。Soc.，第15卷（1923年），第3-4页。[带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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n^2和n^3的平均值。
G.f.:x*（1+2*x）/（1-x）^4-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=n*Sum_{k=0..n}（n-k）=n*Sum__{k=0..n}k-保罗·巴里2003年7月21日
a（n）=n*A000217号（n） .-Xavier Acloque，2003年10月27日
a（n）=（1/2）*（和{j=1..n}和{i=1..n{i+j）=（1/2）*（n^2+n^3）=（1-2）*A011379号（n） ●●●●-亚历山大·阿达姆楚克，2006年4月13日
三角形的行和A127739号，三角形A132118号; 和[1,5,7,3,0,0,0，…]=（1,6,18,40,75，…）的二项式变换-加里·亚当森2007年8月10日
G.f.:x*f（2,3；1；x）-保罗·巴里2008年9月18日
和{j>=1}1/a（j）=超几何（[1,1,1]，[2,3]，1）=-2+2*zeta（2）=A195055号-2. -斯蒂芬·克劳利，2009年6月28日
a（0）=0，a（1）=1，a（2）=6，a（3）=18，a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4）-哈维·P·戴尔2011年10月20日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+3。
a（n）=二项式（n+2,3）+2*二项式。
（结束）
a（n）=24/（n+3）*和{j=0..n}（-1）^（n-j）*二项式（n，j）*（j）^-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年6月4日
和{n>=1}a（n）/n！=3.5*经验（1）-理查德·福伯格2013年7月15日
对于n>=1，a（n）=和{i=1..n}（i^2）+和{i=0..n-1}（i ^2*（（i+n）模2））-保罗·沙萨2021年4月13日
a（n）=和{k=1..n}GCD（k，n）*LCM（k，n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年5月22日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=2+Pi^2/6-4*log（2）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月3日
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例子
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a（3）=18，因为在二项式（4,2）*（2！/（1！*1！）+2/（2！））=6*（2+1）=18路。m=2部分4的分区，即（1,3）和（2,2），指定了6个可能的两个方框选项中的每个选项的填充-沃尔夫迪特·朗2007年11月13日
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MAPLE公司
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seq（n^2*（n+1）/2，n=0..40）；
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数学
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表[n^2（n+1）/2，{n，0，40}]
线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，1，6，18}，50](*哈维·P·戴尔2011年10月20日*）
系数列表[级数[x（1+2x）/（1-x）^4，{x，0，45}]，x](*文森佐·利班迪2016年1月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n^2*（n+1）/2
（哈斯克尔）
（岩浆）[0..40]]中的[n^2*（n+1）/2:n//韦斯利·伊万·赫特2014年5月25日
（PARI）连接（0，Vec（x*（1+2*x）/（1-x）^4+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2016年1月7日
（GAP）列表（[0.45]，n->n^2*（n+1）/2）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月19日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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经核准的
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0, 0, 4, 18, 48, 100, 180, 294, 448, 648, 900, 1210, 1584, 2028, 2548, 3150, 3840, 4624, 5508, 6498, 7600, 8820, 10164, 11638, 13248, 15000, 16900, 18954, 21168, 23548, 26100, 28830, 31744, 34848, 38148, 41650, 45360, 49284, 53428, 57798, 62400, 67240, 72324
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 3
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评论
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还有2Xn点网格中的三角形数，因此也有（n选择2）*（n选择1）*2，或（2n选择3）-2*（n选3）-乔舒亚·祖克2006年1月11日
方程（X-Y）^3-XY=0的解的非负X值。要查找Y值：b（n）=（n+1）*n^2（请参见A011379号). 我证明了，如果（X，Y）不同于（0,0）并且m=2，4，6，8，10，12，。。。，然后方程（X-Y）^m-XY=0，。。。没有解决方案-穆罕默德·布哈米达2006年5月10日
对于n>=1，a（n）等于函数f的数量：{1,2,3}->{1,2，…，n}这样，对于{1,2,3}中的固定x和{1,2…中的固定y，我们有f（x）<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月13日
a（n）等于2F1（n-1，n-1，n+1，-1）中log（2）的系数-约翰·M·坎贝尔2011年7月16日
