搜索： a182421-编号：a182422
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A000984号
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| 中心二项式系数：二项式（2*n，n）=（2*n）/（n！）^2。
（原名M1645 N0643）
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+10
1035
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1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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等于二项式系数和和{k=0..n}二项式（n，k）^2。
当由两个进程执行时，一个程序与n个原子指令的可能交错次数Manuel Carro（麦卡罗（AT）fi.upm.es），2001年9月22日
还有半周长为n+2的有向凸多边形的数量。
此外，求和{k=0..n}二项式（n+k-1，k）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月28日
该序列的第二个二项式逆变换是具有插值零点的序列。其g.f.为（1-4*x^2）^（-1/2），第n项为C（n，n/2）（1+（-1）^n）/2-保罗·巴里2003年7月1日
2n位二进制数的可能值的数量，其中一半位为开，一半位为关。-加文·斯科特（Gavin（AT）allegro.com），2003年8月9日
n的零到n+1的有序分区，例如，对于n=4，我们考虑了11110（5）、11200（30）、13000（20）、40000（5）和22000（10）的有序分区、总计70和a（4）=70。请参见A001700号（特别是Mambetov Bektur的评论）-乔恩·佩里2003年8月10日
从0到n的n个整数的非递减序列数：a（n）=和{i_1=0..n}和{i_2=i_1..n}。。。求和{i_n=i{n-1}。。n} （1）.-J.N.Bearden（jnb（AT）eller.arizona.edu），2003年9月16日
半长度n+1的所有Dyck路径中奇数级的峰值数。例如：a（2）=6，因为我们有U*DU*DU*D，U*DUUDD，UUDDU*D、UUDUDD、UUU*DDD，其中U=（1,1），D=（1，-1）和*表示奇数水平的峰值。半长n+1的所有Dyck路径中长度为1的上升次数（Dyck道路中的上升是最大的上升步长串）。例如：a（2）=6，因为我们有uDuDuD、uDUUDD、UUDDuD、UUDuDD、UUUDDD，其中长度1的上升由小写字母表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
a（n-1）=一次取n个包含给定元素的2n-1个不同元素的子集的数目。例如，n=4->a（3）=20，如果我们考虑一次取7的子集4和1，我们得到（1234、1235、1236、1237、1245、1246、1247、1256、1257、1267、1345、1346、1347、1356、1357、1367、1456、1457、1467、1567），其中有20个-乔恩·佩里2004年1月20日
酉双极空间DSU（2n，q^2）的特定（必然存在）绝对普遍嵌入的维数，其中q>2。-J.Taylor（jt_cpp（AT）yahoo.com），2004年4月2日。
Erdős，Graham等人推测，对于足够大的n，a（n）从来都不是平方自由的（参见Graham，Knuth，Patashnik，混凝土数学，第二版，练习112）。Sárközy证明，如果S（n）是a（n）的平方部分，那么S（n）是渐近的（sqrt（2）-2）*（sqert（n））*（Riemann-Zeta函数（1/2））。Granville和Ramare证明了唯一的无平方值是a（1）=2，a（2）=6和a（4）=70-乔纳森·沃斯邮报，2004年12月4日[有关此推测的更多信息，请参阅A261009型. -N.J.A.斯隆2015年10月25日]
MathOverflow链接包含以下评论（略加编辑）：1980年，sárközy，a.（关于二项式系数的除数，I.J.Number Theory 20（1985），no.1，70-80.）证明了Erdős square-free猜想（即a（n）对于n>4永远不会是squarefree的），他表明该猜想适用于所有足够大的n值，以及A.Granville和O.Ramaré（指数和的显式界和无平方二项系数的稀缺性。Mathematika 43（1996），第1期，73-107），他们证明了它适用于所有n>4Fedor Petrov，2010年11月13日。[来自N.J.A.斯隆，2015年10月29日]
奶奶住在网格城我家以南n个街区和以东n个街区时，从我家到奶奶家的直达路线数。要获得直接路线，请从2n个街区中选择n个街区，然后向南行驶。例如，a（2）=6，因为有6条直接路线：SSEE、SESE、SEES、EESS、ESES和ESSE-丹尼斯·沃尔什2006年10月27日
反向：q=-log（log（16）/（pi a（n）^2）），上限（（q+log（q））/log（16
具有费雷尔图的分区数量，适合n X n框（包括0的空分区）。例如：a（2）=6，因为我们有：empty、1、2、11、21和22-Emeric Deutsch公司2007年10月2日
从原点开始到终点的无限线性晶格上长度为2n的游动次数Stefan Hollos（Stefan（AT）exstrom.com），2007年12月10日
使用步骤（1,0）和（0,1）从（0,0）到（n，n）的晶格路径数-约尔格·阿恩特2011年7月1日
积分表示法：C（2n，n）=1/Pi积分[（2x）^（2n）/sqrt（1-x^2），{x，-1，1}]，即C（2n，n）/4^n是区间（-1,1）上反正弦分布的2n阶矩-N-E.法西，2008年1月2日
Straub、Amdeberhan和Moll：“……人们推测，只有有限多个指数n，因此C_n不能被3、5、7和11中的任何一个整除。”-乔纳森·沃斯邮报2008年11月14日
等于的INVERT变换A081696号: (1, 1, 3, 9, 29, 97, 333, ...). -加里·亚当森，2009年5月15日
此外，在体育运动中，“2n-1系列最佳”的有序进展方式数量。例如，a（2）=6意味着“三选一”系列有六种有序的进展方式。如果我们写A表示“A队”获胜，写B表示“B队”获胜。如果我们从左到右按时间顺序列出所玩的游戏，那么这六种方式是AA、ABA、BAA、BB、BAB和ABB。（证明：为了生成a（n）有序的方式：写下所有a（n-李·纽伯格2009年6月2日
n X n个二进制数组的数目，其中行被视为二进制数，按非递减顺序排列，列被视为二元数，按不递增顺序排列-R.H.哈丁2009年6月27日
汉克尔变换是2^n-保罗·巴里，2009年8月5日
似乎a（n）也是n>=2时扭曲型BC_n突变类中的颤动数。
长度为2n的{a，b}上的单词数，因此单词的前缀中不包含比a更多的b-乔纳森·尼尔森2012年4月18日
从帕斯卡三角形中取第（n）行，其中的项按a1、a2、……的顺序排列，。。a（n）和行（n+1），带有术语b1、b2、，。。然后2*（a1*b1+a2*b2+…+a（n）*b（n））得到这个序列中的项-J.M.贝戈2012年10月7日。例如，使用第4行和第5行：2*（1*（1）+4*（5）+6*（10）+4*。
从Pascal的三角形行（n）中取b1，b2。。。，b（n+1）和行（n+2），带有c1、c2、…、。。。，c（n+3），求和b1*c2+b2*c3+…+b（n+1）*c（n+2）得到A000984号（n+1）。使用行（3）和行（5）的示例得出总和1*（5）+3*（10）+3*=A000984号(4). -J.M.贝戈，2012年10月31日
a（n）==2modn^3当n是素数>3时。（见Mestrovic链接，第4页。）-加里·德特利夫斯2013年2月16日
猜想：对于任意正整数n，多项式和{k=0}^na（k）x^k在有理数域上是不可约的。一般来说，对于任何整数m>1和n>0，多项式f_{m，n}（x）=Sum_{k=0..n}（m*k）/（k！）^m*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月23日
该评论概括了2012年10月31日的评论以及该序列的第二条原始评论。对于j=1到n，a（n）=和{k=0..j}C（j，k）*C（2n-j，n-k）=2*和{k=0..j-1}C-查理·马里恩2013年6月7日
该序列的连续项之间的商的序列的连续项之间的差形成包含三角数的倒数的序列。换句话说，a（n+1）/a（n）-a（n）/a（n-1）=2/（n*（n+1））-克里斯蒂安·舒尔茨2013年6月8日
使用n个字母A和n个字母B的长度为2n的不同字符串数-汉斯·哈弗曼2014年5月7日
a（n）*（2^n）^（j-2）等于S（n），其中S（n。例如，当n=5和j=4时，a（5）=252；252*(2^5)^(4-2) = 252*1024 = 258048. 产生16次幂的自卷积序列是{1，8，96，1280，17920，258048，…}；即S（5）=258048。注意，当j<2时，卷积序列将由从1到0递减的数字组成（j=1除外，其中序列中的前两个数字为1，其他所有数字均递减）-鲍勃·塞尔科2014年7月16日
具有n条边的有序树的数量，其中级别1的顶点可以是2种颜色。事实上，有序树的标准分解导致方程C=1+zC^2（C是加泰罗尼亚函数），此时得到G=1+2zCG，其中G=1/sqrt（1-4z）-Emeric Deutsch公司2015年6月17日
n个变量中最多n个度的单项式数-冉·潘2015年9月26日
