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%I M1645 N0643#1033 2024年4月5日11:07:27
%S 1,2,6,20,702529243432128704862018475670543270415610400600，
%电话：401166001551175206010803902363606220907513530035345263800，
%电话：1378465288205382578744402104989637208233430727600322476036831001264106064377524959591853294810419469425648112
%N中心二项式系数：二项式（2*N，N）=（2*N）/（n！）^2。
%C Devadoss将这些数字称为B类加泰罗尼亚数字（参见A000108）。
%等于二项式系数和和{k=0..n}二项式（n，k）^2。
%C当由两个进程执行时，具有n个原子指令的程序可能的交错次数。-Manuel Carro（麦卡罗（AT）fi.upm.es），2001年9月22日
%C将a（n）与其本身进行卷积，得到A000302，即4的幂_T.D.Noe_，2002年6月11日
%C具有2n+1条边、奇次根和超次0或2的非根节点的有序树的数目。-_Emeric Deutsch，2002年8月2日
%C还有半周长为n+2的有向凸多边形的数量。
%C还有具有半周长2n+2的对角对称、有向、凸多边形的数量。-_Emeric Deutsch，2002年8月3日
%也作Sum_{k=0..n}二项式（n+k-1，k）。-_Vladeta Jovovic_，2002年8月28日
%这个序列的第二个二项式逆变换就是这个带插值零点的序列。其g.f.为（1-4*x^2）^（-1/2），第n项为C（n，n/2）（1+（-1）^n）/2.-_保罗·巴里，2003年7月1日
%C一个2n位二进制数的可能值的数目，其中一半的位是开的，一半是关的。-加文·斯科特（加文（AT）allegro.com），2003年8月9日
%C n的零到n+1的有序分区，例如，对于n=4，我们考虑了11110（5）、11200（30）、13000（20）、40000（5）和22000（10）的有序分区。总共70个，a（4）=70。参见A001700（特别是Mambetov Bektur的评论）_乔恩·佩里（Jon Perry），2003年8月10日
%C从0到n的n个整数的非递减序列的个数：a（n）=和{i_1=0..n}和{i_2=i_1..n}。。。求和{i_n=i{n-1}。。n} （1）.-J.N.Bearden（jnb（AT）eller.arizona.edu），2003年9月16日
%C半长n+1的所有Dyck路径中奇数级的峰值数。例如：a（2）=6，因为我们有U*DU*DU*D，U*DUUDD，UUDDU*D、UUDUDD、UUU*DDD，其中U=（1,1），D=（1，-1）和*表示奇数水平的峰值。半长n+1的所有Dyck路径中长度为1的上升次数（Dyck道路中的上升是最大的上升步长串）。例如：a（2）=6，因为我们有uDuDuD、uDUUDD、UUDDuD、UUUDDD、UUUDDD，其中长度1的上升由小写字母表示_Emeric Deutsch，2003年12月5日
%C a（n-1）=每次取n个包含给定元素的2n-1个不同元素的子集数。例如，n=4->a（3）=20，如果我们考虑一次取7的子集4和1，我们得到（1234、1235、1236、1237、1245、1246、1247、1256、1257、1267、1345、1346、1347、1356、1357、1367、1456、1457、1467、1567），其中有20个_Jon Perry，2004年1月20日
%C酉双极空间DSU（2n，q^2）的特定（必然存在）绝对通用嵌入的维数，其中q>2。-J.Taylor（jt_cpp（AT）yahoo.com），2004年4月2日。
%C形状标准表编号（n+1，1^n）。-_Emeric Deutsch_，2004年5月13日
%C Erdős，Graham等人推测，对于足够大的n，a（n）从来都不是平方自由的（参见Graham，Knuth，Patashnik，混凝土数学，第二版，练习112）。Sárközy证明，如果S（n）是a（n）的平方部分，那么S（n）是渐近的（sqrt（2）-2）*（sqert（n））*（Riemann-Zeta函数（1/2））。Granville和Ramare证明了唯一的无平方值是a（1）=2，a（2）=6和a（4）=70_Jonathan Vos Post，2004年12月4日[有关此推测的更多信息，请参阅A261009。-_N.J.A.斯隆，2015年10月25日]
%C The MathOverflow链接包含以下评论（略加编辑）：Erdős square-free猜想（a（n）在n>4时从不平方）是由sárközy，a.于1980年证明的，以及A.Granville和O.Ramaré（指数和的显式界和无平方二项系数的稀缺性。Mathematika 43（1996），第1期，73-107），他们证明了它适用于所有n>4Fedor Petrov，2010年11月13日。【摘自N.J.A.Sloane，2015年10月29日】
%对于素数p=5，13，17，29，37，41，53，61，73，89，97，…=，Cp除以a（（p-1）/2）-1=A030662（n）A002144（n）勾股素数：形式4n+1.-的素数_Alexander Adamchuk，2006年7月4日
%C当奶奶住在网格城我家以南n个街区和以东n个街区时，从我家到奶奶家的直达路线数。要获得直接路线，请从2n个区块中选择向南行驶的n个区块。例如，a（2）=6，因为有6条直接路线：SSEE、SESE、SEES、EESS、ESES和ESSE_Dennis P.Walsh，2006年10月27日
%C逆：q=-log（log（16）/（pi a（n）^2）），上限（（q+log（q））/log（16
%C适合n X n框的带有费雷尔斯图的分区数（包括0的空分区）。例如：a（2）=6，因为我们有：empty，1，2，11，21和22_Emeric Deutsch，2007年10月2日
%这是A008793的二维模拟_William Entriken，2013年8月6日
%C无限线性格上从原点开始和结束的长度为2n的游动次数Stefan Hollos（Stefan（AT）exstrom.com），2007年12月10日
%C使用步骤（1,0）和（0,1）从（0,0）到（n，n）的晶格路径数_Joerg Arndt_2011年7月1日
%C积分表示法：C（2n，n）=1/Pi积分[（2x）^（2n）/sqrt（1-x^2），{x，-1，1}]，即C（2n，n）/4^n是区间（-1,1）上反正弦分布的2n阶矩_N-E.Fahssi，2008年1月2日
%C也是A000079的加泰罗尼亚变换_R.J.Mathar，2008年11月6日
%C Straub、Amdeberhan和Moll：“……推测只有有限多个指数n，因此C_n不能被3、5、7和11中的任何一个整除。”——Jonathan Vos Post，2008年11月14日
%C等于A081696的INVERT变换：（1，1，3，9，29，97，333，…）_Gary W.Adamson_，2009年5月15日
%C此外，在体育运动中，“2n-1系列最佳”的有序进展方式的数量。例如，a（2）=6意味着“三选一”系列有六种有序的方式进行。如果我们写A表示“A队”获胜，写B表示“B队”获胜。如果我们从左到右按时间顺序列出所玩的游戏，那么这六种方式是AA、ABA、BAA、BB、BAB和ABB。（证明：生成a（n）有序方式：记下所有a（n）方式，将2n场比赛中的n场指定为a队获胜。从每一场比赛中删除相同字母的最大后缀。）-_Lee A.Newberg，2009年6月2日
%C n X n个二进制数组的数目，其中行被视为二进制数，按非递减顺序排列，列被视为二元数，按不递增顺序排列_R.H.Hardin，2009年6月27日
%C Hankel变换为2^n.-Paul Barry，2009年8月5日
%C对于n>=2，a（n）似乎也是扭曲型BC_n突变类中的颤动数。
%C帕斯卡三角形的中心项：a（n）=A007318（2*n，n）_Reinhard Zumkeller_，2011年11月9日
%C长度为2n的{a，b}上的单词数，因此单词的前缀中不包含比a更多的b’s。-_Jonathan Nilsson_，2012年4月18日
%C从帕斯卡三角形中取第（n）行，其中项的顺序为a1，a2，。。a（n）和行（n+1），带有术语b1、b2、，。。然后2*（a1*b1+a2*b2+…+a（n）*b（n））得到这个序列中的项_J.M.Bergot，2012年10月7日。例如，使用第4行和第5行：2*（1*（1）+4*（5）+6*（10）+4*。
%C从Pascal的三角形行（n）中取b1，b2。。。，b（n+1）和行（n+2），带有c1、c2、…、。。。，c（n+3），求和b1*c2+b2*c3+…+b（n+1）*c（n+2），以获得A000984（n+1）。使用行（3）和行（5）的示例得出总和1*（5）+3*（10）+3*_J.M.Bergot，2012年10月31日
%Ca（n）==2modn^3当n是素数>3时。（见Mestrovic链接，第4页）——加里·德特列夫斯，2013年2月16日
%C猜想：对于任意正整数n，多项式和{k=0}^na（k）x^k在有理数域上是不可约的。一般来说，对于任何整数m>1和n>0，多项式f_{m，n}（x）=Sum_{k=0..n}（m*k）/（k！）^m*x^k在有理数域上是不可约的_孙志伟，2013年3月23日