定义无限方阵m（n，k）=（n-k）^2，用于对角线下方的1<=k<=n，以及对角线上方的1<=n<=k，m（n）=（k+n）（k-n）。然后a（n）=求和{k=1..n}m（n，k）+求和{r=1..nneneneep m（r，n），即m（n、n）和m以上（n，n）留下的项的“钩和”-J.M.贝戈2013年8月16日
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链接
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路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
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配方奶粉
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G.f.：2*x^2*（x+2）/（-1+x）^4=6/（-1+x）^4+10/（-1+x）^2+14/（-1+x）^3+2/（-1+x）-R.J.马塔尔2007年11月19日
a（n）=楼层（n^5/（n^2+n+1））-加里·德特利夫斯2010年2月10日
a（n）=4*二项式（n，2）+6*二项法（n，3）-加里·德特利夫斯2012年3月25日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）。
a（n）=求和{k=0..n-1}求和{i=n-k-1..n+k-1}i（结束）
和{n>=2}1/a（n）=2-Pi^2/6-丹尼尔·苏图2017年2月6日
和{n>=2}（-1）^n/a（n）=Pi^2/12+2*log（2）-2-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月5日
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MAPLE公司
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数学
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表[4二项式[n，2]+6二项式[n，3]，{n，0，50}](*罗伯特·威尔逊v2012年3月25日*）
线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，4，18，48}，20](*埃里克·韦斯特因2017年6月20日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[n^2*（n-1）表示n在（0，40）范围内]#零入侵拉霍斯2009年12月3日
（岩浆）[0..40]]中的[n^3-n^2:n//文森佐·利班迪，2011年5月2日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A000914号
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| 第一类斯特林数：s（n+2，n）。
（原名M1998 N0789）
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52
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0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500, 10812, 13566, 16815, 20615, 25025, 30107, 35926, 42550, 50050, 58500, 67977, 78561, 90335, 103385, 117800, 133672, 151096, 170170, 190995, 213675, 238317, 265031
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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{1..n+1}中无序数对的乘积之和。
该序列保持由MAX（i，j）形成的n x n矩阵A的特征多项式的x^（n-2）系数，其中i是行索引，j是元素A[i][j]的列索引，1<=i，j<=n。这里n>=2-保罗·马克斯·佩顿2005年9月6日
序列包含A006002号，表示由连接到（t（2），t（3）），然后（t（3，t（4））。。。（t（n-1），t（n））和x轴-J.M.贝戈2012年5月5日
从[n+2]到[n+2]f（x）=x的函数数f，正好是n个元素x的[n+2]，f（x）>x，正好是两个元素x（n+2]）。为了证明这一点，让具有较大图像的[n+2]的两个元素被标记为i和j。注意，i和j都必须小于n+2。然后有f（i）的（n+2-i）选项和f（j）的（n+2-j）选项。对所有集合{i，j}的选择数乘积求和，在注释部分的第一行给出“来自{1..n+1}的无序数对乘积之和”。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2017年9月6日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
乔治·安德鲁斯（George E.Andrews），《数论》，多佛出版社，纽约，1971年，第4页。
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H.S.Hall和S.R.Knight，《高等代数》，第四版，麦克米伦出版社，1891年，第518页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。
罗伯特·莫里茨，关于n个连续整数乘积的和，华盛顿大学数学出版物。，第1卷，第3期（1926年），第44-49页。[带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，《魁北克大学论文》，1992年，arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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a（n）=二项式（n+2,3）*（3*n+5）/4=（n+1）*n*（n+2）*（3*n+5）/24。
例如：exp（x）*x*（48+84*x+32*x^2+3*x^3）/24。
通用名称：（2*x+x^2）/（1-x）^5-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=和{i=1..n}i*（i+1）^2/2-乔恩·佩里2003年7月31日
-（3*n+2）*（n-1）*a（n）+（n+2-R.J.马塔尔2015年4月30日
当n>=1时，a（n）=a（n-1）+（n+1）*二项式（n+1,2）-丹尼斯·沃尔什2015年9月21日
