%I M1971 N0781#343 2024年1月30日08:19:06

%序号1,2,10,56346225215184104960739162528093238165260278415920，

%电话：2046924400151483457601127384233608431269570566332299624282，

%电话：4773732557762036107747684436273927087087099473620836827035351961588834737532597521214171997616258240

%Franel数a（N）=Sum_{k=0..N}二项式（N，k）^3。

%C Cusick给出了用floor（r+3）/2）项导出r阶Franel数（这是三阶Franel数列）递归的一般方法。

%这是Beauville描述的曲线上一个特殊点的泰勒展开式_Matthijs Coster，2004年4月28日

%V.Strehl的恒等式表示a（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）^2*二项式（2*k，n）。孙志伟推测，对于每一个n=2,3，。。。多项式fn（x）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*二项式，（2*k，n）*x^（n-k）在有理数域上是不可约的_孙志伟，2013年3月21日

%C猜想：当n是素数时，a（n）==2（mod n^3）_Gary Detlefs，2013年3月22日

%对于任何素数p，Ca（p）==2（mod p^3），因为p|C（p，k）对于所有k=1，。。。，第1页-_2013年8月14日，孙志伟

%C a（n）是3人博弈中完全混合纳什均衡的最大数量，每个人有n+1个纯期权_雷蒙达斯·维杜纳斯，2014年1月22日

%这是一个类似Apéry的序列-见交叉引用_雨果·普福尔特纳，2017年8月6日

%C有理函数对角线1/（1-x*y-y*z-x*z-2*x*y*z），1/（1-x-y-z+4*x*y*z）_Gheorghe Coserea，2018年7月4日

%C a（n）是（（1+x）*（1+y）+（1+1/x）*

%C有理函数的对角线1/（（1-x）*（1-y）*（1-z）-x*y*z）_Seiichi Manyama，2020年7月11日

%C以瑞士数学家Jéróme Franel（1859-1939）命名_Amiram Eldar_，2021年6月15日

%看起来a（n）等于（1+x+y-z）^n*（1+x-y+z）^n（1-x+y+z_彼得·巴拉（Peter Bala），2021年9月20日

%D Matthijs Coster，《超过6个家族的van krommen》【关于6个家族曲线】，硕士论文（未出版），1983年8月26日。

%D Jéróme Franel，《关于Laisant的问题》，数学中介，第1卷，1894年，第45-47页

%D H.W.Gould，《组合恒等式》，摩根城，1972年，（X.14），第56页。

%D Murray Klamkin主编，《应用数学问题：SIAM评论选集》，SIAM，1990年；见第148-149页。

%D John Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第193页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Indranil Ghosh，n表，n=0..1000的a（n）

%H Boris Adamczewski、Jason P.Bell和Eric Delaygue，<a href=“http://arxiv.org/abs/1603.04187“>G-函数的代数独立性和同余a la Lucas”</a>，arXiv预印本arXiv:1603.04187[math.NT]，2016。

%H Prarit Agarwal和June Nahmgoong，<a href=“https://arxiv.org/abs/2001.10826“>SU（3）的任意数量伴随表示的张量积中的单重态，arXiv:20011.0826[math.RT]，2020。

%H Richard Askey，<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/1.9781611970470“>正交多项式和特殊函数</a>，SIAM，1975；见第43页。

%H P.Barrucand，<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/1017013“>组合恒等式，问题75-4，SIAM Rev.，第17卷（1975年），第168页<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/1018056“>《解决方案》，作者：D.R.Breach、D.McCarthy、D.Monk和P.E.O'Neil，SIAM Rev.，第18卷（1976年），第303页。

%H P.Barrucand，问题75-4，组合身份，SIAM Rev.，17（1975），168。[问题陈述的注释扫描副本]