%C此评论概括了2012年10月31日的评论和序列的第二条原始评论。对于j=1到n，a（n）=和{k=0..j}C（j，k）*C（2n-j，n-k）=2*和{k=0..j-1}C_Charlie Marion，2013年6月7日
%商序列中连续项之间的差异构成了一个包含三角形数倒数的序列。换言之，a（n+1）/a（n）-a（n）/a（n-1）=2/（n*（n+1））_Christian Schulz，2013年6月8日
%C使用n个字母A和n个字母B的长度为2n的不同字符串的数量-Hans Havermann_，2014年5月7日
%C From _Fung Lam_，2014年5月19日：（开始）
%C G.f.A（x）=1/（1+q*x*C（x））的展开式，其中参数q为正数或负数（q=-1除外），并且C（x）是加泰罗尼亚数字A000108的G.f。q=-1的情况下，A000108的g.f.恢复为xA^2-A+1=0。当前序列A000984表示q=-2。递归：（1+q）*（n+2）*a（n+2）+（（q*q-4*q-4）*n+2*（q*q-q-1））*a 2）/（q+1））*（q^2/（q+1”）^n，q>=5，和a（n）~-Kq*2^（2*n）/sqrt（Pi*n^3），其中乘法常数Kq由K1=1/9（q=1），K2=1/8（q=2），K3=3/25（q=3）给出，K4＝1/9（q＝4）。这些公式适用于现有序列A126983（q=1）、A126984（q=2-8）。（结束）
%C a（n）*（2^n）^（j-2）等于S（n），其中S（n。例如，当n=5和j=4时，a（5）=252；252*(2^5)^(4-2) = 252*1024 = 258048. 产生16次幂的自卷积序列是{1，8，96，1280，17920，258048，…}；即S（5）=258048。注意，当j＜2时，卷积序列将由从1到0递减的数字组成（j＝1除外，其中序列中的前两个数字为1，所有其他数字递减）_Bob Selcoe，2014年7月16日
%C两两不相关随机变量序列的第n个差异的方差，每个变量的方差为1。-_Liam Patrick Roche，2015年6月4日
%C具有n条边的有序树的数量，其中级别1的顶点可以是2种颜色。事实上，导致方程式C=1+zC^2（C是加泰罗尼亚函数）的有序树的标准分解，在这次得到G=1+2zCG，其中G=1/sqrt（1-4z）_Emeric Deutsch_，2015年6月17日
%C n个变量中最多n个度的单项式数_冉盼，2015年9月26日
%C设V（n，r）表示半径为r的n维球体的体积，则V（n，2^n）/Pi=V（n-1，2^n）*a（n/2）对于所有偶数n。-Peter-Luschny_，2015年10月12日
%C a（n）是长度n的集合{i1，…，in}的数目，使得n>=i1>=i2>=…>=英寸>=0。例如，a（2）=6，因为只有6个这样的集合：（2,2）（2,1）（2,0）（1,1）（1,0）（0,0）_安东·扎哈罗夫（Anton Zakharov），2016年7月4日
%C From _Ralf Steiner，2017年4月7日：（开始）
%C通过对整个复杂平面的解析延拓，发散和存在正则值，例如：
%C和{k>=0}a（k）/（-2）^k=1/sqrt（3）。
%C和{k>=0}a（k）/（-1）^k=1/sqrt（5）。
%C和{k>=0}a（k）/（-1/2）^k=1/3。
%C和{k>=0}a（k）/（1/2）^k=-1/sqrt（7）i。
%C和{k>=0}a（k）/（1）^k=-1/sqrt（3）i。
%C和{k>=0}a（k）/2^k=-i（结束）
%C序列数（e（1）。。。，e（n+1）），0<=e（i）<i，这样就没有e（i）>e（j）的三元组i<j<k。[Martinez and Savage，2.18]-Eric M.Schmidt，2017年7月17日
%C序列的o.g.f.等于下列任意有理函数的对角线：1/（1-（x+y）），1/_Peter Bala，2018年1月30日
%C From _Colin Defant_，2018年9月16日：（开始）
%C让我们表示West的堆叠排序图。a（n）是使s（pi）避免模式132、231和321的[n+1]的置换pi的数目。a（n）也是[n+1]的置换pi的数目，使得s（pi）避免了模式132、312和321。
%C a（n）是避开图案1342、3142、3412和3421的[n+1]的排列的数目。（结束）
%C对于n>0，所有长度为4n的二进制自对偶码必须包含至少一个（n）个权重为2n的码字。更重要的是，总是会有至少一个，也许是唯一的，长度为4n的二进制自对偶码，它正好包含一个（n）码字，其汉明权重等于代码长度（2n）的一半。该代码可以通过将长度为2的唯一二进制自对偶代码（直到置换等价）直接相加到自身偶数次来构造。通过将两个长度为2n的单位矩阵相加，可以构造置换等价码_Nathan J.Russell，2018年11月25日
%C From _Isaac Saffold_，2018年12月28日：（开始）
%设[b/p]表示勒让德符号，1/b表示b mod p的倒数。然后，对于m和n，其中n不能被p整除，
%C[（m+n）/p]==[n/p]*和{k=0..（p-1）/2}（-m/（4*n））^k*a（k）（mod p）。
%计算m=-1和n=1的这个恒等式表明，对于所有奇素数p，和{k=0..（p-1）/2}（1/4）^k*a（k）可以被p整除
%C（2n-1）维超立方体的子图的顶点数，由n-1或n个多1s的所有比特串诱导。中间层猜想断言这个图有一个哈密尔顿圈_Torsten Muetze_，2019年2月11日
%C a（n）是距离原点2n长的行走次数，步数（1，1）和（1，-1）位于x轴上或上方。等价地，a（n）是距离原点2n长的行走次数，步长（1,0）和（0,1）停留在第一个八分位_Alexander Burstein_，2019年12月24日
%C避免长度为4的偏序模式（POP）{3>1，1>2}的长度为n>0的排列的数目。也就是说，没有长度为4的子序列的长度n排列的数量，其中第一个元素大于第二个元素，但小于第三个元素_谢尔盖·基塔耶夫，2020年12月8日
%C来自Gus Wiseman_，2021年7月21日：（开始）
%C还有2n+1与交替和1的整数合成数，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和是sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（0）=1到a（2）=6的合成数是：
%C（1）（2,1）（3,2）
%C（1,1,1）（1,2,2）
%C（2,2,1）
%C（1,1,2,1）
%C（2,1,1,1）
%C（1,1,1,1）
%C以下与这些成分有关：
%C-无序版本为A000070。
%C-交替求和-1版本按A001791计算，按A345910/A345912排名。
%C-交替和0版本按A088218计算，按A344619排名。
%C-包括偶数指数得出A126869。
%C-补码由A202736计数。
%C-排名为A345909（反面：A345911）。
%C等价地，a（n）计算2n+1位的二进制数，以及比0多一个1的二进制数。例如，a（2）=6个二进制数是：10011、10101、10110、11001、11010、11100。
%C（结束）
%C发件人：迈克尔·沃纳，2022年1月25日：（开始）
%C a（n）是第一列和第二列之间有一道水平墙的nx2 Young表的数量。如果两个单元格之间有一堵墙，条目可能会减少；参见【Banderier，Wallner 2021】。
%C a（2）=6的示例：
%C 3 4 2 4 3 4 3 | 4 4 | 3 2 | 4
%C 1|2，1|3，2|1，12，12，13
%C a（n）也是nx2 Young tableaux的数字，第一列和第二列之间有n道“墙”。
%C a（2）=6的示例：
%C 3 | 4 2 | 4 4 | 3 3 | 4 4 |3 4 |2
%C1|2，1|3，1|2，2|1，2|1，3|1（完）
%C From _Shel Kaphan，2023年1月12日：（开始）
%C a（n）/4 ^n是一枚投掷2n次的公平硬币正面出现n次，反面出现n次的概率，或者一次步数为+-1的随机行走在2n步后返回起点的概率（不一定是第一次）。当n变大时，使用Stirling对n！的近似值，这个数字逐渐接近1/sqrt（n*Pi）！。
%C a（n）/（4^n*（2n-1））是步长为+-1的随机行走在2n步后第一次返回起点的概率。A144704第n项的绝对值是该分数的分母。
%C考虑到所有可能的2n步随机游动，步长为+-1，a（n）/（2n-1）是2n步后第一次返回起点的游动次数。这些数字见A002420或A284016的绝对值。为了进行比较，如_Stefan Hollos_于2007年12月10日所述，a（n）是在2n步后返回起点的此类行走次数，但不一定是第一次。（结束）
%Cp将a（（p-1）/2）+1除以形式为4*k+3的素数p（A002145）。-_朱尔斯·波尚，2023年2月11日
%C还有长度为n的两个单词的洗牌积的大小，这样两个单词之间的并集由2n个不同的元素组成_Robert C.Lyons，2023年3月15日
%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，美国国家标准局应用数学。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。
%D A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，第160页。