设V（n，r）表示半径为r的n维球体的体积，则V（n、2^n）/Pi=V（n-1、2^n）*a（n/2）表示所有偶数n-彼得·卢什尼2015年10月12日
a（n）是长度n的集合{i1，…，in}的数目，使得n>=i1>=i2>=…>=英寸>=0。例如，a（2）=6，因为只有6个这样的集合：（2,2）（2,1）（2,0）（1,1）（1,0）（0,0）-安东·扎哈罗夫2016年7月4日
通过对整个复平面的解析延拓，发散和存在正则值，例如：
和{k>=0}a（k）/（-2）^k=1/sqrt（3）。
和{k>=0}a（k）/（-1）^k=1/sqrt（5）。
和{k>=0}a（k）/（-1/2）^k=1/3。
求和{k>=0}a（k）/（1/2）^k=-1/sqrt（7）i。
求和{k>=0}a（k）/（1）^k=-1/sqrt（3）i。
Sum_｛k>=0｝a（k）/2^k=-i（结束）
序列数（e（1）。。。，e（n+1）），0<=e（i）<i，这样就没有e（i）>e（j）的三元组i<j<k。[马丁内兹和萨维奇，2.18]-埃里克·施密特2017年7月17日
序列的o.g.f.等于以下任意有理函数的对角线：1/（1-（x+y）），1/-彼得·巴拉2018年1月30日
让我们表示West的堆叠排序图。a（n）是使s（pi）避免模式132、231和321的[n+1]的置换pi的数目。a（n）也是[n+1]的置换pi的数目，使得s（pi）避免了模式132、312和321。
a（n）是避免模式1342、3142、3412和3421的[n+1]的排列数。（完）
对于n>0，所有长度为4n的二进制自对偶码必须包含至少一个（n）重量为2n的码字。更重要的是，总是会有至少一个，也许是唯一的，长度为4n的二进制自对偶码，它正好包含一个（n）码字，其汉明权重等于代码长度（2n）的一半。该码可以通过将长度为2（直到置换等价）的唯一二进制自对偶码直接求和偶数次来构造。通过将两个长度为2n的单位矩阵相加，可以构造置换等价码-内森·罗素2018年11月25日
设[b/p]表示勒让德符号，1/b表示b mod p的逆。然后，对于m和n，其中n不可被p整除，
[（m+n）/p]==[n/p]*和{k=0..（p-1）/2}（-m/（4*n））^k*a（k）（mod p）。
对m=-1和n=1计算这个恒等式表明，对于所有奇素数p，和{k=0..（p-1）/2}（1/4）^k*a（k）可以被p整除（End）
（2n-1）维超立方体的子图的顶点数，由n-1或n个多1s的所有位串诱导。中间层猜想断言该图具有哈密尔顿循环-托尔斯滕·穆泽2019年2月11日
a（n）是距离原点2n长的行走次数，步数（1,1）和（1，-1）位于x轴上或上方。等价地，a（n）是距离原点2n长的行走次数，步长（1,0）和（0,1）停留在第一个八分位-亚历山大·伯斯坦2019年12月24日
长度n>0的排列数避免了长度4的部分有序模式（POP）{3>1，1>2}。也就是说，没有长度为4的子序列的长度n排列的数量，其中第一个元素大于第二个元素，但小于第三个元素-谢尔盖·基塔耶夫，2020年12月8日
还有2n+1与交替和1的整数合成数，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和是sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（0）=1到a（2）=6的合成数是：
(1) (2,1) (3,2)
(1,1,1) (1,2,2)
(2,2,1)
(1,1,2,1)
(2,1,1,1)
(1,1,1,1,1)
以下与这些组合物相关：
等价地，a（n）计算2n+1位的二进制数，以及比0多一个1的二进制数。例如，a（2）=6个二进制数是：10011、10101、10110、11001、11010、11100。
（完）
a（n）是第一列和第二列之间有一道水平墙的nx2 Young表的数量。如果两个单元格之间有一堵墙，条目可能会减少；参见[Banderier，Wallner 2021]。
a（2）=6的示例：
3 4 2 4 3 4 3|4 4|3 2|4
1|2, 1|3, 2|1, 1 2, 1 2, 1 3
a（n）也是nx2 Young tableaux的数量，第一列和第二列之间有n道“墙”。
a（2）=6的示例：
3|4 2|4 4|3 3|4 4|3 4|2
1|2、1|3、1|2，2|1、2|1，3|1（结束）
a（n）/4^n是一枚投掷2n次的公平硬币正面正好n次，反面正好n次的概率，或者一次步数为+-1的随机行走在2n步后返回起点的概率（不一定是第一次）。当n变大时，使用Stirling对n！的近似值，这个数字逐渐接近1/sqrt（n*Pi）！。
a（n）/（4^n*（2n-1））是步长为+-1的随机行走在2n步后第一次返回起点的概率。第n项的绝对值A144704号是这个分数的分母。
考虑到所有可能的2n步随机游动，步长为+-1，a（n）/（2n-1）是2n步后第一次返回起点的游动次数。请参阅的绝对值A002420美元或A284016型对于这些数字。为了进行比较，如所述斯特凡·霍洛斯，2007年12月10日，a（n）是在2n步后返回起点的步行次数，但不一定是第一次。（完）
另外，长度为n的两个单词的洗牌乘积的大小，使得两个单词之间的并集由2n个不同的元素组成-罗伯特·C·莱昂斯2023年3月15日
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参考文献
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配方奶粉
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通用公式：A（x）=（1-4*x）^（-1/2）=1F0（1/2；；4x）。
递归D-有限：n*a（n）+2*（1-2*n）*a（n-1）=0。
a（n）=2^n/n！*产品{k=0..n-1}（2*k+1）。
在中使用斯特林公式A000142号很容易得到渐近表达式a（n）~4^n/sqrt（Pi*n）丹福（Dan.Fux（AT）OpenGaia.com或danfux（AT）OpenGaia.com），2001年4月7日
区间[0，4]上正函数n阶矩的积分表示：a（n）=Integral_{x=0..4}（x^n*（（x*（4-x））^（-1/2））/Pi），n=0，1。。。这种表示是独特的-卡罗尔·彭森2001年9月17日
a（n）=最大{（i+j）！/（i！j！）|0<=i，j<=n}-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月30日
例如：exp（2*x）*I_0（2x），其中I_0是贝塞尔函数-迈克尔·索莫斯2002年9月8日
例如：I_0（2*x）=和a（n）*x^（2xn）/（2*n）！，其中，I_0是贝塞尔函数-迈克尔·索莫斯2002年9月9日
n X n矩阵M（i，j）的行列式=二项式（n+i，j-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月28日
给定m=C（2*n，n），设f为反函数，使f（m）=n。让q表示-log（log（16）/（m^2*Pi）），我们得到f（m大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2003年10月30日
a（n）=2*Sum_{k=0..（n-1）}a（k）*a（n-k+1）/（k+1）-菲利普·德尔汉姆，2004年1月1日
a（n+1）=和{j=n.n*2+1}二项式（j，n）。例如，a（4）=C（7,3）+C（6,3）+C（5,3）+4（4,3）/C（3,3）=35+20+10+4+1=70-乔恩·佩里2004年1月20日
a（n）=（-1）^（n）*Sum_{j=0..（2*n）}（-1）*j*二项式（2*n，j）^2.-海伦娜·维里尔（Verrill（AT）math.lsu.edu），2004年7月12日
a（n）=和{k=0..n}二项式（2n+1，k）*sin（（2n-2k+1）*Pi/2）-保罗·巴里2004年11月2日
a（n-1）=（1/2）*（-1）^n*和{0<=i，j<=n}（-1）*（i+j）*二项式（2n，i+j-贝诺伊特·克洛伊特2005年6月18日
G.f.：1/（1-2x-2x^2/（1-2-x-x^2/-（1-2x x ^2/）（1-…（连分数））；
G.f.：1/（1-2x/（1-x/（2-x/（1-……（连分数））。（完）
a（n）=（-4）^n*sqrt（Pi）/（伽玛（（1/2-n））*伽玛（1+n））-格里·马滕斯2011年5月3日
a（n）=M^n中的左上项，M=无限平方乘积矩阵：
2, 2, 0, 0, 0, 0, ...
1, 1, 1, 0, 0, 0, ...
1, 1, 1, 1, 0, 0, ...
1, 1, 1, 1, 1, 0, ...
1, 1, 1, 1, 1, 1, ....
a（n）=超几何（[-n，-n]，[1]，1）-彼得·卢什尼2011年11月1日
例如：超几何（[1/2]，[1]，4*x）-沃尔夫迪特·朗2012年1月13日
通用系数：1+2*x/（U（0）-2*x），其中U（k）=2*（2*k+1）*x+（k+1）-2*（k+1；（连分数，欧拉第一类，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年6月28日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*H（k）/（2*H-加里·德特利夫斯，2013年3月19日
G.f.：Q（0）*（1-4*x），其中Q（k）=1+4*（2*k+1）*x/（1-1/（1+2*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月11日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-2*x*（2*k+1）/（2*xx（2*k+1）+（k+1）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月24日