%H Arnaud Beauville，<a href=“http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5543443c/f31.item公司“>Les familles stables de courbes sur P_1 admentant quatre fibers singulières，巴黎科学院康普特斯·伦德斯出版社，第294卷（1982年5月24日），第657-660页。

%H David Callan，<a href=“http://arxiv.org/abs/0712.3946“>恒等式和{k=0}^{n}二元数{n}{k}和{j=0}^{k}binom{k}{j}^{3}=Sum{k=0}^{n二元数^{2} 二进制{2k}{k}</a>，arXiv:0712.3946[math.CO]，2007年。

%H David Callan，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL11/Callan2/callan204.html“>Barrucand恒等式的组合解释，JIS，第11卷（2008），第08.3.4条。

%H Marc Chamberland和Armin Straub，<a href=“https://arxiv.org/abs/2011.03400“>《Apéry Limits:Experimentas and Proofs》，arXiv:2011.03400[math.NT]，2020年。

%H肖恩·库珀，<a href=“https://arxiv.org/abs/2302.00757“>Apéry-like序列由四项递归关系定义</a>，arXiv:2302.00757[math.NT]，2023。

%H M.Coster，电子邮件，1990年11月</a>

%H T.W.Cusick，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0097-3165（89）90063-0“>二项式系数幂和的递归。

%H Eric Delaygue，<a href=“http://arxiv.org/abs/1310.4131“>类Apéry数的算术性质</a>，arXiv预印arXiv:1310.4131[math.NT]，2013。

%H Robert W.Donley Jr，<a href=“https://arxiv.org/abs/2107.09463“>大小为3的半幻方的定向路径枚举，arXiv:2107.09463[math.CO]，2021。

%H Tomislav Došlic和Darko Veljan，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2007.04.066“>一些组合序列的对数行为，《离散数学》，第308卷，第11期（2008年），第2182-2212页。MR2404544（2009j:05019）-来自N.J.A.Sloane，2012年5月1日

%H Carsten Elsner，<a href=“http://www.fq.math.ca/Papers1/43-1/paper43-1-5.pdf“>关于涉及二项式系数的和的递推公式，Fib.Q.，VOl.43，No.1（2005），第31-45页。

%H Jeff D.Farmer和Steven C.Leth，<a href=“http://www.jstor.org/stable/3621929“>二项式系数幂的渐近公式，《数学杂志》，第89卷，第516号（2005年），第385-391页。

%H Ofir Gorodetsky，<a href=“https://arxiv.org/abs/1202.11839“>所有零星类Apéry-like序列的新表示，及其对同余的应用，arXiv:2102.11839[math.NT]，2021。见第2页A。

%H Darij Grinberg，<a href=“网址：http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/t/19s/notes.pdf“>现代代数导论（UMN Spring 2019 Math 4281 notes），明尼苏达大学（2019）。

%H S.赫富特纳，<a href=“https://doi.org/10.1007/BF01445211“>具有四个奇异纤维的椭圆表面</a>，Mathematische-Annalen，1991年<a href=“https://archive.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/860/“>预打印。

%H Nick Hobson，此序列的Python程序。

%H Bradley Klee，检查Weierstrass数据，2023年。

%H瓦茨拉夫·科特索维奇，<a href=“https://oeis.org/wiki/用户：Vaclav_Kotesovec“>非攻击性棋子，2013年第6版，第282页。

%H Amita Malik和Armin Straub，<a href=“https://doi.org/10.1007/s40993-016-0036-8“>零星类Apéry数的可除性</a>，《数论研究》，第2卷，第5期（2016）。

%毛国槐，<a href=“https://arxiv.org/abs/2111.08778“>Z.-H.Sun关于类Apéry数的几个同余猜想的证明</a>，arXiv:2111.08778[math.NT]，2021。

%毛国槐和刘燕，<a href=“https://arxiv.org/abs/2111.08775“>关于涉及Franel数的Z.-W.Sun的一个同余猜想，arXiv:2111.08775[math.NT]，2021。