%D Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第575页，第3行，a=b=n。
%D E.Deutsch和L.Shapiro，《十七个加泰罗尼亚恒等式》，组合数学及其应用研究所公报，31，31-382001。
%D H.W.Gould，《组合恒等式》，摩根城，1972年，（3.66），第30页。
%D R.L.Graham、D E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，见练习112。
%D M.Griffiths，《帕斯卡三角的骨干》，英国数学信托基金会（2008年），第3-124页。
%D莱昂纳德·利普希茨和A·范德普滕。《有理函数、对角线、自动机和算术》，《数论》，理查德·莫林主编，沃尔特·德格鲁伊特，柏林（1990）：339-358。
%D J.C.P.Miller，编辑，《二项式系数表》。英国皇家学会数学表，第3卷，剑桥大学出版社，1954年。
%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
%H T.D.Noe和Edward Jiang，n表，a（n）表示n=0..500
%H J.Abate和W.Whitt，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Whitt/whitt6.html“>布朗运动和广义加泰罗尼亚数，J.Int.Seq.14（2011）#11.2.6，示例第3节。
%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》，国家标准局，应用数学系列55，第十版，1972年[替代扫描件]。
%H M.Abrate、S.Barbero、U.Cerruti和N.Murru，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Barbero/barbro9.html“>二项式插值算子推广和某些其他算子的固定序列，J.Int.Seq.14（2011）#11.8.1。
%H B.Adamczewski、J.P.Bell和E.Delaygue，<a href=“网址：http://arxiv.org/abs/1603.04187“>G-函数和同余的代数独立性”a la Lucas“</a>，arXiv预印本arXiv:1603.04187[math.NT]，2016。
%H M.Aigner，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2007.06.012“>通过选票编号进行枚举，《离散数学》，308（2008），2544-2563。
%H Michael Anshelevich，<a href=“https://arxiv.org/abs/1708.08034“>偏序集上的乘积公式，Wick乘积，以及q-Poisson过程的修正</a>，arXiv:1708.08034[math.OA]，2017，见命题34第25页。
%H D.H.Bailey、J.M.Borwein和D.M.Bradley，<a href=“http://arXiv.org/abs/math.CA/0505270“>zeta（4n+2）类Apéry恒等式的实验测定</a>，arXiv:math/0505124[math.CA]，2005。
%H Cyril Banderier和Michael Wallner，<a href=“https://www.mat.univie.ac.ac网址/~slc/wpapers/FPSAC2021/47.html“>具有周期性墙的年轻表格：用密度法计数，塞米纳伊尔·洛塔林吉恩·德·科林巴托，85B（2021），第47条，第12页。
%H Paul Barry，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Barry/barry84.html“>整数序列上的加泰罗尼亚变换和相关变换，《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.4.5条。
%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Barry/barry91.html“>关于广义Pascal三角的基于整数序列的构造</a>，整数序列杂志，第9卷（2006），第06.2.4条。
%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Barry4/bern2.html“>Riordan-Bernstein多项式，Hankel变换和Somos序列，整数序列杂志，2012年第15卷，第12.8.2号。
%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Barry1/barry242.html“>关于Riordan矩阵的中心系数</a>，《整数序列杂志》，16（2013），#13.5.1。
%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Barry2/barry231.html“>关于Riordan数组定义的广义Pascal矩阵族的注释，整数序列杂志，16（2013），#13.5.4。
%H Paul Barry，<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL22/Barry1/barry411.html“>类帕斯卡三角形和彩色格点路径族的中心系数，J.Int.Seq.，Vol.22（2019），Article 19.1.3。
%H Paul Barry，<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL22/Barry3/barry422.html“>与类帕斯卡三角形族相关的广义加泰罗尼亚数，J.Int.Seq.，Vol.22（2019），Article 19.5.8。
%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL23/Barry/barry444.html“>关于整数（和其他）序列的中心先行词，J.Int.Seq.，第23卷（2020年），第20.8.3条。
%H Paul Barry和Aoife Hennessy，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Barry2/barry190r.html“>广义Narayana多项式、Riordan数组和格路径，整数序列杂志，2012年第15卷，第12.4.8号。
%H Paul Barry，<a href=“http://dx.doi.org/10.1155/2013/657806“>关于Chebyshev-Boubaker多项式的连接系数</a>，《科学世界杂志》，2013年（2013年），文章ID 657806，10页。
%H A.Bernini、F.Disanto、R.Pinzani和S.Rinaldi，<A href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Rinaldi/rinaldi5.html“>定义凸置换的置换，J.Int.Seq.10（2007）#07.9.7。
%H Robert J.Betts，<a href=“http://arxiv.org/abs/1010.3070“>通过P.Erdős等人对结果的扩展，{2N选择N}缺乏被三个固定奇素数无限次整除的能力，arXiv:1010.3070[math.NT]，2010。【尚不清楚本文中的结果是否得到证实。例如，MathSciNet中似乎没有提及这项工作。-N.N.J.A.Sloane，2015年10月29日】
%H J.Borwein和D.Bradley，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0505124“>经验确定的zeta（4n+3）类Apéry公式</a>，arXiv:math/0505124[math.CA]，2005。
%H Jonathan M.Borwein、Dirk Nuyens、Armin Straub和James Wan，<a href=“http://www.carmamaths.org/resources/jon/walks.pdf“>Random Walk Integrals，2010年。
%H Jonathan M.Borwein和Armin Straub，<a href=“http://carmamaths.org/resources/jon/wmi-paper.pdf“>Mahler度量、短步行和对数积分。
%H H.J.Brothers，<a href=“http://www.brotherstechnology.com/docs/Pascal's_Prism_（增补）.pdf“>Pascal's Prism:补充材料。
%H Marie-Louise Bruner，<a href=“http://arxiv.org/abs/1505.04929“>中心二项式系数也计算在内（2431423114324132）-规避者</a>，arXiv:1505.04929[math.CO]，2015。
%H Kevin Buchin、Man-Kwon Chiu、Stefan Felsner、Günter Rote和AndréSchulz，<a href=“https://arxiv.org/abs/1993.01095“>给定高度和宽度的凸多边形数</a>，arXiv:1903.01095[math.CO]，2019。