例如：E（0）/2，其中E（k）=1+1/（1-2*x/（2*x+（k+1）^2/（2*k+1）/E（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日
雅可比多项式的特殊值，Maple表示法：a（n）=4^n*JacobiP（n，0，-1/2-n，-1）-卡罗尔·彭森2013年7月27日
a（n）=2^（4*n）/（（2*n+1）*Sum_{k=0..n}（-1）^k*C（2*n+1，n-k）/（2*k+1））-米尔恰·梅卡2013年11月12日
a（n）=C（2*n-1，n-1）*C（4*n^2,2）/（3*n*C（2*1,3）），n>0-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（16*a（n+1）-6*a-迈克尔·索莫斯，2014年9月17日
a（n+1）=4*a（n）-2*A000108号（n） ●●●●。同时a（n）=4^n*Product_{k=1..n}（1-1/（2*k））-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年8月9日
通用公式：求和{n>=0}x^n/（1-x）^（2*n+1）*Sum_{k=0..n}C（n，k）^2*x^k-保罗·D·汉纳2014年11月8日
a（n）=4^n*超深层（[-n，1/2]，[1]，1）-彼得·卢什尼2015年5月19日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，k）*C（n-k，k）*2^（n-2*k）-罗伯特·费雷奥2015年8月29日
a（n）~4^n*（2-2/（8*n+2）^2+21/-彼得·卢什尼2015年10月14日
A（-x）=1/x*系列反转（x*（2*x+sqrt（1+4*x^2）））。与的o.g.f.B（x）进行比较A098616号，满足B（-x）=1/x*级数反转（x*（2*x+sqrt（1-4*x^2）））。另请参见A214377号. -彼得·巴拉，2015年10月19日
a（n）=GegenbauerC（n，-n，-1）-彼得·卢什尼2016年5月7日
a（n）=γ（1+2*n）/γ（1+n）^2-安德烈斯·西卡廷2016年5月30日
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4*（5-平方（5）*log（phi））/25=0.6278364236143983844442267…，其中phi是黄金比率-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月4日
此序列作为几个二项式和的闭合表达式出现：
a（n）=和{k=0..2*n}（-1）^（n+k）*二项式（2*n，k）*二项式（2xn+1，k）。
a（n）=2*Sum_{k=0..2*n-1}（-1）^（n+k）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2*n，k），对于n>=1。
当n>=1时，a（n）=2*Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*binominal（n，k）。
a（n）=Sum_{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（2*n，k）*二项法（x+k，n）*二项式（y+k，n）=Sum _{k=0..2*nneneneep（-1）。
对于m=3,4,5，。。。和{k=0..m*n}（-1）^k*二项式（m*n，k）*二项法（x+k，n）*二项式（y+k，n）和和{k=0..m*n{（-1。
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（2*n，k）*二项式（x+k，n）*任意x和y的二项式。
对于m=3,4,5，。。。求和{k=0..m*n}（-1）^k*二项式（m*n，k）*二项式（x+k，n）*二项式（y-k，n。
a（n）=和{k=0..2n}（-1）^k*二项式。（古尔德，第7卷，5.23）。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（2*n，n+k。（完）
N中q的和{k>=0}a（k）/（p/q）^k=sqrt（p/（p-4q）），Z中p的和/{-4q<（some p）<-2}。
...
和{k>=0}a（k）/（-4）^k=1/sqrt（2）。
求和{k>=0}a（k）/（17/4）^k=sqrt（17）。
和{k>=0}a（k）/（18/4）^k=3。
求和{k>=0}a（k）/5^k=sqrt（5）。
求和{k>=0}a（k）/6^k=sqrt（3）。
求和{k>=0}a（k）/8^k=sqrt（2）。
...
p>4q的和{k>=0}a（k）/（p/q）^k=sqrt（p/（p-4q））。（完）
Boas-Buck递推：a（n）=（2/n）*Sum_{k=0..n-1}4^（n-k-1）*a（k），n>=1，a（0）=1。a（n）的证明=A046521号（n，0）。请参阅此处的评论-沃尔夫迪特·朗2017年8月10日
a（n）=n中n的和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（2*n+1，k）-蕾妮·阿达德2017年9月30日
{1/a（n）}的G.f:4*（sqrt（4-x）+sqrt。
例如，对于{1/a（n）}：1+exp（x/4）*sqrt（Pi*x）*erf（sqrt（x）/2）/2。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4*（1/5-弧（1/2）/（5*sqrt（5）））。（完）
a（n）=2^（2*n）*产品{k=1..2*n}k^（（-1）^（k+1））=A056040型（2*n）。
a（n）=4^n*二项式（n-1/2，-1/2）=4*GegenbauerC（n，1/4，1）-格里·马滕斯2022年10月19日
发生在二项式和恒等式sum_{k=-n..n}（-1）^k*（n+x-k）*二项式。与恒等式比较：和{k=-n..n}（-1）^k*二项式（2*n，n+k）^2=a（n）-彼得·巴拉2023年7月31日
4^n*a（n）=和{k=0..2*n}（-1）^k*a（k）*a（2*n-k）。
16^n=和{k=0..2*n}a（k）*a（2*n-k）。（完）
a（n）=Sum_{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2k）*binominal（2*k，k）*2^（n-2*k）。（H.W.古尔德）-加里·德特利夫斯2024年5月28日
a（n）=和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（2n，k）*二项法（2*n+2*k，n+k）*3^（2*n-k）。（H.W.Gould）（结束）
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例子
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总尺寸：1+2*x+6*x^2+20*x^3+70*x^4+252*x^5+924*x^6+。。。
对于n=2，a（2）=4/（2！）^2=24/4=6，这是二项式展开式（a+b）^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4的中间系数-迈克尔·B·波特2016年7月6日
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MAPLE公司
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带有（combstruct）；[seq（count（[S，{S=Prod（Set（Z，card=i），Set（Z），card=1））}，带标签]，size=（2*i）），i=0..20）]；
带有（combstruct）；[seq（count（[S，{S=序列（Union（Arch，Arch））），Arch=Prod（Epsilon，Sequence（Arch），Z）}，未标记]，大小=i），i=0..25）]；
with（combstruct）：bin:={B=并集（Z，Prod（B，B））}:seq（count（[B，bin，unlabeled]，size=n）*n，n=1..25）#零入侵拉霍斯2007年12月5日
A000984列表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1,2]；P：=[1]；
对于从1到m-2的n，做P:=ListTools:-部分和（[op（P），2*P[-1]]）；
A:=[op（A），2*P[-1]]od；A端：A000984列表（28）#彼得·卢什尼2022年3月24日
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数学
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表[二项式[2n，n]，{n，0，24}](*阿隆索·德尔·阿特2005年11月10日*）
系数列表[系列[1/Sqrt[1-4x]，｛x，0，25｝]，x](*哈维·P·戴尔2011年3月14日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）a:=func<n|二项式（2*n，n）>；[0..10]]中的[a（n）:n；
（PARI）fv（n，p）=本人；而（n＝p，s＋＝n）；秒
