A003586-OEIS公司

抵消

1,2

这个序列很容易与A033845型，它给出了形式为2^i*3^j和i的数字，j>=1。不要简单地说“2^i*3^j形式的数字”，而是指定您所指的序列-N.J.A.斯隆，2024年5月26日

这些数字曾被称为“谐波数”，见Lenstra链接-N.J.A.斯隆2015年7月3日

连续数k，使得φ（6k）=2k-阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日

其中记录值大于1出现在A088468美元:A160519号（n）=A088468号（a（n））-莱因哈德·祖姆凯勒2009年5月16日

也可以是既不能被6k-1整除也不能被6k+1整除的数字，只要k>0-罗伯特·威尔逊v2010年10月26日

也对m进行编号，以便Matula-Goebel编号为m的有根树具有m条反链。根树的Matula-Goebel数可以通过以下递归方式定义：对于单顶点树，对应于数字1；对于根阶为1的树T，对应于第T个素数，其中T是通过删除从根发出的边而从T获得的树的Matula-Goebel数；对于根次数为m>=2的树T，对应于T的m个分支的Matula-Goebel数的乘积。有根树的顶点可视为部分有序集，其中u<=v对两个顶点u和v成立，当且仅当u位于v和根之间的唯一路径上。反链是一组相互不可比较的非空顶点。示例：m=4位于序列中，因为对应的根树是\/=ARB（R是根），具有4个反链（A、R、B、AB）-Emeric Deutsch公司2012年1月30日

A204455型（3*a（n））=3，并且仅适用于这些数字-沃尔夫迪特·朗2012年2月4日

小于或等于n的项数为Sum_{i=0..floor（log_2（n））}floor（log_3（n/2^i）+1），或Sum_}i=0.floor（对数_3（n），}floor（LO_2（n/3^i）+1），这需要较少的项数进行计算-罗伯特·威尔逊v2012年8月17日

用法语命名为3-fribables-米歇尔·马库斯2013年7月17日

14世纪，列维·本·格尔森证明了唯一一对相差1的术语是（1,2）、（2,3）、（3,4）和（8,9）；看见A235365型,A235366号,A236210型. -乔纳森·松多2014年1月20日

的值范围A000005号（n）（以及2018年1月19日（n））用于立方数字n-马修·范德马斯特2014年5月14日

A036561号是此序列的置换-L.埃德森·杰弗里2014年9月22日

也是的排序并集A000244号和A007694号. -雷舟（Lei Zhou）2017年4月19日

3个光滑数的倒数之和等于3。简证：1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+…=（和{k>=0}1/2^k）*（和{m>=0{1/3^m）=（1/（1-1/2））*（1/1（1-1/3））=（2/（2-1））*-伯纳德·肖特2019年2月19日

对于每个素数p>3的整数k，p^（2k）-1==0（mod 24k）-费德里科·普罗夫维迪2022年5月23日

对于n>1，四个连续项中的一个的指数奇偶校验{奇偶（i），奇偶校验（j）}是{奇数，奇数}。因此，对于n>1，每四个连续项中至少有一个是Zumkeller数(A083207号). 如果奇偶校验为{偶数、奇数}的项的偶数也表示非零，则该项也是Zumkeller数（与四个连续项中的最后一个1296145815361728一样）-伊万·伊纳基耶夫，2022年7月10日

除了初始项2、3、4、8、9和16之外，这些是数字k，k^6除以6^k-亚辛2022年7月21日

参考文献

J.-M.De Koninck和A.Mercier，《流浪者经典问题1001》，《流浪者经典问题654》，第85页，第287-8页，《巴黎椭圆》2004年。

S.Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；切尔西，纽约，1962年，第xxiv页。

R.Tijdeman，Diophantine近似的一些应用，《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。

链接

雷舟，n=1..10000时的n，a（n）表（前501个术语来自Franklin T.Adams-Waters）

R.Blecksmith、M.McCallum和J.L.Selfridge，整数的3-光滑表示阿默尔。数学。月刊，105（1998），529-543。

蒂埃里·布什，斯托克梅耶巡回赛Séminaire Lotharingien de Combinatoire 77（2017），第B77d条。

贝诺伊特·克洛伊特，a（n）/（（1/sqrt（6））*exp（sqrt

纳塔利亚·达席尔瓦（Natalia da Silva）、塞尔维亚人莱亚努（Raianu）和赫克托尔·萨尔加多（Hector Salgado），调和数的差异与abc猜想，arXiv:1708.00620[math.NT]，2017年。

Emeric Deutsch公司，基于Matula数的根树统计，arXiv:11111.4288[math.CO]，2011年。

David Eppstein，2048年的变革，arXiv:1804.07396[cs.DM]，2018年。

F.戈贝尔，有根树与自然数的1-1对应《组合理论》，B 29（1980），141-143。

I.Gutman和A.Ivic，关于Matula数，离散数学。，150, 1996, 131-142.