%H N.T.Cameron，<a href=“https://www.math.hmc.edu/~cameron/description.pdf“>随机漫步、树和Riordan群技术的扩展</a>，霍华德大学论文，2002年。
%H G.Chatel和V.Pilaud，<a href=“http://arxiv.org/abs/1411.3704“>The Cambrian and Baxter-Chambrian Hopf Algebras</a>，arXiv预印本arXiv:1411.3704[math.CO]，2014-2015。
%H Hongwei Chen，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Chen/chen78.html“>一些变量欧拉和的评估，整数序列杂志，第9卷（2006年），第06.2.3条。
%H G.-S.Cheon、H.Kim和L.W.Shapiro，<a href=“http://arxiv.org/abs/1410.1249“>有序树中的突变效应</a>，arXiv预印本arXiv:1410.1249[math.CO]，2014。
%H J.Cigler，<a href=“http://arxiv.org/abs/1109.1449“>一些不错的Hankel决定因素，arXiv:1109.1449[math.CO]，2011。
%H Johann Cigler和Christian Kratentihaler，<a href=“https://arxiv.org/abs/2003.01676“>正交多项式矩线性组合的Hankel行列式</a>，arXiv:2003.01676[math.CO]，2020。
%H CombOS-组合对象服务器，<a href=“http://combos.org/middle.html“>生成中级格雷码</a>
%H B.N.Cooperstein和E.E.Shult，<a href=“http://www.emis.de/journals/AG/1-1/1_037.pdf“>关于嵌入和生成双极空间的注释。Adv.Geom.1（2001），37-48。见定理5.4。
%H Kristina Crona、Luo Mengming和Devin Greene，<a href=“https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2020.110155“>微生物进化的不确定性定律</a>，《理论生物学杂志》（2020）第489卷，文章编号110155。
%H D.Daly和L.Pudwell，<a href=“http://faulty.valpo.edu/lpudwell/slides/sandiego2013.pdf“>rook幺半群中的模式避免</a>，2013。
%H Colin Defant，<a href=“https://arxiv.org/abs/1809.03123“>置换类的堆叠排序前像</a>，arXiv:1809.03123[math.CO]，2018。
%H Dennis E.Davenport、Lara K.Pudwell、Louis W.Shapiro和Leon C.Woodson，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Davenport/dav3.html“>有序树的边界</a>，整数序列杂志，第18卷（2015），第15.5.8条。
%H Thierry Dana-Picard，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Dana-Picard/dana23.html“>定积分序列、阶乘和双阶乘，整数序列杂志，第8卷（2005），第05.4.6条。
%H Isaac DeJager、Madeleine Naquin和Frank Seidl，<a href=“https://www.valpo.edu/mathematics-statistics/files/2019/08/Drube2019.pdf“>高阶彩色莫茨金路径，VERUM 2019。
%H E.延迟，<a href=“http://arxiv.org/abs/1310.4131“>类Apéry数的算术性质</a>，arXiv预印arXiv:1310.4131[math.NT]，2013。
%H Nachum Dershowitz，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL20/Dershowitz/dersh3.html“>Touchard的醉汉</a>，《整数序列杂志》，第20卷（2017年），#17.1.5。
%H Emeric Deutsch，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2003.10.014“>枚举对称有向凸多边形，《离散数学》，280（2004），225-231。
%H Satyan L.Devadoss，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2007.12.092“>图关联面体的实现，《离散数学》309（2009），第1期，271-276。
%H J.C.F.de Winter，<a href=“http://pareonline.net/getvn.asp？v=18&n=10“>使用样本量极小的学生t检验，实践评估，研究与评估，18（10），2013。
%H R.M.Dickau，<a href=“https://web.archive.org/web/20200710012924/http://mathforum.org:80/advanced/robertd/manhattan.html“>最短路径图</a>
%H Phan Thuan Do、Thi Thu Huong Tran和Vincent Vajnovszki，<a href=“https://arxiv.org/abs/1809.00742“>避免（有色）规则模式集的置换的穷尽生成，arXiv:1809.00742[cs.DM]，2018。
%H R.Duarte和A.G.de Oliveira，<A href=“http://arxiv.org/abs/11302.2100“>关于二项式系数卷积的简短说明，arXiv预印本arXiv:1302.2100[math.CO]，2013和<a href=”https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Duarte/duarte3.html“>《国际期刊》第16期（2013年）第13.7.6号。
%H Bryan Ek，<a href=“https://arxiv.org/abs/1804.05933“>单峰多项式和格步枚举与实验数学，arXiv:1804.05933[math.CO]，2018。
%H P.Erdős、R.L.Graham、I.Z.Russa和E.G.Straus，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1975-0369288-3“>关于C（2n，n）的素因子</a>，《数学汇编》29（1975），83-92。
%H Gennady Eremin，<a href=“https://arxiv.org/abs/2003.01494“>分解中间二项式系数，arXiv:2003.01494[math.CO]，2020。
%H A.Erickson和F.Ruskey，<A href=“http://arxiv.org/abs/1304.0070“>使用v垂直多米诺骨牌枚举方形网格的最大榻榻米垫覆盖物，arXiv预印本arXiv:1304.0070[math.CO]，2013。
%H Luca Ferrari和Emanuele Munarini，<a href=“http://arxiv.org/abs/203.6792“>一些路径格中边的枚举，arXiv预打印arXiv:1203.6792[math.CO]，2012和<a href=”https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Ferrari/Ferrari.html“>《国际期刊》第17期（2014年）第14.1.5号。
%H Francesc Fité和Andrew V.Sutherland，<a href=“http://arxiv.org/abs/203.1476“>y^2=x^5-x和y^2=x^6+1扭曲度的Sato-Tate分布，arXiv预印本arXiv:1203.1476[math.NT]，2012。
%H Francesc Fité、Kiran S.Kedlaya、Victor Rotger和Andrew V.Sutherland，<a href=“http://arxiv.org/abs/1110.6638“>Sato-Tate分布和属2中的Galois自同态模，arXiv:1110.6638[math.NT]，2011。
%H P.Flajolet和R.Sedgewick，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/books.html“>分析组合数学，2009年；参见第77页。
%H Alice L.L.Gao和Sergey Kitaev，<a href=“https://arxiv.org/abs/1903.08946“>关于排列中长度为4和5的部分有序模式，arXiv:1903.08946[math.CO]，2019。