求和{n>=1}1/a（n）=162*log（3）/5-18*sqrt（3）*Pi/5-384/25。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=36*sqrt（3）*Pi/5-96*log（2）/5-636/25。（结束）
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例子
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示例包括E（K_1,2,3）=s（2+2,2）=11和E（K_1,2,3,4,5）=s（4+2,4）=85，其中E是计算图的边的函数。
对于n=2，a（2）=11个函数f:[4]->[4]正好有两个f（x）=x和两个f●●●●-丹尼斯·沃尔什2017年9月6日
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MAPLE公司
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A000914号：=n->1/24*（n+1）*n*（n+2）*（3*n+5）；
组合词[stirling1]（n+2，n）；
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数学
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表[StirlingS1[n+2，n]，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*）
a[n]：=n（n+1）（n+2）（3n+5）/24；(*迈克尔·索莫斯2017年9月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（i=1，n+1，总和（j=1，n+1，i*j*（i<j））
（鼠尾草）[stirling_number1（n+2，n）代表范围（41）内的n]#零入侵拉霍斯2009年3月14日
（哈斯克尔）
a000914 n=a000914_列表！！n个
a000914_list=扫描1（+）a006002_list
（岩浆）[StirlingFirst（n+2，n）：n in[0..40]]//文森佐·利班迪2019年5月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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更多来自Klaus Strassburger（strass（AT）ddfi.uni-duesseldorf.de）的条款，2000年1月17日
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状态
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经核准的
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2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 79
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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非三角形数字（非三角形数字）。
当n>=1，k>=1时：
t（n+k）-k，1<=k<=n+k-1，n>=1；
t（n+k-1）+n，1<=n<=n+k-1，k>=1；
其中t（n+k）=t（n＋k-1）+（n＋k）是第（n＋k）-个三角数，而n＋k分为2部分的次数是C（n＋k－1，2-1）=n＋k－1，t（n＋k－1）和t（n－k）之间的非三角数，恰到好处！
与希尔伯特无限酒店相关：
0）所有房间（通过正整数编号）都已满；
1） 无限数量的列车到达，每列列车包含无限数量的乘客：即一对正整数的二维晶格；
2） 将房间m的居住者移动到房间t（m）=m*（m+1）/2，其中t（m是第m个三角形数；
3） 将第k列车的第n名乘客分配到房间t（n+k-1）+n，1<=n<=n+k-1，k>=1；
4） 每个人都有自己的房间，没有一个房间是空的，因为m>=1。
如果情况1再次发生，重复步骤2和3，则返回到4。
（结束）
1711+2*a（n）*（58+a（n。没有此属性的术语开始于29,32,34,43,47,58,59,60,62,63,65,68,70,73-本尼迪克特·欧文2016年11月22日
另外，数字k具有以下性质：在sigma（k）的对称表示中，两条Dyck路径都有一个中心峰值，或者两条Dyck路径都有中心谷。（参见。A237593型.) -奥马尔·波尔，2018年8月28日
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链接
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Benoit Cloitre，N.J.A.Sloane和M.J.Vandermast，Aronson序列的数值模拟，J.整数序列。，第6卷（2003年），#03.2.2。
Benoit Cloitre，N.J.A.Sloane和M.J.Vandermast，Aronson序列的数值模拟arXiv:math/0305308[math.NT]，2003年。
巴基尔·法希，生成非斐波那契数的显式公式，arXiv:1105.1127[math.NT]，2011年5月5日。参见第456页示例5。
克里斯汀·莫蒂奇，关于互补序列的注记，斐波纳契夸脱。48（2010），第4期，343-347。
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配方奶粉
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a（n）＝n+圆（sqrt（2*n））。
a（a（n））=n+2*楼层（1/2+sqrt（2n））+1。
a（n）=（（t+2）^2+i-j）/2，其中
i＝n-t*（t+1）/2，
j=（t*t+3*t+4）/2-n，
t=地板（-1+平方（8*n-7））/2）。（结束）
G.f.：x/（1-x）^2+x/（1-x）*总和（j>=0，x^（j*（j+1）/2））=x/（-1-x）^2+x^，（7/8）/（2-2*x）*Theta2（0，sqrt（x）），其中Theta2是雅可比θ函数。（结束）
G.f.作为数组：x*y*（2-2*y+x^2*y+y^2-x*（1+y））/（1-x）^3*（1-y）^3）-斯特凡诺·斯佩齐亚2024年4月22日
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例子
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序列的开头是一个表（由反对偶读取，从右到左），其中第k行对应于三角形的第k列（如下所示）：
2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, ...