I.Gutman和Yeong-Nan Yeh，从Matula数推导树的性质，出版物。数学研究所。，53 (67), 1993, 17-22.

A.M.Hinz、S.Klavžar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。见第252页。图书网站

H.W.Lenstra Jr。，谐波数

H.W.Lenstra，Jr.，小。，调和数与ABC猜想，谈话摘要，2001年5月30日[带注释的扫描件]

D.马图拉，基于素因式分解的自然根树计数，SIAM Rev.10（1968）273。

D.J.明茨，2,3序列作为二元混合物，光纤。《季刊》，第19卷，第4期，1981年10月，第351-360页。

I.彼得森，中世纪和谐

拉斐尔·舒马赫，3-光滑、5-光滑、7-光滑和所有其他光滑数的分布公式，arXiv预印本arXiv:1608.06928[math.NT]，2016。

埃里克·魏斯坦的数学世界，平滑数（Smooth Number）

配方奶粉

a（n）的一个渐近公式大致是a（n）~1/sqrt（6）*exp（sqrt（2*log（2）*log，3）*n））-贝诺伊特·克洛伊特2001年11月20日

A061987号（n） =a（n+1）-a（n），a(A084791号（n））=A084789号（n），一个(A084791号（n） +1）=A084790号（n） ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2003年6月3日

2和3的幂与n的并集，使得psi（n）=2*n，其中psi（n）=n*Product_（1+1/p）在n的所有素因子p上=A001615号（n） ●●●●-Lekraj Beedassy公司，2004年9月7日；已由更正富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年3月19日

a（n）=2^A022328号（n） *3个^A022329号（n） ●●●●-N.J.A.斯隆2009年3月19日

该序列的特征函数由Sum{n>=1}x^a（n）=Sum{n>=1}moebius（6*n）*x^n/（1-x^n）给出-保罗·D·汉纳2011年9月18日

a（n）=A007694号（n+1）/2-雷舟（Lei Zhou）2017年4月19日

MAPLE公司

A003586号：=proc（n）选项记忆；如果n=1，则为1；否则，对于from procname（n-1）+1，执行numtheory[factorset]（a）减去{2,3}；如果%={}，则返回a；结束条件：；end do：结束if；结束进程：#R.J.马塔尔2011年2月28日

with（numtheory）：对于i从1到23328，如果（i/phi（i）=3），则打印（i/6）fiod#加里·德特利夫斯2011年6月28日

数学

a[1]=1；j=1；k=1；n=100；对于[k=2，k<=n，k++，如果[2*a[k-j]<3^j，a[k]=2*a[k-j]，{a[k]=3^j，j++}]]；表[a[i]，{i，1，n}]（*Hai He（Hai（AT）mathteach.net）和Gilbert Traub，2004年12月28日*）

aa={}；Do[If[EulerPhi[6n]==2n，AppendTo[aa，n]]，{n，11000}]；aa公司(*阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日*）

fQ[n_]：=Union[MemberQ[｛1，5｝，#]和/@Union@Mod[Rest@Divisiors@n，6]]==｛False｝；fQ[1]=真；选择[Range@4000，fQ](*罗伯特·威尔逊v2010年10月26日*）

功率OfTwo=12；选择[嵌套[联盟@加入[#，2*#，3*#]&，{1}，powerOfTwo-1]，#<2^powerOf Two&](*罗伯特·威尔逊v和T.D.诺伊2011年3月3日*）

fQ[n_]：=n==3 EulerPhi@n；选择[6范围@4000，fQ]/6(*罗伯特·威尔逊v2011年7月8日*）

mx=4000；排序@Flatten@表[2^i*3^j，{i，0，对数[2，mx]}，{j，0，Log[3，mx/2^i]}](*罗伯特·威尔逊v2012年8月17日*）

f[n_]：=块[{p2，p3=3^范围[0，楼层@Log[3，n]+1]}，p2=2^楼层[Log[2，n/p3]+1]；Min[选择[p2*p3，整数Q]]；嵌套列表[f，1，54](*罗伯特·威尔逊v2012年8月22日*）