a（n）=prodeuler（p=2,2*n，p^（fv（2*n、p）-2*fv（n，p））\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年8月21日
（PARI）fv（n，p）=本人；而（n＝p，s＋＝n）；秒
a（n）=我的（s=1）；对于素数（p=2,2*n，s*=p^（fv（2*n、p）-2*fv（n，p）））；秒\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年8月21日
（哈斯克尔）
a000984 n=a007318_低（2*n）！！n个--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月9日
（Python）
来自未来进口部
对于范围（10**3）内的n：
b=b*（4*n+2）//（n+1）
（GAP）列表（[1..1000]，n->二项式（2*n，n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年1月30日
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085号,A093388号,125143英镑（除了符号），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,264541元,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的,步行,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A000172号
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| Franel数a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^3。
（原名M1971 N0781）
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+10
137
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1, 2, 10, 56, 346, 2252, 15184, 104960, 739162, 5280932, 38165260, 278415920, 2046924400, 15148345760, 112738423360, 843126957056, 6332299624282, 47737325577620, 361077477684436, 2739270870994736, 20836827035351596, 158883473753259752, 1214171997616258240
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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Cusick给出了用floor（r+3）/2）项导出r阶Franel数（这是三阶Franel数列）的递归的一般方法。
这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开-马蒂杰斯·科斯特2004年4月28日
V.Strehl的恒等式表明a（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）^2*二项式（2*k，n）。孙志伟推测，对于每一个n=2,3，。。。多项式fn（x）=Sum{k=0..n}二项式（n，k）^2*binominal（2*k，n）*x^（n-k）在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月21日
猜想：当n是素数时，a（n）==2（mod n^3）-加里·德特利夫斯，2013年3月22日
a（p）==2（mod p^3）对于任何素数p，因为p|C（p，k）对于所有k=1，。。。，p-1-孙志伟2013年8月14日
a（n）是3人博弈中完全混合纳什均衡的最大数量，每个人有n+1个纯期权-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
这是一个Apéry-like序列-见交叉引用-雨果·普福尔特纳，2017年8月6日
以瑞士数学家Jéróme Franel（1859-1939）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月15日
似乎a（n）等于（1+x+y-z）^n*（1+x-y+z）^n（1-x+y+z。A036917号. -彼得·巴拉2021年9月20日
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参考文献
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Matthijs Coster，《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】，硕士论文（未出版），1983年8月26日。
Jéróme Franel，《关于Laisant的问题》，数学中介，1894年第1卷，第45-47页
H.W.Gould，《组合恒等式》，摩根城，1972年，（X.14），第56页。
Murray Klamkin主编，《应用数学问题：SIAM评论选集》，SIAM，1990年；见第148-149页。
约翰·里尔丹，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第193页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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P.Barrucand，问题75-4，组合恒等式SIAM Rev.，17（1975），168。[问题陈述的注释扫描副本]
T.W.Cusick，二项式系数幂和的递推《组合理论》，A辑，第52卷，第1期（1989年），第77-83页。
托米斯拉夫·多什利奇和达科·维尔扬，一些组合序列的对数行为，离散数学。，第308卷，第11期（2008年），第2182-2212页。MR2404544（2009j:05019）-自N.J.A.斯隆2012年5月1日
Jeff D.Farmer和Steven C.Leth，二项式系数幂的渐近公式，数学。天然气。，第89卷，第516号（2005年），第385-391页。
达里杰·格林伯格，现代代数导论（UMN 2019春季数学4281笔记），明尼苏达大学（2019）。
瓦茨拉夫·科特索维奇，非攻击性棋子2013年第6版，第282页。
Marci A.Perlstadt，二项式系数幂和的一些递推《数论杂志》，弗吉尼亚。27（1987），第304-309页。
胡安·普拉，问题H-505《高级问题和解决方案》，《斐波纳契季刊》，第33卷，第5期（1995年），第473页；求和公式！Paul S.Bruckman，《H-505问题的解决方案》，同上，第35卷，第1期（1997年），第93-95页。
沃尔克·斯特雷尔，递归和勒让德变换《联合王国的洛塔林根》，B29b（1992），22页。
孙志伟，Franel数的同余，arXiv预印本arXiv:1112.1034[math.NT]，2011。
孙志伟，涉及算术序列的猜想，arXiv:1208.2683v9[math.CO]2013；《数论：香格里拉的算术》（编辑：S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu），Proc。第六届中日研讨会（2011年8月15日至17日，上海），世界科学。，新加坡，2013年，第244-258页。
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配方奶粉
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A002893号（n） =和{m=0..n}二项式（n，m）*a（m）[Barrucand]。
求和{k=0..n}C（n，k）^3=（-1）^n*积分{x=0..无穷}L_k（x）^3经验（-x）dx.-摘自Askey的书，第43页
带递归的D-有限（n+1）^2*a（n+1）=（7*n^2+7*n+2）*a（n）+8*n^2*a（n-1）[Franel]-Felix Goldberg（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年1月31日
a（n）~2*3^（-1/2）*Pi^-1*n^-1*2^（3*n）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月21日
O.g.f.：A（x）=和{n>=0}（3*n）/不^3*x^（2*n）/（1-2*x）^（3*n+1）-保罗·D·汉纳2010年10月30日
G.f.：浅层（[1/3，2/3]，[1]，27 x^2/（1-2x）^3）/（1-2x）-迈克尔·索莫斯2010年12月17日
G.f.：Sum_｛n>=0｝a（n）*x^n/n^3=[Sum_｛n>=0｝x ^n/n！^3]^2-保罗·D·汉纳2011年1月19日
通用公式：A（x）=1/（1-2*x）*（1+6*（x^2）/（G（0）-6*x^2，
G（k）=3*（x^2）*（3*k+1）*（3+k+2）+（（1-2*x）^3）*（（k+1）^2）-3*（x*2）*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月3日
2011年孙志伟找到了公式Sum{k=0..n}C（2*k，n）*C（2*k，k）*C（2*（n-k），n-k）=（2^n）*a（n），并用Zeilberger算法进行了证明-孙志伟2013年3月20日