5, 8, 12, 17, 23, 30, 38, ...
9, 13, 18, 24, 31, 39, 48, ...
14, 19, 25, 32, 40, 49, 59, ...
20, 26, 33, 41, 50, 60, 71, ...
27, 34, 42, 51, 61, 72, 84, ...
35, 43, 52, 62, 73, 85, 98, ...
(...)
序列的开头是一个三角形（按行读取），其中第i行的i元素是t（i）+1到t（i+1）-1，i>=1：
2;
4, 5;
7, 8, 9;
11, 12, 13, 14;
16, 17, 18, 19, 20;
22, 23, 24, 25, 26, 27;
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35;
(...)
行号i包含i个数字，其中t（i）=i*（i+1）/2：
t（i）+1，t（i）+2。。。，t（i）+i=t（i+1）-1
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数学
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f[n_]：=n+圆形[Sqrt[2n]]；数组[f，71]（*或*）
补码[范围[83]，数组[#（#+1）/2&，13]](*罗伯特·威尔逊v2005年10月21日*）
删除案例[范围[80]，_？（奇数Q[Sqrt[8#+1]]&）](*哈维·P·戴尔2021年7月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，0，n+（平方（8*n-7）+1）
（PARI）isok（n）=！异多角形（n，3）\\米歇尔·马库斯2016年3月1日
（岩浆）IsTriangular:=func<n|在[1..Isqrt（2*n）]|n eq（k*（k+1）div 2）}>中存在{k:k；[1..90]中的[n:n |不是IsTriangular（n）]//克劳斯·布罗克豪斯2011年1月4日
（哈斯克尔）
a014132 n=n+四舍五入（sqrt$2*来自整数n）
a014132_list=过滤器（（==0）。a010054）[0..]
（Python）
从数学导入isqrt
定义A014132号（n） ：返回n+（isqrt（（n<<3）-7）+1>>1）#柴华湖2024年6月17日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000217号,A006002号,A035214号,A080036号,A002024号,A007401号,A003057号,A114327号,A002260号,A004736号,A118011号,A237593型.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A001181号
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| 长度为n的Baxter置换数（也称为Baxter数）。
（原名M1661 N0652）
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+10
40
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1, 1, 2, 6, 22, 92, 422, 2074, 10754, 58202, 326240, 1882960, 11140560, 67329992, 414499438, 2593341586, 16458756586, 105791986682, 687782586844, 4517543071924, 29949238543316, 200234184620736, 1349097425104912, 9154276618636016, 62522506583844272
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 3
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评论
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如Dulucq和Guilbert所示（例如，见“Baxter排列”，离散数学，1998），a（n）也是三个长度为n-1的恶性步行者（也称为“恶性3-西瓜”）的可能路径数[Essam和Guttmann（1995），方程式（63）]，Jensen（2017），方程式。（1），（2）]。通过比较这里的Ollerton递推和Essam&Guttmann等式（60）中的递推，很容易得出结论。事实上，正如Dulucq和Guilbert所讨论的那样，对该序列的这种解释早已为人所知-N.J.A.斯隆2021年3月19日；由提供的其他参考奥利维尔·杰拉德2021年3月22日。
a（n）也是具有n个顶部拱的曲流数，随着拱数的减少，通过组合第一个和最后一个拱，每个偶数个拱产生一个曲流。
例如：对于n=4，这个曲流具有这个特性。
/\拱=8
/\ / \
/ \ --> /\ //\ \
开始曲流：/\//\\分裂和/\/\//\///\\/\\
\\/\ \//旋转
\\//底部拱/\
\\///\拱=7
\ / / /\\ /\
\/组合开始//\\//\\\//\\/\
\/第一个拱门
曲流：\/最后一个拱门的末端
/\ /\
/\/\组合拱/\//\\拱=6
\\//\然后再\///\ \///\\\
\\\///旋转并连接
\ \ / / <-- /\
\\///\/\/\arche=5
\/组合////\\//\\
\/ /\
曲流：/\
//\\合并/\
\/\/<--//\/\/\拱=4
/\
组合/\//\\arches=3
曲流：/\组合
\/<--/\/\拱=2
（结束）
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参考文献
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Arthur T.Benjamin和Naiomi T.Cameron，《计算决定因素》，《美国数学月刊》，112.6（2005）：481-492。
博伊斯，与交换函数相关的一类置换的生成，数学。算法，2（1967），19-26。