%H Romeo Meštrović，<a href=“http://arxiv.org/abs/1409.3820“>Lucas定理：其推广、推广和应用（1878--2014）</a>，arXiv预印本arXiv:1409.3820[math.NT]，2014。

%H Marci A.Perlstadt，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X（87）90069-2“>二项式系数幂和的一些递归，《数论杂志》，Vo.27（1987），第304-309页。

%H Juan Pla，<a href=“https://www.fq.math.ca/Scanned/33-5/advanced33-5.pdf“>问题H-505，高级问题和解决方案，《斐波纳契季刊》，第33卷，第5期（1995年），第473页；<a href=”https://www.fq.math.ca/Scanned/35-/advanced35-1.pdf“>求和公式！</a>，Paul S.Bruckman的问题H-505的解决方案，同上，第35卷，第1期（1997年），第93-95页。

%H Armin Straub和Wadim Zudilin，<a href=“https://arxiv.org/abs/2112.09576“>二项式的幂和、Apéry极限和Franel的怀疑</a>，arXiv:2112.09576[math.NT]，2021。

%H Volker Strehl，<a href=“http://www.mat.univie.ac.网址：/~slc/opapers/s29strehl.html“>Recurrences and Legendre transform，Séminaire Lotharingien de Combinatoire，B29b（1992），22 pp。

%孙志宏，<a href=“https://arxiv.org/abs/1803.10051“>类Apéry数的同余</a>，arXiv:1803.10051[math.NT]，2018。

%孙志宏，<a href=“https://arxiv.org/abs/2004.07172“>涉及类Apéry数的新同余</a>，arXiv:2004.07172[math.NT]，2020。

%孙志伟，<a href=“http://arxiv.org/abs/1112.1034“>Franel数的同余</a>，arXiv-print arXiv:1112.1034[math.NT]，2011。

%孙志伟，<a href=“网址：http://math.nju.edu.cn/~zwsun/150f.pdf“>p=x^2+3y^2和Franel数之间的关系，《数论》，第133卷（2013年），第2919-2928页。

%孙志伟，<a href=“http://arxiv.org/abs/1208.2683“>涉及算术序列的猜想，arXiv:1208.2683v9[math.CO]2013；《数论：香格里拉的算术》（编辑：S.Kanemitsu、H.Li和J.Liu），第六届中日研讨会（上海，2011年8月15日至17日），世界科学，新加坡，2013年，第244-258页。

%孙志伟，<a href=“http://arxiv.org/abs/1407.0967“>涉及g_n（x）=Sum_{k=0..n}C（n，k）^2 C（2k，k）x^k的同余，arXiv预印本arXiv:1407.0967[math.NT]，2014。

%H Raimundas Vidunas，<a href=“http://arxiv.org/abs/1401.5400“>MacMahon主定理和完全混合纳什均衡</a>，arxiv 1401.5400[math.CO]，2014。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/BinomiumSums.html“>二项式和。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/FranelNumber.html“>法兰编号。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/SchmidtsProblem.html“>Schmidt问题。

%H Don Zagier，<a href=“http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/tex/AperylikeRecEqs/fulltext.pdf“>类Apéry递推方程的积分解</a>。见第5页零星解表中的a行。

%H Bao-Xuan Zhu，<a href=“http://arxiv.org/abs/1309.6025“>组合序列的高阶对数单调性</a>，arXiv预印本arXiv:1309.6025[math.CO]，2013。

%F A002893（n）=和{m=0..n}二项式（n，m）*a（m）[Barrucand]。

%F和{k=0..n}C（n，k）^3=（-1）^n*积分{x=0..无穷}L_k（x）^3经验（-x）dx.-摘自Askey的书，第43页

%具有递归的F D-有限（n+1）^2*a（n+1）=（7*n^2+7*n+2）*a（n）+8*n^2*a（n-1）[Franel]Felix Goldberg（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年1月31日