0=a（n）*（a（n+1）*（-2048*a（n+2）-3392*a（n+3）+768*a（n+3）+288*a（n+4））+a（n+2）*)Z中所有n的+a（n+3）*（-11*a（n/3）+4*a（n+4））-迈克尔·索莫斯2014年7月16日
对于r是非负整数，求和{k=r..n}C（k，r）^3*C（n，k）^3=C（n、r）^3*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0-彼得·巴拉2016年7月27日
a（n）=（n！）^3*[x^n]超几何（[]，[1，1]，x）^2-彼得·卢什尼2017年5月31日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}（n+k）/（k！^3*（n-2*k）！）*2^（n-2*k）。
G.f.y=A（x）满足：0=x*（x+1）*（8*x-1）*y''+（24*x^2+14*x-1
a（n）=[x^n]（1-x^2）^n*P（n，（1+x）/（1-x）），其中P（n、x）表示第n个勒让德多项式。见古尔德，第56页-彼得·巴拉2022年3月24日
a（n）=（2^n/（4*Pi^2））*Integral_{x，y=0..2*Pi}（1+cos（x）+cos-阿米拉姆·埃尔达尔2022年7月16日
g.f.T（x）遵循周期性ODE：
0=2*（1+4*x）*T（x）+（-1+14*x+24*x^2）*T'（x）+x*（1+x）*（-1+8*x）*T'（x）。
周期ODE可以从以下Weierstrass数据中得出：
g2=（4/243）*（1-8*x+240*x^2-464*x^3+16*x^4）；
g3=-（8/19683）*（1-12*x-480*x ^2+3080*x ^3-12072*x ^4+4128*x ^5+
64*x^6）；
它决定了一个有四个奇异纤维的椭圆表面。（完）
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例子
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外径：A（x）=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+225*x^5+。。。
外径：A（x）=1/（1-2*x）+3*x^2/（1-2*x）^4+（6！/2！^3）*x^4/（1-2%x）^7+（9！/3！^3-保罗·D·汉纳2010年10月30日
设g.f.A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n/n^3，然后
A（x）=1+2*x+10*x^2/2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3 + ... 哪里
A（x）=[1+x+x^2/2！^3+x^3/3！^3+x ^4/4！^3+…]^2-保罗·D·汉纳
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MAPLE公司
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加法（二项式（n，k）^3，k=0..n）；
结束进程：
A000172号_列表：=proc（len）系列（hypergeom（[]，[1,1]，x）^2，x，len）；
序列（（n！）^3*系数（%，x，n），n=0..长度-1）结束：
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数学
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表[Sum[二项式[n，k]^3，{k，0，n}]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2011年8月24日*）
a[n_]：=级数系数[Hypergeometric2F1[1/3，2/3，1，27x^2/（1-2x）^3]/（1-2 x），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，（3*m）！/m！^3*x^（2*m）/（1-2*x+x*O（x^n））^（3*m+1）），n）}\\保罗·D·汉纳2010年10月30日
（PARI）{a（n）=n！^3*polcoeff（总和（m=0，n，x^m/m！^3+x*O（x^n））^2，n）}\\保罗·D·汉纳2011年1月19日
（哈斯克尔）
a000172=总和。地图a000578。a007318_低
（鼠尾草）
x、 y，n=1，2，1
为True时：
收益率x
n+=1
x、 y=y，（8*（n-1）^2*x+（7*n^2-7*n+2）*y）//n^2
[范围（21）中i的下一个（a）]#彼得·卢什尼2013年10月12日
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917型,A063007号,A081085号,A093388号,125143英镑（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,19692年2月,A226535型,A227216号,A227454号,A229111号（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
对于不划分序列项的素数A000172号,A005258号,A002893号,A081085号,A006077号,A093388号,125143英镑,A229111号,A002895号,A290575型,209576元,A005259号看见A260793型,A291275型-A291284号和A133370型分别是。
m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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状态
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经核准的
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A005260号
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| a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^4。
（原M2110）
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1, 2, 18, 164, 1810, 21252, 263844, 3395016, 44916498, 607041380, 8345319268, 116335834056, 1640651321764, 23365271704712, 335556407724360, 4854133484555664, 70666388112940818, 1034529673001901732
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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这个序列是库珀论文中的s_10-杰森·金伯利2012年11月25日
这是一个Apéry-like序列-见交叉引用-雨果·普福尔特纳，2017年8月6日
每个素数最终都会划分这个序列的某些项-阿米塔·马利克2017年8月20日
两个步行者，A和B，分别站在nXn网格的西南角和东北角。A走北边或东边的台阶，而B走南边或西边的台阶。序列值a（n）<二项式（2*n，n）^2计算a和B在n步后相遇的同时行走次数，并在2*n步后改变位置-布拉德利·克莱2019年4月1日
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参考文献
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H.W.Gould，《组合恒等式》，摩根城，1972年，（X.14），第79页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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W.Y.C.Chen、Q.-H.Hou和Y-P.Mu，双重求和的一种伸缩方法，J.公司。申请。数学。196（2006）553-566，等式（5.5）。
达里杰·格林伯格，现代代数导论（UMN 2019年春季数学4281笔记），明尼苏达大学（2019）。
V.斯特雷尔，递归和勒让德变换《联合王国的洛塔林根》，B29b（1992），22页。
孙志伟，关于同余的开放猜想南京大学数学系。双季度36（2019），第1期，1-99页。（参见推测49-51。）
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配方奶粉
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a（n）~2^（1/2）*Pi^（-3/2）*n^（-3/2）*2^（4*n）。-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月21日
带递归的D-有限：n^3*a（n）=2*（2*n-1）*（3*n^2-3*n+1）*a（n-1）+（4*n-3）*（4*n-4）*（4*n-5）*a（n-2）。【元】
G.f.：5*高地层（[1/8,3/8]，[1]，（4/5）*（（1-16*x）^ 4*x）^（1/2））-马克·范·霍伊2011年10月29日