威廉·博伊斯（William M.Boyce），《没有公共不动点的交换函数》，《美国数学学会学报》137（1969）：77-92。
T.Y.Chow，《评论》，“尼古拉斯·博尼肯（Bonichon，Nicolas）；米雷尔·布斯克特·梅洛（Bousquet-Mélou，Mireille）；埃里克·富西（Fusy，Eric）；巴克斯特排列和平面双极定向。洛萨组合学61A（2009/10），第B61Ah条，29页”，《数学科学网评论》MR2734180（2011m:05023）。
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J.W.Essam和A.J.Guttmann，《一般尺寸中的邪恶步行者和定向聚合物网络》，《物理评论》E，52（6），1995年，第5849ff页。参见（60）和（63）。
伊万·延森（Iwan Jensen），《三个友好的步行者》（Three friendly walkers），《物理学杂志A：数学与理论》（Journal of Physics A:Mathematical and Theoryal），第50:2卷（2017），#24003，14页；https://doi.org/10.1088/1751-8121/50/2/024003。见（1）、（2）。
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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Doron Zeilberger，《创造性伸缩方法》，J.Symb。计算。11.3 (1991): 195-204. 见第7.8节。
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链接
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Jean-Christophe Aval、Adrien Boussicault、Mathilde Bouvel、Olivier Guibert和Matteo Silinbani，巴克斯特树状表，arXiv:2108.06212[math.CO]，2021。
尼古拉·博尼肯、米雷尔·布斯克特·梅洛和埃里克·福西，Baxter排列与平面双极取向塞姆洛塔尔。组合61A（2009/10），第B61Ah条，第29页。
尼古拉斯·博尼肯（Nicolas Bonichon）和皮埃尔·让·莫雷尔（Pierre-Jean Morel），Baxter d-置换和其他模式避免类，arXiv:22022.12677[math.CO]，2022。
Alin Bostan、Jordan Tirrell、Bruce W.Westbury和Yi Zhang，关于秩2简单李代数不变量理论的相关序列，arXiv:1911.10288[math.CO]，2019年。
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Elizabeth Hartung、Hung Phuc Hoang、Torsten Mütze和Aaron Williams，通过置换语言的组合生成。一、基本原理，arXiv:1906.06069[cs.DM]，2019年。
Laszlo Kozma和T.Saranurak，二进制搜索树和矩形，arXiv预印本arXiv：1603.08151[cs.DS]，2016。
A.Peder和M.Tombak，用计数法寻找结构描述：一个案例研究，SOFSEM 2011，LNCS 6543（2011）455-466 doi:10.1007/978-3642-18381-2_38。
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配方奶粉
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a（n）=和{k=1..n}C（n+1，k-1）*C（n+1,k）*C。
如果n>1，则为（n+1）*（n+2）*（n-3）*（3*n-2）*a（n）=2*（n+1。[斯坦利，1999年]-迈克尔·索莫斯2002年7月19日
递归D-有限（n+2）*（n+3）*a（n）=（7*n^2+7*n-2）*a。
a（n）=表层（[-1-n，-n，1-n]，[2,3]，-1）。（结束）
[多项式p（n，x）=超几何（[-1-n，-n，1-n]，[2，3]，-x）的系数由A056939号. -彼得·卢什尼，2022年12月28日]
通用公式：-1+（1/（3*x^2））*（x-1+（1-2*x）*超几何（[-2/3，2/3]，[1]，27*x^2/（1-2*x）^3）-（8*x^3-11*x^2-x）*超级几何（[1/3，2/2]，[2]，27*x ^2/-马克·范·霍伊2011年10月23日
a（n）~2^（3*n+5）/（Pi*sqrt（3）*n^4）-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月1日
0=+a（n）*（+a（n+1）*（+512*a（n+2）+2624*a（n+3）+600*a（n+4））+a（n+2）*)如果n>=0，则为+a（n+3）*（-a（n+3）-a（n+4））-迈克尔·索莫斯2017年3月9日
通用格式：（x^3+3*x^2+3*x+1）/（1-8*x）^（3/4）*超几何（[1/4，5/4]，[2]，64*x*（1+x）^3/（8*x-1）^3）-1+x）/（3*x*2）-马克·范·霍伊2023年11月5日
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例子
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G.f.=x+2*x ^ 2+6*x ^ 3+22*x ^ 4+92*x ^ 5+422*x ^ 6+2074*x ^ 7+。。。
a（4）=22，因为长度4的所有排列都是Baxter，除了2413和3142-迈克尔·索莫斯2002年7月19日
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MAPLE公司
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C:=二项式；A001181号：=进程（n）局部k；加（C（n+1，k-1）*C（n+1,k）*C；结束；
#第二个Maple项目：