%F a（n）~2*3^（-1/2）*Pi^-1*n^-1*2^（3*n）。-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月21日

%计算公式：A（x）=和{n>=0}（3*n）/不^3*x^（2*n）/（1-2*x）^（3*n+1）_Paul D.Hanna，2010年10月30日

%F G.F.：浅地层（[1/3，2/3]，[1]，27 x^2/（1-2x）^3）/（1-2x）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2010年12月17日

%F G.F.：求和{n>=0}a（n）*x^n/n^3=[Sum_{n>=0}x^n/n！^3]^2。-_Paul D.Hanna，2011年1月19日

%F G.F.:A（x）=1/（1-2*x）*（1+6*（x^2）/（G（0）-6*x^2，

%F与G（k）=3*（x^2）*（3*k+1）*（3+k+2）+（（1-2*x）^3）*（（k+1）^2）-3*（x*2）*；（连分数）。-_Sergei N.Gladkovskii_，2011年12月3日

%F 2011年，孙志伟（Zhi-Wei Sun）发现了公式Sum_{k=0..n}C（2*k，n）*C（2*k，k）*C（2*（n-k），n-k）=（2^n）*a（n），并通过Zeilberger算法进行了证明_孙志伟，2013年3月20日

%F 0=a（n）*（a（n+1）*（-2048*a（n+2）-3392*a（n+3）+768*a a（n+3）+288*a（n+4））+a（n+2）*)2014年7月16日，Z.-Michael Somos中所有n的+a（n+3）*（-11*a（n=3）+4*a（n+4））

%对于r是非负整数，求和{k=r.n}C（k，r）^3*C（n，k）^3=C（n、r）^3*a（n-r），其中n＜0取a（n）=0_Peter Bala，2016年7月27日

%F a（n）=（n！）^3*[x^n]超几何（[]，[1，1]，x）^2.-_Peter Luschny_，2017年5月31日

%F来自Gheorghe Coserea，2018年7月4日：（开始）

%F a（n）=和{k=0.楼层（n/2）}（n+k）/（k！^3*（n-2*k）！）*2^（n-2*k）。

%F G.F.y=A（x）满足：0=x*（x+1）*（8*x-1）*y''+（24*x^2+14*x-1）*y'+2*（4*x+1）*y（结束）

%F a（n）=[x^n]（1-x^2）^n*P（n，（1+x）/（1-x）），其中P（n、x）表示第n个勒让德多项式。见古尔德，第56页_彼得·巴拉，2022年3月24日

%F a（n）=（2^n/（4*Pi^2））*积分_{x，y=0..2*Pi}（1+cos（x）+cos_Amiram Eldar，2022年7月16日

%F a（n）=和{k=0..n}m^（n-k）*二项式（n，k）*二项式（n+2*k，n）*二项式（2*k，k），m=-4。参考A081798（m=1）、A006480（m=0）、A124435（m=-1）、A318109（m=-2）和A318108（m=-3）_Peter Bala，2023年3月16日

%F From _Bradley Klee_，2023年6月5日：（开始）

%F g.F.T（x）遵循周期性常微分方程：

%F 0=2*（1+4*x）*T（x）+（-1+14*x+24*x^2）*T'（x）+x*（1+x）*（-1+8*x）*T''（x）。

%F周期ODE可由以下Weierstrass数据得出：

%F g2=（4/243）*（1-8*x+240*x^2-464*x^3+16*x^4）；

%F g3=-（8/19683）*（1-12*x-480*x ^2+3080*x ^3-12072*x ^4+4128*x ^5+

%传真64*x^6）；

%其确定了具有四个奇异纤维的椭圆表面。（结束）

%例如：A（x）=1+2*x+10*x^2+56*x^3+346*x^4+225*x^5+。。。

%e O.g.f.：A（x）=1/（1-2*x）+3*x^2/（1-2*x）^4+（6！/2！^3）*x^4/（1-2%x）^7+（9！/3！^3_Paul D.Hanna，2010年10月30日