选择[范围@4000, 最后@地图[First，FactorInteger@#]<=3&](*文森佐·利班迪2016年8月25日*）

选择[Range[4000]，Max[FactorInteger[#][[All，1]]<4&](*哈维·P·戴尔2017年1月11日*）

黄体脂酮素

（PARI）测试（n）=（p=2,3，而（n%p==0，n/=p））；n==1；

对于（n=14000，如果（测试（n），打印1（n“，”））

（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），N）；对于（n=0，log（lim\1+.5）\log（3），n=3^n；而（N<=lim，listput（v，N））；N<<=1））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月28日

（PARI）是_A003586号（n） =n<5||vecmax（因子（n，5）[，1]）<5\\M.F.哈斯勒，2015年1月16日

（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），N）；对于（n=0，logint（lim\=1,3），n=3^n；而（N<=lim，listput（v，N））；N<<=1））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月10日

（哈斯克尔）

导入数据。集合（Set、singleton、insert、deleteFindMin）

平滑：：设置整数->[整数]

平滑s=x：平滑（插入（3*x）$插入（2*x）s’）

其中（x，s'）=删除查找最小值

a003586_list=平滑（单例1）

a003586 n=a003586_列表！！（n-1）

--莱因哈德·祖姆凯勒2010年12月16日

（鼠尾草）

定义为A003586（n）：

不返回任何（prime_divisors（n）中d的d！=2和d！=3）

@缓存函数

定义A003586号（n）：

如果n==1：返回1

k个=A003586号（n-1）+1

而不是A003586（k）：k+=1

返回k

[A003586号（n）对于（1..55）中的n#彼得·卢什尼2012年7月20日

（Python）

来自itertools导入计数，takewhile

定义缺陷（lim）：

pows2=列表（takewhile（λx：x<lim，（计数（0）中i的2**i））

pows3=列表（takewhile（λx：x<lim，（计数（0）中的i为3**i））

返回已排序的（如果c*d<=lim，则返回pows2中c的c*d，返回pows3中d的c）

打印（aupto（10**4））#迈克尔·布拉尼基2022年7月8日

（Python）

从sympy导入integer_log

定义A003586号（n）：

定义平分（f，kmin=0，kmax=1）：

而f（kmax）>kmax:kmax<<=1

当kmax-kmin>1时：

kmid=kmax+kmin>>1

如果f（kmid）<=kmid：

kmax=kmid

其他：

kmin=公里识别码

返回kmax

定义f（x）：返回n+x-sum（（x//3**i）.bit_length（），用于范围内的i（integer_log（x，3）[0]+1））

返回二分（f，n，n）#柴华武2024年9月15日

（Python）#序列的初始段速度更快

导入heapq

从itertools导入islice

def A003586gen（）：#术语生成器

v、 oldv，h，psmooth_primes，=1,0，[1]，[2,3]

为True时：

v=heapq.heappop（h）

如果v！=旧版本：

产量v

oldv=v

对于psmooth_primes中的p：

堆堆（h，v*p）

打印（列表（islice（A003586gen（），65））#迈克尔·布拉尼基2024年9月17日

（岩浆）[1..4000]|PrimeDivisors（n）子集[2,3]]中的n:n//布鲁诺·贝塞利2012年9月24日

交叉参考

囊性纤维变性。A051037号,A002473号,A051038号,A080197号,A080681号,A080682号,A117221号,A105420号,A062051型,A117222号,A117220型,A090184号,A131096型,A131097号,A186711号,A186712号,A186771号,A088468号,A061987号,A080683号（具有其他p值的p-光滑数），A025613美元（子序列）。

另请参阅A235365型,A235366号,A236210型,A036561号.

另请参阅A000244号,A007694号. -雷舟（Lei Zhou），2017年4月19日

囊性纤维变性。A191475型（i的连续值），A191476号（j的连续值），A022330号（纯项2^i的指数），A022331号（纯项指数3^j）-N.J.A.斯隆2024年5月26日

上下文中的序列：A301704型 A083854号 A275199型*A114334号 A262609型 A018690美元

相邻序列：A003583号 A003584美元 A003585号*A003587号 A003588美元 A003589号

关键词

非n,容易的,美好的

作者

保罗·齐默尔曼1996年12月11日

扩展

删除了此序列是2^n的并集的声明(A000079号)和3^n(A000244号)序列——这不包括非纯幂的术语沃尔特·罗斯切罗（wroscello（AT）comcast.net），2008年11月16日

状态

经核准的