%H Alice L.L.Gao和Sergey Kitaev，<a href=“https://doi.org/10.37236/8605“>关于排列中长度为4和5的部分有序模式，《组合数学电子杂志》26（3）（2019），第3.26页。
%H Joöl Gay和Vincent Pilaud，<a href=“https://arxiv.org/abs/1804.06572“>Weyl偏序集上的弱序</a>，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018。
%H H.W.Gould，<a href=“http://www.math.wvu.edu/~gould/“>组合恒等式表，第7卷，J.Quaintance编辑。
%H A.Granville和O.Ramaré，<A href=“网址：http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/ramare.PDF“>指数和的显式界和无平方二项系数的稀缺性http://dx.doi.org/10.112/S0025579300011608“>[DOI]</a>。
%H T.Halverson和M.Reeks，<a href=“http://arxiv.org/abs/1302.6150“>Gelfand图代数模型</a>，arXiv预印本arXiv:1302.6150[math.RT]，2013。
%H Oktay Haracci（timetunnel3（AT）hotmail.com），<a href=“https://web.archive.org/web/20091027100800/http://www.geocities.com/timeparadox/ismi_azam.html“>规则多边形</a>
%H R.H.Hardin，行和列都排序的对称二进制数组</a>
%H P.-Y.Huang、S.-C.Liu和Y.-N.Yeh，<a href=“https://doi.org/10.37236/3693“>某些生成函数中系数的有限和的同余</a>，组合数学电子期刊，21（2014），#P2.45。
%H W.Cary Huffman和Vera Pless，<a href=“https://doi.org/10.1017/CBO9780511807077“>《纠错码基础》，剑桥大学出版社，2003年，第7252-282338-393页。
%H Anders Hyllengren，四个整数序列，1985年10月4日。从本质上看，A000984和A002426与A000108和A001006一样，都是二项逆变换。
%H米兰Janjic，<a href=“http://www.pmfbl.org/janjic/“>两个枚举函数</a>
%H I.Jensen，<a href=“https://researchers.ms.unimelb.edu.au/~ij@unimelb/polygonse/polygons_ser.html“>自动作废多边形的系列展开</a>
%H Pakawut Jiradilok和Elchanan Mossel，<a href=“https://arxiv.org/abs/2402.11990“>网格上的高斯广播，arXiv:240.2.11990[cs.IT]，2024。见第27页。
%H C.金伯利，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Kimberling/kimberling24.html“>整数序列的矩阵变换</a>，《整数序列学报》，2003年第6卷。
%谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，<a href=“http://arxiv.org/abs/201.1323“>简单标记网格图案，arXiv预打印arXiv:1201.12323[math.CO]，2012。
%H.V.Kruchinin和D.V.Kurchinin，<a href=“http://arxiv.org/abs/1206.0877“>获取三角形中心系数生成函数的方法</A>，arXiv:1206.0877[math.CO]，2012。
%H D.克鲁奇宁和V.克鲁奇宁，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Kruchinin/Kruchinin.html“>获取三角形中心系数生成函数的方法</A>，《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.9.3条。
%H Jean-Philippe Labbé和Carsten Lange，<a href=“https://arxiv.org/abs/1802.07978“>寒武纪无环域：计算c-singleton，arXiv:1802.07978[math.CO]，2018。
%H Marie-Louise Lackner和M.Wallner，<a href=“http://dmg.tuwien.ac.at/mwallner/files/lpintro.pdf“>分析组合学和格路径计数邀请函；预印本，2015年12月。
%H C.Lanczos，<a href=“/A002457/A002457.pdf”>应用分析</a>（所选页面的注释扫描）
%H J.W.Layman，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL4/LAYMAN/hankel.html“>The Hankel Transform and Some of its Properties（汉克尔变换及其一些属性）</a>，J.Integer Sequences，4（2001），#01.1.5。
%H D.H.Lehmer，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2322496“>涉及中心二项式系数的有趣系列，《美国数学月刊》92，第7期（1985）449-457。
%H Huyile Liang、Jeffrey Remmel和Sainan Zheng，<a href=“https://arxiv.org/abs/1710.05795“>Stieltjes多项式矩序列，arXiv:1710.05795[math.CO]，2017，见第19页。
%H L.Lipshitz和A.J.van der Poorten，<A href=“http://www-centre.mce.mq.edu.au/alfpapers/a084.pdf“>有理函数、对角线、自动机和算术</a>
%H T.Manneville和V.Pilaud，<a href=“http://arxiv.org/abs/1501.07152“>图形嵌套复合体的兼容性风扇</a>，arXiv预打印arXiv:1501.07152[math.CO]，2015。
%H Megan A.Martinez和Carla D.Savage，<A href=“https://arxiv.org/abs/1609.08106“>反转序列中的模式II：反转序列避免三重关系</a>，arXiv:1609.08106[math.CO]，2016。
%H数学溢出，<a href=“http://mathoverflow.net/questions/45923/divisibility-of-a-二项式效率-by-p2-current-status“>二项式系数除以p^2-当前状态</a>
%H R.Mestrovic，<a href=“http://arxiv.org/abs/1111.3057“>Wolstenholme定理：它在过去一百五十年（1862-2011）中的推广和扩展，arXiv预印本arXiv:11111.3057[math.NT]，2011。
%H R.Mestrovic，<a href=“http://arxiv.org/abs/1409.3820“>Lucas定理：其推广、推广和应用（1878--2014）</a>，arXiv预印本arXiv:1409.3820[math.NT]，2014。
%H W.Mlotkowski和K.A.Penson，<A href=“http://arxiv.org/abs/1309.0595“>二项式矩概率分布</a>，arXiv预印本arXiv:1309.0595[math.PR]，2013。
%H T.Motzkin，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1945-08486-9“>超曲面交比</a>，Bull.Amer.Math.Soc.，51（1945），976-984。
%H T.S.Motzkin，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1948-09002-4“>超曲面交比与多边形分割、永久优势和非关联积的组合公式之间的关系，Bull.Amer.Math.Soc.，54（1948），352-360。
%H Torsten Mütze，<a href=“http://arxiv.org/abs/1404.4442“>中级猜想的证明，arXiv预印本arXiv:1404.4442[math.CO]，2014。
%H Asamoah Nkwanta和Earl R.Barnes，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Nkwanta/nkwanta2.html“>两个加泰罗尼亚型Riordan数组及其与第一类切比雪夫多项式的连接</a>，《整数序列杂志》，第12.3.32012条。-发件人：N.J.A.Sloane，2012年9月16日