1/Pi=sqrt（15）/18*Sum_{n>=0}a（n）*（4*n+1）/36^n（Cooper，方程（5））=sqrt（15）/18*Sum_{n>=0.}a（n）*A016813号（n）/A009980型（n） ●●●●-杰森·金伯利，2012年11月26日
0=（-x^2+12*x^3+64*x^4）*y'''+（-3*x+54*x^2+384*x^3）*y''+（-1+40*x+444*x^2）*y'+（2+60*x）*y，其中y是g.f-Gheorghe Coserea公司2016年7月13日
对于r是非负整数，求和{k=r..n}C（k，r）^4*C（n，k）^4=C（n、r）^4*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0-彼得·巴拉2016年7月27日
a（n）=表层（[-n，-n，-n，-n]，[1，1，1]，1）-彼得·卢什尼2016年7月27日
求和{n>=0}a（n）*x^n/（n！）^4=（求和{n>=0{x^n/（n）^4）^2-伊利亚·古特科夫斯基2020年7月17日
a（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）*C（n+k，k）*C（2k，k）*C（2n-2k，n-k）*（-1）^（n-k）。这可以通过Zeilberger算法得到证明-孙志伟2020年8月23日
a（n）=（-1）^n*二项式（2*n，n）*超几何（[1/2，-n，-n、n+1]，[1，1，1/2-n]，1）-彼得·卢什尼2020年8月24日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*二项式-米歇尔·马库斯2020年12月6日
a（n）=[x^n]（1-x）^（2*n）P（n，（1+x）/（1-x。见古尔德，第66页。这个公式等价于孙志伟如上所示-彼得·巴拉2022年3月24日
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例子
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G.f.=1+2*x+18*x^2+164*x^3+1810*x^4+21252*x^5+263844*x^6+。。。
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MAPLE公司
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加（（二项式（n，k））^4，k=0..n）；
结束进程：
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数学
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表[Sum[二项式[n，k]^4，{k，0，n}]，{n，0，20}](*韦斯利·伊万·赫特2014年3月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）^4）}；
（Python）
m、 g=1，0
对于范围（n+1）中的k：
g+=米
m=米*（n-k）**4//（k+1）**4
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260号,A006077号,A036917号,A063007号,A081085号,A093388号,125143英镑（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,A143414号,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,A219692型,A226535型,A227216号,A227454号,A229111年（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005261号
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| a（n）=和{k=0..n}C（n，k）^5。
（原M2156）
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1, 2, 34, 488, 9826, 206252, 4734304, 113245568, 2816649826, 72001228052, 1883210876284, 50168588906768, 1357245464138656, 37198352117916992, 1030920212982957184, 28847760730478655488, 814066783370083977826
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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a（n）~4*5^（-1/2）*Pi^-2*n^-2*2^（5*n）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月21日
递归（M.A.Perlstadt，1987）：32*（55*n^2+33*n+6）*（n-1）^4*A（n-2）-（19415*n^6-27181*n^5+7453*n^4+3289*n^3-956*n^2-276*n+96）*A（n-1+28）*（n+1）^4*A（n+1）=0。[瓦茨拉夫·科特索维奇2012年4月27日]
对于r是非负整数，求和{k=r..n}C（k，r）^5*C（n，k）^5=C（n、r）^5*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0-彼得·巴拉2016年7月27日
Sum_｛n>=0｝a（n）*x^n/（n！）^5=（Sum_｛n>=0｝x^n/（n！）^5）^2-伊利亚·古特科夫斯基2020年7月17日
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MAPLE公司
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a:=n->超深地层（[seq（-n，i=1..5）]，[seq[1，i=1..4）]，-1）：
seq（简化（a（n）），n=0..16）#彼得·卢什尼2016年7月27日
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数学
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递归表[｛32*（55n^2+33n+6）*（n-1）^4*a[n-2]-（19415n^6-27181n^5+7453n^4+3289n^3-956n^2-276n+96）*a[n-1]-（1155n^6+693n^5-732n^4-715n^3+45n^2+210n+56）*a[n]+（55n^2-77n+28）*（n+1）^4*a[n+1]=0，a[0]=1，a[1]=2，a[2]＝＝34}，a，{n，0，25}]
（*或直接*）
表[Sum[二项式[n，k]^5，{k，0，n}]，{n，0，25}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年4月27日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n，k）^5）\\米歇尔·马库斯2016年3月9日
（Python）
m、 g=1，0
对于范围（n+1）中的k：
g+=米
m=米*（n-k）**5//（k+1）**5
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交叉参考
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m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的,改变
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 66, 1460, 54850, 2031252, 86874564, 3848298792, 180295263810, 8709958973540, 433617084579316, 22071658807720392, 1145600816547477316, 60423221241495866600, 3231675487858598367240, 174928470621208572186960
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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a（n）~4*3^（-1/2）*Pi^（-5/2）*n^（-5/2）*2^（6*n）。
递归（M.A.Perlstadt，1987）：24*（6*n-7）*（2*n-1）*（6*n-5）*（91*n^3+91*n*2+35*n+5）*（n-1）^3*A（n-2）-（153881*n^9-307762*n^8+185311*n*7+2960*n^6-31631*n^5-88*n^4+5239*n^3-610*n^2-440*n+100）*A（n-1）-n*（3458*n^8+1729*n^7-2947*n^6-2295*n^5+901*n^4+1190*n^3+52*n^2-228*n-60）*A（n）+n*（91*n ^3-182*n ^2+126*n-30）*（n+1）^5*a（n+1）=0。[瓦茨拉夫·科特索维奇2012年4月27日]