a： =proc（n）选项记住`如果`（n<2，1，
（（7*n^2+7*n-2）*a（n-1）+8*（n-1
结束时间：
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数学
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a[0]＝1；a[1]＝1；a[n]：=a[n]=（（7n^2+7n-2）*a[n-1]+8（n-1）（n-2）*a[n-2]）/（（n+2）（n+3））；表[a[n]，{n，0，30}](*Jean-François Alcover公司2015年10月28日，第三配方奶粉*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0,0，sum（k=1，n，二项式（n+1，k-1）*二项式/*迈克尔·索莫斯2002年7月19日*/
（哈斯克尔）
a001181 0=1
a001181亿=
（总和$map（\k->产品$map）（a007318（n+1））[k-1..k+1]）[1..n]）
`div`(a006002号n）
（Python）
从符号导入二项式转换为C
定义a（n）：范围（1，n+1）中k的返回和#因德拉尼尔·戈什2017年4月25日
（岩浆）[1]类别[2*（&+[二项式（n+1，k-1）*二项式//G.C.格鲁贝尔2019年7月24日
（Sage）[1]+[2*和（二项式（n+1，k-1）*二项式#G.C.格鲁贝尔2019年7月24日
打印（[BaxterPermutations（n）.cardinality（）for n in range（25）]）
（GAP）级联（[1]，列表（[1.30]，n->2*和（[1..n]，k->二项式（n+1，k-1）*二项式#G.C.格鲁贝尔2019年7月24日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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将初始项更改为a（0）=1（它是a（0”=0，但有令人信服的理由进行更改）-N.J.A.斯隆2021年9月14日
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状态
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经核准的
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0, 6, 36, 120, 300, 630, 1176, 2016, 3240, 4950, 7260, 10296, 14196, 19110, 25200, 32640, 41616, 52326, 64980, 79800, 97020, 116886, 139656, 165600, 195000, 228150, 265356, 306936, 353220, 404550, 461280, 523776, 592416, 667590, 749700, 839160, 936396
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 2
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评论
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三角形的数字t_n作为n穿过正方形。
的部分总和A055112号：如果从n，n+1生成毕达哥拉斯基本三角形，则其中n的总面积将等于此序列中的数字。前三个三角形的和是6+30+84=120，这是序列的第三个非零项-J.M.贝戈2011年7月14日
a（n）是n X n网格或土工板上的分段数-马丁·瑞诺2014年4月17日
考虑将2n分为两部分（p，q）。那么a（n）是具有尺寸p、q和|q-p|的矩形棱镜族的总体积-韦斯利·伊万·赫特2018年4月15日
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参考文献
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Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约：多佛，（第二版）1966年，第106页，表55。
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链接
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索马亚·巴拉蒂、贝塔·贝尼、阿巴斯·贾法扎德和丹尼尔·雅库比，混合限制斯特林数，arXiv:1812.02955[math.CO]，2018年。
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配方奶粉
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a（n）=二项式（n^2,2），n>=1-零入侵拉霍斯2008年1月7日
当n>5时，a（n）=5*a（n-1）-10*a（n-2）+10*a（n3）-5*a（-n4）+a（n-5）-R.J.马塔尔2009年4月10日
总尺寸：-6*x^2*（1+x）/（x-1）^5-R.J.马塔尔2009年4月10日
例如：exp（x）*x^2*（6+6*x+x^2）/2-斯特凡诺·斯佩齐亚，2021年6月6日
和{n>=2}（-1）^n/a（n）=Pi^2/6-3/2-阿米拉姆·埃尔达尔2021年11月2日
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MAPLE公司
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数学
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表[n^2*（n^2-1）/2，{n，40}](*T.D.诺伊2006年10月25日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n^2*（n^2-1）/2:n英寸[1..40]]//文森佐·利班迪2011年9月14日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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Alan Sutcliffe（alansut（AT）ntlworld.com），2003年6月5日