%H Tony D.Noe，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Noe/noe35.html“>关于广义中心三项式系数的可除性，整数序列杂志，第9卷（2006），第06.2.7条。
%H Valentin Ovsienko，<a href=“https://arxiv.org/abs/2111.02553“>整数的阴影序列，从斐波那契到马尔可夫再到后面</a>，arXiv:2111.02553[math.CO]，2021。
%H Ran Pan，<a href=“http://www.math.ucsd.edu/~projectp/warmups/eI.html“>练习I，项目P。
%H P.Peart和W.-J.Woan，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/PEART/peart1.html“>通过Hankel和Stieltjes矩阵生成函数。
%H M.A.Perlstadt，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X（87）90069-2“>二项式系数幂和的一些递归，《数论杂志》27（1987），第304-309页。
%H A.Petojevic和N.Dapic，<A href=“http://www.mi.sanu.ac.rs网站/~gvm/radovi/AP-Budva.pdf“>vAm（a，b，c；z）函数</a>，Preprint 2013。
%H C.Pomerance，<a href=“https://math.dartmouth.edu网站/~carlp/catalan5.pdf“>中间二项系数的除数</a>，《美国数学月刊》，112（2015），636-644。
%H Y.Puri和T.Ward，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL4/WARD/short.html“>周期轨道的算法和增长</a>，J.Integer Seqs.，第4卷（2001年），#01.2.1。
%H Franck Ramaharo，<a href=“https://arxiv.org/abs/1805.10680“>椒盐卷饼结的生成多项式，arXiv:1805.10680[math.CO]，2018。
%H T.M.Richardson，<a href=“http://arxiv.org/abs/1405.6315“>《互易帕斯卡矩阵》，arXiv预印本arXiv:1405.6315[math.CO]，2014年。
%H John Riordan，<a href=“/A002720/A002720_3.pdf”>致N.J.a.斯隆的信，1980年9月26日，附1973年《整数序列手册》的注释</a>。请注意，序列是由它们的N号标识的，而不是由它们的A号标识的。
%H D.P.Roberts和A.Venkatesh，<A href=“http://math.stanford.edu/~akshay/research/full.pdf“>Hurwitz monodromy and full number fields</a>，2014年。另请参见arXiv:1401:73792014。
%H H.P.Robinson，致N.J.a.Sloane的信，1981年10月</a>
%H A.Sárközy，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X（85）90017-4“>关于二项式系数的除数。I.，J.Number Th.20，70-801985。
%H J.Ser，<a href=“/A002720/A002720_4.pdf”>Les Calculs Formels des Séries de Factorielles</a>，高蒂尔别墅，巴黎，1933年[当地副本]。
%H J.Ser，<a href=“/A002720/A002720.pdf”>Les Calculs Formels des Séries de Factorielles</a>（一些选定页面的注释扫描）
%H L.W.Shapiro、S.Getu、Wen-Jin Woan和L.C.Woodson，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X（91）90088-E“>Riordan Group，《离散应用数学》34（1991）229-239。
%H N.J.A.Sloane，关于A984和A2420-A2424的注释</a>
%H Michael Z.Spivey和Laura L.Steil，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Spivey/spivey7.html“>k二项式变换和Hankel变换，整数序列杂志，第9卷（2006年），第06.1.1条。
%H Armin Straub，<a href=“http://arminstraub.com/pub/论文“>随机漫步的算术方面和定积分方法</a>，杜兰大学科学与工程学院博士论文，2012年。
%H Armin Straub、Tewodros Amdeberhan和Victor H.Moll，<a href=“http://arxiv.org/abs/0811.2028“>k-中心二项式系数的p-adic估值，arXiv:0811.2028[math.NT]，2008年，第10-11页。
%H V.Strehl，<a href=“http://www.mat.univie.ac.网址：/~slc/opapers/s29strehl.html“>Recurrences and Legendre transform，Séminaire Lotharingien de Combinatoire，B29b（1992），22页。
%H R.A.Sulanke，<A href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/SULANKE/SULANKE.html“>广义Motzkin路径的矩</a>，J.整数序列，第3卷（2000），#00.1。
%H Hua Sun和Yi Wang，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Wang/wang11.html“>类加泰罗尼亚语数对数凸性的组合证明</A>，J.Int.Seq.17（2014）#114.5.2。
%H Michael Torpey，<a href=“https://doi.org/10.17630/10023-17350“>半群同余：计算技术和理论应用，圣安德鲁斯大学博士论文（苏格兰，2019年）。
%H H.A.Verrill，<A href=“https://arxiv.org/abs/math/0407327“>二项式系数的平方和，…</a>，arXiv:math/0407327[math.CO]，2004。
%H M.Wallner，<a href=“http://dmg.tuwien.ac.at/drmota/Thesis_Wallner.pdf“>格子路径组合数学，文凭，德国维也纳理工大学，2013年。
%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/BinomiumSums.html“>二项式和</a>
%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CentralBinominal系数.html“>中心二项式系数</a>
%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/StaircaseWalk.html“>楼梯走道</a>
%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/CircleLinePicking.html“>圆线拾取</a>
%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Shuffle_algebra#Shuffle_product“>洗牌产品</a>。
%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>
%F a（n）/（n+1）=A000108（n），加泰罗尼亚数字。
%固定系数：A（x）=（1-4*x）^（-1/2）=1F0（1/2；；4x）。
%F a（n+1）=2*A001700（n）=A030662（n）+1。a（2*n）=A001448（n），a（2*n+1）=2*A002458（n）。
%具有递归的F D-有限：n*a（n）+2*（1-2*n）*a（n-1）=0。
%F a（n）=2^n/n！*产品{k=0..n-1}（2*k+1）。
%F a（n）=a（n-1）*（4-2/n）=产品{k=1..n}_Henry Bottomley，2000年11月10日
%F使用A000142中的斯特林公式，很容易得到渐近表达式a（n）~4^n/sqrt（Pi*n）丹福（Dan.Fux（AT）OpenGaia.com或danfux（AT）OpenGaia.com），2001年4月7日
%F区间[0，4]上正函数的n阶矩的积分表示：a（n）=Integral_{x=0..4}（x^n*（（x*（4-x））^（-1/2））/Pi），n=0，1。。。这种表述是独一无二的_卡罗尔·彭森，2001年9月17日
%F和{n>=1}1/a（n）=（2*Pi*sqrt（3）+9）/27。[Lehmer 1985，等式（15）]-_Benoit Cloitre_，2002年5月1日（=A073016.-_伯纳德·肖特（Bernard Schott），2022年7月20日）