对于r是非负整数，求和{k=r..n}C（k，r）^6*C（n，k）^6=C（n、r）^6*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0-彼得·巴拉2016年7月27日
求和{n>=0}a（n）*x^n/（n！）^6=（求和{n>=0{x^n/（n）^6）^2-伊利亚·古特科夫斯基2020年7月17日
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MAPLE公司
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a:=n->超深地层（[seq（-n，i=1..6）]，[seq[1，i=1.5]，1）：
seq（简化（a（n）），n=0..15）#彼得·卢什尼2016年7月27日
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数学
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递归表[{24（6n-7）（2n-1）（6n-5）（91n^3+91n^2+35n+5）（n-1）^3*a[n-2]-（153881n^9-307762n^8+185311n^7+2960n^6-31631n^5-88n^4+5239n^3-610n^2-440n+100）*a[n-1]-n（3458n^8+1729n^7-2947n^6-2295n^5+901n^4+1190n^3+52n^2~228n-60）*a[n]+n（91n^3-182n^2+126n-30）（n+1）^5*a[n+1]==0，a[0]==1，a[1]==2，a[2]==66}，a，{n，0，25}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年4月27日*）
表[Sum[二项式[n，k]^6，{k，0，n}]，{n，0，25}](*文森佐·利班迪2013年5月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n，k）^6）\\米歇尔·马库斯2016年3月9日
（Python）
m、 g=1，0
对于范围（n+1）中的k：
g+=米
m=m*（n-k）**6//（k+1）**6
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交叉参考
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m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的,改变
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作者
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乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月21日
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状态
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经核准的
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1, 2, 258, 13124, 1810690, 200781252, 30729140484, 4579408029576, 770670360699138, 132018919625044100, 23913739057463037508, 4433505541977804821256, 848185646293853978499844, 165563367990287610967653512, 32993144260428865295508700680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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渐近（p=8）：a（n）~2^（p*n）/sqrt（p）*（2/（Pi*n））^（（p-1）/2）*（1-（p-1。
对于r是非负整数，求和{k=r..n}C（k，r）^8*C（n，k）^8=C（n、r）^8*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0-彼得·巴拉2016年7月27日
求和{n>=0}a（n）*x^n/（n！）^8=（求和{n>=0{x^n/（n）^8）^2-伊利亚·古特科夫斯基2020年7月17日
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MAPLE公司
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a:=n->超深地层（[seq（-n，i=1..8）]，[seq[1，i=1.7]，1）：
seq（简化（a（n）），n=0..14）#彼得·卢什尼2016年7月27日
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数学
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表[Total[二项式[n，Range[0，n]]^8]，{n，0，20}](*T.D.诺伊2012年4月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n，k）^8）\\米歇尔·马库斯2020年7月17日
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交叉参考
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m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 514, 39368, 10601986, 2003906252, 588906874144, 159219918144128, 51207103076632066, 16425660314368351892, 5697191745563573732764, 2010823973962863400708688, 739753103704422167184400096, 277511604090132008416695054272, 106814999715696983804826836579584
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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渐近（p=9）：a（n）~2^（p*n）/sqrt（p）*（2/（Pi*n））^（（p-1）/2）*（1-（p-1。
对于r是非负整数，求和{k=r..n}C（k，r）^9*C（n，k）^9=C（n、r）^9*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0-彼得·巴拉2016年7月27日
求和{n>=0}a（n）*x^n/（n！）^9=（求和{n>=0{x^n/（n）^9）^2-伊利亚·古特科夫斯基2020年7月17日
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MAPLE公司
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a:=n->超深地层（[seq（-n，i=1..9）]，[seq[1，i=1.8]，-1）：
seq（简化（a（n）），n=0..14）#彼得·卢什尼2016年7月27日
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数学
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表[Sum[二项式[n，k]^9，{k，0，n}]，{n，0，25}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）^9）\\米歇尔·马库斯2020年7月17日
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交叉参考
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m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 1026, 118100, 62563330, 20019531252, 11393421713604, 5550455033938152, 3431955863873102850, 2052124795850957537060, 1367610300690018553312276, 916694195766256069610158152, 649630217578404016288230718276, 467800319852823195772146025385000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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渐近（p=10）：a（n）~2^（p*n）/sqrt（p）*（2/（Pi*n））^（（p-1）/2）*（1-（p-1）^2/（4*p*n”）+O（1/n^2））。