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扩展
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状态
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经核准的
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A036561号
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| 按行读取的尼科马科斯三角形，T（n，k）=2^（n-k）*3^k，对于0<=k<=n。 |
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+10
35
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1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27, 16, 24, 36, 54, 81, 32, 48, 72, 108, 162, 243, 64, 96, 144, 216, 324, 486, 729, 128, 192, 288, 432, 648, 972, 1458, 2187, 256, 384, 576, 864, 1296, 1944, 2916, 4374, 6561, 512, 768, 1152, 1728, 2592, 3888, 5832, 8748, 13122, 19683
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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与这个序列有关的三角形具有这样的性质：每一行、每一列和每一对角线都包含一个非平凡的几何级数。更有趣的是，连接任意两个元素的每条线都包含一个非平凡的几何级数-阿玛纳斯·穆尔西2002年1月2日
卡普拉夫指出（第148-149页）：“我将此称为尼科马科斯表，因为在格拉萨的尼科马库斯算术（约公元150年）中出现了一个相同的数字表。”该表在意大利文艺复兴时期由利昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂（Leon Battista Alberti）重新发现，他将这些数字融入了建筑的尺寸和音乐比例系统中。卡普拉夫说：“因此，一个房间可能会呈现出4:6或6:9的比例，但不是4:9。这确保了这些长度的比率将体现音乐比率”-加里·亚当森2003年8月18日
在尼科马库斯和阿尔贝蒂之后，几位文艺复兴时期的作家描述了这张表。例如，见1569年皮埃尔·德拉雷梅（Pierre de la Ramée）（链接部分中他的拉丁文算术论文的一页传真）-奥利维尔·杰拉德2013年7月4日
其中d（n）是除数计数函数，则d（T（i，j））=A003991号，其中的行总和为四面体数A000292号（n+1）。例如，这个三角形第4行（i=4）的除数之和给出了d（16）+d（24）+d=A000292号(5). 事实上，在p和q是不同素数的情况下，上述与除数函数和四面体数的关系可以推广到第i行为{p^（i-j）*q^j，0<=j<=i}形式的任何数字三角形；i>=0（例如。，A003593号,A003595号). -拉斐·弗兰克，2012年11月18日，2012年12月7日更正
由这些规则生成的序列（或树）：1位于S中，如果x位于S，则2*x和3*x位于S中并在重复出现时删除；看见A232559美元. -克拉克·金伯利2013年11月28日
通过在字母表{0,1}上选择一个（可能是空的）单词，然后在字母表{2,3,4}上连接一个长度为j的单词，形成一个长度为i的单词。T（i，j）是此类单词的数量-杰弗里·克雷策2016年6月23日
Zorach加法三角形的形式（参见A035312号)其中每个数字是西部和西北部数字的总和，附加条件是每个数字是紧邻其下两个数字的GCD-米歇尔·拉格诺2018年12月27日
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参考文献
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Jay Kappraff，《超越测量》，《世界科学》，2002年，第148页。
弗洛拉·莱文（Flora R.Levin），《毕达哥拉斯尼科马库斯和声手册》（The Manual of Harmonics of Nicomachus The Pythagorean），费恩斯出版社，1994年，第114页。
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链接
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Reinhard Zumkeller和Matthew House，行n=0..300的三角形，展平【第0行到第120行由Reinhard Zumkeller计算；第121行到第300行由Matthew House计算，2015年7月9日】
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配方奶粉
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对于n>=1，T（n，k）=T（n、k-1）+T（n-1、k-1-约翰内斯·W·梅耶尔2010年9月22日
T（n，k）=2^（k-1）*3^（n-1），n，k>0由反对偶函数读取-鲍里斯·普蒂夫斯基2013年1月8日
a（n）=2^(A004736号（n） -1）*3^(A002260号（n） -1），n>0或a（n）=2^（j-1）*3^（i-1）n>0，其中i=n-t*（t+1）/2，j=（t*t+3*t+4）/2-n，t=floor[（-1+sqrt（8*n-7）））/2]-鲍里斯·普蒂夫斯基2013年1月8日