%F a（n）=最大{（i+j）！/（i！j！）|0<=i，j<=n}.-_Benoit Cloitre_，2002年5月30日
%F例如：exp（2*x）*I_0（2x），其中I_0是贝塞尔函数_Michael Somos，2002年9月8日
%F例如：I_0（2*x）=总和a（n）*x^（2xn）/（2*n）！，其中I_0是贝塞尔函数_迈克尔·索莫斯，2002年9月9日
%F a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2.-_Benoit Cloitre_，2003年1月31日
%F n X n矩阵M（i，j）的行列式=二项式（n+i，j_Benoit Cloitre_，2003年8月28日
%F给定m=C（2*n，n），设F为反函数，因此F（m）=n。让q表示-log（log（16）/（m^2*Pi）），我们得到F（m大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2003年10月30日
%F a（n）=2*和{k=0..（n-1）}a（k）*a（n-k+1）/（k+1）.-_菲利普·德雷厄姆，2004年1月1日
%F a（n+1）=和{j=n.n*2+1}二项式（j，n）。例如，a（4）=C（7,3）+C（6,3）+C（5,3）+4（4,3）/C（3,3）=35+20+10+4+1=70.-_Jon Perry_，2004年1月20日
%F a（n）=（-1）^（n）*和{j=0..（2*n）}（-1）*j*二项式（2*n，j）^2.-海伦娜·维里尔（Verrill（AT）math.lsu.edu），2004年7月12日
%F a（n）=和{k=0..n}二项式（2n+1，k）*sin（（2n-2k+1）*Pi/2）.-_Paul Barry，2004年11月2日
%F a（n-1）=（1/2）*（-1）^n*和{0<=i，j<=n}（-1）*（i+j）*二项式（2n，i+j_Benoit Cloitre_，2005年6月18日
%F a（n）=C（2n，n-1）+C（n）=A001791（n）+A000108（n）_Lekraj Beedassy，2005年8月2日
%F G.F.：c（x）^2/（2*c（x_保罗·巴里（Paul Barry），2006年2月3日
%F a（n）=A006480（n）/A005809（n）.-_Zerinvary Lajos，2007年6月28日
%F a（n）=总和{k=0..n}A106566（n，k）*2^k.-Philippe Deléham，2007年8月25日
%F a（n）=和{k>=0}A039599（n，k）。a（n）=和{k>=0}A050165（n，k）。a（n）=和{k>=0}A059365（n，k）*2^k，n>0。a（n+1）=和{k>=0}A009766（n，k）*2^（n-k+1）_菲利普·德雷厄姆，2004年1月1日
%F a（n）=4^n*和{k=0..n}C（n，k）（-4）^（-k）*A000108（n+k）.-_Paul Barry，2007年10月18日
%F a（n）=和{k=0..n}A039598（n，k）*A059841（k）.-_Philippe Deléham_，2008年11月12日
%F A007814（a（n））=A000120（n）.-_Vladimir Shevelev，2009年7月20日
%F来自Paul Barry，2009年8月5日：（开始）
%F G.F:1/（1-2x-2x^2/（1-2x x ^2/；
%F G.F.：1/（1-2x/（1-x/（1x/（1-…（续分数））。（结束）
%如果n>=3是素数，那么a（n）==2（mod 2*n）_弗拉基米尔·谢维列夫，2010年9月5日
%设A（x）为g.F.，B（x）=A（-x），则B（x_弗拉基米尔·克鲁奇宁，2011年1月16日
%F a（n）=（-4）^n*平方（Pi）/（γ（（1/2-n））*γ（1+n））_Gerry Martens，2011年5月3日
%F a（n）=M^n中的左上项，M=无限平方生产矩阵：
%F 2，2，0，0，0,0。。。
%F 1，1，1，0，0，0。。。
%F 1、1、1，1、0、0。。。
%F 1，1，1，1，0。。。
%F 1，1，1、1、1，1。。。。
%F-_Gary W.Adamson_，2011年7月14日
%F a（n）=超几何（[-n，-n]，[1]，1）_Peter Luschny_，2011年11月1日
%F例如：超几何（[1/2]，[1]，4*x）_Wolfdieter Lang，2012年1月13日
%F a（n）=2*和{k=0..n-1}a（k）*A000108（n-k-1）.-_Alzhekeyev Ascar M_，2012年3月9日
%F G.F.：1+2*x/（U（0）-2*x），其中U（k）=2*（2*k+1）*x+（k+1）-2*（k+1；（连分数，欧拉第一类，一步）_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年6月28日
%F a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*H（k）/（2*H_Gary Detlefs，2013年3月19日
%F G.F.:Q（0）*（1-4*x），其中Q（k）=1+4*（2*k+1）*x/（1-1/（1+2*（k+1）/Q（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月11日
%F G.F.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-2*x*（2*k+1）/（2*xx（2*k+1）+（k+1）/G（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月24日
%F例如：E（0）/2，其中E（k）=1+1/（1-2*x/（2*x+（k+1）^2/（2*k+1）/E（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年6月1日
%F雅可比多项式的特殊值，用Maple表示法：a（n）=4^n*JacobiP（n，0，-1/2-n，-1）_Karol A.Penson，2013年7月27日
%F a（n）=2^（4*n）/（（2*n+1）*Sum_{k=0..n}（-1）^k*C（2*n+1，n-k）/（2*k+1））。-_Mircea Merca，2013年11月12日
%F a（n）=C（2*n-1，n-1）*C（4*n^2,2）/（3*n*C（2*n+1,3）），n>0.-_Gary Detlefs，2014年1月2日
%F和{n>=0}a（n）/n！=A234846.-Richard R.Forberg，2014年2月10日
%2014年9月17日，Z.-Michael Somos_中所有n的F 0=a（n）*（16*a（n+1）-6*a（n+2））
%Fa（n+1）=4*a（n）-2*A00018（n）。同时a（n）=4^n*产品{k=1..n}（1-1/（2*k））_Stanislav Sykora，2014年8月9日
%F G.F:求和{n>=0}x^n/（1-x）^（2*n+1）*求和{k=0..n}C（n，k）^2*x^k.-Paul D.Hanna，2014年11月8日
%F a（n）=（-4）^n*二项式（-1/2，n）_Jean-François Alcover，2015年2月10日
%F a（n）=4^n*超几何（[-n，1/2]，[1]，1）_彼得·卢施尼，2015年5月19日
%F a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，k）*C（n-k，k）*2^（n-2*k）.-_罗伯特·费雷尔，2015年8月29日
%F a（n）~4^n*（2-2/（8*n+2）^2+21/_Peter Luschny_，2015年10月14日
%F A（-x）=1/x*系列反转（x*（2*x+sqrt（1+4*x^2）））。与A098616的o.g.f.B（x）相比，它满足B（-x）=1/x*系列反转（x*（2*x+sqrt（1-4*x^2））。另见A214377_Peter Bala，2015年10月19日
%F a（n）=GegenbauerC（n，-n，-1）.-_Peter Luschny_，2016年5月7日
%F a（n）=γ（1+2*n）/γ（1+n）^2.-_Andres Cicuttin，2016年5月30日
%F和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4*（5-平方（5）*log（phi））/25=0.62783642361439838442267…，其中phi是黄金比率_伊利亚·古特科夫斯基，2016年7月4日
%F From _Peter Bala，2016年7月22日：（开始）
%F此序列作为几个二项式和的闭合表达式出现：
%F a（n）=和{k=0..2*n}（-1）^（n+k）*二项式（2*n，k）*二项式（2xn+1，k）。
%F a（n）=2*Sum_{k=0..2*n-1}（-1）^（n+k）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2*n，k）对于n>=1。
%F a（n）=2*Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*n，k），对于n>=1。