%e设g.f.A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n/n^3，然后

%e A（x）=1+2*x+10*x^2/2^3+56*x^3/3^3+346*x^4/4^3 + ... 哪里

%e A（x）=[1+x+x^2/2！^3+x^3/3！^3+x ^4/4！^3+…]^2.-_保罗·D·汉纳_

%p A000172：=程序（n）

%p加（二项式（n，k）^3，k=0..n）；

%p端程序：

%p序列（A000172（n），n=0..10）；#_R.J.Mathar_，2014年7月26日

%p A000172_list:=proc（len）系列（hypergeom（[]，[1,1]，x）^2，x，len）；

%p序列（（n！）^3*系数（%，x，n），n=0..透镜-1）结束：

%p A000172_列表（21）；#_Peter Luschny_，2017年5月31日

%t表[Sum[二项式[n，k]^3，{k，0，n}]，{n，0,30}]（*哈维·P·戴尔，2011年8月24日*）

%t表[HypergeometricPFQ[{-n，-n，/n}，{1，1}，-1]，{n，0，20}]（*_Jean-François Alcover_，2012年7月16日，符号和之后*）

%t a[n_]：=和[二项式[2k，n]*二项式[2]（n-k），n-k]，{k，0，n}]/2^n；表[a[n]，{n，0，20}]（*_Jean-François Alcover_，2013年3月20日，在_Zhi-Wei Sun_*之后）

%t a[n_]：=级数系数[Hypergeometric2F1[1/3，2/3，1，27x^2/（1-2 x）^3]/（1-2x），{x，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2014年7月16日*）

%o（PARI）｛a（n）=极系数（sum（m=0，n，（3*m）！/m！^3*x^（2*m）/（1-2*x+x*o（x^n））^（3*m+1）），n）｝\\_Paul D.Hanna_，2010年10月30日

%o（PARI）{a（n）=n！^3*polcoeff（总和（m=0，n，x^m/m！^3+x*o（x^n））^2，n）}\\_Paul D.Hanna，2011年1月19日

%o（哈斯克尔）

%o a000172=总和。地图a000578。a007318_低

%o——Reinhard Zumkeller，2013年1月6日

%o（鼠尾草）

%o定义A000172（）：

%o x，y，n=1，2，1

%o为True时：

%o产量x

%o n+=1

%o x，y=y，（8*（n-1）^2*x+（7*n^2-7*n+2）*y）//n^2

%o a=A000172（）

%o【i的下一个（a）在范围（21）内】#_Peter Luschny_，2013年10月12日

%o（PARI）A000172（n）={和（k=0，（n-1）\2，二项式

%Y参见A002893、A052144、A005260、A096191、A033581、A189791。数组A094424的第二行。

%Y参考A181543、A006480、A141057、A000578、A007318。

%Y类Apéry数[或类Apáry序列、类Apery numbers、类Aperry sequences]包括A000172、A000984、A002893、A00289、A005258、A00525、A005260、A006077、A036917、A063007、A081085、A093388、A125143（除符号外）、A143003、A143007、A143413、A14341、A14343415、A143583、A183204、A214262、A219692、A226535、A227216、A227454、，A229111（除标志外）、A260667、A260832、A262177、A264541、A264542、A279619、A290575、A290576。（术语“类人猿”没有明确定义。）

%Y对于不划分序列A000172、A005258、A002893、A081085、A006077、A093388、A125143、A229111、A002895、A290575、A290576、A005259项的素数，分别参见A260793、A291275-A291284和A133370。

%对于m=1..12:A000079、A000984、A000172、A005260、A005261、A069865、A182421、A182428、A182446、A18244、A342294、A34229.5，Y和{k=0..n}C（n，k）^m。

%不，简单，好

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_