对于r是非负整数，求和{k=r..n}C（k，r）^10*C（n，k）^10=C（n、r）^10*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0-彼得·巴拉2016年7月27日
求和{n>=0}a（n）*x^n/（n！）^10=（求和{n>=0{x^n/（n）^10）^2-伊利亚·古特科夫斯基2020年7月17日
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MAPLE公司
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a:=n->超深地层（[seq（-n，i=1..10）]，[seq[1，i=1.9]，1）：
seq（简化（a（n）），n=0..13）#彼得·卢什尼2016年7月27日
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数学
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表[Sum[二项式[n，k]^10，{k，0，n}]，{n，0，25}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（k=0，n，二项式（n，k）^10）\\米歇尔·马库斯2020年7月17日
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交叉参考
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m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A309010型
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| 方阵A（n，k）=Sum_{j=0..n}二项式（n，j）^k，n>=0，k>=0。 |
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+10
12
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1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 1, 2, 6, 8, 5, 1, 2, 10, 20, 16, 6, 1, 2, 18, 56, 70, 32, 7, 1, 2, 34, 164, 346, 252, 64, 8, 1, 2, 66, 488, 1810, 2252, 924, 128, 9, 1, 2, 130, 1460, 9826, 21252, 15184, 3432, 256, 10, 1, 2, 258, 4376, 54850, 206252, 263844, 104960, 12870, 512, 11
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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A（n，k）是k>0时（Product_{j=1..k-1}（1+x_j）+Product_{j=1..k-1'（1+1/x_j，）^n展开式中的常数项-Seiichi Manyama先生2019年10月27日
设B_k是包含{1,2，…}按包含成分排序的等分子集的所有k元组的二项偏序集（在下面的Stanley参考文献中描述）。那么A（k，n）是B_k的任何n个区间中的元素数-杰弗里·克雷策，2020年4月16日
列k是k＞0时有理函数1/（乘积_｛j＝1..k｝（1-x_j）-Product_｛j＝1..k｝x_j）的对角线-Seiichi Manyama先生2020年7月11日
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参考文献
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R.P.Stanley，枚举组合数学第一卷，第二版，剑桥，2011年，示例3.18.3 d，第366页。
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链接
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配方奶粉
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A（n，k）=和{j=0..n}二项式（n，j）^k（数组）。
T（n，k）=A（k，n-k）（反对偶）。
求和{n>=0}A（n，k）x^n/（n！^k）=（求和{n>=0{x^n/（n）^k））^2-杰弗里·克雷策2020年4月17日
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例子
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方形数组A（n，k）开始于：
5, 16, 70, 346, 1810, 9826, ...
6, 32, 252, 2252, 21252, 206252, ...
反对角线T（n，k）开始：
1;
1, 2;
1, 2, 3;
1, 2, 4, 4;
1, 2, 6, 8, 5;
1, 2, 10, 20, 16, 6;
1, 2, 18, 56, 70, 32, 7;
1, 2, 34, 164, 346, 252, 64, 8;
1, 2, 66, 488, 1810, 2252, 924, 128, 9;
1, 2, 130, 1460, 9826, 21252, 15184, 3432, 256, 10;
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数学
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nn=8；表[ek[x_]：=总和[x^n/n！^k，{n，0，nn}]；范围[0，nn]^k系数列表[系列[ek[x]^2，{x，0，nn}]，x]，{k，0，nn}]//转置//网格(*杰弗里·克雷策2020年4月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（&+[二项式（k，j）^（n-k）：j in[0..k]]）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔，2022年8月26日
（SageMath）展平（[[sum（binominal（k，j）^（n-k）for j in（0..k））for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔，2022年8月26日
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交叉参考
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列k=0..12给出A000027号（n+1），A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A342294型
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| a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）^11。 |
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12
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1, 2, 2050, 354296, 371185666, 200097656252, 222100237312864, 193798873701831680, 231719476114879600642, 257097895846251291074612, 330463219813679264204224300, 419460465362069257397304825200, 573863850341313751827291703127200
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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a（n）~2^（p*n）/sqrt（p）*（2/（Pi*n））^（（p-1）/2）*（1-（p-1）^2/（4*p*n）），设p=11-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年8月4日
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）^11）\\米歇尔·马库斯2021年3月27日
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交叉参考
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m=1..12的和{k=0..n}C（n，k）^m：A000079号,A000984号,A000172号,A005260号,A005261号,A069865号,A182421号,A182422号,182446英镑,182447英镑,A342294型,A342295型.
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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