%F a（n）=Sum_{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（2*n，k）*二项式（x+k，n）*二项式（y+k，n）=Sum _{k=0..2*nneneneep（-1）。
%F对于m=3,4,5，。。。和{k=0..m*n}（-1）^k*二项式（m*n，k）*二项法（x+k，n）*二项式（y+k，n）和和{k=0..m*n{（-1。
%F a（n）=（-1）^n*和{k=0..2*n}（-1）。
%F对于m=3，4，5，。。。求和{k=0..m*n}（-1）^k*二项式（m*n，k）*二项式（x+k，n）*二项式（y-k，n。
%F a（n）=和{k=0..2n}（-1）^k*二项式。（古尔德，第7卷，5.23）。
%F a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*二项式（2*n，n+k。（结束）
%F From _Ralf Steiner，2017年4月7日：（开始）
%F和{k>=0}a（k）/（p/q）^k=sqrt（p/（p-4q）），对于N中的q，对于Z/{-4q<（some p）<-2}。
%F。。。
%F和{k>=0}a（k）/（-4）^k=1/sqrt（2）。
%F和{k>=0}a（k）/（17/4）^k=sqrt（17）。
%F和{k>=0}a（k）/（18/4）^k=3。
%F和{k>=0}a（k）/5^k=sqrt（5）。
%F和{k>=0}a（k）/6^k=sqrt（3）。
%F和{k>=0}a（k）/8^k=sqrt（2）。
%F。。。
%对于p>4q，F和{k>=0}a（k）/（p/q）^k=sqrt（p/（p-4q））。（结束）
%F Boas-Buck递推：a（n）=（2/n）*Sum_{k=0..n-1}4^（n-k-1）*a（k），n>=1，a（0）=1。a（n）=A046521（n，0）的证明。请参阅此处的评论_Wolfdieter Lang，2017年8月10日
%2017年9月30日，新元Adad_中n的F a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（2*n+1，k）
%F a（n）=A034870（n，n）_2018年11月26日，Franck Maminirina Ramaharo_
%F From _ Jianing Song，2022年4月10日：（开始）
%对于{1/a（n）}，F G.F:4*（sqrt（4-x）+sqrt。
%F例如，对于{1/a（n）}：1+exp（x/4）*sqrt（Pi*x）*erf（sqlt（x）/2）/2。
%F和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4*（1/5-弧（1/2）/（5*sqrt（5）））。（结束）
%F From _Peter Luschny_，2022年9月8日：（开始）
%F a（n）=2^（2*n）*产品{k=1..2*n}k^（（-1）^（k+1））=A056040（2*n）。
%当n>=2时，F a（n）=A001316（n）*A356637（n）*A261130（n）。（结束）
%F a（n）=4^n*二项式（n-1/2，-1/2）=4 ^n*GegenbauerC（n，1/4，1）_Gerry Martens，2022年10月19日
%F发生在二项式和恒等式sum_{k=-n.n.n}（-1）^k*（n+x-k）*二项式（2*n，n+k）^2=（x+n）*a（n）和sum__{k=-n.n}。与恒等式比较：和{k=-n..n}（-1）^k*二项式（2*n，n+k）^2=a（n）.-_彼得·巴拉（Peter Bala），2023年7月31日
%F From _Peter Bala，2024年3月31日：（开始）
%F 4^n*a（n）=和{k=0..2*n}（-1）^k*a（k）*a（2*n-k）。
%F 16^n=和{k=0..2*n}a（k）*a（2*n-k）。（结束）
%e G.f.：1+2*x+6*x^2+20*x^3+70*x^4+252*x^5+924*x^6+。。。
%e对于n=2，a（2）=4/（2！）^2=24/4=6，这是二项式展开式（a+b）^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4的中间系数_迈克尔·波特，2016年7月6日
%p A000984:=n->二项式（2*n，n）；seq（A000984（n），n=0..30）；
%p与（combstruct）；[seq（计数（[S，{S=Prod（Set（Z，card=i），Set（Z，card=i））}，标记]，大小=（2*i）），i=0..20）]；
%p与（combstruct）；[seq（count（[S，{S=序列（Union（Arch，Arch））），Arch=Prod（Epsilon，Sequence（Arch），Z）}，未标记]，大小=i），i=0..25）]；
%p with（combstruct）：bin:={B=并集（Z，Prod（B，B））}:seq（count（[B，bin，unlabeled]，size=n）*n，n=1..25）；#_Zerinvary Lajos，2007年12月5日
%p A000984列表：=proc（m）局部A，p，n；答：=[1,2]；P:=[1]；
%p表示n从1到m-2 do p:=ListTools:-部分和（[op（p），2*p[-1]]）；
%pA:=[op（A），2*p[-1]]od；A端：A000984列表（28）；#_Peter Luschny_，2022年3月24日
%t表[二项式[2n，n]，{n，0，24}]（*_Alonso del Arte_，2005年11月10日*）
%t系数列表[系列[1/Sqrt[1-4x]，{x，0,25}]，x]（*哈维·P·达尔，2011年3月14日*）
%o（岩浆）a:=func<n|二项式（2*n，n）>；[0..10]]中的[a（n）:n；
%o（PARI）A000984（n）=二项式（2*n，n）\\比（2n）更有效/不^2.\\_M.F.Hasler_，2014年2月26日
%o（PARI）fv（n，p）=我的（s）；而（n＝p，s＋＝n）；秒
%o a（n）=prodeuler（p=2,2*n，p^（fv（2*n），p）-2*fv（n，p））
%o（PARI）fv（n，p）=我的（s）；而（n＝p，s＋＝n）；秒
%o a（n）=我的（s=1）；对于素数（p=2,2*n，s*=p^（fv（2*n、p）-2*fv（n，p）））；2013年8月21日，夏尔斯R Greathouse IV
%o（哈斯克尔）
%o a000984 n=a007318_低（2*n）！！n---Reinhard Zumkeller_，2011年11月9日
%o（最大值）A000984（n）：=（2*n）/（n！）^2$标记列表（A000984（n），n，0,30）；/*_Martin Ettl，2012年10月22日*/
%o（Python）
%o来自未来进口部门
%o A000984_列表，b=[1]，1
%o表示范围（10**3）内的n：
%o b=b*（4*n+2）//（n+1）
%o A000984_列表.附录（b）#_柴华武，2016年3月4日
%o（GAP）列表（[1..1000]，n->二项式（2*n，n））；#_Muniru A Asiru_，2018年1月30日
%Y参见A000108、A002420、A002457、A030662、A002144、A135091、A081696、A182400。第10学期与A071976不同。
%A001405和A226302的Y剖分。另请参见A025565，相同的有序分区，但没有全部，其中有两个连续的零：11110（5）、11200（18）、13000（2）、40000（0）和22000（1），总计26，A025565（4）=26。
%Y参见A226078、A051924（第一个差异）。
%A059481、A008459、A152229、A158815、A205946的Y行总和。
%Y参见A258290（算术导数）。参见A098616，A214377。
%关于这个序列的推测，请参见A261009。
%Y参见A046521（第一列）。
%Y类Apéry数[或类Apáry序列、类Apery numbers、类Aperry sequences]包括A000172、A000984、A002893、A00289、A005258、A00525、A005260、A006077、A036917、A063007、A081085、A093388、A125143（除符号外）、A143003、A143007、A143413、A14341、A14343415、A143583、A183204、A214262、A219692、A226535、A227216、A227454、，A229111（除标志外）、A260667、A260832、A262177、A264541、A26454、A279619、A290575、A29057。（“类人猿”一词定义不明确。）
%对于m=1..12:A000079、A000984、A000172、A005260、A005261、A069865、A182421、A182428、A182446、A18244、A342294、A34229.5，Y和{k=0..n}C（n，k）^m。
%Y参见A000346、A001700、A001791、A008549、A032443、A073016、A097805、A126869。
%Y参见A056040、A001316、A261130、A356637。
%不，放松，核心，好，走路，压裂
%0、2
%A _N.J.A.斯隆_
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