G.f.：1/（（1-2x）（1-3yx））-杰弗里·克雷策2016年6月23日
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例子
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序列的开头是按行读取的三角形数组：
1
2 3
4 6 9
8 12 18 27
16 24 36 54 81
32 48 72 108 162 243
...
序列的开头为表T（n，k）n，k>0：
1 2 4 8 16 32 ...
3 6 12 24 48 96 ...
9 18 36 72 144 288 ...
27 54 108 216 432 864 ...
81 162 324 648 1296 2592 ...
243 486 972 1944 3888 7776 ...
...
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MAPLE公司
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T:=proc（n，k）选项请记住：如果k=0，则2^n elif k>=1，则procname（n，k-1）+procname；
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数学
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扁平[表[2^（i-j）3^j，{i，0，12}，{j，0，i}]]（*扁平由哈维·P·戴尔2011年6月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，2^（n-k）*3^k）}/*迈克尔·索莫斯2012年5月28日*/
（哈斯克尔）
a036561 n k=a036561_tabf！！不！！k个
a036561_row n=a036561 _ tabf！！n个
a036561_tabf=迭代（\xs@（x:_）->x*2:map（*3）xs）[1]
（Magma）/*作为三角形：*/[（2^（i-j）*3^j）/3:j在[1..i]]中：i在[1..10]]中//文森佐·利班迪2014年10月17日
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交叉参考
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作者
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状态
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经核准的
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A159797号
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| 按行读取的三角形，其中第n行列出n+1个术语，从n开始，因此连续术语之间的差异等于n-1。 |
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+10
33
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0, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 5, 7, 9, 4, 7, 10, 13, 16, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 100, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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T（n，k）是{1，2，…n}的直接和中的非重复和的数目，其本身是1<=k<=n+1的k倍，例如，T（5,3）=直接和{1,2,3,4,5}+{1,2,4,5{+{1,2,3,4,1,5}中的非循环和的数目。总和的范围为1+1+1=3到5+5+5=15。所以有13个不同的总和-德里克·奥尔2014年11月26日
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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配方奶粉
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给定m=楼层（（sqrt（8*n+1）-1）/2），则a（n）=m+（n-m*（m+1）/2）*（m-1）-卡尔·R·怀特2010年7月24日
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例子
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三角形开始：
0;
1, 1;
2, 3, 4;
3, 5, 7, 9;
4, 7,10,13,16;
5, 9,13,17,21,25;
6,11,16,21,26,31,36;
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MAPLE公司
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数学
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扁平[表[NestList[#+n-1&，n，n]，{n，0，12}]](*哈维·P·戴尔2014年8月4日*）
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黄体脂酮素
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（GNU bc）刻度=0；对于（n=0；n<76；n++）{m=（sqrt（8*n+1）-1）/2；打印m+（n-m*（m+1）/2）*（m-1），“，”}；打印“\n”/*卡尔·R·怀特2010年7月24日*/
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